Șiruri convergente și șiruri divergente. Unicitatea limitei și subșiruri

Un termometru pus într-o cameră arată valori care, după un sfert de oră, se stabilizează în jurul lui $21$ de grade. Un contor de kilometri arată valori care cresc la nesfârșit, fără să se oprească vreodată. Un senzor defect arată alternativ $0$ și $100$, la nesfârșit. Toate trei produc șiruri de numere, dar comportările lor sunt fundamental diferite — iar acum avem, în sfârșit, instrumentul care le separă riguros: definiția limitei.

Lecția face trei lucruri. Întâi așază toate șirurile din lume în două clase, convergente și divergente, cu grijă la o capcană de limbaj care produce greșeli la examen. Apoi demonstrează două proprietăți pe care le vei folosi fără să le mai enunți: limita, dacă există, este unică, iar un număr finit de termeni nu o poate schimba. În fine, introduce subșirurile, care îți dau prima metodă generală de a arăta că un șir nu are limită.

Ce vei învăța

• Vei ști să numești corect un șir convergent (are limită finită) și un șir divergent (nu este convergent), inclusiv cazul divergent cu limită infinită.
• Vei ști să demonstrezi unicitatea limitei cu ajutorul vecinătăților disjuncte și să explici de ce notația cu semnul egal este legitimă.
• Vei ști că adăugarea, eliminarea sau modificarea unui număr finit de termeni nu schimbă limita unui șir, și să folosești asta în calcule.
• Vei ști ce este un subșir, cum se scrie și de ce indicii verifică $n_k\ge k$.
• Vei ști teorema fundamentală: orice subșir al unui șir cu limită are aceeași limită — și consecința ei practică, criteriul cu două subșiruri.
• Vei ști să demonstrezi că orice șir convergent este mărginit și de ce reciproca este falsă.

Hai să descoperim împreună

1. Convergent, divergent — și capcana de limbaj

Definiția limitei, dată în lecția Limita unui șir: de la intuiție la definiția cu vecinătăți, acceptă valori din $\overline{\mathbb{R}}$, deci și $\pm \infty$. Clasificarea se face însă după un criteriu mai strict.

Definiție. Un șir $(a_n)$ se numește convergent dacă are limită finită, adică dacă există $\ell \in \mathbb{R}$ cu $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\ell$. Spunem atunci că șirul converge către $\ell$ și scriem $a_n\to \ell$. Un șir care nu este convergent se numește divergent.

Așadar, în clasa șirurilor divergente intră două feluri de șiruri, foarte diferite între ele:

⚠️ Capcana. „Divergent" nu înseamnă „fără limită". Un șir cu limita $+\infty$ are limită — în $\overline{\mathbb{R}}$ — și totuși este divergent, pentru că limita lui nu este un număr real. Într-un barem, propozițiile „șirul este divergent", „șirul are limita $+\infty$" și „șirul nu are limită" sunt trei afirmații distincte; primele două pot fi adevărate simultan, a treia nu se scrie decât atunci când chiar nu există niciun element din $\overline{\mathbb{R}}$ care să verifice definiția.

2. Unicitatea limitei

Am scris până acum $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\ell$, cu semnul egal, ca și cum ar fi vorba despre un singur obiect. Faptul că avem dreptul să facem asta trebuie demonstrat.

Teoremă (unicitatea limitei). Un șir de numere reale are cel mult o limită în $\overline{\mathbb{R}}$.

Demonstrație. Presupunem prin absurd că $\lim a_n={\ell }_1$ și $\lim a_n={\ell }_2$, cu ${\ell }_1\ne {\ell }_2$. Ideea este să găsim două vecinătăți disjuncte, câte una pentru fiecare.

Cazul ${\ell }_1,{\ell }_2\in \mathbb{R}$. Luăm $\epsilon =\frac{|{\ell }_1-{\ell }_2|}{2}>0$ și vecinătățile $V_1=({\ell }_1-\epsilon ,{\ell }_1+\epsilon )$, $V_2=({\ell }_2-\epsilon ,{\ell }_2+\epsilon )$. Ele sunt disjuncte: un punct comun ar fi la distanță mai mică decât $\epsilon$ de fiecare, deci $|{\ell }_1-{\ell }_2|<2\epsilon =|{\ell }_1-{\ell }_2|$, absurd.

Cazul ${\ell }_1\in \mathbb{R}$, ${\ell }_2=+\infty$. Luăm $V_1=({\ell }_1-1,{\ell }_1+1)$ și $V_2=({\ell }_1+1,+\infty ]$, care sunt disjuncte. (Analog pentru $-\infty$.)

