Șiruri definite prin recurență: studiul convergenței

Din clasa a IX-a știi să definești un șir prin recurență: dai primul termen și o regulă prin care fiecare termen se obține din cel dinainte. La progresii, regula era atât de simplă încât se putea „desface": din $a_{n+1}=a_n+r$ ieșea imediat $a_n=a_1+(n-1)r$, iar din $b_{n+1}=q{b}_n$ ieșea $b_n=b_1{q}^{n-1}$. Aveai formula termenului general, deci puteai calcula orice, inclusiv limita.

Acum privește șirul $a_1=1$, $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$. Primii termeni sunt $1$; $\sqrt{3}\approx 1,732$; $\sqrt{3,732}\approx 1,932$; apoi $1,983$, $1,996$, $1,999$. Se vede unde se duce — dar nu există nicio formulă rezonabilă pentru $a_n$: al zecelea termen este un radical suprapus de zece ori. Aici se oprește metoda din clasa a IX-a și începe metoda clasei a XI-a: dovedești că limita există (cu monotonie, mărginire și teorema lui Weierstrass), apoi o afli trecând la limită chiar în relația de recurență. Este una dintre cele mai frecvente probleme din subiectele de Bacalaureat M1.

Ce vei învăța

• Vei ști să parcurgi rețeta în cinci pași pentru studiul unui șir dat prin recurență: termeni, mărginire, monotonie, Weierstrass, ecuația limitei.
• Vei ști să demonstrezi mărginirea prin inducție matematică, alegând corect intervalul în care „se închide" recurența.
• Vei ști să stabilești monotonia prin semnul diferenței $a_{n+1}-a_n$ sau prin inducție, și să folosești descompunerea în factori.
• Vei ști să obții limita trecând la limită în relația de recurență și să alegi rădăcina corectă a ecuației obținute, folosind încadrarea termenilor.
• Vei ști de ce ordinea pașilor nu se poate schimba și ce absurdități apar dacă treci la limită înainte de a dovedi convergența.
• Vei ști să rezolvi complet recurențele liniare $a_{n+1}=q{a}_n+b$, care au și formulă explicită a termenului general.

Hai să descoperim împreună

1. De ce nu putem calcula direct

Relația $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$ leagă doi termeni consecutivi, dar nu spune nimic direct despre al $n$-lea. Ca să afli $a_{10}$ trebuie să calculezi, pe rând, toți termenii dinaintea lui. Iar întrebarea „ce se întâmplă când $n$ devine oricât de mare?" nu se poate ataca prin calcul: oricâți termeni ai calcula, rămân o infinitate necalculați.

Soluția o dă teorema lui Weierstrass: orice șir monoton și mărginit este convergent. Ea este un rezultat de existență — nu îți spune care e limita, doar că există. Iar asta e exact ce ne lipsește: odată știut că limita există, ea se poate calcula, pentru că recurența însăși devine o ecuație în care necunoscuta este limita.

2. Rețeta în cinci pași

Fie un șir dat prin $a_1$ și $a_{n+1}=f(a_n)$. Studiul complet are următoarea structură — o scrii în această ordine, de fiecare dată.

Pasul 1 — calculezi primii termeni. Trei sau patru sunt de ajuns. Ei îți arată dacă șirul pare crescător sau descrescător și în ce interval stau valorile. Este o etapă de orientare, nu de demonstrație.

Pasul 2 — demonstrezi mărginirea, de regulă prin inducție matematică: găsești un interval $[m,M]$ cu proprietatea că $a_1\in [m,M]$ și că, dacă $a_n\in [m,M]$, atunci și $a_{n+1}\in [m,M]$. Se spune că intervalul este invariant pentru recurență.

Pasul 3 — demonstrezi monotonia, studiind semnul diferenței $a_{n+1}-a_n$ (folosind încadrarea de la pasul 2) sau, când diferența e greu de semnat, tot prin inducție.

Pasul 4 — invoci teorema lui Weierstrass și scrii concluzia: șirul este monoton și mărginit, deci convergent; notezi limita cu $\ell \in \mathbb{R}$.

Pasul 5 — treci la limită în relația de recurență. Șirul $\left(a_{n+1}\right)$ are aceeași limită $\ell$ (a scoate primul termen nu schimbă limita), iar membrul drept tinde la $f(\ell )$, prin operațiile cu șiruri convergente. Rezultă ecuația $\ell =f(\ell )$. Rădăcinile ei se numesc puncte fixe ale recurenței; alegi dintre ele pe cea compatibilă cu încadrarea de la pasul 2, folosind trecerea la limită în inegalități.

3. Pasul 2 în detaliu: cum găsești intervalul invariant

Șirul $a_1=1$, $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$ ți-a apărut deja o dată, ca primă aplicație a teoremei, în lecția precedentă. Acolo a fost un exemplu izolat; aici îl folosim ca fir conducător, ca să vezi pe el fiecare pas al rețetei — iar cele șase exemple rezolvate de mai jos vor fi toate altele.

