Șiruri cu limită infinită. Operații

O firmă mică își crește an de an și încasările, și cheltuielile. Notăm cu $I_n$ încasările din anul $n$ și cu $C_n$ cheltuielile — două șiruri care, după toate semnele, cresc nemărginit: $I_n\to +\infty$ și $C_n\to +\infty$. Întrebarea proprietarului nu este însă despre ele două luate separat, ci despre profit, adică despre $I_n-C_n$. Crește? Scade? Se stabilizează?

Răspunsul cinstit este: din informația „amândouă tind la infinit" nu se poate decide nimic. Dacă încasările sunt $I_n=n+5$ și cheltuielile $C_n=n$, profitul rămâne constant, egal cu $5$. Dacă $I_n=2n$ și $C_n=n$, profitul crește la nesfârșit. Dacă $I_n=n$ și $C_n=n^2$, firma se scufundă. Aceeași „operație" $\infty -\infty$, trei destine complet diferite. Lecția de față face exact separarea de care ai nevoie: care operații cu limite infinite au un rezultat garantat — și pe acelea le scriem într-un tabel, o dată pentru totdeauna — și care operații nu au, iar acelea primesc un nume propriu: cazuri de nedeterminare.

Ce vei învăța

• Vei ști să folosești definiția limitei infinite și să explici de ce un șir cu limita $+\infty$ are limită, dar nu este convergent.
• Vei ști să deosebești „are limita $+\infty$" de „nu are limită" — două afirmații diferite, pe care baremele de la Bacalaureat M1 nu le confundă niciodată.
• Vei ști să aplici tabelul operațiilor în $\overline{\mathbb{R}}$: suma, produsul, câtul și puterea, cu condițiile exacte în care fiecare are sens.
• Vei ști să demonstrezi principalele reguli de operare cu șiruri care au limită infinită, pornind de la definiție.
• Vei ști să calculezi limita lui $\frac{1}{a_n}$ când $a_n\to 0$, folosind semnul termenilor, și să scrii corect $\frac{1}{0^{+}}$ și $\frac{1}{0^{-}}$.
• Vei ști să recunoști, dintr-o privire, cele șapte cazuri de nedeterminare și să nu le confunzi cu operațiile care au rezultat sigur.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă, riguros, „limita este $+\infty$"

Din lecția Limita unui șir: de la intuiție la definiția cu vecinătăți ai definiția generală: $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\ell$ înseamnă că orice vecinătate a lui $\ell$ conține toți termenii șirului începând de la un rang. Aplicată lui $\ell =+\infty$, ale cărui vecinătăți sunt mulțimile care conțin câte un interval $(M,+\infty ]$, definiția se traduce imediat în forma de lucru:

Definiție. $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=+\infty$ dacă pentru orice număr real $M$ există un rang $N$ astfel încât $a_n>M$ pentru orice $n\ge N$.

Analog, $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=-\infty$ dacă pentru orice $M\in \mathbb{R}$ există $N$ cu $a_n<M$ pentru orice $n\ge N$.

Citește definiția ca pe un joc în doi: adversarul propune un prag $M$ oricât de mare, iar tu trebuie să arăți de la ce rang încolo toți termenii au trecut de acel prag. Pentru $a_n=n^2$ jocul se câștigă imediat: dacă adversarul cere $M=10^{12}$, iei $N=10^6+1$ și gata.

2. ⚠️ Limita infinită EXISTĂ — dar șirul nu este convergent

Aceasta este distincția pe care se pierd cele mai multe puncte la Bacalaureat M1, așa că merită scrisă apăsat. În școala românească:

• șir convergent = șir cu limită finită;
• șir divergent = șir care nu e convergent, adică fie are limită infinită, fie nu are limită deloc.

Prin urmare, propoziția „$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2=+\infty$" este o afirmație despre o limită care există — există în $\overline{\mathbb{R}}$, dreapta reală încheiată introdusă în lecția Marginile unei mulțimi. Dreapta reală încheiată și vecinătăți. Șirul ${\left(n^2\right)}_n$ este divergent, dar are limită.

În schimb, șirul $a_n=(-1{)}^n$ chiar nu are limită: subșirul termenilor de rang par este constant $1$, cel al termenilor de rang impar este constant $-1$, iar dacă limita ar exista, ambele subșiruri ar trebui să tindă la ea — contradicție cu unicitatea limitei, demonstrată în lecția Șiruri convergente și șiruri divergente.