Cazul ${\ell }_1=-\infty$, ${\ell }_2=+\infty$. Luăm $V_1=[-\infty ,0)$ și $V_2=(0,+\infty ]$.

În toate cazurile, din definiție există $N_1$ cu $a_n\in V_1$ pentru $n\ge N_1$ și $N_2$ cu $a_n\in V_2$ pentru $n\ge N_2$. Pentru $n\ge \max \{N_1,N_2\}$ am avea $a_n\in V_1\cap V_2=\varnothing$ — imposibil. $■$

Ce am folosit, de fapt, este că oricare două puncte distincte din $\overline{\mathbb{R}}$ au vecinătăți disjuncte. De aici încolo putem spune „limita șirului", cu articol hotărât, și putem scrie semnul egal fără scrupule.

3. Un număr finit de termeni nu schimbă nimic

Teoremă. Fie $(a_n)$ un șir și $(b_n)$ un șir obținut din el prin modificarea, adăugarea sau eliminarea unui număr finit de termeni. Atunci cele două șiruri au exact aceeași comportare: dacă unul are limita $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$, celălalt are aceeași limită; dacă unul nu are limită, nici celălalt nu are.

Justificare. Presupunem că modificările privesc numai rangurile până la un $p$ fixat, deci $b_n=a_n$ pentru orice $n>p$. Fie $V$ o vecinătate a lui $\ell$ și $N$ rangul dat de definiție pentru $(a_n)$. Atunci rangul $N^{\prime }=\max \{N,p+1\}$ funcționează pentru $(b_n)$: pentru $n\ge N^{\prime }$ avem $b_n=a_n\in V$. Raționamentul se citește la fel și invers. $■$

Motivul de fond este că definiția limitei vorbește numai despre ce se întâmplă „de la un rang încolo". Începutul unui șir este, pentru limită, invizibil.

Exemplu. Fie $b_n=7$ pentru $n\le 1000$ și $b_n=\frac{1}{n}$ pentru $n>1000$. Deși primii o mie de termeni sunt egali cu $7$, limita este $0$: pentru $\epsilon =0,001$ funcționează rangul $N=1001$, iar pentru $\epsilon =0,0001$, rangul $N=10001$.

Atenție la cuvântul „finit". Dacă modifici o infinitate de termeni, totul se poate schimba: pornind de la șirul constant $1$ (convergent) și schimbând toți termenii de rang impar în $-1$, obții $\left((-1{)}^n\right)$, care nici măcar nu are limită.

Consecința practică cea mai des folosită: un șir poate fi definit doar de la un rang încolo (de pildă $a_n=\frac{1}{n-3}$ pentru $n\ge 4$) fără ca discuția despre limită să fie afectată.

4. Subșiruri

Definiție. Fie $(a_n{)}_{n\ge 1}$ un șir și $(n_k{)}_{k\ge 1}$ un șir strict crescător de numere naturale nenule: $n_1<n_2<n_3<\dots$. Șirul ${\left(a_{n_k}\right)}_{k\ge 1}$ se numește subșir al șirului $(a_n)$.

Cu alte cuvinte, alegi o infinitate de ranguri, în ordine strict crescătoare, și păstrezi doar termenii corespunzători. Cele mai folosite alegeri:

Lemă. Pentru orice șir strict crescător de indici avem $n_k\ge k$, oricare ar fi $k\ge 1$.

Demonstrație (inducție). $n_1\ge 1$, fiind număr natural nenul. Dacă $n_k\ge k$, atunci $n_{k+1}>n_k\ge k$, iar indicii fiind numere întregi rezultă $n_{k+1}\ge k+1$. $■$

Lema pare modestă, dar este exact piesa de care avem nevoie în teorema următoare: ea spune că, mergând în subșir, avansezi în șirul inițial cel puțin la fel de repede.

5. Teorema subșirurilor

Teoremă. Dacă $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\ell \in \overline{\mathbb{R}}$, atunci orice subșir $\left(a_{n_k}\right)$ are aceeași limită $\ell$.

Demonstrație. Fie $V$ o vecinătate oarecare a lui $\ell$. Din definiția limitei există $N$ astfel încât $a_n\in V$ pentru orice $n\ge N$. Fie acum $k\ge N$. Din lemă, $n_k\ge k\ge N$, deci $a_{n_k}\in V$. Am arătat că același rang $N$ funcționează și pentru subșir, deci $\underset{k\to \infty }{\lim }{a}_{n_k}=\ell$. $■$

Enunțul se reține ușor într-o propoziție: subșirurile moștenesc limita. Atenție la sensul implicației — teorema nu spune nimic despre șiruri fără limită; ea garantează doar că, dacă șirul are limită, nu poți găsi un subșir „rebel".

