Sisteme de tip Cramer cu patru ecuații și patru necunoscute

Regula lui Cramer nu se schimbă cu nimic atunci când trecem de la trei la patru necunoscute: soluția rămâne $x_k=\frac{{\Delta }_k}{\Delta }$. Ce se schimbă este volumul de calcul. La un sistem $3\times 3$ ai patru determinanți de ordinul al treilea; la unul $4\times 4$ ai cinci determinanți de ordinul al patrulea, iar fiecare, calculat fără precauție, se sparge în alți patru de ordinul al treilea. Douăzeci de calcule Sarrus într-o singură problemă sunt o invitație la eroare.

Nota oficială din programă spune limpede: „în aplicațiile practice se vor rezolva sisteme cu cel mult $4$ ecuații și cel mult $4$ necunoscute". Ordinul $4$ este, așadar, pragul — și tocmai de aceea lecția aceasta nu este despre o formulă nouă, ci despre organizarea calculului: cum fabrici zerouri într-un determinant înainte de a-l dezvolta, ce operații poți face fără să-i schimbi valoarea și cum verifici, la final, că totul a ieșit corect.

Ce vei învăța

• Vei ști de ce regula lui Sarrus nu se aplică la determinanții de ordinul al patrulea.
• Vei ști să fabrici zerouri pe o linie sau pe o coloană, folosind transformările care nu schimbă valoarea determinantului.
• Vei ști să calculezi cei cinci determinanți ai unui sistem $4\times 4$ cu un efort rezonabil.
• Vei ști să rezolvi complet un sistem $4\times 4$ de tip Cramer, cu verificare în toate cele patru ecuații.
• Vei ști să recunoști un sistem $4\times 4$ care nu este de tip Cramer și ce urmează atunci.
• Vei ști să modelezi cu un sistem $4\times 4$ o situație practică de resurse.

Hai să descoperim împreună

1. Ce se schimbă și ce nu

Teorema lui Cramer, demonstrată la Sisteme de tip Cramer: teorema și formulele lui Cramer, a fost enunțată pentru $n$ oarecare. Prin urmare, pentru un sistem cu patru ecuații și patru necunoscute

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+a_{13}{x}_3+a_{14}{x}_4=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+a_{23}{x}_3+a_{24}{x}_4=b_2\\ a_{31}{x}_1+a_{32}{x}_2+a_{33}{x}_3+a_{34}{x}_4=b_3\\ a_{41}{x}_1+a_{42}{x}_2+a_{43}{x}_3+a_{44}{x}_4=b_4\end{array}$$

cu $\Delta =\det A\ne 0$, soluția este unică și se scrie $x_1=\frac{{\Delta }_1}{\Delta }$, $x_2=\frac{{\Delta }_2}{\Delta }$, $x_3=\frac{{\Delta }_3}{\Delta }$, $x_4=\frac{{\Delta }_4}{\Delta }$, unde ${\Delta }_k$ se obține din $\Delta$ înlocuind coloana $k$ cu coloana termenilor liberi.

Se schimbă numai tehnica de calcul a determinanților. Și aici prima regulă este una de interdicție.

⚠️ Regula lui Sarrus și regula triunghiului se aplică EXCLUSIV la determinanții de ordinul al treilea. La ordinul $4$ ele dau rezultate false, pentru că un determinant de ordin $4$ are $4!=24$ de termeni, iar „diagonalele" lui Sarrus produc doar $8$. Nu există nicio variantă extinsă a regulii. La ordinul $4$ se dezvoltă după o linie sau o coloană.

2. Fabricarea zerourilor

Dezvoltarea după o linie oarecare a unui determinant de ordin $4$ înseamnă patru determinanți de ordin $3$. Dacă însă linia respectivă conține trei zerouri, rămâne un singur determinant de ordin $3$. Zerourile nu se așteaptă: se produc.

Instrumentul este proprietatea demonstrată la Proprietățile determinanților (II): schimbarea liniilor, linii proporționale, transformări și aplicată la Determinanți de ordin 4 calculați prin transformări elementare:

dacă la o linie a unui determinant se adună o altă linie înmulțită cu un număr, valoarea determinantului nu se schimbă.

Operația se notează, o dată pentru totdeauna, $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$, și se scrie explicit lângă fiecare pas. Aceeași proprietate este valabilă și pentru coloane.

Strategia. Caută în determinant un element egal cu $1$ sau cu $-1$ — el este „pivotul". Folosind linia lui, anulează toate celelalte elemente de pe coloana pivotului. Apoi dezvoltă după acea coloană: rămâne un singur determinant de ordinul al treilea, pe care îl calculezi cu Sarrus.