Regula de exprimare, valabilă în toate rezolvările tale: spui „nu are limită" numai când chiar așa este; pentru $n^2$ spui „are limita $+\infty$" sau „este divergent", niciodată „nu are limită".

3. Trei consecințe imediate ale limitei infinite

Fie $a_n\to +\infty$. Atunci:

1. Șirul nu este mărginit superior. Dacă ar exista $B$ cu $a_n\le B$ pentru orice $n$, alegerea $M=B$ în definiție ar fi imposibil de satisfăcut.
2. Termenii devin pozitivi de la un rang încolo. Se ia $M=0$: există $N$ cu $a_n>0$ pentru orice $n\ge N$. (Primii termeni pot fi negativi — nu contează, pentru că limita nu se schimbă la eliminarea unui număr finit de termeni.)
3. Orice subșir are tot limita $+\infty$, iar șirul nu este convergent, pentru că un șir convergent este mărginit, iar acesta nu este.

Aceleași trei afirmații se citesc „în oglindă" pentru $-\infty$: nemărginit inferior, termeni negativi de la un rang încolo, subșiruri cu aceeași limită.

4. Rezervorul de exemple: puterile și progresiile geometrice

Nu ai nevoie să pornești de fiecare dată de la definiție. Lecția Limitele șirurilor de tip putere și de tip progresie geometrică ți-a dat deja cele două tabele pe care se sprijină tot capitolul:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^a=+\infty (a>0);\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^a=0(a<0);\underset{n\to \infty }{\lim }{q}^n=+\infty (q>1);\underset{n\to \infty }{\lim }{q}^n=0(|q|<1).$$

De aici, pe loc: $n\to +\infty$, $n^2\to +\infty$, $\sqrt{n}=n^{1/2}\to +\infty$, $2^n\to +\infty$, iar $\frac{1}{n}\to 0$ și ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n\to 0$. Reține și cazul în care limita nu există: pentru $q\le -1$, șirul ${\left(q^n\right)}_n$ oscilează și nu are limită.

5. Tabelul operațiilor permise în $\overline{\mathbb{R}}$, aplicat la șiruri

Tabelul de mai jos ți-e cunoscut: a fost stabilit, ca listă de operații între elemente ale dreptei reale încheiate, în lecția Marginile unei mulțimi. Dreapta reală încheiată și vecinătăți. Îl reluăm aici pentru că abia acum capătă înțelesul care ne interesează: fiecare rând devine o teoremă despre șiruri. „$a+(+\infty )=+\infty$" se citește de acum „dacă $a_n\to a$ și $b_n\to +\infty$, atunci $a_n+b_n\to +\infty$", iar în secțiunea următoare demonstrăm exact aceste enunțuri.

Așadar, contractul complet. Fiecare rând spune: dacă limitele termenilor sunt cele din stânga, atunci limita rezultatului este garantat cea din dreapta.

Două observații care nu se sar:

• $\frac{a}{0}$ nu este operație în $\overline{\mathbb{R}}$. Când numitorul tinde la $0$, rezultatul depinde de semnul numitorului — vezi secțiunea $7$.
• Tabelul se citește în ambele sensuri ale semnului: din $a\cdot (\pm \infty )$ rezultă, de pildă, că un șir cu limita $-3$ înmulțit cu unul cu limita $+\infty$ dă $-\infty$.

6. Teoremele de operații, cu demonstrațiile lor

Regulile din tabel nu cad din cer; toate se demonstrează din definiție. Iată-le pe cele patru esențiale, fiecare cu argumentul complet.

Teorema 1 (suma a două șiruri cu limita $+\infty$). Dacă $a_n\to +\infty$ și $b_n\to +\infty$, atunci $a_n+b_n\to +\infty$.

Demonstrație. Fie $M\in \mathbb{R}$ arbitrar. Din $a_n\to +\infty$ există $N_1$ cu $a_n>M$ pentru $n\ge N_1$. Din $b_n\to +\infty$, luând pragul $0$, există $N_2$ cu $b_n>0$ pentru $n\ge N_2$. Pentru $n\ge \max (N_1,N_2)$ avem $a_n+b_n>M+0=M$. Cum $M$ a fost arbitrar, concluzia urmează. $■$

Teorema 2 (limită finită plus limită infinită). Dacă $a_n\to \ell \in \mathbb{R}$ și $b_n\to +\infty$, atunci $a_n+b_n\to +\infty$.