6. Consecința practică: criteriul cu două subșiruri

Consecință (criteriu de inexistență a limitei). Dacă un șir are două subșiruri cu limite diferite, atunci șirul nu are limită.

Justificarea este imediată prin reducere la absurd: dacă șirul ar avea limita $\ell$, ambele subșiruri ar avea limita $\ell$, iar unicitatea limitei (secțiunea 2) ar impune ca cele două valori să coincidă.

Aplicația clasică. Pentru $a_n=(-1{)}^n$, subșirul de rang par este constant $1$, deci are limita $1$; cel de rang impar este constant $-1$, deci are limita $-1$. Cum $1\ne -1$, șirul nu are limită — de data aceasta fără niciun raționament ad-hoc despre lungimea intervalelor.

Rețeta, în trei pași. Ori de câte ori termenul general conține factorul $(-1{)}^n$, procedezi mecanic: (1) înlocuiești $n$ cu $2k$ și obții subșirul de rang par, unde $(-1{)}^n=1$; (2) înlocuiești $n$ cu $2k+1$ și obții subșirul de rang impar, unde $(-1{)}^n=-1$; (3) calculezi cele două limite, din definiție, și le compari. Dacă diferă, ai terminat. Rețeta este aplicată integral, pe un șir cu termeni fracționari, în Exemplul 2 de mai jos.

Criteriul funcționează într-un singur sens. Din faptul că un subșir are limită nu rezultă nimic despre șir: $\left((-1{)}^n\right)$ are subșiruri convergente (chiar constante) și totuși nu are limită. Reciproca utilă este alta, și se demonstrează la fel de ușor: dacă subșirul de rang par și cel de rang impar au aceeași limită $\ell$, atunci întreg șirul are limita $\ell$ — pentru că cele două subșiruri epuizează, împreună, toate rangurile.

7. Orice șir convergent este mărginit

Teoremă. Dacă $(a_n)$ este convergent, atunci $(a_n)$ este mărginit.

Demonstrație. Fie $\ell \in \mathbb{R}$ limita șirului. Aplicăm definiția pentru valoarea particulară $\epsilon =1$: există $N$ astfel încât $|a_n-\ell |<1$ pentru orice $n\ge N$. De aici, folosind inegalitatea triunghiului, $$|a_n|=|(a_n-\ell )+\ell |\le |a_n-\ell |+|\ell |<1+|\ell |\text{pentru orice }n\ge N.$$ Rămân în afara acestei estimări doar termenii $a_1,\dots ,a_{N-1}$ — un număr finit, deci având un cel mai mare modul. Luând $$M=\max \left\{|a_1|,|a_2|,\dots ,|a_{N-1}|,1+|\ell |\right\},$$ obținem $|a_n|\le M$ pentru orice $n$, deci șirul este mărginit în sensul din lecția Mărginirea unui șir. $■$

Reciproca este falsă: $\left((-1{)}^n\right)$ este mărginit și nu este convergent. Mărginirea singură nu ajunge; ce trebuie adăugat aflăm la lecția Teorema lui Weierstrass: monotonie, mărginire, convergență.

Forma cu adevărat utilă a teoremei este contrapoziția ei: un șir nemărginit nu poate fi convergent. Ea îți dă, dintr-o singură privire, concluzii de tipul „șirul $n^2+1$ nu este convergent", fără niciun calcul de limită.

⚠️ Nu confunda „nemărginit" cu „are limită infinită". Șirul $a_n=\frac{n\left(1+(-1{)}^n\right)}{2}$, cu termenii $0,2,0,4,0,6,0,8,\dots$, este nemărginit superior, dar nu are limita $+\infty$: subșirul de rang impar este constant $0$, iar cel de rang par tinde la $+\infty$, deci — prin criteriul din secțiunea 6 — șirul nu are limită deloc.

8. Harta comportărilor

Punând totul cap la cap, orice șir de numere reale se află în exact una dintre situațiile:

• convergent — are limită finită; în particular, este mărginit;
• divergent cu limită infinită — limita este $+\infty$ sau $-\infty$; un asemenea șir este nemărginit;
• divergent fără limită — poate fi mărginit (ca $\left((-1{)}^n\right)$) sau nemărginit (ca $0,2,0,4,\dots$).