Primii termeni îți sugerează marginea: valorile urcă spre $2$ fără să-l atingă, deci încercăm încadrarea $0<a_n<2$.

Demonstrație prin inducție. Pentru $n=1$: $0<1<2$ ✓. Presupunem $0<a_n<2$. Atunci $2<2+a_n<4$, iar radicalul, fiind strict crescător, dă $\sqrt{2}<a_{n+1}<2$, deci în particular $0<a_{n+1}<2$ ✓. Prin inducție matematică, încadrarea e adevărată pentru orice $n$. $■$

Sfat practic: marginea corectă este, aproape întotdeauna, un punct fix al recurenței. Aici punctele fixe se obțin din $\ell =\sqrt{2+\ell }$, adică ${\ell }^2-\ell -2=0$, cu rădăcinile $2$ și $-1$; iar $2$ este exact bariera pe care o caută șirul. Deci, chiar dacă pasul 5 vine la sfârșit, ecuația punctelor fixe merită rezolvată la ciornă de la început: îți spune ce margine să încerci.

4. Pasul 3 în detaliu: semnul diferenței

Pentru același șir, calculăm $$a_{n+1}-a_n=\sqrt{2+a_n}-a_n.$$ Cum ambii termeni sunt pozitivi, inegalitatea $\sqrt{2+a_n}>a_n$ este echivalentă cu $2+a_n>a_n^2$, adică $a_n^2-a_n-2<0$, adică $\left(a_n-2\right)\left(a_n+1\right)<0$. Din pasul 2 avem $0<a_n<2$, deci primul factor e negativ și al doilea pozitiv: produsul este negativ ✓. Prin urmare $a_{n+1}>a_n$ pentru orice $n$: șirul este strict crescător.

Observă cum s-au înlănțuit pașii: monotonia s-a demonstrat folosind mărginirea. Aceasta este ordinea obișnuită, dar nu obligatorie — la unele șiruri e mai comod invers. Ce nu se schimbă niciodată este că amândouă vin înaintea pasului 5.

Când diferența e greu de semnat, se demonstrează prin inducție inegalitatea $a_n<a_{n+1}$: verifici $a_1<a_2$ și arăți că din $a_n<a_{n+1}$ rezultă $f(a_n)<f(a_{n+1})$, adică $a_{n+1}<a_{n+2}$ — pas care merge de la sine când funcția $f$ este crescătoare.

Merită reținută regula de orientare care se ascunde aici, pentru că îți spune din prima privire la ce fel de șir te aștepți. Dacă funcția $f$ din recurență este crescătoare, șirul este monoton, iar sensul lui e dat de comparația dintre primii doi termeni: dacă $a_1<a_2$, șirul crește; dacă $a_1>a_2$, scade. Așa se explică de ce toate exemplele de până acum, construite cu radicali sau cu pătrate pe intervale pozitive, au ieșit monotone. Dacă însă $f$ este descrescătoare, șirul sare alternativ de o parte și de alta a punctului fix, pentru că un termen mic produce un termen mare și invers — situația din punctul 8, în care teorema lui Weierstrass nu se mai aplică direct. Verifică deci, înainte de orice, dacă funcția din dreapta recurenței crește sau scade pe intervalul în care stau termenii: economisești o încercare greșită de demonstrație.

5. Pasul 5 în detaliu: ecuația limitei

Șirul fiind crescător și mărginit, e convergent; fie $\ell =\lim a_n$. Șirul ${\left(a_{n+1}\right)}_{n\ge 1}$ este șirul inițial din care s-a scos primul termen, deci are aceeași limită $\ell$. Trecând la limită în ambii membri ai relației $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$ obținem $$\ell =\sqrt{2+\ell }.$$ Ridicând la pătrat (ambii membri sunt pozitivi): ${\ell }^2-\ell -2=0$, cu rădăcinile $\ell =2$ și $\ell =-1$. Din $a_n\ge a_1=1$ rezultă, prin trecerea la limită în inegalități, $\ell \ge 1$, deci $\ell =2$.

Verificare numerică: $a_{12}=1,99999973\dots$, tot mai aproape de $2$. ✓

Reține: ecuația limitei are, de regulă, mai multe rădăcini, iar alegerea nu e opțională. Ea se face cu o inegalitate demonstrată la pasul 2 sau 3, nu „pentru că așa pare".

6. ⚠️ De ce ordinea pașilor nu se poate schimba

Iată eroarea care se comite cel mai des: se sare direct la pasul 5. Priviți șirul $a_1=1$, $a_{n+1}=2a_n$. Dacă „trecem la limită" fără să verificăm nimic, obținem $\ell =2\ell$, deci $\ell =0$. Numai că șirul este $1,2,4,8,16,\dots$, adică $a_n=2^{n-1}\to +\infty$. Concluzia „$\ell =0$" e absurdă.