3. Exemplul principal: un atelier cu patru produse

Un atelier fabrică patru tipuri de piese: taburete, etajere, rafturi și cutii de depozitare. Într-o comandă s-au consumat, în total, $11$ plăci de lemn, $10$ cutii de șuruburi, $13$ ore de manoperă și $13$ metri de cant, iar consumurile pe bucată sunt cele din tabelul de mai jos.

Notăm cu $x_1,x_2,x_3,x_4$ numărul de piese din fiecare fel. Fiecare linie a tabelului dă o ecuație:

$$\{\begin{array}{l}2x_1+x_2+x_3+x_4=11\\ x_1+3x_2+x_3=10\\ x_1+x_2+2x_3+x_4=13\\ x_2+x_3+2x_4=13\end{array}$$

4. Determinantul principal

$$\Delta =\left|\begin{array}{cccc}2& 1& 1& 1\\ 1& 3& 1& 0\\ 1& 1& 2& 1\\ 0& 1& 1& 2\end{array}\right|$$

Pivotul cel mai comod este $1$-ul de pe linia a doua, coloana întâi. Anulăm celelalte elemente ale primei coloane: $L_1\leftarrow L_1-2L_2$ și $L_3\leftarrow L_3-L_2$ (linia a patra are deja $0$ acolo). Valoarea nu se schimbă, deci

$$\Delta =\left|\begin{array}{cccc}0& -5& -1& 1\\ 1& 3& 1& 0\\ 0& -2& 1& 1\\ 0& 1& 1& 2\end{array}\right|.$$

Dezvoltăm acum după prima coloană. Singurul element nenul este cel de pe linia a doua, iar semnul lui este $(-1{)}^{2+1}=-1$, deci

$$\Delta =-1\cdot \left|\begin{array}{ccc}-5& -1& 1\\ -2& 1& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right|=-[(-10-1-2)-(1-5+4)]=-(-13-0)=13.$$

Cum $\Delta =13\ne 0$, sistemul este de tip Cramer: are exact o soluție.

5. Cei patru determinanți auxiliari

Pentru ${\Delta }_2$, ${\Delta }_3$ și ${\Delta }_4$ prima coloană rămâne neatinsă, deci exact aceleași două operații, $L_1\leftarrow L_1-2L_2$ și $L_3\leftarrow L_3-L_2$, curăță din nou prima coloană. După dezvoltarea ei, cu același factor $-1$, rămân determinanții de ordinul al treilea

$${\Delta }_2=-\left|\begin{array}{ccc}-9& -1& 1\\ 3& 1& 1\\ 13& 1& 2\end{array}\right|=26,{\Delta }_3=-\left|\begin{array}{ccc}-5& -9& 1\\ -2& 3& 1\\ 1& 13& 2\end{array}\right|=39,{\Delta }_4=-\left|\begin{array}{ccc}-5& -1& -9\\ -2& 1& 3\\ 1& 1& 13\end{array}\right|=52.$$

De exemplu, pentru ${\Delta }_2$: Sarrus dă $(-18-13+3)-(13-9-6)=-28+2=-26$, iar ${\Delta }_2=-(-26)=26$.

Pentru ${\Delta }_1$ prima coloană a fost înlocuită, deci pivotăm altfel: folosim $1$-ul de pe linia întâi, coloana a doua, și facem $L_2\leftarrow L_2-3L_1$, $L_3\leftarrow L_3-L_1$, $L_4\leftarrow L_4-L_1$:

$${\Delta }_1=\left|\begin{array}{cccc}11& 1& 1& 1\\ 10& 3& 1& 0\\ 13& 1& 2& 1\\ 13& 1& 1& 2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}11& 1& 1& 1\\ -23& 0& -2& -3\\ 2& 0& 1& 0\\ 2& 0& 0& 1\end{array}\right|.$$

Dezvoltând după coloana a doua, singurul element nenul este pe linia întâi, cu semnul $(-1{)}^{1+2}=-1$:

$${\Delta }_1=-\left|\begin{array}{ccc}-23& -2& -3\\ 2& 1& 0\\ 2& 0& 1\end{array}\right|=-[(-23+0+0)-(-6+0-4)]=-(-23+10)=13.$$

6. Soluția și verificarea

Împărțim fiecare auxiliar la $\Delta =13$:

$$x_1=\frac{13}{13}=1,x_2=\frac{26}{13}=2,x_3=\frac{39}{13}=3,x_4=\frac{52}{13}=4.$$

Verificarea, în toate cele patru ecuații — pasul pe care baremele îl cer și pe care elevii îl sar:

• $2\cdot 1+2+3+4=11$ ✓
• $1+3\cdot 2+3=10$ ✓
• $1+2+2\cdot 3+4=13$ ✓
• $2+3+2\cdot 4=13$ ✓

Atelierul a produs $1$ taburet, $2$ etajere, $3$ rafturi și $4$ cutii. Numerele sunt întregi și pozitive, deci și interpretarea în context este corectă — un rezultat negativ ar fi însemnat o eroare de model sau de calcul.

