Regula lui Cramer: pe scurt

Un sistem de tip Cramer are $n$ ecuații, $n$ necunoscute și determinantul matricei sistemului nenul. Acest determinant se numește determinant principal și se notează $\Delta =\det A$. Pentru fiecare $k$, determinantul auxiliar ${\Delta }_k$ se obține din $\Delta$ înlocuind coloana $k$ — coloana necunoscutei $x_k$ — cu coloana termenilor liberi; celelalte coloane rămân neatinse. Înlocuirea unei linii în locul coloanei este greșeala numărul unu la această temă.

Teorema lui Cramer: dacă $\Delta \ne 0$, sistemul este compatibil determinat și unica lui soluție este dată de $x_k=\frac{{\Delta }_k}{\Delta }$, pentru $k=1,2,\dots ,n$. Demonstrația pornește de la $X=A^{-1}B$ cu $A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$ și recunoaște în suma ${\sum }_i{b}_i{\delta }_{ik}$ chiar dezvoltarea lui ${\Delta }_k$ după coloana $k$.

Rețeta are cinci pași: verifici că sistemul e pătratic, calculezi $\Delta$, construiești auxiliarii, împarți și verifici soluția în toate ecuațiile. Calculul lui $\Delta$ stă înaintea auxiliarilor: dacă $\Delta =0$, metoda se oprește acolo.

Atenție la ce nu spune teorema: din $\Delta =0$ nu rezultă că sistemul e incompatibil (poate fi și compatibil nedeterminat), iar un ${\Delta }_k=0$ cu $\Delta \ne 0$ înseamnă doar că $x_k=0$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pentru sistemul $2x+y-z=3$, $x-3y+2z=1$, $4x+y+z=9$, determinantul auxiliar ${\Delta }_2$ este:

   • a) $\left|\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 3& 1& 9\\ 4& 1& 1\end{array}\right|$
   • b) $\left|\begin{array}{ccc}2& 3& -1\\ 1& 1& 2\\ 4& 9& 1\end{array}\right|$
   • c) $\left|\begin{array}{ccc}3& 1& -1\\ 1& -3& 2\\ 9& 1& 1\end{array}\right|$
   • d) $\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 1& -3& 1\\ 4& 1& 9\end{array}\right|$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\left|\begin{array}{ccc}2& 3& -1\\ 1& 1& 2\\ 4& 9& 1\end{array}\right|$

   ${\Delta }_2$ se obține din $\Delta$ înlocuind coloana a doua — cea a necunoscutei $y$ — cu coloana termenilor liberi $3$, $1$, $9$. Prima variantă înlocuiește linia a doua, a treia înlocuiește coloana întâi (acela este ${\Delta }_1$), iar ultima înlocuiește coloana a treia (acela este ${\Delta }_3$). Valoarea corectă este ${\Delta }_2=-18$.

2. Rezolvând cu regula lui Cramer sistemul $3x-5y=19$, $2x+y=4$, se obține soluția:

   • a) $(39,-26)$
   • b) $(-2,3)$
   • c) $(3,-2)$
   • d) $(3,2)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $(3,-2)$

   $\Delta =3\cdot 1-(-5)\cdot 2=13\ne 0$, ${\Delta }_1=\left|\begin{array}{cc}19& -5\\ 4& 1\end{array}\right|=39$ și ${\Delta }_2=\left|\begin{array}{cc}3& 19\\ 2& 4\end{array}\right|=-26$. Împărțirea la $\Delta$ este pasul care se uită cel mai des: $x=\frac{39}{13}=3$, $y=\frac{-26}{13}=-2$. Verificare: $9+10=19$ și $6-2=4$.

3. Un sistem cu $3$ ecuații și $3$ necunoscute are $\Delta =0$. Ce se poate afirma cu certitudine?

   • a) sistemul este incompatibil
   • b) sistemul este compatibil nedeterminat
   • c) sistemul are exact o soluție
   • d) sistemul nu este de tip Cramer, iar natura lui se decide cu alte unelte
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) sistemul nu este de tip Cramer, iar natura lui se decide cu alte unelte

   Un determinant principal nul scoate sistemul din categoria Cramer, dar nu-i decide natura: $x+3y=7$ cu $2x+6y=15$ are $\Delta =0$ și este incompatibil, iar $x+3y=7$ cu $2x+6y=14$ are tot $\Delta =0$ și este compatibil nedeterminat. Decizia se ia cu rangul matricei și cu teoremele Kronecker-Capelli și Rouché.