Ce urmează: la lecția Limitele șirurilor cu termenul general de tip putere și de tip progresie geometrică vei primi primele familii de limite gata calculate, iar la Operații cu șiruri convergente vei putea, în sfârșit, să calculezi limite fără să te mai întorci de fiecare dată la definiție. Până atunci, singurele unelte sunt definiția, unicitatea, subșirurile și mărginirea — și e bine să fie așa: baremele cer, la subiectele teoretice, exact aceste justificări.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Clasificare

Precizați, pentru fiecare șir, dacă este convergent sau divergent și dacă are limită: $a_n=\frac{2n+3}{n+1}$; $b_n=4n$; $c_n=(-1{)}^n\cdot 5$; $d_n=-6$; $e_n=8-5n$.

Rezolvare. $a_n=2+\frac{1}{n+1}\to 2$: convergent, limita $2$.

$b_n=4n\to +\infty$ (pentru orice $M$, $4n>M$ de la $n>\frac{M}{4}$): divergent, dar are limită.

$c_n$ ia alternativ valorile $-5$ și $5$: subșirul par are limita $5$, cel impar $-5$, deci divergent, fără limită.

$d_n=-6$ constant: convergent, limita $-6$.

$e_n=8-5n\to -\infty$: divergent, dar are limită.

Exemplul 2 — Inexistența limitei prin subșiruri

Arătați că șirul $a_n=(-1{)}^n\cdot \frac{2n+1}{n}$ nu are limită.

Rezolvare. Primii termeni sunt $-3$; $\frac{5}{2}$; $-\frac{7}{3}$; $\frac{9}{4}$ — semnul alternează, iar modulul scade spre $2$.

Subșirul de rang par: $a_{2k}=\frac{4k+1}{2k}=2+\frac{1}{2k}$, deci $|a_{2k}-2|=\frac{1}{2k}$, care este mai mic decât orice $\epsilon >0$ pentru $k>\frac{1}{2\epsilon }$. Așadar $a_{2k}\to 2$.

Subșirul de rang impar: $a_{2k+1}=-\frac{4k+3}{2k+1}$, iar $|a_{2k+1}+2|=\frac{|-4k-3+4k+2|}{2k+1}=\frac{1}{2k+1}$, deci $a_{2k+1}\to -2$.

Cum $2\ne -2$, criteriul cu două subșiruri arată că $(a_n)$ nu are limită. Este, deci, divergent.

Exemplul 3 — Modificarea unui număr finit de termeni

Fie $b_n=12$ pentru $n\le 100$ și $b_n=\frac{1}{n}$ pentru $n\ge 101$. Determinați limita șirului $(b_n)$.

Rezolvare. Șirul $(b_n)$ se obține din $a_n=\frac{1}{n}$ prin modificarea primilor $100$ de termeni — un număr finit. Conform teoremei din secțiunea 3, limita nu se schimbă: $\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=0$.

Verificare directă. Fie $\epsilon >0$. Pentru $n\ge \max \left\{101,\lfloor \frac{1}{\epsilon }\rfloor +1\right\}$ avem $|b_n|=\frac{1}{n}<\epsilon$. De pildă, pentru $\epsilon =0,001$ funcționează $N=1001$. ✓

Exemplul 4 — Folosirea contrapoziției

Arătați că șirul $a_n=n^2+1$ nu este convergent.

Rezolvare. Șirul nu este mărginit superior: pentru orice $M>0$, luând $n>\sqrt{M}$ obținem $a_n>M$ (de exemplu $a_{1000}=1000001$). Un șir nemărginit nu poate fi convergent, conform contrapoziției teoremei din secțiunea 7. Deci $(a_n)$ este divergent.

Mai mult, aici putem spune și ce limită are: pentru orice $M$, inegalitatea $n^2+1>M$ are loc de la un rang încolo, deci $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(n^2+1\right)=+\infty$. Este un șir divergent cu limită.

Exemplul 5 — Nemărginit, dar fără limită infinită

Studiați șirul $a_n=\frac{n\left(1+(-1{)}^n\right)}{2}$.

Rezolvare. Calculăm primii termeni: $0,2,0,4,0,6,0,8,\dots$ Pentru $n$ impar, $1+(-1{)}^n=0$, deci $a_n=0$; pentru $n$ par, $1+(-1{)}^n=2$, deci $a_n=n$.

Mărginire: șirul nu este mărginit superior, pentru că $a_{2k}=2k$ depășește orice prag. Deci nu este convergent.

Limită: subșirul de rang impar este constant $0$, deci are limita $0$; subșirul de rang par este $a_{2k}=2k$, care are limita $+\infty$. Limitele fiind diferite, șirul nu are limită.

