Șirul lui Rolle

În lecția Existența soluțiilor unei ecuații în mulțimea numerelor reale ai rămas cu două datorii. Prima: pentru ecuația $x^3-3x-1=0$ ai găsit trei soluții încercând, pe rând, valorile $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$ — puncte de probă alese la noroc, cu speranța că nu ai sărit peste ceva. A doua: despre ecuația $e^x=3x$ ai putut spune doar „are cel puțin două soluții", pentru că nu aveai cum să excluzi existența unei a treia.

Ambele datorii se sting astăzi, cu aceeași unealtă. Ideea, simplă și frumoasă, este că derivata știe unde trebuie pui pragurile: rădăcinile lui $f^{\prime }$ taie axa în felii, iar teorema lui Rolle garantează că în fiecare felie încape cel mult o soluție. Ghicitul se transformă în procedură, iar „cel puțin" devine „exact". Metoda poartă numele șirul lui Rolle și este, la Bacalaureat M1, singurul instrument care răspunde complet la întrebarea „câte soluții reale are ecuația?".

Ce vei învăța

• Vei ști pe ce se sprijină metoda: cele două rezultate — unul de la Rolle, altul de la semne — care, împreună, dau numărul exact de soluții.
• Vei ști să parcurgi procedura în cinci pași, de la stabilirea domeniului până la citirea concluziei.
• Vei ști să completezi tabelul șirului lui Rolle în formatul standard, cu limitele la capete și cu rândul de semne.
• Vei ști să citești tabelul: schimbare de semn, valoare nulă, semne egale — fiecare situație are un răspuns fix.
• Vei ști să aplici metoda când domeniul nu este $\mathbb{R}$, ci o reuniune de intervale, tratând fiecare interval separat.
• Vei ști să faci discuția după un parametru, adică să spui câte soluții are ecuația pentru fiecare valoare a lui $m$.

Hai să descoperim împreună

1. Cele două rezultate care fac metoda să meargă

Metoda se sprijină pe două afirmații, ambele deja demonstrate, care se completează perfect.

(A) Cel mult una — de la teorema lui Rolle. Fie $f$ derivabilă și fie $x_1<x_2$ două rădăcini consecutive ale derivatei. Atunci $f$ are cel mult o rădăcină în $(x_1,x_2)$. Am demonstrat această consecință în lecția Teorema lui Rolle, prin reducere la absurd: două rădăcini ale lui $f$ înăuntru ar produce, prin Rolle, o rădăcină a lui $f^{\prime }$ între ele, ceea ce contrazice faptul că $x_1$ și $x_2$ erau consecutive. Același raționament acoperă și feliile de la capete: sub cea mai mică rădăcină a lui $f^{\prime }$ și peste cea mai mare încape, de asemenea, cel mult o rădăcină a lui $f$.

(B) Cel puțin una — de la semne. Dacă $f$ e continuă pe $[\alpha ,\beta ]$ și $f(\alpha )\cdot f(\beta )<0$, atunci ecuația $f(x)=0$ are cel puțin o soluție în $(\alpha ,\beta )$. Este consecința de semn a proprietății valorilor intermediare, de la Semnul unei funcții continue pe un interval.

Pune-le împreună: pe o felie mărginită de două rădăcini consecutive ale derivatei, cel mult una (A) plus cel puțin una (B) înseamnă exact una. Iar dacă semnele la capetele feliei coincid, (A) rămâne singură și, cum vom vedea, concluzia este că acolo nu există nicio soluție.

2. De ce nu mai e nevoie de ghicit

Reia comparația cu lecția $93$. Acolo alegeai puncte de probă întregi și numărai schimbările de semn: metoda dădea „cel puțin atâtea soluții", niciodată „exact atâtea", pentru că între două puncte de probă funcția putea urca și coborî de mai multe ori, fără să știi.

Acum pragurile nu se mai aleg: ele sunt rădăcinile derivatei, exact punctele în care funcția poate să-și schimbe sensul. Între două astfel de praguri consecutive funcția nu-și mai poate schimba sensul, deci nu poate traversa axa de două ori. Riscul de a „pierde" soluții dispare.