Demonstrație. Șirul $(a_n)$ este convergent, deci mărginit: există $c\in \mathbb{R}$ cu $a_n\ge c$ pentru orice $n$. Fie $M\in \mathbb{R}$; din $b_n\to +\infty$ există $N$ cu $b_n>M-c$ pentru $n\ge N$. Atunci $a_n+b_n\ge c+b_n>c+(M-c)=M$. $■$

Observă unde s-a folosit ipoteza: doar prin mărginirea inferioară a lui $(a_n)$. De aceea teorema rămâne adevărată și dacă $(a_n)$ este pur și simplu mărginit inferior, fără să aibă limită — de pildă $a_n=(-1{)}^n$ și $b_n=n$ dau $a_n+b_n\to +\infty$.

Teorema 3 (produsul). Dacă $a_n\to \ell$ cu $\ell >0$ și $b_n\to +\infty$, atunci $a_n{b}_n\to +\infty$.

Demonstrație. Cum $\ell >0$, de la un rang $N_1$ avem $a_n>\frac{\ell }{2}>0$ (altfel spus, șirul intră în vecinătatea $\left(\frac{\ell }{2},\frac{3\ell }{2}\right)$ a lui $\ell$). Fie $M\in \mathbb{R}$; din $b_n\to +\infty$ există $N_2$ cu $b_n>\frac{2|M|}{\ell }$ pentru $n\ge N_2$. Pentru $n\ge \max (N_1,N_2)$ obținem $a_n{b}_n>\frac{\ell }{2}\cdot \frac{2|M|}{\ell }=|M|\ge M$. $■$

Ipoteza $\ell \ne 0$ este esențială și tocmai eliminarea ei produce nedeterminarea $0\cdot \infty$.

Teorema 4 (inversul unui șir cu limită infinită). Dacă $a_n\to +\infty$ sau $a_n\to -\infty$, atunci $\frac{1}{a_n}\to 0$.

Demonstrație (pentru $+\infty$). Fie $\epsilon >0$. Există $N$ cu $a_n>\frac{1}{\epsilon }$ pentru $n\ge N$; în particular $a_n>0$, deci $0<\frac{1}{a_n}<\epsilon$, adică $\frac{1}{a_n}$ se află în vecinătatea $(-\epsilon ,\epsilon )$ a lui $0$. $■$

7. Drumul invers: când numitorul tinde la zero

Teorema 4 are o reciprocă, dar numai cu o ipoteză de semn.

Teorema 5. Dacă $a_n\to 0$ și $a_n>0$ de la un rang încolo, atunci $\frac{1}{a_n}\to +\infty$. Dacă $a_n\to 0$ și $a_n<0$ de la un rang încolo, atunci $\frac{1}{a_n}\to -\infty$.

Demonstrație (primul caz). Fie $M>0$. Cum $a_n\to 0$, există $N$ de la care $|a_n|<\frac{1}{M}$; combinat cu $a_n>0$, rezultă $0<a_n<\frac{1}{M}$, deci $\frac{1}{a_n}>M$. $■$

Pentru a scrie scurt aceste două situații folosim notațiile $0^{+}$ (numitorul tinde la $0$ prin valori pozitive) și $0^{-}$ (prin valori negative): $$\frac{a}{0^{+}}=+\infty (a>0),\frac{a}{0^{-}}=-\infty (a>0),\frac{a}{0^{+}}=-\infty (a<0),\frac{a}{0^{-}}=+\infty (a<0).$$

Ele sunt note de calcul al semnului, nu limite laterale; scrie-le doar în acest context.

⚠️ Fără ipoteza de semn afirmația este falsă. Șirul $a_n=\frac{(-1{)}^n}{n}$ tinde la $0$, dar $\frac{1}{a_n}=(-1{)}^{n}n$ ia alternativ valori foarte mari pozitive și foarte mari negative: nu are limită, nici finită, nici infinită.