7. Un sistem cu multe zerouri

Când matricea are deja multe zerouri, calculul se scurtează dramatic. Rezolvăm

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=3\\ x_2+x_3=4\\ x_3+x_4=7\\ x_1+2x_4=10\end{array}\Delta =\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 1& 1\\ 1& 0& 0& 2\end{array}\right|.$$

Prima coloană are deja două zerouri, deci o dezvoltăm direct. Elementele nenule sunt pe liniile $1$ și $4$, cu semnele $(-1{)}^{1+1}=+1$ și $(-1{)}^{4+1}=-1$:

$$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right|-\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right|=2-1=1.$$

Amândoi minorii sunt triunghiulari, deci egali cu produsul elementelor de pe diagonala principală. Cum $\Delta =1$, împărțirile de la final dispar: $x_k={\Delta }_k$. Se obțin ${\Delta }_1=2$, ${\Delta }_2=1$, ${\Delta }_3=3$, ${\Delta }_4=4$, deci soluția este $(2,1,3,4)$.

Verificare: $2+1=3$ ✓; $1+3=4$ ✓; $3+4=7$ ✓; $2+8=10$ ✓.

8. Cât costă metoda și ce urmează

Fără fabricarea zerourilor, fiecare dintre cei cinci determinanți se sparge în patru determinanți de ordinul al treilea — până la douăzeci de calcule Sarrus. Cu pivotare, fiecare se reduce la unul singur, deci la cinci. Diferența nu este de eleganță, ci de numărul de ocazii de a greși un semn.

Chiar și așa, la sisteme mari regula lui Cramer nu este metoda cea mai economică; o alternativă, care lucrează direct pe ecuații și rezolvă și sistemele cu $\Delta =0$, este metoda de la lecția 39, Metoda lui Gauss pentru rezolvarea sistemelor liniare. Iar dacă $\Delta =0$, sistemul nu este de tip Cramer: poate fi incompatibil sau compatibil nedeterminat, iar decizia se ia cu Teorema Kronecker-Capelli.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un sistem $4\times 4$ aproape triunghiular

Rezolvați sistemul $x_1+x_2=3$, $x_2+x_3=5$, $x_3+x_4=7$, $x_4=4$.

Rezolvare. Matricea sistemului este triunghiulară, cu $1$ pe toată diagonala principală, deci $\Delta =1\cdot 1\cdot 1\cdot 1=1\ne 0$: sistem de tip Cramer. Determinanții auxiliari ies ${\Delta }_1=1$, ${\Delta }_2=2$, ${\Delta }_3=3$, ${\Delta }_4=4$, deci soluția este $(1,2,3,4)$.

Verificare: $1+2=3$ ✓; $2+3=5$ ✓; $3+4=7$ ✓; $x_4=4$ ✓.

Exemplul 2 — Fabricarea zerourilor, pas cu pas

Calculați $\Delta =\left|\begin{array}{cccc}2& 3& 1& 1\\ 1& 2& 1& 0\\ 1& 1& 2& 1\\ 0& 1& 1& 2\end{array}\right|$.

Rezolvare. Pivot: $1$-ul de pe linia a doua, coloana întâi. Facem $L_1\leftarrow L_1-2L_2$ și $L_3\leftarrow L_3-L_2$; valoarea nu se schimbă:

$$\Delta =\left|\begin{array}{cccc}0& -1& -1& 1\\ 1& 2& 1& 0\\ 0& -1& 1& 1\\ 0& 1& 1& 2\end{array}\right|=-1\cdot \left|\begin{array}{ccc}-1& -1& 1\\ -1& 1& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right|.$$

Cu regula lui Sarrus, $(-2-1-1)-(1-1+2)=-4-2=-6$, deci $\Delta =-(-6)=6$.

Control. Dezvoltarea directă a determinantului inițial după prima linie cere patru minori de ordinul al treilea și dă tot $6$ — dar cu de patru ori mai multe calcule.

Exemplul 3 — Un sistem $4\times 4$ cu o necunoscută nulă

Rezolvați sistemul $2x_1+x_2=2$, $x_1+2x_2+x_3=3$, $x_2+2x_3+x_4=5$, $x_3+2x_4=4$.