3. Procedura, în cinci pași

Fie ecuația $f(x)=0$. Se procedează așa, în această ordine:

1. Stabilești domeniul $D$ — o reuniune de intervale — și verifici că $f$ este derivabilă pe $D$.
2. Rezolvi $f^{\prime }(x)=0$ și reții soluțiile din $D$, scrise în ordine crescătoare: $x_1<x_2<\cdots <x_k$.
3. Calculezi $f(x_1),\dots ,f(x_k)$ și limitele lui $f$ la capetele fiecărui interval din $D$ (la $\pm \infty$ sau în capetele finite în care $f$ nu e definită).
4. Completezi tabelul cu valorile obținute și, dedesubt, cu semnele lor.
5. Citești tabelul, după cele trei reguli din secțiunea următoare.

Pasul $3$ este cel în care se pierd cele mai multe puncte la examen: capetele domeniului nu se lasă niciodată necompletate. Dacă intervalul e nemărginit, se trece limita; dacă e mărginit și funcția nu e definită în capăt, se trece tot limita; dacă funcția e definită în capăt, se trece valoarea.

4. Tabelul și citirea lui

Formatul standard, pe exemplul ecuației $x^3-3x-1=0$. Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x-1$, e polinomială, deci derivabilă pe $\mathbb{R}$; din $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$ obținem $x_1=-1$ și $x_2=1$, cu $f(-1)=1$ și $f(1)=-3$, iar limitele la capete sunt $-\infty$ și $+\infty$.

Cele trei reguli de citire:

• între două valori consecutive de semne contrare există exact o soluție — una, prin (B), și cel mult una, prin (A);
• o valoare nulă înseamnă că punctul respectiv este el însuși soluție, și anume o soluție multiplă a ecuației (fiindcă acolo se anulează și $f$, și $f^{\prime }$); în plus, în cele două felii vecine nu mai există nicio altă soluție;
• între două valori consecutive de același semn nu există nicio soluție. Justificarea merită urmărită, pentru că folosește amândouă teoremele lecțiilor anterioare. Presupunem că, dimpotrivă, ar exista o soluție $r$ în felie. Dacă funcția își schimbă semnul în $r$, atunci între $r$ și celălalt capăt al feliei semnele redevin contrare, deci prin (B) mai apare o soluție — două în aceeași felie, ceea ce contrazice (A). Dacă funcția nu își schimbă semnul în $r$, atunci $f(r)=0$ este cea mai mică (respectiv cea mai mare) valoare din jur, deci $r$ este punct de extrem local interior; prin teorema lui Fermat, $f^{\prime }(r)=0$, deci $r$ ar fi o rădăcină a derivatei strict între două rădăcini consecutive ale ei — imposibil. Ambele variante duc la contradicție.

Citirea tabelului de mai sus: trei schimbări de semn, deci ecuația $x^3-3x-1=0$ are exact trei soluții reale, câte una în fiecare dintre intervalele $(-\infty ,-1)$, $(-1,1)$ și $(1,+\infty )$. Compară cu lecția $93$: acolo obținuseși aceleași trei intervale, dar concluzia „exact trei" venea din gradul polinomului; acum vine din metodă și ar funcționa la fel pentru o ecuație care nu e polinomială. (Verificat prin numărare efectivă: pe $[-10,10]$, eșantionare densă și bisecție dau exact trei soluții, $\approx -1,5320889$, $\approx -0,3472964$ și $\approx 1,8793852$, fiecare în intervalul anunțat.)

5. Valoarea nulă: rădăcinile multiple

Când una dintre valorile din tabel este $0$, situația e specială și se raportează ca atare: punctul $x_i$ este el însuși soluție a ecuației, iar cum acolo se anulează și derivata, el este o soluție multiplă.

Exemplu. Ecuația $x^3-3x^2+4=0$. Avem $f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$, deci $x_1=0$ și $x_2=2$, cu $f(0)=4$ și $f(2)=0$; limitele la capete sunt $-\infty$ și $+\infty$.

Citire: o schimbare de semn, între $-\infty$ și $0$, deci o soluție în $(-\infty ,0)$; plus soluția $x=2$, dată de valoarea nulă. Ecuația are deci două soluții distincte. Într-adevăr, $x^3-3x^2+4=(x+1)(x-2{)}^2$, cu rădăcinile $-1$ și $2$, ultima dublă. (Factorizarea a fost verificată exact, cu fracții, în $81$ de puncte; numărarea efectivă a rădăcinilor pe $[-10,10]$ dă exact două valori distincte.)

Formularea corectă în lucrare: „ecuația are două soluții reale distincte, $x=-1$ și $x=2$, ultima fiind soluție dublă". Cine scrie doar „două soluții" pierde nuanța pe care baremul o cere.