Unde s-a greșit? Trecerea la limită presupune că limita există și e finită. Dacă șirul nu e convergent, ecuația $\ell =f(\ell )$ nu are nicio legătură cu el; ea poate avea rădăcini frumoase și totuși șirul să meargă la infinit. Ecuația limitei nu demonstrează convergența — o folosește.

Uneori ecuația chiar te avertizează: pentru $a_{n+1}=a_n+1$ ea devine $\ell =\ell +1$, care nu are soluție, semn sigur că șirul nu e convergent (într-adevăr, $a_n\to +\infty$). Dar avertismentul acesta nu apare întotdeauna, deci nu te poți baza pe el.

7. Recurențele liniare $a_{n+1}=q{a}_n+b$

Există o familie în care se poate mai mult: se obține chiar formula termenului general. Fie $q\ne 1$ și $b$ numere reale, iar $a_{n+1}=q{a}_n+b$. Punctul fix este soluția ecuației $\ell =q\ell +b$, adică $${\ell }^{\ast }=\frac{b}{1-q}.$$ Scăzând relația ${\ell }^{\ast }=q{\ell }^{\ast }+b$ din relația de recurență obținem $a_{n+1}-{\ell }^{\ast }=q\left(a_n-{\ell }^{\ast }\right)$: șirul diferențelor $d_n=a_n-{\ell }^{\ast }$ este o progresie geometrică de rație $q$. Deci $d_n=d_1{q}^{n-1}$ și $$a_n={\ell }^{\ast }+\left(a_1-{\ell }^{\ast }\right)q^{n-1}.$$ Din limitele șirurilor de tip putere și de tip progresie geometrică citim direct concluzia: dacă $|q|<1$, șirul converge la ${\ell }^{\ast }$, indiferent de $a_1$; dacă $q>1$ și $a_1\ne {\ell }^{\ast }$, șirul are limita $\pm \infty$; dacă $q\le -1$ și $a_1\ne {\ell }^{\ast }$, șirul nu are limită.

Exemplu verificat. Pentru $a_1=0$ și $a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+1$ avem $q=\frac{1}{2}$, $b=1$, deci ${\ell }^{\ast }=2$ și $a_n=2-2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=2-2^{2-n}$. Termenii: $0$, $1$, $1,5$, $1,75$, $1,875$ — exact ce dă recurența. ✓

8. Când șirul nu este monoton

Weierstrass cere monotonie, deci nu se aplică oricărui șir recurent. Priviți $a_1=0$, $a_{n+1}=-\frac{1}{2}{a}_n+3$. Aici $q=-\frac{1}{2}$, ${\ell }^{\ast }=2$, deci $a_n=2-2{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$: termenii sunt $0$, $3$, $1,5$, $2,25$, $1,875$, $2,0625$ — sar alternativ deasupra și dedesubtul lui $2$, apropiindu-se însă tot mai mult. Șirul converge la $2$, dar nu e monoton, iar convergența s-a obținut din formula explicită, nu din Weierstrass.

Când nici formula explicită nu se vede, se lucrează cu subșiruri: se arată că subșirul termenilor de rang impar este crescător, cel de rang par este descrescător, ambele sunt mărginite, deci convergente, iar limitele lor coincid. Instrumentul e cel din lecția Șiruri convergente și șiruri divergente. Un exemplu clasic este $a_1=1$, $a_{n+1}=\frac{6}{a_n+1}$, ai cărui termeni sunt $1$; $3$; $1,5$; $2,4$; $1,7647\dots$; $2,1702\dots$ — oscilanți în jurul lui $2$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un punct fix dublu

Se consideră șirul $a_1=\frac{1}{2}$, $a_{n+1}=\frac{a_n^2+1}{2}$. Studiați convergența și calculați limita.

Rezolvare. Punctele fixe (la ciornă): $\ell =\frac{{\ell }^2+1}{2}$ dă ${\ell }^2-2\ell +1=0$, adică ${\left(\ell -1\right)}^2=0$: o singură rădăcină, $\ell =1$, dublă. Marginea de încercat este deci $1$.

Mărginire: prin inducție, $0<a_n<1$. Pentru $n=1$: $0<\frac{1}{2}<1$ ✓. Dacă $0<a_n<1$, atunci $0<a_n^2<1$, deci $a_{n+1}=\frac{a_n^2+1}{2}\in \left(\frac{1}{2},1\right)$ ✓.

Monotonie: aici diferența iese un pătrat perfect, deci semnul e imediat: $$a_{n+1}-a_n=\frac{a_n^2-2a_n+1}{2}=\frac{{\left(a_n-1\right)}^2}{2}>0,$$ pentru că $a_n\ne 1$. Șirul este strict crescător.

Weierstrass: crescător și mărginit superior de $1$ $\Rightarrow$ convergent. Singurul punct fix fiind $1$, limita este $\ell =1$.

Observație: convergența este foarte lentă, tocmai pentru că rădăcina e dublă. Termenii: $0,5$; $0,625$; $0,6953125$; $0,74173$; $0,77508$; iar $a_{12}=0,87910$ — încă departe de $1$. Compară cu Exemplul 3, unde limita se atinge practic în cinci pași: forma ecuației punctelor fixe influențează direct viteza.