8. Cele șapte cazuri de nedeterminare

Un caz de nedeterminare nu este un rezultat și nu este „infinit" — este o situație în care rezultatul nu se poate decide fără o prelucrare a expresiei. Lista canonică, în această ordine, este:

$$\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty },\infty -\infty ,0\cdot \infty ,1^{\infty },{\infty }^0,0^0.$$

Că fiecare este cu adevărat nedecis se arată la fel: se construiesc două perechi de șiruri de același tip, cu rezultate diferite.

Cele două rânduri cu exponent merită citite încet: ${\left(2^n\right)}^{k/n}=2^{n\cdot \frac{k}{n}}=2^k$, deci valoarea este constantă și poate fi orice putere a lui $2$, deși baza tinde la $+\infty$ (respectiv la $0$), iar exponentul tinde la $0$ în ambele cazuri.

Al șaptelea caz, $1^{\infty }$, se recunoaște când baza tinde la $1$, iar exponentul la $+\infty$. Îl numim acum și îl lăsăm nerezolvat: tehnica lui cere un instrument care nu există încă în capitolul acesta și care se construiește în lecția Șirul cu termenul general (1+1/n) la puterea n și numărul e.

Ce NU este caz de nedeterminare. Acest ultim paragraf previne jumătate din greșelile de examen. Înainte de a striga „nedeterminare", verifică tabelul din secțiunea $5$. Au rezultat sigur, printre altele:

$$\infty +\infty =+\infty ;(-\infty )+(-\infty )=-\infty ;\infty \cdot \infty =+\infty ;\frac{5}{\infty }=0;2^{+\infty }=+\infty ;{\left(\frac{1}{2}\right)}^{+\infty }=0.$$

Deci $n^2+n\to +\infty$ se rezolvă dintr-o linie, fără nicio prelucrare — nu este $\infty -\infty$, ci $\infty +\infty$. La fel, $\frac{7}{n^3+1}\to 0$ nu are nimic nedeterminat.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Limită infinită direct din tabel

Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(n^3+2^n\right)$.

Rezolvare. Din secțiunea $4$: $n^3\to +\infty$ (putere cu exponent pozitiv) și $2^n\to +\infty$ (progresie geometrică cu rația $2>1$). Suma este de tipul $\infty +\infty$, care are rezultat garantat, prin Teorema 1: $$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(n^3+2^n\right)=+\infty .$$

Exemplul 2 — Produs cu limită finită nenulă

Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3n^2-1}{n^2+4}\cdot \sqrt{n}$.

Rezolvare. Primul factor are limită finită: împărțind sus și jos la $n^2$ se obține $\frac{3-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{4}{n^2}}\to 3$. Al doilea factor, $\sqrt{n}$, tinde la $+\infty$. Cum $3>0$, Teorema 3 se aplică: $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3n^2-1}{n^2+4}\cdot \sqrt{n}=3\cdot (+\infty )=+\infty .$$ Atenție: verificarea limitei primului factor a fost obligatorie. Dacă ea ar fi ieșit $0$, am fi avut nedeterminarea $0\cdot \infty$.

Exemplul 3 — Numitor care tinde la zero

Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{\frac{1}{n}}$ și $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{-4}{\frac{2}{n^2}}$.

Rezolvare. Prima: $\frac{n}{1/n}=n^2\to +\infty$. A doua: numitorul $\frac{2}{n^2}$ tinde la $0$ prin valori pozitive, deci este de tipul $0^{+}$, iar numărătorul este constant negativ: $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{-4}{\frac{2}{n^2}}=\frac{-4}{0^{+}}=-\infty .$$ Control: expresia se simplifică efectiv la $-2n^2$, care într-adevăr tinde la $-\infty$. ✓

Exemplul 4 — Când semnul decide

Studiați existența limitei șirului $b_n=\frac{1}{a_n}$, unde $a_n=\frac{(-1{)}^n}{n^2}$.

Rezolvare. Avem $|a_n|=\frac{1}{n^2}\to 0$, deci $a_n\to 0$. Dar $a_n$ nu păstrează semn constant: e pozitiv pentru $n$ par și negativ pentru $n$ impar. Prin urmare Teorema 5 nu se aplică, iar $$b_n=\frac{1}{a_n}=(-1{)}^n{n}^2$$ ia valorile $100$, $-121$, $144$, $-169$, … pentru $n=10,11,12,13$. Subșirul de rang par tinde la $+\infty$, cel de rang impar la $-\infty$, deci șirul $(b_n)$ nu are limită.