6. Când domeniul nu este $\mathbb{R}$

Dacă $D$ e o reuniune de intervale, fiecare interval își primește propriul tabel, cu limitele lui la capete. Rezultatele se adună la final.

Exemplu. Ecuația $x+\frac{4}{x}=5$. O aducem la forma $f(x)=0$ cu $f(x)=x+\frac{4}{x}-5$, definită și derivabilă pe $D=(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$. Derivata: $f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{x^2}$, care se anulează pentru $x^2=4$, adică $x=-2$ și $x=2$; valorile: $f(-2)=-2-2-5=-9$ și $f(2)=2+2-5=-1$. Limitele: la $-\infty$ și la $+\infty$ termenul $x$ domină, deci $f$ tinde la $-\infty$, respectiv la $+\infty$; iar în $0$, termenul $\frac{4}{x}$ tinde la $-\infty$ dinspre stânga și la $+\infty$ dinspre dreapta.

Pe intervalul $(-\infty ,0)$:

Pe intervalul $(0,+\infty )$:

Citire: pe $(-\infty ,0)$ toate semnele sunt egale, deci nicio soluție; pe $(0,+\infty )$ sunt două schimbări de semn, deci exact două soluții, una în $(0,2)$ și una în $(2,+\infty )$. Total: două soluții reale. Verificarea directă confirmă: înmulțind cu $x\ne 0$, ecuația devine $x^2-5x+4=0$, cu soluțiile $1$ și $4$ — chiar în intervalele prezise. (Verificat și prin numărare efectivă a rădăcinilor pe fiecare interval.)

7. Discuția după un parametru

Cea mai bogată aplicație: ecuația conține un parametru, iar întrebarea e câte soluții are pentru fiecare valoare a lui. Trucul care simplifică totul: dacă parametrul apare ca termen liber, derivata nu depinde de el, deci punctele $x_1,\dots ,x_k$ sunt aceleași în toate cazurile; se schimbă doar valorile $f(x_i)$, și odată cu ele semnele.

Exemplu. Discutați, după $m\in \mathbb{R}$, numărul soluțiilor reale ale ecuației $x^3-3x-m=0$.

Fie $f(x)=x^3-3x-m$, derivabilă pe $\mathbb{R}$, cu $f^{\prime }(x)=3x^2-3$, deci $x_1=-1$ și $x_2=1$, independent de $m$. Valorile: $f(-1)=2-m$ și $f(1)=-2-m$. Limitele rămân $-\infty$ și $+\infty$. Tabelul general:

Rândul semnelor nu se poate completa încă: semnele valorilor $2-m$ și $-2-m$ depind de $m$. Cazurile se obțin comparând $m$ cu $-2$ și cu $2$, iar pentru fiecare caz șirul de semne se scrie complet:

• $m<-2$: $2-m>0$ și $-2-m>0$, deci semnele sunt $-,+,+,+$: o singură schimbare, deci o soluție, în $(-\infty ,-1)$;
• $m=-2$: $2-m=4>0$ și $-2-m=0$, deci semnele sunt $-,+,0,+$: o schimbare plus o valoare nulă, deci două soluții distincte, dintre care $x=1$ este dublă (într-adevăr, $x^3-3x+2=(x-1{)}^2(x+2)$);
• $-2<m<2$: $2-m>0$ și $-2-m<0$, deci semnele sunt $-,+,-,+$: trei schimbări, deci trei soluții distincte;
• $m=2$: $2-m=0$ și $-2-m=-4<0$, deci semnele sunt $-,0,-,+$: o valoare nulă plus o schimbare, deci două soluții distincte, dintre care $x=-1$ este dublă ($x^3-3x-2=(x+1{)}^2(x-2)$);
• $m>2$: ambele valori sunt negative, deci semnele sunt $-,-,-,+$: o singură schimbare, deci o soluție, în $(1,+\infty )$.

(Toate cele cinci cazuri au fost verificate prin numărarea efectivă a rădăcinilor, pentru $m\in \{-5,-2,0,1,2,5\}$, prin eșantionare densă și bisecție pe fiecare schimbare de semn; iar cele două factorizări de la cazurile limită, exact, cu fracții.)

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Prima aplicare completă

Separați soluțiile ecuației $x^4-4x+1=0$.

Rezolvare. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-4x+1$, funcție polinomială, deci derivabilă pe $\mathbb{R}$.

$f^{\prime }(x)=4x^3-4=4\left(x^3-1\right)$, care se anulează doar pentru $x=1$; valoarea: $f(1)=1-4+1=-2$. Limitele: $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$ (termenul dominant este $x^4$).