Rezolvare. Matricea sistemului este tridiagonală, cu multe zerouri; dezvoltând după prima coloană și apoi din nou după prima coloană a minorilor, se obține $\Delta =5\ne 0$.

Determinanții auxiliari sunt ${\Delta }_1=5$, ${\Delta }_2=0$, ${\Delta }_3=10$, ${\Delta }_4=5$, deci

$$x_1=1,x_2=\frac{0}{5}=0,x_3=2,x_4=1.$$

Un determinant auxiliar nul nu înseamnă că sistemul are ceva în neregulă: înseamnă doar că necunoscuta respectivă este $0$. Verificare: $2+0=2$ ✓; $1+0+2=3$ ✓; $0+4+1=5$ ✓; $2+2=4$ ✓.

Exemplul 4 — Un sistem $4\times 4$ care nu este de tip Cramer

Arătați că sistemul $x_1+x_2=3$, $x_2+x_3=5$, $x_3+x_4=7$, $x_1+x_4=5$ nu este de tip Cramer.

Rezolvare. Notăm liniile matricei sistemului cu $L_1$, $L_2$, $L_3$, $L_4$ și observăm că $L_1-L_2+L_3=(1,0,0,1)=L_4$. Facem transformarea $L_4\leftarrow L_4-L_1+L_2-L_3$, care nu schimbă valoarea determinantului; ultima linie devine nulă, deci $\Delta =0$.

Sistemul nu este de tip Cramer și formulele nu se aplică. Se poate observa direct de ce: adunând prima și a treia ecuație obținem $x_1+x_2+x_3+x_4=10$, iar adunând-o pe a doua cu a patra obținem tot $x_1+x_2+x_3+x_4=10$ — a patra ecuație nu aduce nicio informație nouă, iar sistemul are o infinitate de soluții.

Exemplul 5 — Modelare: patru produse, patru resurse

O firmă asamblează patru produse. Cantitățile consumate din patru materiale sunt date de sistemul $x_1+x_2+x_3+x_4=10$, $2x_1+x_2+3x_3+x_4=17$, $x_1+2x_2+x_3+3x_4=20$, $x_2+x_3+2x_4=13$. Aflați câte bucăți s-au produs din fiecare.

Rezolvare. Prima linie a matricei sistemului e formată numai din $1$, deci o folosim ca linie-pivot pe prima coloană: $L_2\leftarrow L_2-2L_1$, $L_3\leftarrow L_3-L_1$. Se obține $\Delta =1\ne 0$, iar auxiliarii sunt ${\Delta }_1=1$, ${\Delta }_2=2$, ${\Delta }_3=3$, ${\Delta }_4=4$. Cum $\Delta =1$, soluția se citește direct: $(1,2,3,4)$. Verificare: $10$ ✓; $2+2+9+4=17$ ✓; $1+4+3+12=20$ ✓; $2+3+8=13$ ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră sistemul $x_1+x_2+x_3+x_4=10$, $x_1-x_2+x_3-x_4=-2$, $x_1+x_2-x_3-x_4=-4$, $x_1-x_2-x_3+x_4=0$. a) Arătați că sistemul este de tip Cramer. b) Rezolvați sistemul.

Rezolvare. a) Pivotăm cu prima linie pe prima coloană: $L_2\leftarrow L_2-L_1$, $L_3\leftarrow L_3-L_1$, $L_4\leftarrow L_4-L_1$. Determinantul devine

$$\Delta =\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& -2& 0& -2\\ 0& 0& -2& -2\\ 0& -2& -2& 0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}-2& 0& -2\\ 0& -2& -2\\ -2& -2& 0\end{array}\right|=16.$$

Într-adevăr, cu regula lui Sarrus, $(0+0+0)-(-8-8-0)=16$. Cum $\Delta =16\ne 0$, sistemul este de tip Cramer.

b) Determinanții auxiliari, calculați prin aceeași pivotare, sunt ${\Delta }_1=16$, ${\Delta }_2=32$, ${\Delta }_3=48$, ${\Delta }_4=64$, deci $x_1=1$, $x_2=2$, $x_3=3$, $x_4=4$.

Verificare în toate ecuațiile: $1+2+3+4=10$ ✓; $1-2+3-4=-2$ ✓; $1+2-3-4=-4$ ✓; $1-2-3+4=0$ ✓.