Exemplul 5 — Clasificarea unui caz

Precizați, fără să calculați, tipul fiecărei expresii: (a) $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$; (b) $n\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^n$; (c) $\frac{2^n}{n^2}$; (d) ${\left(\frac{n+1}{n}\right)}^n$.

Rezolvare. (a) Ambii radicali tind la $+\infty$: caz $\infty -\infty$. (b) $n\to +\infty$ și ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n\to 0$: caz $0\cdot \infty$. (c) Ambele tind la $+\infty$: caz $\frac{\infty }{\infty }$. (d) Baza $\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}\to 1$, iar exponentul $\to +\infty$: caz $1^{\infty }$.

Toate patru sunt nedeterminări, deci niciuna nu se rezolvă din tabel; primele trei se prelucrează în lecțiile următoare, ultima în lecția despre numărul $e$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră șirul ${\left(a_n\right)}_{n\ge 1}$, $a_n=\frac{n^2+3}{n+1}$. a) Arătați că $a_n\ge \frac{n}{2}$ pentru orice $n\ge 1$. b) Deduceți că $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=+\infty$. c) Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{5}{a_n}$.

Rezolvare.

a) Inegalitatea $\frac{n^2+3}{n+1}\ge \frac{n}{2}$ este echivalentă, prin înmulțire cu $2(n+1)>0$, cu $2n^2+6\ge n^2+n$, adică $n^2-n+6\ge 0$. Discriminantul este $1-24=-23<0$ și coeficientul dominant este pozitiv, deci trinomul e strict pozitiv pentru orice $n$. Inegalitatea e adevărată.

b) Fie $M\in \mathbb{R}$ oarecare. Alegem $N$ un număr natural cu $N>2M$; atunci, pentru $n\ge N$, din punctul a) avem $a_n\ge \frac{n}{2}\ge \frac{N}{2}>M$. Conform definiției, $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=+\infty$.

c) Din tabelul operațiilor, $\frac{5}{+\infty }=0$, deci $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{5}{a_n}=0$. Control numeric: pentru $n=1000$, $a_n\approx 999,00$ și $\frac{5}{a_n}\approx 0,005$. ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare limită, scrie întâi tipul (rezultat sigur din tabel sau caz de nedeterminare) și abia apoi calculează — este exact ordinea pe care o cere baremul.

1. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(n^2+5n\right)$.

2. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(7-n^3\right)$.

3. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{9}{n^2+1}$.

4. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(3^n+n\right)$.

5. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{1}{3}\right)}^n$ și $\underset{n\to \infty }{\lim }{3}^n$, precizând de fiecare dată rândul din tabel pe care l-ai folosit.

6. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(2-\frac{1}{n}\right)\cdot n$.

7. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{n}-5\right)\cdot n^2$.

8. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{-3}{\frac{1}{n}}$.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=+\infty$, atunci șirul $\left(a_n\right)$ nu are limită."

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$, atunci $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{a_n}=+\infty$."

11. Precizează tipul fiecărei expresii, fără să calculezi: $n^2-n^3$; $\frac{n+1}{\sqrt{n}}$; $\frac{3}{n}\cdot n^2$; ${\left(1+\frac{2}{n}\right)}^n$.

12. Arată, pornind de la definiție, că $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(2n-7\right)=+\infty$, indicând un rang $N$ potrivit pentru pragul $M=10^5$.

13. Arată că șirul $a_n={\left(-2\right)}^n$ nu are limită, folosind două subșiruri.

14. (Problemă aplicată.) Încasările unei firme sunt $I_n=4n+30$ mii de lei în anul $n$, iar cheltuielile $C_n=4n+5$ mii de lei. Ce tip de operație este $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(I_n-C_n\right)$ și cât este profitul-limită?

15. Fie $a_n=\frac{2}{n^3}$. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{-1}{a_n}$, justificând semnul cu notația $0^{+}$ sau $0^{-}$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră șirul $a_n=\frac{n^2+2}{n+3}$, $n\ge 1$. Arătați că $a_n\ge \frac{n}{2}$ pentru orice $n\ge 1$, deduceți limita șirului și calculați apoi $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{6}{a_n}$.

17. Găsește două șiruri $\left(a_n\right)$ și $\left(b_n\right)$, ambele cu limita $+\infty$, pentru care $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(a_n-b_n\right)=-7$.

