Șiruri recurente: studiul convergenței: pe scurt

La un șir dat prin $a_1$ și $a_{n+1}=f(a_n)$ nu ai formula termenului general, deci limita nu se poate calcula direct. Rețeta are cinci pași, în această ordine: calculezi primii termeni (orientare); demonstrezi mărginirea prin inducție, găsind un interval invariant; demonstrezi monotonia din semnul lui $a_{n+1}-a_n$ (folosind încadrarea) sau prin inducție; invoci teorema lui Weierstrass și scrii că șirul e convergent, cu limita $\ell \in \mathbb{R}$; treci la limită în recurență și rezolvi ecuația $\ell =f(\ell )$.

Rădăcinile ecuației se numesc puncte fixe; ele merită rezolvate la ciornă de la început, fiindcă marginea potrivită pentru pasul de inducție este aproape întotdeauna un punct fix. Alegerea dintre rădăcini se justifică cu o inegalitate demonstrată dinainte, nu „pentru că așa pare”.

⚠️ Ordinea nu se poate schimba. Trecerea la limită presupune că limita există și e finită: pentru $a_1=1$, $a_{n+1}=2a_n$, ecuația ar da $\ell =2\ell$, deci $\ell =0$, deși șirul este $1,2,4,8,\cdots \to +\infty$.

Recurențele afine $a_{n+1}=q{a}_n+b$ (cu $q\ne 1$) au și formulă explicită: ${\ell }^{\ast }=\frac{b}{1-q}$ și $a_n={\ell }^{\ast }+\left(a_1-{\ell }^{\ast }\right)q^{n-1}$; ele converg la ${\ell }^{\ast }$ exact când $|q|<1$, indiferent de primul termen. Weierstrass este condiție suficientă, nu necesară: un șir care oscilează poate converge.

Exerciții din această mini-lecție

1. Fie $a_1=1$ și $a_{n+1}=\sqrt{12+a_n}$, șir despre care se știe că este crescător și mărginit superior de $4$. Limita lui este:

   • a) $3$
   • b) $4$
   • c) $12$
   • d) $-3$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $4$

   Teorema lui Weierstrass asigură existența limitei finite $\ell$. Trecem la limită: $\ell =\sqrt{12+\ell }$, deci ${\ell }^2-\ell -12=0$, cu rădăcinile $4$ și $-3$. Cum toți termenii sunt pozitivi, prin trecere la limită în inegalități avem $\ell \ge 0$, deci $\ell =4$. Rădăcina negativă se elimină prin argument, nu prin intuiție.

2. De ce nu se poate afla limita unui șir recurent trecând direct la limită în relația de recurență, fără pașii anteriori?

   • a) pentru că ecuația obținută are întotdeauna două rădăcini
   • b) pentru că relația de recurență nu este liniară
   • c) nu este nicio problemă, se poate trece direct la limită
   • d) pentru că trecerea la limită presupune că limita există și este finită
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) pentru că trecerea la limită presupune că limita există și este finită

   Pentru $a_1=1$, $a_{n+1}=2a_n$, ecuația $\ell =2\ell$ dă $\ell =0$, deși șirul este $1,2,4,8,\dots$, cu limita $+\infty$. Ecuația limitei folosește convergența, nu o demonstrează; existența se obține separat, cu teorema lui Weierstrass. Uneori ecuația chiar avertizează ($\ell =\ell +1$ nu are soluție), dar nu întotdeauna.

3. Pentru recurența $a_{n+1}=\frac{a_n}{3}+4$, nivelul de echilibru (punctul fix) este:

   • a) $4$
   • b) $\frac{4}{3}$
   • c) $6$
   • d) $12$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $6$

   Punctul fix este soluția ecuației $\ell =\frac{\ell }{3}+4$, adică $\frac{2\ell }{3}=4$ și $\ell =6$. Formula generală pentru o recurență afină dă același lucru: ${\ell }^{\ast }=\frac{b}{1-q}=\frac{4}{1-\frac{1}{3}}=6$. Cum $\left|\frac{1}{3}\right|<1$, șirul converge la $6$ oricare ar fi primul termen.