Să exersăm

La fiecare sistem $4\times 4$: caută întâi un pivot egal cu $1$, fabrică zerourile, calculează $\Delta$ și abia apoi auxiliarii. Verifică soluția în toate cele patru ecuații. Nu folosi niciodată regula lui Sarrus la ordinul $4$.

1. Rezolvă sistemul $x_1+x_2=3$, $x_2+x_3=5$, $x_3+x_4=7$, $x_4=4$.

2. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Regula lui Sarrus se poate aplica și determinanților de ordinul al patrulea, adăugând încă o coloană."

3. Rezolvă sistemul $x_1+2x_2=4$, $x_2+3x_3=4$, $x_3+2x_4=7$, $x_1+x_4=5$.

4. Câți determinanți se calculează pentru un sistem Cramer $4\times 4$? Câți determinanți de ordinul al treilea ies din fiecare, dacă nu fabrici niciun zero?

5. Pentru determinantul $\left|\begin{array}{cccc}3& 0& 0& 2\\ 1& 4& 0& 0\\ 5& 1& 0& 7\\ 2& 6& 1& 3\end{array}\right|$, spune după care linie sau coloană îl dezvolți cu cel mai mic efort și de ce; apoi calculează-l.

6. Rezolvă sistemul $x_1+x_2+x_3+x_4=10$, $x_1+2x_2=4$, $x_3+2x_4=11$, $x_1+x_4=6$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă determinantul principal al unui sistem $4\times 4$ este nul, sistemul este incompatibil."

8. Arată că sistemul $x_1+x_2=3$, $x_2+x_3=5$, $x_3+x_4=7$, $x_1+x_4=5$ nu este de tip Cramer.

9. Rezolvă sistemul $x_1+x_2+x_3=6$, $x_2+x_3+x_4=9$, $x_1+x_3+x_4=8$, $x_1+x_2+x_4=7$.

10. (Problemă aplicată.) O firmă asamblează patru produse; consumurile de materiale dau sistemul $x_1+x_2+x_3+x_4=10$, $2x_1+x_2+3x_3+x_4=17$, $x_1+2x_2+x_3+3x_4=20$, $x_2+x_3+2x_4=13$. Află câte bucăți s-au produs din fiecare.

11. Rezolvă sistemul $x_1+x_3=4$, $x_2+x_4=6$, $x_1+x_2=3$, $x_3+2x_4=11$.

12. Calculează $\left|\begin{array}{cccc}2& 3& 1& 1\\ 1& 2& 1& 0\\ 1& 1& 2& 1\\ 0& 1& 1& 2\end{array}\right|$ fabricând zerouri pe prima coloană, apoi verifică rezultatul dezvoltând determinantul inițial după ultima linie.

13. Determină valorile lui $m\in \mathbb{R}$ pentru care sistemul cu matricea $\left(\begin{array}{cccc}m& 1& 0& 0\\ 1& m& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 1& 2\end{array}\right)$ este de tip Cramer.

14. Rezolvă sistemul $2x_1+x_2=2$, $x_1+2x_2+x_3=3$, $x_2+2x_3+x_4=5$, $x_3+2x_4=4$ și explică ce înseamnă că unul dintre determinanții auxiliari este nul.

15. (Problemă aplicată.) Într-un depozit intră patru sortimente de marfă. Cantitățile verifică $x_1+x_2+x_3+x_4=10$, $2x_1+x_3=7$, $3x_2+x_4=7$, $x_1+x_2+2x_4=11$. Află cantitățile.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră sistemul $x_1+x_2+x_3+x_4=10$, $x_1-x_2+x_3-x_4=-2$, $x_1+x_2-x_3-x_4=-4$, $x_1-x_2-x_3+x_4=0$. a) Arată că sistemul este de tip Cramer. b) Rezolvă sistemul.

17. Rezolvă sistemul $x_1+2x_2+3x_3+4x_4=10$, $x_2+2x_3+3x_4=6$, $x_3+2x_4=3$, $x_4=1$.

18. (Provocare.) Arată că determinantul unei matrice triunghiulare de ordin $4$ este produsul elementelor de pe diagonala principală. Deduce în ce condiții un sistem cu matrice triunghiulară este de tip Cramer și explică de ce, într-un asemenea sistem, necunoscutele se pot afla una câte una, de jos în sus.

Răspunsuri și explicații

1. Matricea este triunghiulară, cu $1$ pe diagonală, deci $\Delta =1$. Auxiliarii: ${\Delta }_1=1$, ${\Delta }_2=2$, ${\Delta }_3=3$, ${\Delta }_4=4$, deci soluția este $(1,2,3,4)$. Verificare: $3$ ✓, $5$ ✓, $7$ ✓, $4$ ✓.