Exemplul 2 — Recurență liniară, două rezolvări

Se consideră $a_1=0$ și $a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+1$. Calculați $\lim a_n$ pe două căi.

Rezolvare. Calea 1 (rețeta). Mărginire: prin inducție, $0\le a_n<2$ (dacă $a_n<2$, atunci $a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+1<2$). Monotonie: $a_{n+1}-a_n=1-\frac{a_n}{2}=\frac{2-a_n}{2}>0$, deci strict crescător. Weierstrass dă convergența, iar $\ell =\frac{\ell }{2}+1$ dă $\ell =2$.

Calea 2 (formula explicită). Cu $q=\frac{1}{2}$ și ${\ell }^{\ast }=2$: $a_n=2-2^{2-n}$. Cum $2^{2-n}\to 0$, limita este $2$. ✓ Cele două căi trebuie să dea același rezultat — folosește-le una pentru cealaltă ca verificare.

Exemplul 3 — Metoda lui Heron pentru $\sqrt{2}$

Se consideră $a_1=2$ și $a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{2}{a_n}\right)$. Arătați că șirul este convergent și aflați limita.

Rezolvare. Mărginire inferioară: toți termenii sunt pozitivi (evident, prin inducție), iar din inegalitatea mediilor, $\frac{1}{2}\left(x+\frac{2}{x}\right)\ge \sqrt{x\cdot \frac{2}{x}}=\sqrt{2}$ pentru orice $x>0$. Deci $a_n\ge \sqrt{2}$ pentru orice $n\ge 2$, iar $a_1=2>\sqrt{2}$.

Monotonie: $a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{a_n}-a_n\right)=\frac{2-a_n^2}{2a_n}\le 0$, pentru că $a_n^2\ge 2$. Șirul e descrescător.

Weierstrass: descrescător și mărginit inferior $\Rightarrow$ convergent. Ecuația limitei: $\ell =\frac{1}{2}\left(\ell +\frac{2}{\ell }\right)$, deci $2{\ell }^2={\ell }^2+2$, adică ${\ell }^2=2$; cum $\ell \ge \sqrt{2}>0$, rezultă $\ell =\sqrt{2}$.

Observație remarcabilă: convergența este fulgerătoare. Termenii sunt $2$; $1,5$; $1,41\overline{6}$; $1,414215686\dots$; $1,414213562374\dots$ — al patrulea termen are cinci zecimale corecte, iar al cincilea are unsprezece. Comparați cu șirul lui $e$ din lecția Șirul cu termenul general (1+1/n) la puterea n și numărul e, care după un milion de termeni are doar cinci zecimale corecte. Nu toate șirurile convergente sunt la fel de utile în practică, iar diferența se numește viteză de convergență.

Exemplul 4 — Limita depinde de primul termen

Se consideră recurența $a_{n+1}=\frac{a_n^2+3}{4}$. Studiați șirul pentru $a_1=0$, apoi pentru $a_1=4$.

Rezolvare. Punctele fixe: $\ell =\frac{{\ell }^2+3}{4}$, adică ${\ell }^2-4\ell +3=0$, cu rădăcinile $1$ și $3$. Diferența generală: $$a_{n+1}-a_n=\frac{a_n^2-4a_n+3}{4}=\frac{\left(a_n-1\right)\left(a_n-3\right)}{4}.$$

Cazul $a_1=0$. Prin inducție, $0\le a_n<1$: dacă $a_n<1$, atunci $a_{n+1}=\frac{a_n^2+3}{4}<\frac{1+3}{4}=1$. Cu $a_n<1$, ambii factori din diferență sunt negativi, deci diferența e pozitivă și șirul e crescător. Weierstrass $\Rightarrow$ convergent; $\ell \le 1$ elimină rădăcina $3$, deci $\ell =1$. Numeric: $0$; $0,75$; $0,890625$; $0,9483$; $0,9748$ ✓.

Cazul $a_1=4$. Acum $a_n>3$ pentru orice $n$ (inducție: dacă $a_n>3$, atunci $a_{n+1}>\frac{9+3}{4}=3$), iar diferența are ambii factori pozitivi, deci șirul e crescător. Dacă ar fi convergent, limita ar fi $1$ sau $3$; dar din $a_n\ge 4$ ar rezulta $\ell \ge 4$ — contradicție. Deci nu e convergent; fiind crescător și neconvergent, el este nemărginit, adică $a_n\to +\infty$. Numeric: $4$; $4,75$; $6,39$; $10,96$; $30,78$; $237,6$ ✓.

Morala: aceeași recurență poate da un șir convergent sau unul divergent, după primul termen. De aceea pasul 2 nu se poate sări niciodată.

Exemplul 5 — Radical cu factor

Se consideră $a_1=1$ și $a_{n+1}=\sqrt{2a_n}$. Aflați limita.