18. (Provocare.) Găsește două șiruri $\left(a_n\right)$ și $\left(b_n\right)$, ambele cu limita $+\infty$, pentru care șirul $\left(a_n-b_n\right)$ nu are limită. Explică de ce exemplul tău arată, încă o dată, că $\infty -\infty$ este caz de nedeterminare.

Răspunsuri și explicații

1. Tip $\infty +\infty$, rezultat sigur: $+\infty$. (Nu este nedeterminare — ambii termeni împing în aceeași direcție.)

2. $n^3\to +\infty$, deci $-n^3\to -\infty$, iar $7+(-\infty )=-\infty$. Limita este $-\infty$.

3. Numitorul tinde la $+\infty$, numărătorul e constant: rândul $\frac{a}{\pm \infty }=0$ dă limita $0$.

4. $3^n\to +\infty$ (rația $3>1$) și $n\to +\infty$: tip $\infty +\infty$, limita $+\infty$.

5. ${\left(\frac{1}{3}\right)}^n\to 0$, pe rândul $a^{+\infty }$ cu $0<a<1$; $3^n\to +\infty$, pe același rând cu $a>1$.

6. Primul factor tinde la $2\ne 0$, al doilea la $+\infty$: Teorema 3 dă $2\cdot (+\infty )=+\infty$.

7. Primul factor tinde la $-5\ne 0$, al doilea la $+\infty$; produsul unui număr negativ cu $+\infty$ este $-\infty$.

8. Numitorul tinde la $0$ prin valori pozitive, adică este de tip $0^{+}$, iar numărătorul e $-3<0$: limita este $-\infty$. (Verificare: expresia se simplifică la $-3n$.)

9. Fals. Confuzia clasică: limita infinită există în $\overline{\mathbb{R}}$; șirul este divergent, dar are limită. „Nu are limită" se spune despre șiruri ca ${\left((-1{)}^n\right)}_n$.

10. Fals. Lipsește ipoteza de semn. Contraexemplu: $a_n=\frac{(-1{)}^n}{n}\to 0$, dar $\frac{1}{a_n}=(-1{)}^{n}n$ nu are limită.

11. $n^2-n^3$: tip $\infty -\infty$. $\frac{n+1}{\sqrt{n}}$: tip $\frac{\infty }{\infty }$. $\frac{3}{n}\cdot n^2$: tip $0\cdot \infty$. ${\left(1+\frac{2}{n}\right)}^n$: baza tinde la $1$, exponentul la $+\infty$, deci tip $1^{\infty }$.

12. Fie $M\in \mathbb{R}$. Din $2n-7>M$ rezultă $n>\frac{M+7}{2}$, deci orice $N$ natural mai mare decât $\frac{M+7}{2}$ este bun. Pentru $M=10^5$ se obține $n>50003,5$, deci $N=50004$ funcționează.

13. Subșirul de rang par este $a_{2k}=2^{2k}=4^k\to +\infty$, iar cel de rang impar este $a_{2k+1}=-2\cdot 4^k\to -\infty$. Dacă șirul ar avea limită, orice subșir ar avea aceeași limită; cele două fiind diferite, limita nu există.

14. Ambele șiruri tind la $+\infty$, deci scrierea $\lim (I_n-C_n)$ este de tipul $\infty -\infty$ — caz de nedeterminare. Se prelucrează însă imediat: $I_n-C_n=25$ pentru orice $n$, deci profitul-limită este $25$ de mii de lei. Este exact situația din deschiderea lecției.

15. $a_n=\frac{2}{n^3}\to 0$ prin valori pozitive, deci de tip $0^{+}$; numărătorul fiind $-1<0$, limita este $\frac{-1}{0^{+}}=-\infty$. (Control: expresia este $-\frac{n^3}{2}$.)

16. Inegalitatea $\frac{n^2+2}{n+3}\ge \frac{n}{2}$ revine la $2n^2+4\ge n^2+3n$, adică $n^2-3n+4\ge 0$, adevărată pentru orice $n$ (discriminantul este $9-16=-7<0$). Cum $\frac{n}{2}\to +\infty$, orice prag $M$ este depășit de la rangul $N>2M$ încolo, deci $a_n\to +\infty$. Atunci $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{6}{a_n}=\frac{6}{+\infty }=0$.