2. Fals. Un determinant de ordinul al patrulea are $4!=24$ de termeni, iar orice construcție cu „diagonale" de tip Sarrus produce cel mult $8$. Regula lui Sarrus și regula triunghiului sunt valabile exclusiv la ordinul $3$; la ordinul $4$ se dezvoltă după o linie sau o coloană, de preferință după una în care s-au fabricat zerouri.

3. Cu $L_4\leftarrow L_4-L_1$ și dezvoltare după prima coloană se obține $\Delta =-11\ne 0$. Auxiliarii: ${\Delta }_1=-22$, ${\Delta }_2=-11$, ${\Delta }_3=-11$, ${\Delta }_4=-33$, deci soluția este $(2,1,1,3)$. Verificare: $2+2=4$ ✓; $1+3=4$ ✓; $1+6=7$ ✓; $2+3=5$ ✓.

4. Cinci: $\Delta$, ${\Delta }_1$, ${\Delta }_2$, ${\Delta }_3$, ${\Delta }_4$. Fiecare, dezvoltat după o linie fără zerouri, dă patru determinanți de ordinul al treilea, deci până la $20$ de calcule Sarrus. Cu pivotare, fiecare se reduce la un singur determinant de ordin $3$.

5. Coloana a treia are trei zerouri, deci este alegerea cea mai bună: rămâne un singur minor. Singurul element nenul de pe ea este $1$, pe linia a patra, cu semnul $(-1{)}^{4+3}=-1$, deci determinantul este $-\left|\begin{array}{ccc}3& 0& 2\\ 1& 4& 0\\ 5& 1& 7\end{array}\right|=-(86-40)=-46$.

6. Cu $L_2\leftarrow L_2-L_1$ și $L_4\leftarrow L_4-L_1$, apoi dezvoltare după prima coloană, se obține $\Delta =3\ne 0$. Auxiliarii: ${\Delta }_1=6$, ${\Delta }_2=3$, ${\Delta }_3=9$, ${\Delta }_4=12$, deci soluția este $(2,1,3,4)$. Verificare: $10$ ✓; $2+2=4$ ✓; $3+8=11$ ✓; $2+4=6$ ✓.

7. Fals. $\Delta =0$ înseamnă doar că sistemul nu este de tip Cramer; el poate fi incompatibil, dar poate fi și compatibil nedeterminat, ca sistemul de la exercițiul $8$, care are o infinitate de soluții. Decizia se ia cu teorema Kronecker-Capelli.

8. Cu $L_1$, $L_2$, $L_3$, $L_4$ liniile matricei sistemului, avem $L_1-L_2+L_3=(1,0,0,1)=L_4$. Transformarea $L_4\leftarrow L_4-L_1+L_2-L_3$ nu schimbă determinantul și face ultima linie nulă, deci $\Delta =0$: sistemul nu este de tip Cramer.

9. Pivotând cu prima linie pe prima coloană ($L_3\leftarrow L_3-L_1$, $L_4\leftarrow L_4-L_1$) se obține $\Delta =3\ne 0$. Auxiliarii: ${\Delta }_1=3$, ${\Delta }_2=6$, ${\Delta }_3=9$, ${\Delta }_4=12$, deci soluția este $(1,2,3,4)$. Verificare: $1+2+3=6$ ✓; $2+3+4=9$ ✓; $1+3+4=8$ ✓; $1+2+4=7$ ✓.

10. Cu $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ și $L_3\leftarrow L_3-L_1$ se obține $\Delta =1$, iar auxiliarii sunt ${\Delta }_1=1$, ${\Delta }_2=2$, ${\Delta }_3=3$, ${\Delta }_4=4$. Deci s-au produs $1$, $2$, $3$ și $4$ bucăți. Verificare: $10$ ✓; $2+2+9+4=17$ ✓; $1+4+3+12=20$ ✓; $2+3+8=13$ ✓.

11. Cu $L_3\leftarrow L_3-L_1$ și dezvoltare după prima coloană se obține $\Delta =-1\ne 0$. Auxiliarii: ${\Delta }_1=-1$, ${\Delta }_2=-2$, ${\Delta }_3=-3$, ${\Delta }_4=-4$, deci soluția este $(1,2,3,4)$. Verificare: $1+3=4$ ✓; $2+4=6$ ✓; $1+2=3$ ✓; $3+8=11$ ✓.