Rezolvare. Mărginire: $0<a_n<2$ prin inducție (dacă $a_n<2$, atunci $a_{n+1}=\sqrt{2a_n}<\sqrt{4}=2$). Monotonie: pentru termeni pozitivi, $a_{n+1}>a_n⟺2a_n>a_n^2⟺a_n<2$ ✓, deci strict crescător. Weierstrass: convergent. Ecuația limitei: $\ell =\sqrt{2\ell }$, deci ${\ell }^2=2\ell$, cu rădăcinile $0$ și $2$; cum $a_n\ge a_1=1$, rezultă $\ell \ge 1$, deci $\ell =2$.

Numeric: $1$; $1,4142$; $1,6818$; $1,8340$; $1,9152$; $1,9571$; $a_{12}=1,99932$ ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră șirul ${\left(a_n\right)}_{n\ge 1}$ definit prin $a_1=3$ și $a_{n+1}=\frac{a_n^2+8}{6}$. a) Arătați că $2<a_n<4$ pentru orice $n \in \mathbb{N}^{}$.* b) Arătați că șirul este strict descrescător. c) Arătați că șirul este convergent și calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$.

Rezolvare.

a) Inducție. Pentru $n=1$: $2<3<4$ ✓. Presupunem $2<a_n<4$. Atunci $4<a_n^2<16$, deci $12<a_n^2+8<24$ și, împărțind la $6$, $2<a_{n+1}<4$ ✓.

b) Calculăm diferența și o descompunem în factori: $$a_{n+1}-a_n=\frac{a_n^2+8-6a_n}{6}=\frac{\left(a_n-2\right)\left(a_n-4\right)}{6}.$$ Din a), $a_n-2>0$ și $a_n-4<0$, deci produsul e negativ: $a_{n+1}<a_n$ pentru orice $n$.

c) Șirul este strict descrescător și mărginit inferior de $2$, deci convergent (teorema lui Weierstrass); fie $\ell$ limita. Trecând la limită în recurență: $\ell =\frac{{\ell }^2+8}{6}$, adică ${\ell }^2-6\ell +8=0$, cu rădăcinile $2$ și $4$. Din $a_n<4$ și din faptul că șirul scade rezultă $\ell <a_1=3$, deci $\ell =2$.

Verificare numerică: $3$; $2,8333$; $2,6713$; $2,5226$; $2,3939$; $\dots$; $a_{12}=2,0312$ ✓.

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare exercițiu scrie toți cei cinci pași, chiar dacă unii sunt scurți — la Bacalaureat M1 fiecare pas are punctajul lui.

1. Calculează primii cinci termeni ai șirului $a_1=1$, $a_{n+1}=\sqrt{6+a_n}$, cu două zecimale.

2. Rezolvă ecuația punctelor fixe pentru recurența $a_{n+1}=\sqrt{6+a_n}$ și spune care rădăcină poate fi limita unui șir cu termeni pozitivi.

3. Arată prin inducție că șirul de la exercițiul 1 verifică $0<a_n<3$.

4. Arată că șirul de la exercițiul 1 este strict crescător și determină-i limita.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă ecuația $\ell =f(\ell )$ are o soluție, atunci șirul $a_{n+1}=f(a_n)$ este convergent."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un șir descrescător și mărginit inferior este convergent."

7. Pentru $a_1=0$ și $a_{n+1}=\frac{a_n}{3}+2$, determină punctul fix, scrie formula termenului general și calculează limita.

8. Pentru $a_1=10$ și $a_{n+1}=\frac{a_n}{3}+4$, calculează limita și observă că nu depinde de $a_1$.

9. Arată că șirul $a_1=1$, $a_{n+1}=\frac{a_n+3}{2}$ este crescător, mărginit superior de $3$, și află-i limita.

10. Studiază șirul $a_1=5$, $a_{n+1}=\frac{a_n+3}{2}$: este crescător sau descrescător? Care este limita?

11. Arată că șirul $a_1=2$, $a_{n+1}=\sqrt{3a_n}$ este convergent și calculează-i limita.

12. (Problemă aplicată.) Un rezervor conține $200$ de litri de soluție. În fiecare oră se scoate un sfert din conținut și se adaugă $30$ de litri de apă curată. Notând cu $v_n$ volumul de soluție inițială rămasă după $n$ ore, scrie recurența, punctul fix și limita.

13. Explică de ce, pentru $a_1=1$ și $a_{n+1}=3a_n$, „trecerea la limită" ar da $\ell =0$, și arată de ce concluzia este falsă.

14. Pentru recurența $a_{n+1}=\frac{a_n^2+3}{4}$, studiază cazul $a_1=2$: în ce interval stau termenii, este șirul monoton, care este limita?

15. Arată că șirul $a_1=0$, $a_{n+1}=-\frac{1}{2}{a}_n+3$ nu este monoton, dar este convergent, și află-i limita.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $a_1=1$ și $a_{n+1}=\frac{a_n^2+8}{6}$. Arătați că $1\le a_n<2$ pentru orice $n$, că șirul este crescător și calculați limita.