Citire: două schimbări de semn, deci ecuația are exact două soluții reale, una în $(-\infty ,1)$ și una în $(1,+\infty )$. (Verificat prin numărare efectivă: $\approx 0,2509922$ și $\approx 1,4933586$.) ✓

Exemplul 2 — Trei soluții

Determinați numărul soluțiilor reale ale ecuației $x^3-6x^2+9x-2=0$ și separați-le.

Rezolvare. $f(x)=x^3-6x^2+9x-2$ e derivabilă pe $\mathbb{R}$, cu $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$, deci $x_1=1$ și $x_2=3$. Valorile: $f(1)=1-6+9-2=2$ și $f(3)=27-54+27-2=-2$. Limitele: $-\infty$ și $+\infty$.

Citire: trei schimbări de semn, deci exact trei soluții reale, câte una în $(-\infty ,1)$, $(1,3)$ și $(3,+\infty )$. (Verificat: $\approx 0,2679492$, $2$ și $\approx 3,7320508$.) ✓

Exemplul 3 — O singură soluție, deși gradul e trei

Arătați că ecuația $x^3-3x+5=0$ are exact o soluție reală.

Rezolvare. $f(x)=x^3-3x+5$, $f^{\prime }(x)=3x^2-3$, deci $x_1=-1$ și $x_2=1$, cu $f(-1)=-1+3+5=7$ și $f(1)=1-3+5=3$. Limitele: $-\infty$ și $+\infty$.

Citire: o singură schimbare de semn, între $-\infty$ și $-1$; în celelalte două felii semnele coincid, deci acolo nu există soluții. Ecuația are exact o soluție reală, în intervalul $(-\infty ,-1)$. (Verificat: $\approx -2,2790188$; numărarea efectivă pe $[-10,10]$ dă o singură rădăcină.) ✓

Exemplul 4 — Patru soluții

Separați soluțiile ecuației $2x^4-4x^2+1=0$.

Rezolvare. Împărțim prin $2$: ecuația e echivalentă cu $x^4-2x^2+\frac{1}{2}=0$. Fie $f(x)=x^4-2x^2+\frac{1}{2}$, cu $f^{\prime }(x)=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)$, deci $x_1=-1$, $x_2=0$, $x_3=1$. Valorile: $f(-1)=f(1)=1-2+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$ și $f(0)=\frac{1}{2}$. Limitele sunt $+\infty$ la ambele capete.

Citire: patru schimbări de semn, deci exact patru soluții reale, câte una în $(-\infty ,-1)$, $(-1,0)$, $(0,1)$ și $(1,+\infty )$. (Verificat prin numărare efectivă: $\approx \pm 1,3065630$ și $\approx \pm 0,5411961$.) ✓

Exemplul 5 — Când derivata nu are rădăcini

Câte soluții reale are ecuația $x^3+3x-4=0$?

Rezolvare. $f(x)=x^3+3x-4$, $f^{\prime }(x)=3x^2+3>0$ pentru orice $x$ real: derivata nu se anulează niciodată. Prin urmare axa nu se împarte în felii, iar tabelul are doar două coloane, cele ale limitelor:

Citire: o schimbare de semn, deci ecuația are exact o soluție reală. (Ea se vede imediat: $x=1$.) Cazul acesta merită reținut: dacă $f^{\prime }$ nu are rădăcini, toată axa este o singură felie, deci ecuația are cel mult o soluție. (Verificat prin numărare efectivă pe $[-10,10]$: o singură rădăcină, $x=1$.) ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x-3x$. a) Calculați $f^{\prime }(x)$ și determinați punctul în care derivata se anulează. b) Arătați că $f\left(\ln 3\right)<0$. c) Determinați numărul soluțiilor reale ale ecuației $e^x=3x$.

Rezolvare.

a) $f^{\prime }(x)=e^x-3$, iar $f^{\prime }(x)=0\iff e^x=3\iff x=\ln 3$.

b) $f(\ln 3)=e^{\ln 3}-3\ln 3=3-3\ln 3=3(1-\ln 3)$. Cum $3>e$, avem $\ln 3>\ln e=1$, deci $1-\ln 3<0$ și prin urmare $f(\ln 3)<0$. (Numeric: $f(\ln 3)\approx -0,2958369$.)

c) Ecuația $e^x=3x$ este echivalentă cu $f(x)=0$. Limitele: la $-\infty$, $e^x\to 0$ și $-3x\to +\infty$, deci $f(x)\to +\infty$; la $+\infty$, exponențiala crește mai repede decât orice funcție de gradul întâi, deci $f(x)\to +\infty$.