12. Cu $L_1\leftarrow L_1-2L_2$ și $L_3\leftarrow L_3-L_2$ prima coloană devine $0,1,0,0$, iar dezvoltarea după ea dă $-\left|\begin{array}{ccc}-1& -1& 1\\ -1& 1& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right|=-[(-2-1-1)-(1-1+2)]=6$. Dezvoltarea directă după ultima linie, cu patru minori de ordinul al treilea, dă tot $6$.

13. Dezvoltând după blocuri (prima coloană are doar două elemente nenule, în colțul din stânga-sus), se obține $\Delta =(m^2-1)\cdot (2-1)=m^2-1$. Sistemul este de tip Cramer exact când $m^2-1\ne 0$, adică pentru $m\in \mathbb{R}\setminus \{-1,1\}$.

14. $\Delta =5$, iar auxiliarii sunt ${\Delta }_1=5$, ${\Delta }_2=0$, ${\Delta }_3=10$, ${\Delta }_4=5$, deci soluția este $(1,0,2,1)$. Un auxiliar nul înseamnă doar că necunoscuta respectivă este $0$; sistemul rămâne compatibil determinat, pentru că singurul determinant care decide asta este $\Delta$. Verificare: $2+0=2$ ✓; $1+0+2=3$ ✓; $0+4+1=5$ ✓; $2+2=4$ ✓.

15. Cu $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ și $L_4\leftarrow L_4-L_1$, apoi dezvoltare după prima coloană, se obține $\Delta =7\ne 0$. Auxiliarii: ${\Delta }_1=14$, ${\Delta }_2=7$, ${\Delta }_3=21$, ${\Delta }_4=28$, deci cantitățile sunt $2$, $1$, $3$ și $4$. Verificare: $2+1+3+4=10$ ✓; $4+3=7$ ✓; $3+4=7$ ✓; $2+1+8=11$ ✓.

16. a) Cu $L_2\leftarrow L_2-L_1$, $L_3\leftarrow L_3-L_1$, $L_4\leftarrow L_4-L_1$ și dezvoltare după prima coloană se obține $\Delta =\left|\begin{array}{ccc}-2& 0& -2\\ 0& -2& -2\\ -2& -2& 0\end{array}\right|=16\ne 0$, deci sistemul este de tip Cramer. b) ${\Delta }_1=16$, ${\Delta }_2=32$, ${\Delta }_3=48$, ${\Delta }_4=64$, deci soluția este $(1,2,3,4)$; verificarea în cele patru ecuații dă $10$, $-2$, $-4$ și $0$ ✓.

17. Matricea este triunghiulară, cu $1$ pe diagonală, deci $\Delta =1$. Din ultima ecuație $x_4=1$; înlocuind în a treia, $x_3=1$; apoi în a doua, $x_2=6-2-3=1$; apoi în prima, $x_1=10-2-3-4=1$. Soluția este $(1,1,1,1)$, iar toți auxiliarii ies $1$.

18. Fie $A$ superior triunghiulară. Dezvoltând după prima coloană, singurul element nenul este $a_{11}$, cu semnul $+$, iar minorul rămas este tot superior triunghiular; repetând, $\det A=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}{a}_{44}$. (La matricele inferior triunghiulare se dezvoltă după prima linie.) Sistemul este de tip Cramer exact când toate elementele diagonalei sunt nenule. Atunci ultima ecuație conține o singură necunoscută, penultima două și așa mai departe, deci necunoscutele se află una câte una, de jos în sus, fără niciun determinant. Metoda care aduce orice sistem la o astfel de formă se studiază la lecția 39.

De reținut

• Formulele nu se schimbă: $x_k=\frac{{\Delta }_k}{\Delta }$ și la ordinul $4$; se schimbă doar tehnica de calcul a determinanților.
• Regula lui Sarrus se aplică EXCLUSIV la ordinul $3$. La ordinul $4$ se dezvoltă după o linie sau o coloană.
• Fabrică zerourile înainte de a dezvolta. Transformarea $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$ nu schimbă valoarea determinantului, iar o coloană cu trei zerouri reduce calculul la un singur minor de ordin $3$.
• Calculează întâi $\Delta$. Dacă iese $0$, sistemul nu este de tip Cramer și cei patru auxiliari nu-ți mai folosesc.
• Verifică soluția în toate cele patru ecuații. La cinci determinanți de ordin $4$, o greșeală de semn este aproape inevitabilă fără acest control.