17. De exemplu $a_n=n$ și $b_n=n+7$: ambele tind la $+\infty$, iar $a_n-b_n=-7$ este constant. Orice pereche de forma $a_n=c_n$, $b_n=c_n+7$ cu $c_n\to +\infty$ funcționează.

18. De exemplu $a_n=n+(-1{)}^n$ și $b_n=n$. Amândouă tind la $+\infty$ (pentru primul, $a_n\ge n-1$), dar $a_n-b_n=(-1{)}^n$ oscilează între $-1$ și $1$, deci nu are limită. Împreună cu exercițiul 17 și cu exemplele din secțiunea $8$, aceasta arată că din $\infty -\infty$ se poate obține orice: o valoare finită, $\pm \infty$, sau chiar absența limitei.

De reținut

• Limita infinită există (în $\overline{\mathbb{R}}$), dar șirul nu este convergent: convergent înseamnă limită finită. „Nu are limită" este o a treia situație, distinctă de amândouă.
• Tabelul operațiilor în $\overline{\mathbb{R}}$ acoperă suma, produsul, câtul și puterea; el se consultă înainte de orice prelucrare, pentru că majoritatea limitelor se rezolvă direct din el.
• $\frac{a}{0}$ nu e operație: când numitorul tinde la $0$, decide semnul lui, notat $0^{+}$ sau $0^{-}$; fără semn constant, limita poate să nu existe.
• Cele șapte cazuri de nedeterminare, în ordine: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$, $\infty -\infty$, $0\cdot \infty$, $1^{\infty }$, ${\infty }^0$, $0^0$. Ele nu sunt rezultate, ci semnale că expresia trebuie prelucrată.
• $\infty +\infty$, $\infty \cdot \infty$, $\frac{a}{\infty }$, $2^{+\infty }$ nu sunt nedeterminări — verifică tabelul înainte de a te apuca de calcule inutile.

Greșeli frecvente

• „Are limita $+\infty$, deci nu are limită." Este contradicția în termeni cea mai frecventă la Bacalaureat M1. Limita infinită există; șirul e doar divergent. Spui „nu are limită" numai pentru șiruri ca ${\left((-1{)}^n\right)}_n$.
• „$a_n\to 0$, deci $\frac{1}{a_n}\to \infty$." Fals fără ipoteza de semn: pentru $a_n=\frac{(-1{)}^n}{n}$, inversul nu are limită. Verifică întâi dacă $a_n$ păstrează semn constant de la un rang încolo.
• Tratezi $\infty +\infty$ drept nedeterminare. Doar diferența e nedeterminată; suma a două șiruri care tind la $+\infty$ are întotdeauna limita $+\infty$. Pierzi timp și, uneori, punctele pentru „rezolvare directă".
• Scrii $\infty -\infty =0$ „pentru că se simplifică". Infinitul nu e un număr care se poate scădea din el însuși: $2n-n\to +\infty$, iar $n-n^2\to -\infty$.
• Uiți să verifici limita factorului finit înainte de a aplica regula produsului. Regula $a\cdot \infty =\pm \infty$ cere $a\ne 0$; când factorul tinde la $0$, ai în față nedeterminarea $0\cdot \infty$, nu o aplicare de tabel.

Aplică acasă

1. Tabelul pe o singură foaie. Scrie de mână, pe o jumătate de pagină pe care o lipești în caiet, tabelul operațiilor din secțiunea $5$ și, dedesubt, lista celor șapte nedeterminări în ordinea canonică. Peste o săptămână, acoperă coloana „Rezultat" și reconstituie-o din memorie.

2. Experimentul cu foaia de calcul. Într-un tabelar (sau pe hârtie, pentru $n=10,100,1000$), calculează simultan $n+5-n$, $2n-n$ și $n-n^2$. Vezi cu ochii tăi trei comportamente complet diferite pornind de la aceeași scriere $\infty -\infty$ — este cel mai bun argument pentru ce înseamnă „nedeterminare".

3. Vânătoare de mărimi nemărginite. Notează trei mărimi din viața de zi cu zi care cresc nemărginit (numărul total de fotografii de pe telefon, kilometrii parcurși de o mașină, suma depusă lunar la o economie) și trei care tind la zero (soldul rămas dintr-un credit, procentul de baterie în timpul unui film, grosimea stratului de zăpadă în martie). Pentru fiecare pereche formată dintr-una din prima listă și una din a doua, spune ce tip de operație obții la produs.