Citire: două schimbări de semn, deci ecuația $e^x=3x$ are exact două soluții reale, una în $(-\infty ,\ln 3)$ și una în $(\ln 3,+\infty )$.

Aceasta închide întrebarea rămasă deschisă în lecția $93$, unde despre aceeași ecuație putuseși spune doar „cel puțin două soluții": lipsea tocmai informația că derivata se anulează într-un singur punct, deci că nu există decât două felii. (Verificat prin numărare efectivă: $\approx 0,6190613$ și $\approx 1,5121346$ — exact valorile localizate atunci.) ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare exercițiu, scrie tabelul complet — cu limitele la capete — și abia apoi concluzia. Baremele punctează separat tabelul și citirea lui.

1. Separă soluțiile ecuației $x^3-12x+5=0$.

2. Determină numărul soluțiilor reale ale ecuației $2x^3-3x^2-12x+8=0$ și precizează intervalele.

3. Arată că ecuația $x^3-3x+5=0$ are exact o soluție reală, folosind șirul lui Rolle.

4. Separă soluțiile ecuației $x^4-4x^3+10=0$.

5. Arată că ecuația $x^3+3x-4=0$ are exact o soluție reală, precizând de ce tabelul are doar două coloane.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă în șirul lui Rolle două valori consecutive au același semn, între punctele corespunzătoare nu există nicio soluție."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Șirul lui Rolle dă numărul de soluții ale ecuației $f^{\prime }(x)=0$."

8. Explică de ce, în tabel, capetele nemărginite se completează cu limite, și nu se lasă goale.

9. Separă soluțiile ecuației $e^x-x-2=0$.

10. Arată că ecuația $x^3-3x^2+4=0$ are exact două soluții reale distincte și precizează care dintre ele este dublă.

11. Determină numărul soluțiilor reale ale ecuației $x+\frac{1}{x}=3$, aplicând metoda pe fiecare interval al domeniului.

12. (Problemă aplicată.) Volumul unei piese, în funcție de o dimensiune $x$, este $V(x)=x^3-12x+20$ (în centimetri cubi, pentru $x$ în centimetri). Arată, cu șirul lui Rolle, că există o singură valoare a lui $x$ pentru care volumul este $40$ cm³ și precizează între ce numere întregi se află.

13. Discută, după $m\in \mathbb{R}$, numărul soluțiilor reale ale ecuației $x^3-3x=m$.

14. Discută, după $m\in \mathbb{R}$, numărul soluțiilor reale ale ecuației $x^4-4x=m$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-6x^2+9x-2$. Calculează $f^{\prime }(x)$, determină punctele în care derivata se anulează și arată că ecuația $f(x)=0$ are trei soluții reale.

16. De ce metoda cere ca funcția să fie derivabilă pe tot domeniul? Ce s-ar strica dacă derivata nu ar exista într-un punct interior?

17. Fie $f$ derivabilă pe $\mathbb{R}$, cu $f^{\prime }$ având exact trei rădăcini. Care este numărul maxim de soluții pe care le poate avea ecuația $f(x)=0$?

18. (Provocare.) Determină valorile lui $m\in \mathbb{R}$ pentru care ecuația $x^3-3x-m=0$ are o soluție dublă și precizează, în fiecare caz, toate soluțiile.

Răspunsuri și explicații

1. $f^{\prime }(x)=3x^2-12$, deci $x_1=-2$, $x_2=2$, cu $f(-2)=-8+24+5=21$ și $f(2)=8-24+5=-11$; limitele sunt $-\infty$ și $+\infty$. Semnele: $-,+,-,+$ — trei schimbări, deci trei soluții, în $(-\infty ,-2)$, $(-2,2)$ și $(2,+\infty )$. (Numeric: $\approx -3,6561664$, $\approx 0,4229727$, $\approx 3,2331937$.)

2. $f^{\prime }(x)=6x^2-6x-12=6(x+1)(x-2)$, deci $x_1=-1$, $x_2=2$, cu $f(-1)=-2-3+12+8=15$ și $f(2)=16-12-24+8=-12$. Semnele: $-,+,-,+$ — trei soluții, în $(-\infty ,-1)$, $(-1,2)$ și $(2,+\infty )$. (Numeric: $\approx -2,1519448$, $\approx 0,6113155$, $\approx 3,0406294$.)