Greșeli frecvente

• Aplicarea regulii lui Sarrus la ordinul $4$. Este cea mai frecventă și mai costisitoare greșeală de la această temă; rezultatul nu are nicio legătură cu determinantul real.
• Uitarea semnului $(-1{)}^{i+j}$ la dezvoltare. Când pivotul este pe linia a doua și coloana întâi, factorul este $-1$, nu $+1$.
• Transformări care schimbă determinantul. Poți aduna la o linie o altă linie înmulțită cu un număr, dar dacă înmulțești o linie cu $\alpha$, determinantul se înmulțește și el cu $\alpha$; iar la schimbarea a două linii își schimbă semnul.
• Calculul auxiliarilor înaintea lui $\Delta$. Dacă $\Delta =0$, munca la cei patru auxiliari este pierdută.
• Confuzia dintre ${\Delta }_k=0$ și „sistem fără soluție". Când $\Delta \ne 0$, un auxiliar nul înseamnă doar că necunoscuta respectivă este $0$.

Aplică acasă

1. Tabelul de consum. Alege patru rețete de prăjituri și patru ingrediente, notează într-un tabel $4\times 4$ cât din fiecare ingredient intră în fiecare rețetă, apoi inventează patru totaluri și rezolvă sistemul obținut. Verifică dacă soluția iese cu numere pozitive.

2. Cronometrul pivotului. Ia un determinant de ordin $4$ cu toate elementele nenule și calculează-l de două ori: o dată prin dezvoltare directă, o dată fabricând întâi zerouri. Compară timpul și numărul de operații.

3. Sistemul construit invers. Alege patru numere întregi, scrie patru ecuații liniare pe care le verifică și dă sistemul unui coleg. Verifică apoi tu, cu regula lui Cramer, că regăsești exact numerele alese.

Pentru părinți și profesori

Lecția este, în primul rând, o lecție de igienă a calculului. Formula lui Cramer este deja cunoscută din lecția precedentă; noutatea este organizarea: pivot, fabricarea zerourilor, dezvoltare după coloana curățată, verificare finală. Elevii care sar peste pivotare ajung la douăzeci de calcule Sarrus și greșesc aproape sigur un semn.

De verificat în caiet: (1) regula lui Sarrus apare numai la determinanți de ordin $3$; (2) fiecare transformare de linie e scrisă explicit, în forma $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$; (3) semnul $(-1{)}^{i+j}$ este pus corect la dezvoltare; (4) $\Delta$ este calculat înaintea auxiliarilor; (5) soluția e verificată în toate cele patru ecuații. Întrebări de control: „De ce nu merge Sarrus la ordinul $4$?"; „Ce transformare pe linii lasă determinantul neschimbat?"; „Ce înseamnă ${\Delta }_3=0$ dacă $\Delta =7$?".

La BAC M1 sistemele sunt de regulă $3\times 3$, dar tehnica de aici — pivot și dezvoltare — este cerută la orice determinant de ordin $4$ care apare în subiectul I sau al II-lea. Semn că elevul a înțeles: caută din reflex un element egal cu $1$ înainte de a începe orice calcul de ordin $4$.

Întrebări frecvente

De ce nu se poate folosi regula lui Sarrus la un determinant de ordin $4$? Pentru că un determinant de ordinul al patrulea are $4!=24$ de termeni, iar schema cu diagonale a lui Sarrus produce doar $8$. Nu există nicio extindere corectă a regulii; la ordinul $4$ se dezvoltă după o linie sau o coloană.

Cum calculez cel mai repede un determinant de ordin $4$? Cauți un element egal cu $1$ sau $-1$, folosești linia lui pentru a anula celelalte elemente de pe coloana lui, prin transformări $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$, apoi dezvolți după acea coloană. Rămâne un singur determinant de ordin $3$, pe care îl calculezi cu Sarrus.

Câți determinanți trebuie calculați la un sistem $4\times 4$? Cinci: determinantul principal $\Delta$ și cei patru auxiliari ${\Delta }_1$, ${\Delta }_2$, ${\Delta }_3$, ${\Delta }_4$. Se începe întotdeauna cu $\Delta$.

Ce transformări nu schimbă valoarea unui determinant? Adunarea la o linie a altei linii înmulțite cu un număr (și analog pentru coloane). Schimbarea a două linii schimbă semnul, iar înmulțirea unei linii cu $\alpha$ înmulțește determinantul cu $\alpha$.

Ce înseamnă dacă unul dintre determinanții auxiliari este zero? Dacă $\Delta \ne 0$, înseamnă doar că necunoscuta corespunzătoare este egală cu $0$. Sistemul rămâne compatibil determinat.

Ce fac dacă determinantul principal al unui sistem $4\times 4$ este nul? Sistemul nu este de tip Cramer, iar formulele nu se aplică. Poate fi incompatibil sau compatibil nedeterminat, iar decizia se ia cu rangul matricei și cu teorema Kronecker-Capelli.