Concluzia de reținut: nemărginirea exclude convergența, dar nu garantează limita infinită.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră șirul $a_n=(-1{)}^n\cdot \frac{3n+1}{n}$, $n\ge 1$. a) Calculați $a_1$, $a_2$ și $a_3$. b) Scrieți subșirul termenilor de rang par și subșirul termenilor de rang impar și determinați limitele lor. c) Arătați că șirul $(a_n)$ este divergent.

Rezolvare.

a) $a_1=-4$, $a_2=\frac{7}{2}$, $a_3=-\frac{10}{3}$.

b) Pentru rang par, $n=2k$: $a_{2k}=\frac{6k+1}{2k}=3+\frac{1}{2k}$, deci $|a_{2k}-3|=\frac{1}{2k}<\epsilon$ pentru $k>\frac{1}{2\epsilon }$; prin urmare $a_{2k}\to 3$.

Pentru rang impar, $n=2k+1$: $a_{2k+1}=-\frac{6k+4}{2k+1}$, iar $|a_{2k+1}+3|=\frac{|-6k-4+6k+3|}{2k+1}=\frac{1}{2k+1}$, deci $a_{2k+1}\to -3$.

c) Cele două subșiruri au limite diferite ($3$ și $-3$), deci șirul nu are limită; în particular nu are limită finită, adică este divergent. Verificare: $a_4=\frac{13}{4}=3,25$ și $a_5=-\frac{16}{5}=-3,2$ — valorile se apropie de $3$, respectiv de $-3$. ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. Când ceri „arătați că șirul nu are limită", scrie explicit cele două subșiruri și limitele lor — acesta este pasul punctat în baremele de la Bacalaureat M1.

1. Clasifică fiecare șir ca fiind convergent sau divergent și precizează dacă are limită: $\frac{1}{n}$; $3n$; $(-1{)}^n$; $a_n=4$; $7-2n$.

2. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice șir divergent nu are limită."

3. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice șir mărginit este convergent."

4. Arată că șirul $a_n=n^2+1$ nu este convergent, folosind legătura dintre convergență și mărginire.

5. Scrie subșirul termenilor de rang par și pe cel de rang impar pentru $a_n=(-1{)}^n\cdot 3$ și precizează limitele lor.

6. Arată că șirul $a_n=(-1{)}^n\cdot \frac{4n-1}{2n}$ nu are limită.

7. Se știe că $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=5$. Care este limita subșirului $\left(a_{3n}\right)$? Justifică.

8. Fie $b_n$ șirul obținut din $a_n=\frac{1}{n}$ înlocuind primii $100$ de termeni cu valoarea $12$. Ce limită are $(b_n)$ și de ce?

9. Scrie primii patru termeni ai subșirului de indici $n_k=k^2$ extras din șirul $a_n=\frac{1}{n}$.

10. Demonstrează unicitatea limitei în cazul particular ${\ell }_1\in \mathbb{R}$ și ${\ell }_2=+\infty$, precizând cele două vecinătăți disjuncte alese.

11. Arată că un șir cu limita $+\infty$ este mărginit inferior. (Indicație: aplică definiția pentru $M=0$ și tratează separat primii termeni.)

12. (Problemă aplicată.) Un senzor înregistrează temperatura din $10$ în $10$ minute, obținând șirul $(t_n)$. Valorile din oră în oră formează subșirul $\left(t_{6k}\right)$. Dacă se știe că $t_n\to 21$, ce se poate spune despre subșirul orar? Dar dacă subșirul orar tinde la $21$, rezultă că $t_n\to 21$?

13. Fie $(a_n)$ convergent, cu limita $\ell$, și presupunem că un subșir al său este constant, egal cu $c$. Arată că $\ell =c$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră șirul $a_n=(-1{)}^n\cdot \frac{n+2}{n+1}$. a) Calculați $a_1$, $a_2$, $a_3$. b) Determinați limitele subșirurilor de rang par și de rang impar. c) Arătați că șirul este divergent.

15. Arată că șirul $\left((-1{)}^n\right)$ are subșiruri convergente, deși el însuși nu este convergent. Ce concluzie tragi despre reciproca teoremei subșirurilor?

16. Demonstrează: dacă subșirul termenilor de rang par și cel de rang impar au aceeași limită $\ell$, atunci întregul șir are limita $\ell$.

17. Poate un șir nemărginit să fie convergent? Justifică pe baza unei teoreme din lecție și dă un exemplu de șir nemărginit care are limită.

18. (Provocare.) Arată că șirul $a_n=(-1{)}^n+\frac{1}{n}$ nu are limită, dar are două subșiruri convergente, cu limitele $1$ și $-1$.