3. $f^{\prime }(x)=3x^2-3$, deci $x_1=-1$, $x_2=1$, cu $f(-1)=7$ și $f(1)=3$. Semnele: $-,+,+,+$ — o singură schimbare, deci exact o soluție, în $(-\infty ,-1)$.

4. $f^{\prime }(x)=4x^3-12x^2=4x^2(x-3)$, deci $x_1=0$, $x_2=3$, cu $f(0)=10$ și $f(3)=81-108+10=-17$; limitele sunt $+\infty$ la ambele capete. Semnele: $+,+,-,+$ — două schimbări, deci două soluții, în $(0,3)$ și în $(3,+\infty )$. (Numeric: $\approx 1,6117934$ și $\approx 3,8207044$.)

5. $f^{\prime }(x)=3x^2+3>0$ pentru orice $x$, deci derivata nu se anulează și nu există puncte intermediare: tabelul conține doar coloanele limitelor, $-\infty$ și $+\infty$. O schimbare de semn, deci o soluție (și anume $x=1$).

6. Adevărat. O eventuală soluție $r$ din acea felie ar duce la contradicție în ambele variante posibile: dacă funcția își schimbă semnul în $r$, apare o a doua soluție în felie (contrar consecinței teoremei lui Rolle); dacă nu și-l schimbă, $r$ e punct de extrem interior, deci $f^{\prime }(r)=0$ prin teorema lui Fermat, contrar faptului că pragurile erau rădăcini consecutive ale derivatei.

7. Fals. Șirul lui Rolle separă soluțiile ecuației $f(x)=0$. Rădăcinile lui $f^{\prime }$ sunt doar instrumentul metodei: ele împart axa în felii; ele nu sunt răspunsul.

8. Pentru că semnul funcției „la capăt" trebuie cunoscut ca să poți compara. Într-un capăt nemărginit funcția nu are valoare, dar are limită, iar semnul limitei joacă exact același rol. O coloană lăsată goală face imposibilă numărarea schimbărilor de semn.

9. $f(x)=e^x-x-2$, $f^{\prime }(x)=e^x-1$, care se anulează doar pentru $x=0$; $f(0)=1-0-2=-1$. Limitele sunt $+\infty$ la ambele capete ($-x$ domină la $-\infty$, $e^x$ la $+\infty$). Semnele: $+,-,+$ — două schimbări, deci două soluții, în $(-\infty ,0)$ și în $(0,+\infty )$. (Numeric: $\approx -1,8414057$ și $\approx 1,1461932$.)

10. Tabelul e cel din secțiunea $5$: semnele $-,+,0,+$. O schimbare de semn dă o soluție în $(-\infty ,0)$, iar valoarea nulă arată că $x=2$ e soluție. Din $x^3-3x^2+4=(x+1)(x-2{)}^2$ se vede că soluțiile sunt $-1$ și $2$, iar $2$ este dublă.

11. $f(x)=x+\frac{1}{x}-3$ pe $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$; $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x^2}$, cu rădăcinile $-1$ și $1$, iar $f(-1)=-5$, $f(1)=-1$. Pe $(-\infty ,0)$: semnele $-,-,-$ — nicio soluție. Pe $(0,+\infty )$: $+,-,+$ — două soluții. Total două, și anume $\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$, adică $\approx 0,3819660$ și $\approx 2,6180340$.

12. Condiția $V(x)=40$ revine la ecuația $f(x)=0$ pentru $f(x)=x^3-12x-20$. Avem $f^{\prime }(x)=3x^2-12$, deci pragurile sunt $-2$ și $2$, cu $f(-2)=-8+24-20=-4$ și $f(2)=8-24-20=-36$; limitele sunt $-\infty$ și $+\infty$. Semnele: $-,-,-,+$ — o singură schimbare, deci o singură valoare a lui $x$, aflată în $(2,+\infty )$. Cum $f(4)=-4<0$ și $f(5)=45>0$, ea se află între $4$ și $5$. (Numeric: $\approx 4,1072432$.)

13. Este exemplul din secțiunea $7$, scris cu $m$ în membrul drept: o soluție pentru $m<-2$ și pentru $m>2$; două soluții distincte (una dublă) pentru $m=-2$ și pentru $m=2$; trei soluții pentru $m\in (-2,2)$.