17. Determină valorile lui $a_1$ pentru care șirul $a_{n+1}=\frac{a_n^2+3}{4}$ este convergent, folosind analiza din Exemplul 4.

18. (Provocare.) Pentru $a_1=1$ și $a_{n+1}=\frac{6}{a_n+1}$, calculează primii opt termeni, arată că subșirul termenilor de rang impar este crescător și cel de rang par descrescător, apoi determină limita comună.

Răspunsuri și explicații

1. $a_1=1$; $a_2=\sqrt{7}\approx 2,65$; $a_3=\sqrt{8,65}\approx 2,94$; $a_4\approx \sqrt{8,94}\approx 2,99$; $a_5\approx 3,00$. Se vede o barieră la $3$.

2. $\ell =\sqrt{6+\ell }$ dă ${\ell }^2-\ell -6=0$, cu rădăcinile $3$ și $-2$. Un șir cu termeni pozitivi are limita $\ge 0$, deci singura posibilă este $\ell =3$.

3. Pentru $n=1$: $0<1<3$ ✓. Dacă $0<a_n<3$, atunci $6<6+a_n<9$, deci $\sqrt{6}<a_{n+1}<3$, în particular $0<a_{n+1}<3$ ✓.

4. $a_{n+1}-a_n=\sqrt{6+a_n}-a_n$ are semnul lui $6+a_n-a_n^2=-\left(a_n-3\right)\left(a_n+2\right)$, pozitiv pentru $0<a_n<3$. Șirul e crescător și mărginit, deci convergent; ecuația limitei dă $\ell =3$.

5. Fals. Ecuația $\ell =2\ell$ are soluția $\ell =0$, dar șirul $a_1=1$, $a_{n+1}=2a_n$ tinde la $+\infty$. Existența unui punct fix nu spune nimic despre convergență; ea se demonstrează separat.

6. Adevărat. Este exact teorema lui Weierstrass, în varianta pentru șiruri descrescătoare: monoton plus mărginit înseamnă convergent (limita este chiar marginea inferioară a mulțimii termenilor).

7. Punct fix: $\ell =\frac{\ell }{3}+2\Rightarrow \ell =3$. Formula: $a_n=3+(0-3){\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}=3-3^{2-n}$. Cum $3^{2-n}\to 0$, limita e $3$. Termenii: $0$; $2$; $\frac{8}{3}$; $\frac{26}{9}$.

8. Punct fix: $\ell =\frac{\ell }{3}+4\Rightarrow \ell =6$. Formula: $a_n=6+4{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}\to 6$. Rația fiind subunitară în modul, limita e punctul fix, oricare ar fi $a_1$ — termenul care depinde de $a_1$ se stinge.

9. $a_{n+1}-a_n=\frac{3-a_n}{2}>0$ cât timp $a_n<3$; iar dacă $a_n<3$, atunci $a_{n+1}=\frac{a_n+3}{2}<3$. Deci șirul e crescător și mărginit superior de $3$; ecuația $\ell =\frac{\ell +3}{2}$ dă $\ell =3$.

10. Acum $a_1=5>3$, deci $a_{n+1}-a_n=\frac{3-a_n}{2}<0$: șirul e descrescător, mărginit inferior de $3$ (dacă $a_n>3$, atunci $a_{n+1}>3$). Limita e tot $3$. Punctul fix atrage din ambele părți.

11. Prin inducție $0<a_n<3$ (dacă $a_n<3$, atunci $a_{n+1}=\sqrt{3a_n}<3$); monotonia: $a_{n+1}>a_n⟺3a_n>a_n^2⟺a_n<3$ ✓. Convergent, iar $\ell =\sqrt{3\ell }$ dă $\ell \in \{0,3\}$; cum $\ell \ge a_1=2$, rezultă $\ell =3$.

12. După fiecare oră rămâne trei sferturi din soluția inițială prezentă, deci $v_{n+1}=\frac{3}{4}{v}_n$, cu $v_0=200$. Este o progresie geometrică de rație $\frac{3}{4}$, cu punct fix $0$ și $v_n=200{\left(\frac{3}{4}\right)}^n\to 0$: soluția inițială se diluează complet. (Apa adăugată nu apare în recurență, pentru că $v_n$ numără doar soluția inițială.)

13. Ecuația $\ell =3\ell$ dă $\ell =0$. Dar $a_n=3^{n-1}\to +\infty$, deci șirul nu e convergent și trecerea la limită nu era permisă. Pasul lipsă: nu s-a verificat mărginirea — iar șirul chiar nu e mărginit.

14. Cu $a_1=2$ avem $1<a_n<3$ prin inducție (dacă $1<a_n<3$, atunci $1<\frac{a_n^2+3}{4}<3$). Diferența $\frac{\left(a_n-1\right)\left(a_n-3\right)}{4}$ este negativă acolo, deci șirul e descrescător; fiind mărginit inferior de $1$, e convergent, iar limita este $1$ (rădăcina $3$ se elimină pentru că $a_n\le a_1=2<3$).

