Șiruri cu limită infinită. Operații: pe scurt

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=+\infty$ înseamnă: pentru orice prag $M\in \mathbb{R}$ există un rang $N$ cu $a_n>M$ pentru orice $n\ge N$. Un asemenea șir este nemărginit superior, are termeni pozitivi de la un rang încolo și toate subșirurile cu aceeași limită.

⚠️ Limita infinită există în $\overline{\mathbb{R}}$: șirul este divergent, dar are limită. „Nu are limită” se spune numai când niciun element din $\overline{\mathbb{R}}$ nu verifică definiția, ca la $\left((-1{)}^n\right)$.

Tabelul operațiilor devine, aici, o listă de teoreme despre șiruri: $a+(+\infty )=+\infty$; $a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty$ după semnul lui $a$, cu $a\ne 0$; $\frac{a}{\pm \infty }=0$; $a^{+\infty }=+\infty$ pentru $a>1$ și $0$ pentru $0<a<1$. Fiecare rând se demonstrează din definiție.

$\frac{a}{0}$ nu este operație: când numitorul tinde la $0$, decide semnul lui, notat $0^{+}$ sau $0^{-}$; fără semn constant limita poate lipsi, ca la $a_n=\frac{(-1{)}^n}{n}$, unde $\frac{1}{a_n}=(-1{)}^{n}n$ nu are limită. Cele șapte nedeterminări, în ordine: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$, $\infty -\infty$, $0\cdot \infty$, $1^{\infty }$, ${\infty }^0$, $0^0$. În schimb $\infty +\infty$, $\infty \cdot \infty$ și $\frac{a}{\infty }$ nu sunt nedeterminări — verifică tabelul înainte de a prelucra.

Exerciții din această mini-lecție

1. Valoarea limitei $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(2-\frac{5}{n}\right)\cdot n^3$ este:

   • a) $0$
   • b) $2$
   • c) $+\infty$
   • d) $-\infty$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $+\infty$

   Primul factor are limita $2$, finită și nenulă, iar al doilea are limita $+\infty$. Rândul $a\cdot (+\infty )=+\infty$ (pentru $a>0$) dă rezultatul. Verificarea limitei primului factor era obligatorie: dacă ea ar fi ieșit $0$, am fi avut nedeterminarea $0\cdot \infty$.

2. Fie $a_n=\frac{(-1{)}^n}{n^2}$. Despre șirul $b_n=\frac{1}{a_n}$ se poate afirma că:

   • a) are limita $+\infty$
   • b) nu are limită
   • c) are limita $0$
   • d) are limita $-\infty$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) nu are limită

   Într-adevăr $a_n\to 0$, dar $a_n$ nu păstrează semn constant, deci teorema inversului nu se aplică. Avem $b_n=(-1{)}^n{n}^2$: subșirul de rang par tinde la $+\infty$, cel de rang impar la $-\infty$, deci șirul nu are limită. Ipoteza de semn din teoremă nu este decorativă.

3. Care afirmație este adevărată despre șirul $a_n=n^2-4n$?

   • a) are limita $+\infty$ și este divergent
   • b) nu are limită
   • c) este convergent
   • d) are limita $-\infty$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) are limita $+\infty$ și este divergent

   Scriem $a_n=n^2\left(1-\frac{4}{n}\right)$: paranteza are limita $1>0$, iar $n^2\to +\infty$, deci $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=+\infty$. Limita există în $\overline{\mathbb{R}}$, dar nu este finită, deci șirul este divergent. Primii termeni sunt negativi ($a_1=-3$), ceea ce nu schimbă nimic — contează doar rangurile mari.