Răspunsuri și explicații

1. $\frac{1}{n}\to 0$: convergent, are limită. $3n\to +\infty$: divergent, are limită. $(-1{)}^n$: divergent, nu are limită. $a_n=4$: convergent, limita $4$. $7-2n\to -\infty$: divergent, are limită.

2. Fals. Divergent înseamnă „fără limită finită". Șirul $3n-5$ are limita $+\infty$, deci are limită, și totuși este divergent. Confuzia dintre cele două noțiuni este cea mai frecventă greșeală de vocabular din acest capitol.

3. Fals. Contraexemplul standard este $\left((-1{)}^n\right)$: mărginit ($|a_n|=1$), dar fără limită. Implicația merge doar într-un sens: convergent $\Rightarrow$ mărginit.

4. Șirul nu este mărginit superior: pentru orice $M$, luând $n>\sqrt{M}$ obținem $n^2+1>M$. Cum orice șir convergent este mărginit, contrapoziția dă: un șir nemărginit nu este convergent. Deci $(a_n)$ este divergent (având, în plus, limita $+\infty$).

5. Subșirul de rang par este constant $3$ (limita $3$), iar cel de rang impar este constant $-3$ (limita $-3$). Fiind diferite, șirul nu are limită.

6. Primii termeni sunt $-\frac{3}{2}$; $\frac{7}{4}$; $-\frac{11}{6}$. Subșirul de rang par: $a_{2k}=\frac{8k-1}{4k}=2-\frac{1}{4k}$, deci $|a_{2k}-2|=\frac{1}{4k}$, care devine mai mic decât orice $\epsilon >0$ pentru $k>\frac{1}{4\epsilon }$; așadar $a_{2k}\to 2$. Subșirul de rang impar: $a_{2k+1}=-\frac{8k+3}{4k+2}$, cu $|a_{2k+1}+2|=\frac{1}{4k+2}$, deci $a_{2k+1}\to -2$. Limitele diferă, deci șirul nu are limită.

7. Limita este tot $5$. Indicii $n_k=3k$ formează un șir strict crescător de numere naturale nenule, deci $\left(a_{3n}\right)$ este subșir; conform teoremei subșirurilor, moștenește limita șirului inițial.

8. Limita este $0$: modificarea a privit doar un număr finit de termeni ($100$), iar definiția limitei nu depinde de niciun segment inițial. Concret, pentru $\epsilon$ dat funcționează rangul $N=\max \left\{101,\lfloor \frac{1}{\epsilon }\rfloor +1\right\}$.

9. Indicii sunt $1,4,9,16$, deci termenii sunt $1$; $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{9}$; $\frac{1}{16}$.

10. Alegem $V_1=({\ell }_1-1,{\ell }_1+1)$, vecinătate a lui ${\ell }_1$, și $V_2=({\ell }_1+1,+\infty ]$, vecinătate a lui $+\infty$. Ele sunt disjuncte, pentru că orice element din $V_1$ este strict mai mic decât ${\ell }_1+1$. Dacă amândouă ar fi limite, ar exista $N_1$ și $N_2$; pentru $n\ge \max \{N_1,N_2\}$ am avea $a_n$ simultan în două mulțimi disjuncte — contradicție.

11. Aplicăm definiția pentru $M=0$: există $N$ cu $a_n>0$ pentru orice $n\ge N$. Termenii rămași, $a_1,\dots ,a_{N-1}$, sunt în număr finit, deci au un cel mai mic element $m_0$. Atunci $m=\min \{m_0,0\}$ minorează tot șirul.

12. Subșirul orar are tot limita $21$, prin teorema subșirurilor. Reciproca nu este adevărată: din faptul că subșirul orar tinde la $21$ nu rezultă nimic despre celelalte măsurători — senzorul ar putea, între ore, să oscileze oricât. Ca să tragi concluzia despre tot șirul, ai avea nevoie de informații despre toate rangurile.

13. Subșirul constant are limita $c$ (orice vecinătate a lui $c$ îl conține pe $c$). Pe de altă parte, fiind subșir al unui șir cu limita $\ell$, are limita $\ell$. Din unicitatea limitei, $\ell =c$.

14. a) $a_1=-\frac{3}{2}$, $a_2=\frac{4}{3}$, $a_3=-\frac{5}{4}$. b) Pentru rang par, $a_{2k}=\frac{2k+2}{2k+1}$, iar $|a_{2k}-1|=\frac{1}{2k+1}$, deci $a_{2k}\to 1$. Pentru rang impar, $a_{2k+1}=-\frac{2k+3}{2k+2}$, iar $|a_{2k+1}+1|=\frac{1}{2k+2}$, deci $a_{2k+1}\to -1$. c) Cele două subșiruri au limite diferite ($1$ și $-1$), deci șirul nu are limită; nefiind cu limită finită, este divergent.