15. Termenii sunt $0$; $3$; $1,5$; $2,25$; $1,875$; $2,0625$ — cresc și scad alternativ, deci șirul nu e monoton. Formula explicită $a_n=2-2{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$ arată însă că $a_n\to 2$, pentru că ${\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}\to 0$ (rație subunitară în modul).

16. Inducție: $1\le a_1=1<2$; dacă $1\le a_n<2$, atunci $9\le a_n^2+8<12$, deci $1,5\le a_{n+1}<2$ ✓. Monotonia: $a_{n+1}-a_n=\frac{\left(a_n-2\right)\left(a_n-4\right)}{6}$ are ambii factori negativi pe $[1,2)$, deci diferența e pozitivă și șirul crește. Convergent; ecuația ${\ell }^2-6\ell +8=0$ dă $2$ și $4$, iar din $a_n<2$ rezultă $\ell =2$.

17. Șirul este convergent exact pentru $a_1\in [-3,3]$. Într-adevăr, dacă $|a_1|\le 3$, atunci $a_2=\frac{a_1^2+3}{4}\in \left[\frac{3}{4},3\right]$, iar pe acest interval semnul diferenței arată că șirul crește spre $1$ (dacă termenul e sub $1$) sau scade spre $1$ (dacă e între $1$ și $3$); cazurile speciale $a_1=3$ și $a_1=-3$ dau $a_2=3$, deci șir constant $3$ de la al doilea termen. Dacă $|a_1|>3$, atunci $a_2>3$, termenii cresc nemărginit și $a_n\to +\infty$ (verificat: pentru $a_1=3,01$ șirul depășește $10^6$).

18. Termenii: $1$; $3$; $1,5$; $2,4$; $1,7647$; $2,1702$; $1,8926$; $2,0742$. Cei de rang impar cresc ($1<1,5<1,7647<1,8926$), cei de rang par scad ($3>2,4>2,1702>2,0742$), ambele subșiruri sunt mărginite (între $1$ și $3$), deci convergente. Limita comună verifică $\ell =\frac{6}{\ell +1}$, adică ${\ell }^2+\ell -6=0$, cu rădăcinile $2$ și $-3$; termenii fiind pozitivi, limita este $2$. Cum ambele subșiruri (de rang par și de rang impar) au limita $2$, întregul șir are limita $2$.

De reținut

• Rețeta în cinci pași: primii termeni $\to$ mărginire (inducție) $\to$ monotonie (semnul diferenței) $\to$ teorema lui Weierstrass $\to$ ecuația $\ell =f(\ell )$.
• Weierstrass dă existența, recurența dă valoarea. Cele două etape sunt distincte și niciuna nu o înlocuiește pe cealaltă.
• Punctele fixe se rezolvă la ciornă de la început: ele îți indică marginea potrivită pentru pasul de mărginire.
• Alegerea rădăcinii ecuației limitei se justifică cu o inegalitate demonstrată dinainte (de exemplu $a_n<2$ dă $\ell \le 2$), nu prin aproximări numerice.
• Recurențele liniare $a_{n+1}=q{a}_n+b$ au formulă explicită: $a_n={\ell }^{\ast }+\left(a_1-{\ell }^{\ast }\right)q^{n-1}$, cu ${\ell }^{\ast }=\frac{b}{1-q}$; ele converg pentru orice $a_1$ exact când $|q|<1$ (dacă $a_1={\ell }^{\ast }$, șirul e constant, oricare ar fi $q$).

Greșeli frecvente

• Treci la limită fără să dovedești convergența. Este greșeala numărul unu; ea produce răspunsuri care par corecte, dar sunt false (vezi $a_{n+1}=2a_n$, unde ar rezulta $\ell =0$ pentru un șir care merge la $+\infty$).
• Alegi rădăcina „care arată bine". Ecuația limitei are, de obicei, două soluții. Trebuie eliminată una prin argument, folosind încadrarea demonstrată la pasul 2 sau monotonia de la pasul 3.
• Faci inducția pe intervalul greșit. Dacă alegi o margine care nu este invariantă, pasul de inducție nu se închide. Marginea corectă e aproape mereu un punct fix; testeaz-o pe primii termeni înainte de a scrie demonstrația.
• Confunzi „nu e monoton" cu „nu e convergent". Șirul $a_{n+1}=-\frac{1}{2}{a}_n+3$ oscilează, dar converge. Weierstrass este o condiție suficientă, nu necesară.
• Uiți că răspunsul poate depinde de $a_1$. Aceeași recurență poate da un șir convergent pentru un prim termen și unul divergent pentru altul; enunțul dă întotdeauna $a_1$, iar el intră în demonstrație.

Aplică acasă

1. Radicalul infinit. Pe un calculator obișnuit, tastează $1$, apoi apasă repetat secvența „$+2$, radical". Notează câte apăsări îți trebuie ca ecranul să afișeze $2$ cu toate zecimalele afișabile. Ai executat, manual, șirul $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$ folosit ca fir conducător la punctele 3–5.