14. $f(x)=x^4-4x-m$, $f^{\prime }(x)=4x^3-4$, deci un singur punct, $x_1=1$, cu $f(1)=-3-m$; limitele sunt $+\infty$ la ambele capete. Dacă $-3-m>0$, adică $m<-3$: semnele $+,+,+$ — nicio soluție. Dacă $m=-3$: semnele $+,0,+$ — o soluție (dublă), $x=1$. Dacă $m>-3$: semnele $+,-,+$ — două soluții.

15. $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$, deci derivata se anulează în $1$ și în $3$; $f(1)=2>0$ și $f(3)=-2<0$, iar limitele sunt $-\infty$ și $+\infty$. Semnele $-,+,-,+$ dau trei schimbări, deci ecuația are exact trei soluții reale, câte una în $(-\infty ,1)$, $(1,3)$ și $(3,+\infty )$.

16. Pentru că întregul argument „cel mult o soluție într-o felie" se bazează pe teorema lui Rolle, care cere derivabilitatea pe interiorul intervalului. Într-un punct de nederivabilitate funcția își poate schimba sensul fără ca derivata să se anuleze — colțul nu apare în lista rădăcinilor lui $f^{\prime }$ —, deci axa ar fi tăiată în felii greșite și numărătoarea ar ieși prea mică. Astfel de puncte trebuie adăugate ca praguri suplimentare în tabel.

17. Cele trei rădăcini ale lui $f^{\prime }$ împart axa în patru felii, iar în fiecare încape cel mult o soluție: numărul maxim este $4$. Pragurile nu adaugă nimic peste acest maxim, dimpotrivă: dacă funcția se anulează chiar într-un prag, atunci în cele două felii vecine nu mai există nicio soluție, deci totalul scade.

18. Din discuția de la exercițiul $13$, soluția dublă apare exact când una dintre valorile $f(-1)=2-m$ și $f(1)=-2-m$ este nulă. Pentru $m=-2$: ecuația devine $x^3-3x+2=0$, adică $(x-1{)}^2(x+2)=0$, cu soluțiile $x=1$ (dublă) și $x=-2$. Pentru $m=2$: ecuația devine $x^3-3x-2=0$, adică $(x+1{)}^2(x-2)=0$, cu soluțiile $x=-1$ (dublă) și $x=2$.

De reținut

• Șirul lui Rolle separă soluțiile ecuației $f(x)=0$: spune câte sunt și în ce intervale se află, fără a le calcula.
• Pragurile sunt rădăcinile derivatei. Ele împart domeniul în felii, iar în fiecare felie încape cel mult o soluție — consecință directă a teoremei lui Rolle.
• Tabelul are trei rânduri: $x$ (cu capetele și rădăcinile lui $f^{\prime }$), $f(x)$ (cu valori și limite la capete) și rândul semnelor.
• Citirea are trei reguli: semne contrare $\Rightarrow$ exact o soluție; valoare nulă $\Rightarrow$ punctul e soluție multiplă; semne egale $\Rightarrow$ nicio soluție.
• Pe reuniuni de intervale, fiecare interval își are tabelul lui, cu limitele proprii la capete; rezultatele se adună la sfârșit.

Greșeli frecvente

• Lași goale coloanele de la capete. Fără semnul limitei nu poți număra schimbările. La capăt nemărginit se scrie $-\infty$ sau $+\infty$; la capăt finit în care funcția nu e definită, se scrie limita laterală.
• Confunzi rădăcinile derivatei cu soluțiile ecuației. Punctele $x_1,\dots ,x_k$ sunt praguri, nu răspunsuri. Soluțiile stau între ele, cu excepția cazului în care o valoare din tabel este nulă.
• Spui „cel puțin o soluție" acolo unde metoda dă „exact una". Toată valoarea șirului lui Rolle stă în cuvântul „exact"; el vine din consecința teoremei lui Rolle, care limitează la una singură.
• Aplici metoda pe o reuniune de intervale ca și cum ar fi un singur interval. La $f(x)=x+\frac{1}{x}-3$, un tabel unic care trece peste $0$ dă un rezultat fals; punctul în care funcția nu e definită rupe domeniul în două.
• Uiți soluțiile multiple la discuția cu parametru. Valoarea nulă din tabel nu se raportează ca „o schimbare de semn", ci ca soluție care se află chiar în prag, și este întotdeauna multiplă.

Aplică acasă

1. Colecția de ecuații de gradul al treilea. Scrie cinci ecuații de forma $x^3+px+q=0$ cu numere alese la întâmplare, aplică pentru fiecare șirul lui Rolle și notează numărul de soluții. Compară rezultatele cu semnul expresiei $4p^3+27q^2$ și încearcă să descoperi regula care leagă cele două lucruri.