15. Subșirul de rang par este constant $1$, deci convergent cu limita $1$; cel de rang impar este constant $-1$, deci convergent cu limita $-1$. Concluzia: reciproca teoremei subșirurilor este falsă — existența unui subșir convergent nu spune nimic despre șirul întreg. Doar coincidența limitelor tuturor subșirurilor (în particular, ale celor de rang par și impar) ar da concluzia.

16. Fie $V$ o vecinătate a lui $\ell$. Din $a_{2k}\to \ell$ există $K_1$ cu $a_{2k}\in V$ pentru $k\ge K_1$; din $a_{2k+1}\to \ell$ există $K_2$ cu $a_{2k+1}\in V$ pentru $k\ge K_2$. Luăm $N=\max \{2K_1,2K_2+1\}$. Orice $n\ge N$ este par sau impar, iar în ambele cazuri indicele corespunzător este destul de mare, deci $a_n\in V$. Prin urmare $\lim a_n=\ell$.

17. Nu poate: orice șir convergent este mărginit, deci un șir nemărginit este automat neconvergent. Poate însă avea limită, dacă limita este infinită: de exemplu $a_n=3n-5$ este nemărginit și are limita $+\infty$.

18. $a_{2k}=1+\frac{1}{2k}$, deci $|a_{2k}-1|=\frac{1}{2k}$ și $a_{2k}\to 1$; $a_{2k+1}=-1+\frac{1}{2k+1}$, deci $|a_{2k+1}+1|=\frac{1}{2k+1}$ și $a_{2k+1}\to -1$. Ambele subșiruri sunt convergente, dar limitele lor diferă, deci șirul nu are limită. Primii termeni: $a_1=0$, $a_2=\frac{3}{2}$, $a_3=-\frac{2}{3}$.

De reținut

• Convergent = are limită finită. Divergent = nu este convergent — fie are limită infinită, fie nu are limită deloc. „Divergent" și „fără limită" nu sunt sinonime.
• Unicitatea limitei: un șir are cel mult o limită în $\overline{\mathbb{R}}$; demonstrația se face cu două vecinătăți disjuncte. De aceea se scrie „limita șirului" și se folosește semnul egal.
• Un număr finit de termeni nu contează: adăugarea, eliminarea sau modificarea lor lasă limita neschimbată, pentru că definiția privește doar rangurile mari.
• Subșir: $\left(a_{n_k}\right)$ cu $(n_k)$ strict crescător de numere naturale nenule; întotdeauna $n_k\ge k$. Orice subșir moștenește limita șirului.
• Criteriul de divergență: două subșiruri cu limite diferite $\Rightarrow$ șirul nu are limită. Și: orice șir convergent este mărginit, dar reciproca este falsă.

Greșeli frecvente

• Spui „divergent, deci nu are limită". Șirul $4n$ este divergent și are limita $+\infty$. Verifică întotdeauna care dintre cele două situații de divergență este de fapt cea din problemă.
• Crezi că un șir mărginit este convergent. $\left((-1{)}^n\right)$ este contraexemplul de reținut. Implicația merge numai dinspre convergență spre mărginire.
• Crezi că nemărginit înseamnă limita $\pm \infty$. Șirul $0,2,0,4,0,6,\dots$ este nemărginit și nu are nicio limită, pentru că subșirul de rang impar este constant $0$.
• Iei un „subșir" cu indici care nu cresc strict. Șirul $a_1,a_1,a_2,a_2,\dots$ nu este subșir: indicii trebuie să fie strict crescători, altfel lema $n_k\ge k$ și teorema subșirurilor nu mai funcționează.
• Tragi concluzii dintr-un singur subșir convergent. Din $a_{2k}\to 3$ nu rezultă $a_n\to 3$; ai nevoie și de subșirul de rang impar. Un singur subșir „cuminte" nu garantează nimic despre restul.

Aplică acasă

1. Trierea măsurătorilor. Notează timp de zece zile trei mărimi din jurul tău: temperatura la aceeași oră, numărul total de pași făcuți de la începutul lunii și ora la care te trezești. Spune, pentru fiecare, în ce categorie ai pune șirul corespunzător dacă l-ai continua la nesfârșit — convergent, divergent cu limită sau divergent fără limită — și argumentează.

2. Fabrica de contraexemple. Construiește câte un șir pentru fiecare dintre cele trei categorii din harta secțiunii 8, apoi cere-i cuiva să le clasifice fără să vadă răspunsul tău. Cel mai instructiv este să construiești un șir nemărginit care nu are limită — regula e simplă: alternează un subșir care crește cu unul care stă pe loc.