2. Cine ajunge mai repede? Compară, pe același calculator, șirul lui Heron pentru $\sqrt{2}$ (Exemplul 3) cu șirul ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ pentru $e$. Numără câți pași îți trebuie ca să obții patru zecimale corecte în fiecare caz. Diferența dintre cele două numere explică de ce metoda lui Heron se folosește și astăzi în calculatoare.

3. Rezervorul din bucătărie. Ia un pahar cu $200$ ml de suc, scoate un sfert și completează cu apă; repetă de cinci ori, notând de fiecare dată ce fracțiune de suc a rămas. Compară valorile obținute cu ${\left(\frac{3}{4}\right)}^n$ și explică de ce sucul nu dispare niciodată complet, deși concentrația tinde la zero.

Pentru părinți și profesori

Lecția pune la lucru, într-o singură procedură, aproape tot capitolul de șiruri: monotonie, mărginire, inducție, teorema lui Weierstrass, operații cu limite, trecerea la limită în inegalități. Ideea centrală, pe care elevul trebuie să o poată enunța singur, este separarea dintre existența limitei (dovedită cu Weierstrass) și valoarea ei (obținută din ecuația punctelor fixe).

Ce verifică lecția: (1) scrierea corectă a unei demonstrații prin inducție pentru mărginire, cu pasul de verificare și pasul de trecere; (2) studiul semnului diferenței $a_{n+1}-a_n$ prin descompunere în factori; (3) invocarea explicită a teoremei lui Weierstrass, cu ambele ipoteze; (4) justificarea alegerii rădăcinii din ecuația limitei. Întrebări bune de control: „De ce nu putem trece direct la limită?", „De unde ai știut ce margine să încerci?", „Ce se schimbă dacă primul termen e $4$ în loc de $0$?".

La BAC M1, tipul acesta de problemă apare des ca subiect cu trei cerințe (mărginire, monotonie, limită), exact în forma Exemplului 6, iar baremul acordă punctaje separate pentru fiecare. Semn că elevul a înțeles: înainte de orice calcul, scrie ecuația punctelor fixe pe ciornă, ca să știe ce trebuie să demonstreze.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că un șir este definit prin recurență? Înseamnă că se dau primul termen (sau primii câțiva) și o regulă prin care fiecare termen se obține din cei dinaintea lui, de exemplu $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$. Spre deosebire de definirea prin formula termenului general, aici nu poți calcula direct $a_{100}$: trebuie să treci prin toți termenii dinainte.

Cum se studiază convergența unui șir recurent? În cinci pași: calculezi câțiva termeni, demonstrezi mărginirea (de regulă prin inducție), demonstrezi monotonia (prin semnul diferenței $a_{n+1}-a_n$), invoci teorema lui Weierstrass pentru a obține convergența, apoi treci la limită în relația de recurență și rezolvi ecuația $\ell =f(\ell )$.

De ce nu pot trece direct la limită în relația de recurență? Pentru că trecerea la limită presupune că limita există și este finită. Dacă șirul nu e convergent, ecuația obținută nu are nicio legătură cu el: la $a_{n+1}=2a_n$ ea dă $\ell =0$, deși șirul crește la $+\infty$.

Ce sunt punctele fixe ale unei recurențe? Sunt soluțiile ecuației $\ell =f(\ell )$, adică valorile care, introduse în recurență, se reproduc pe ele însele. Dacă șirul este convergent, limita lui este obligatoriu unul dintre punctele fixe — dar existența unui punct fix nu garantează convergența.

Cum aleg marginea la demonstrația prin inducție? Rezolvi întâi ecuația punctelor fixe: rădăcina spre care par să meargă primii termeni este, aproape întotdeauna, marginea potrivită. Apoi verifici că intervalul ales este invariant, adică din $a_n$ în interval rezultă $a_{n+1}$ în același interval.

Ce fac dacă șirul nu este monoton? Teorema lui Weierstrass nu se poate aplica direct. Dacă recurența este liniară, folosești formula explicită a termenului general. Altfel, studiezi separat subșirul termenilor de rang par și pe cel de rang impar: dacă amândouă sunt monotone, mărginite și au aceeași limită, atunci întregul șir converge la acea valoare.

Poate limita să depindă de primul termen? Da, iar la recurențele neliniare acesta este cazul obișnuit. Pentru $a_{n+1}=\frac{a_n^2+3}{4}$, pornind din $0$ obții un șir convergent la $1$, iar pornind din $4$ obții un șir care tinde la $+\infty$. La recurențele liniare cu $|q|<1$, dimpotrivă, limita este aceeași pentru orice $a_1$.

Unde folosesc practic șirurile recurente? Peste tot unde o stare se calculează din starea precedentă: solduri de credit, populații, concentrații, algoritmi de aproximare precum metoda lui Heron pentru radicali. Aplicațiile economice și demografice sunt tratate în lecția Modelarea proceselor de creștere și de descreștere prin șiruri.