Sisteme Cramer de ordinul 4: pe scurt

La un sistem cu patru ecuații și patru necunoscute, teorema lui Cramer rămâne neschimbată: dacă $\Delta =\det A\ne 0$, soluția este unică și $x_k=\frac{{\Delta }_k}{\Delta }$, pentru $k=1,2,3,4$. Se schimbă doar tehnica de calcul a celor cinci determinanți de ordinul al patrulea.

Prima regulă este una de interdicție: regula lui Sarrus și regula triunghiului se aplică exclusiv la ordinul $3$. Un determinant de ordin $4$ are $4!=24$ de termeni, iar schema cu diagonale produce doar $8$ — nu există nicio extindere corectă a regulii. La ordinul $4$ se dezvoltă după o linie sau o coloană.

Ca dezvoltarea să fie ieftină, zerourile se fabrică: se caută un element egal cu $1$ sau $-1$, numit pivot, iar cu operația $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$ (cu $i\ne j$), care nu schimbă valoarea determinantului, se anulează celelalte elemente de pe coloana pivotului. După dezvoltarea acelei coloane rămâne un singur determinant de ordinul al treilea, calculabil cu Sarrus. Fără pivotare, cei cinci determinanți s-ar sparge în până la douăzeci de calcule.

Ordinea de lucru rămâne: întâi $\Delta$; dacă iese $0$, sistemul nu este de tip Cramer și auxiliarii nu mai folosesc. La final, verificarea în toate cele patru ecuații.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pentru a calcula un determinant de ordinul al patrulea, procedeul corect este:

   • a) regula lui Sarrus, adăugând încă o coloană sub tablou
   • b) regula triunghiului, cu patru diagonale în loc de trei
   • c) fabricarea zerourilor pe o linie sau o coloană, urmată de dezvoltarea după ea
   • d) înmulțirea elementelor de pe diagonala principală
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) fabricarea zerourilor pe o linie sau o coloană, urmată de dezvoltarea după ea

   Un determinant de ordin $4$ are $4!=24$ de termeni, iar orice schemă cu diagonale de tip Sarrus produce cel mult $8$: regula lui Sarrus și regula triunghiului rămân valabile numai la ordinul $3$. Produsul elementelor de pe diagonala principală dă determinantul doar la matricele triunghiulare, nu în general.

2. Calculați $\left|\begin{array}{cccc}2& 1& 0& 3\\ 0& 4& 0& 1\\ 5& -2& 3& 0\\ 1& 6& 0& -1\end{array}\right|$.

   • a) $-31$
   • b) $31$
   • c) $93$
   • d) $-93$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $-93$

   Coloana a treia are deja trei zerouri, deci dezvoltăm după ea. Singurul element nenul este $3$, aflat pe linia a treia, cu semnul $(-1{)}^{3+3}=+1$, așa că determinantul este $3\cdot \left|\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 0& 4& 1\\ 1& 6& -1\end{array}\right|$. Cu regula lui Sarrus, minorul de ordin $3$ valorează $(-8+1+0)-(12+12+0)=-31$, deci rezultatul este $3\cdot (-31)=-93$. Uitarea factorului $3$ sau greșirea semnului $(-1{)}^{i+j}$ dau celelalte variante.

3. Care dintre transformările următoare lasă NESCHIMBATĂ valoarea unui determinant?

   • a) $L_2\leftarrow L_2+3L_4$
   • b) $L_2\leftarrow 3L_2$
   • c) $L_1\leftrightarrow L_3$
   • d) $C_2\leftarrow 5C_2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $L_2\leftarrow L_2+3L_4$

   Numai adunarea la o linie a altei linii înmulțite cu un număr păstrează valoarea; operația se scrie $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$ și cere $i\ne j$ (altfel linia ar putea fi anulată, iar transformarea nu ar mai fi reversibilă). Înmulțirea unei linii sau a unei coloane cu $\alpha$ înmulțește determinantul cu $\alpha$, iar schimbarea a două linii îi schimbă semnul.