Convergență, divergență, subșiruri: pe scurt

Un șir este convergent dacă are limită finită, și divergent dacă nu este convergent. Atenție la capcană: „divergent” nu înseamnă „fără limită”. Un șir cu limita $+\infty$ are limită în $\overline{\mathbb{R}}$ și este totuși divergent; abia $\left((-1{)}^n\right)$ este divergent fără limită.

Unicitatea limitei: un șir are cel mult o limită în $\overline{\mathbb{R}}$ — se demonstrează alegând, pentru două limite presupuse distincte, două vecinătăți disjuncte. De aceea se scrie „limita șirului”, cu semnul egal.

Un număr finit de termeni nu contează: adăugarea, eliminarea sau modificarea lor lasă limita neschimbată, fiindcă definiția privește doar rangurile mari.

Un subșir $\left(a_{n_k}\right)$ se obține alegând indici strict crescători $n_1<n_2<\dots$; întotdeauna $n_k\ge k$. Orice subșir moștenește limita șirului. De aici criteriul de lucru: două subșiruri cu limite diferite $\Rightarrow$ șirul nu are limită — rețeta pentru orice termen general cu $(-1{)}^n$: separi rangurile pare de cele impare și compari. În fine, orice șir convergent este mărginit, dar reciproca este falsă; forma utilă este contrapoziția: un șir nemărginit nu poate fi convergent.

Exerciții din această mini-lecție

1. Care dintre următoarele șiruri este divergent, dar are limită?

   • a) $a_n=\frac{2n+1}{n}$
   • b) $a_n=(-1{)}^n$
   • c) $a_n=4-3n$
   • d) $a_n=\frac{(-1{)}^n}{n}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $a_n=4-3n$

   Pentru orice prag $M$, inecuația $4-3n<M$ are loc de la un rang încolo, deci $\underset{n\to \infty }{\lim }(4-3n)=-\infty$: limita există în $\overline{\mathbb{R}}$, dar nu este finită, deci șirul este divergent. Primul și ultimul șir sunt convergente (limitele $2$ și $0$), iar $\left((-1{)}^n\right)$ este divergent fără limită.

2. Fie $a_n=(-1{)}^n\cdot \frac{3n-1}{n}$. Limitele subșirului de rang par și ale celui de rang impar sunt, în această ordine:

   • a) $1$ și $-1$
   • b) $3$ și $3$
   • c) $-3$ și $3$
   • d) $3$ și $-3$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $3$ și $-3$

   Rescriem $\frac{3n-1}{n}=3-\frac{1}{n}$. Pentru $n=2k$ semnul este $+$, deci $a_{2k}=3-\frac{1}{2k}$ și $|a_{2k}-3|=\frac{1}{2k}$, care coboară sub orice $\epsilon$: subșirul par tinde la $3$. Pentru $n=2k+1$ semnul este $-$, iar $|a_{2k+1}+3|=\frac{1}{2k+1}$, deci subșirul impar tinde la $-3$. Limitele diferind, șirul nu are limită.

3. Care dintre următoarele afirmații este adevărată?

   • a) orice șir convergent este mărginit
   • b) orice șir mărginit este convergent
   • c) orice șir nemărginit are limita $+\infty$
   • d) orice șir divergent nu are limită
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) orice șir convergent este mărginit

   Aplicând definiția cu $\epsilon =1$ și adăugând cei $N-1$ termeni de la început, se obține o margine pentru tot șirul. Reciproca este falsă: $\left((-1{)}^n\right)$ este mărginit și nu are limită. Nici c) nu ține — șirul $0,2,0,4,0,6,\dots$ este nemărginit și nu are limită — iar d) confundă „divergent” cu „fără limită”.