Pentru părinți și profesori

Lecția este piatra de temelie a întregului capitol de limite: aici se stabilește ce se poate calcula direct și ce trebuie prelucrat. Ideea centrală, pe care elevul trebuie să o poată formula singur, este că simbolurile $+\infty$ și $-\infty$ nu sunt numere, ci descrieri de comportament; de aceea unele operații cu ele se prelungesc firesc, iar altele — cele șapte — nu au sens fără informație suplimentară.

Ce verifică lecția: (1) folosirea corectă a vocabularului — „are limita $+\infty$", „divergent", „nu are limită" sunt trei lucruri diferite; (2) aplicarea tabelului operațiilor, cu verificarea condițiilor ($a\ne 0$ la produs, semnul numitorului la cât); (3) recunoașterea, fără calcul, a tipului unei expresii; (4) capacitatea de a construi contraexemple. Întrebări bune de control: „Dă-mi un șir divergent care are limită și unul care nu are"; „De ce $\infty +\infty$ nu e nedeterminare, dar $\infty -\infty$ este?"; „Ce ipoteză lipsește din afirmația «dacă $a_n\to 0$ atunci $1/a_n\to \infty$»?".

La BAC M1, materialul apare în aproape fiecare subiect care conține o limită de șir: fie direct, ca limită rezolvabilă din tabel, fie ca prim pas al unei probleme mai lungi, unde recunoașterea tipului decide metoda. Semne că elevul a înțeles: înainte de a calcula, scrie spontan tipul expresiei; nu mai simplifică „infiniții" între ei; și cere, de la sine, semnul numitorului când acesta tinde la zero.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că un șir are limita plus infinit? Înseamnă că, oricât de mare ar fi pragul ales, de la un rang încolo toți termenii șirului depășesc acel prag. Formal: pentru orice $M\in \mathbb{R}$ există $N$ astfel încât $a_n>M$ pentru orice $n\ge N$. Nu înseamnă că șirul „ajunge la infinit", ci că depășește orice valoare fixată dinainte.

Un șir cu limita infinită este convergent sau divergent? Este divergent, pentru că prin definiție convergent înseamnă „cu limită finită". Totuși are limită — în $\overline{\mathbb{R}}$. Distincția aceasta e o sursă frecventă de puncte pierdute: divergent nu este sinonim cu „fără limită".

Care sunt cele șapte cazuri de nedeterminare? În ordinea canonică: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$, $\infty -\infty$, $0\cdot \infty$, $1^{\infty }$, ${\infty }^0$ și $0^0$. În fiecare dintre ele se pot construi exemple cu rezultate diferite, deci simpla citire a limitelor componente nu ajunge.

De ce $\infty -\infty$ nu este zero? Pentru că $+\infty$ nu este un număr care să se poată scădea din el însuși. Trei șiruri arată asta imediat: $(n+5)-n\to 5$, $2n-n\to +\infty$, $n-n^2\to -\infty$. Toate trei sunt „$\infty -\infty$", cu trei răspunsuri diferite.

Cât face un număr împărțit la zero, la limite? Nu există o regulă unică: totul depinde de semnul numitorului. Dacă numitorul tinde la $0$ prin valori pozitive, scriem $\frac{a}{0^{+}}$ și obținem $+\infty$ pentru $a>0$, respectiv $-\infty$ pentru $a<0$; prin valori negative, semnele se inversează. Dacă numitorul nu are semn constant, limita poate să nu existe.

Cum îmi dau seama rapid dacă am o nedeterminare? Înlocuiești mental limitele fiecărei componente și te uiți la scrierea obținută. Dacă ea apare în tabelul operațiilor permise, ai rezultatul; dacă apare în lista celor șapte, trebuie să prelucrezi expresia. Acest pas de „clasificare" durează câteva secunde și îți spune ce metodă să folosești.

De ce $1^{\infty }$ este nedeterminare, dacă $1$ la orice putere face $1$? Pentru că baza nu este egală cu $1$, ci doar tinde la $1$: ea este mereu puțin diferită de $1$, iar exponentul crește nemărginit. Cele două efecte se pot echilibra în multe feluri, iar rezultatul depinde de viteza cu care baza se apropie de $1$. Cazul se rezolvă cu instrumentul construit în lecția despre numărul $e$.