2. Ecuația cu buton. Ia ecuația $x^3-3x=m$ și, pe o singură foaie, desenează graficul lui $x^3-3x$ o dată. Trasează apoi dreptele orizontale $y=m$ pentru $m=-3,-2,0,2,3$ și numără de fiecare dată intersecțiile. Verifică faptul că numerele obținute coincid cu discuția din lecție.

3. Verificarea prin înjumătățire. Alege una dintre ecuațiile rezolvate în lecție, ia intervalul de separare al unei soluții și aplică metoda înjumătățirii de opt ori, notând într-un tabel mijlocul și semnul. Compară valoarea obținută cu cea dată în răspuns.

Pentru părinți și profesori

Lecția închide capitolul „câte soluții are o ecuație", început cu funcțiile continue. Diferența față de metoda anterioară este calitativă: acolo se obținea „cel puțin", aici se obține „exact". Elevul vede pentru prima dată cum o teoremă de existență (Rolle) se folosește „pe dos", ca teoremă de unicitate — un tipar de raționament care se repetă în toată matematica superioară.

Ce verifică lecția: (1) parcurgerea completă a celor cinci pași, în ordine; (2) calculul corect al limitelor la capetele domeniului — pasul cel mai des omis; (3) formatul tabelului, cu cele trei rânduri; (4) citirea corectă a celor trei situații, inclusiv a valorii nule ca soluție multiplă; (5) discuția după parametru, cu toate cazurile, inclusiv cele limită.

Întrebări bune de control: „De ce între două rădăcini consecutive ale derivatei nu pot fi două soluții?", „Ce înseamnă un $0$ în șirul lui Rolle?", „Ce faci dacă domeniul are un punct în care funcția nu e definită?". La BAC M1, cerința apare de obicei împărțită în trei subpuncte — calculul derivatei, valorile în punctele critice, concluzia despre numărul de soluții —, ceea ce înseamnă că un elev care știe metoda ia punctajul complet fără să calculeze nicio soluție. Semn că elevul a înțeles: completează limitele la capete înainte de a se uita la valorile din interior.

Întrebări frecvente

Ce este șirul lui Rolle? Este șirul semnelor obținut calculând valorile funcției în rădăcinile derivatei ei și limitele la capetele domeniului. Din numărul schimbărilor de semn se citește exact câte soluții are ecuația $f(x)=0$ și în ce intervale se află fiecare.

La ce folosește șirul lui Rolle? La separarea soluțiilor unei ecuații: spune câte soluții reale există și le localizează în intervale, fără a le calcula. Este singura metodă din programa clasei a XI-a care dă numărul exact de soluții, nu doar o margine inferioară.

Cum completez tabelul șirului lui Rolle? Pe primul rând treci capetele domeniului și rădăcinile derivatei, în ordine crescătoare; pe al doilea, valorile funcției în aceste puncte, iar la capete limitele; pe al treilea, semnul fiecărei valori, adică $+$, $-$ sau $0$.

Ce înseamnă un zero în șirul lui Rolle? Că funcția se anulează chiar în acel prag, deci punctul respectiv este soluție a ecuației. Cum acolo se anulează și derivata, soluția este multiplă, iar în cele două felii vecine nu mai există altă soluție.

De ce între două rădăcini consecutive ale derivatei nu pot fi două soluții? Pentru că, dacă ar fi două, teorema lui Rolle aplicată între ele ar produce încă o rădăcină a derivatei, aflată strict între cele două praguri — ceea ce contrazice faptul că acestea erau consecutive.

Ce fac dacă domeniul funcției nu este $\mathbb{R}$? Împarți domeniul în intervalele lui și aplici metoda pe fiecare separat, cu limitele proprii la capete. La final aduni numărul de soluții obținut pe fiecare interval.

Cum discut după un parametru numărul de soluții? Dacă parametrul apare ca termen liber, derivata nu depinde de el, deci pragurile rămân aceleași; se schimbă doar valorile funcției în ele. Împarți discuția după valorile parametrului care anulează aceste expresii și scrii, pentru fiecare caz, șirul de semne și concluzia.

Ce se întâmplă dacă derivata nu are nicio rădăcină? Atunci domeniul nu se împarte în felii, iar tabelul are doar coloanele capetelor. Ecuația are cel mult o soluție: exact una dacă semnele limitelor diferă, niciuna dacă sunt egale.