3. Subșirul din calendar. Dintr-un șir de măsurători zilnice, subșirul valorilor de luni are indicii $n_k=7k-6$. Verifică pe hârtie că acest șir de indici este strict crescător și că $n_k\ge k$, apoi explică de ce, dacă șirul zilnic tinde la o valoare, subșirul de luni tinde la aceeași valoare.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă definiția limitei în instrumente de lucru. Cele două proprietăți cerute explicit de programă — unicitatea limitei și invarianța la modificarea unui număr finit de termeni — sunt prezentate cu demonstrație, pentru că ambele sunt scurte și pentru că mecanismul lor (vecinătăți disjuncte, respectiv „de la un rang încolo") se reia identic la limite de funcții.

Ce verifică lecția: (1) folosirea corectă a perechii convergent/divergent, cu accent pe faptul că un șir cu limită infinită este divergent; (2) demonstrația unicității; (3) definiția subșirului, cu condiția de creștere strictă a indicilor; (4) aplicarea criteriului cu două subșiruri pentru a arăta că un șir nu are limită; (5) implicația convergent $\Rightarrow$ mărginit și falsitatea reciprocei. Întrebări bune de control: „Dă un șir divergent care are limită", „De ce nu se poate ca un șir să aibă două limite?", „Ce se schimbă dacă modific primii o mie de termeni?".

La BAC M1, criteriul cu două subșiruri este metoda standard pentru șirurile cu $(-1{)}^n$, iar formularea „arătați că șirul este divergent" apare frecvent în subiectul al doilea. Baremele cer, de regulă, calculul explicit al celor două subșiruri și afirmația finală despre limite diferite. Semne că elevul a înțeles: nu mai spune „divergent" ca sinonim pentru „fără limită" și, în fața unui șir cu semn alternant, separă automat rangurile pare de cele impare.

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre convergent și divergent? Un șir este convergent dacă are limită finită, adică un număr real. Este divergent dacă nu este convergent, iar asta acoperă două situații: fie are limită infinită ($+\infty$ sau $-\infty$), fie nu are limită deloc. Deci „divergent" este mai larg decât „fără limită".

Poate un șir să aibă două limite diferite? Nu. Teorema de unicitate arată că, dacă ar avea două limite distincte, s-ar putea alege pentru ele două vecinătăți disjuncte, iar de la un rang încolo toți termenii ar trebui să fie simultan în ambele — imposibil. De aceea vorbim despre limita șirului și scriem semnul egal.

Ce este un subșir al unui șir? Este șirul obținut păstrând doar termenii cu ranguri dintr-un șir strict crescător de indici $n_1<n_2<n_3<\dots$; se notează $\left(a_{n_k}\right)$. Cele mai folosite sunt subșirul termenilor de rang par ($n_k=2k$) și cel de rang impar ($n_k=2k-1$).

Cum arăt că un șir nu are limită? Cea mai simplă metodă este criteriul cu două subșiruri: găsești două subșiruri cu limite diferite. Pentru șirurile care conțin $(-1{)}^n$, alegerea naturală este subșirul de rang par și cel de rang impar. Dacă cele două limite diferă, șirul nu are limită.

Un șir mărginit este neapărat convergent? Nu. Șirul $\left((-1{)}^n\right)$ este mărginit și nu are limită. Implicația adevărată este în sens invers: orice șir convergent este mărginit. Pentru a obține convergența din mărginire mai e nevoie de o ipoteză, de exemplu monotonia.

Se schimbă limita dacă modific primii termeni ai șirului? Nu, cu condiția să modifici doar un număr finit de termeni. Definiția limitei privește exclusiv rangurile mari, deci un segment inițial, oricât de lung, este invizibil pentru limită. Dacă modifici însă o infinitate de termeni, limita se poate schimba complet.

Ce înseamnă că un șir este divergent, dar are limită? Înseamnă că limita lui este $+\infty$ sau $-\infty$, deci există în dreapta reală încheiată, dar nu este un număr real. Exemplu: $a_n=3n-5$ are limita $+\infty$ și este divergent. Formularea corectă într-un barem este „divergent, cu limita $+\infty$".

De ce este important că $n_k\ge k$? Pentru că această inegalitate este cea care face ca subșirul să „ajungă din urmă" rangurile mari ale șirului: dacă toți termenii cu $n\ge N$ sunt într-o vecinătate, atunci și toți termenii subșirului cu $k\ge N$ sunt acolo, fiindcă $n_k\ge k\ge N$. Fără ea, teorema subșirurilor nu s-ar putea demonstra.