Sisteme de tip Cramer: teorema și formulele lui Cramer

În lecția trecută am strâns un sistem de ecuații liniare într-o singură ecuație, $AX=B$, și am observat un lucru care părea o coincidență: de fiecare dată când $\det A$ era nenul, sistemul avea exact o soluție. Acum arătăm că nu este o coincidență, ci o teoremă — și că din ea iese o formulă directă pentru fiecare necunoscută.

Metoda poartă numele matematicianului elvețian Gabriel Cramer, care a publicat-o în 1750. Farmecul ei este că nu cere niciun raționament: fiecare necunoscută se obține ca un raport de doi determinanți, calculați după o rețetă mecanică. Prețul este că, la sisteme mari, ai de calculat mulți determinanți — de aceea, în lecțiile următoare, vom compara metoda cu altele.

Ce vei învăța

• Vei ști ce este un sistem de tip Cramer și de ce condiția $\det A\ne 0$ este esențială.
• Vei ști să enunți și să demonstrezi teorema lui Cramer, pornind de la scrierea $X=A^{-1}B$.
• Vei ști să construiești determinantul principal $\Delta$ și determinanții auxiliari ${\Delta }_1,{\Delta }_2,\dots ,{\Delta }_n$.
• Vei ști să rezolvi complet, cu verificare, sisteme de $2$ și de $3$ ecuații cu tot atâtea necunoscute.
• Vei ști să recunoști situațiile în care regula NU se aplică și ce se face atunci.
• Vei ști să folosești regula lui Cramer într-o problemă practică de resurse sau de amestec.

Hai să descoperim împreună

1. De unde vine formula: sistemul general de două ecuații

Luăm un sistem cu doi coeficienți oarecare pe fiecare linie:

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}x+a_{12}y=b_1\\ a_{21}x+a_{22}y=b_2\end{array}$$

Ca să scăpăm de $y$, înmulțim prima ecuație cu $a_{22}$, a doua cu $a_{12}$ și scădem. Termenii în $y$ devin identici și dispar:

$$(a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21})x=b_1{a}_{22}-b_2{a}_{12}.$$

Analog, înmulțind prima ecuație cu $a_{21}$, a doua cu $a_{11}$ și scăzând-o pe prima din a doua, scăpăm de $x$:

$$(a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21})y=a_{11}{b}_2-a_{21}{b}_1.$$

Priviți acum cele trei paranteze. Prima este chiar $\det A$. A doua este determinantul obținut din $\det A$ înlocuind prima coloană cu coloana termenilor liberi, iar a treia — determinantul obținut înlocuind a doua coloană:

$$\Delta =\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|,{\Delta }_1=\left|\begin{array}{cc}{b}_1& a_{12}\\ b_2& a_{22}\end{array}\right|,{\Delta }_2=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& b_1\\ a_{21}& b_2\end{array}\right|.$$

Relațiile de mai sus se citesc atunci $\Delta \cdot x={\Delta }_1$ și $\Delta \cdot y={\Delta }_2$. Dacă $\Delta \ne 0$, putem împărți și obținem soluția dintr-o singură mișcare. Dacă $\Delta =0$, împărțirea nu se poate face și metoda se oprește — vom vedea la §7 ce înseamnă asta.

2. Sistemul de tip Cramer

Definiție. Un sistem de ecuații liniare se numește sistem de tip Cramer dacă are $n$ ecuații, $n$ necunoscute și determinantul matricei sistemului este nenul: $\det A\ne 0$. Determinantul $\Delta =\det A$ se numește determinantul principal al sistemului.

Ambele condiții contează. Un sistem cu $3$ ecuații și $4$ necunoscute nu este de tip Cramer, oricât de frumoși ar fi coeficienții — matricea lui nici măcar nu are determinant. Iar un sistem pătratic cu $\det A=0$ nu este de tip Cramer, chiar dacă are soluții.

Definiție. Pentru $k$ de la $1$ la $n$, determinantul auxiliar ${\Delta }_k$ este determinantul obținut din $\Delta$ înlocuind coloana $k$ cu coloana termenilor liberi, celelalte coloane rămânând neschimbate.

Rețeta se ține minte ușor: ${\Delta }_k$ „scoate" coloana necunoscutei $x_k$ și pune în locul ei coloana lui $B$. La un sistem $3\times 3$ ai de calculat, așadar, patru determinanți de ordinul al treilea: $\Delta$, ${\Delta }_1$, ${\Delta }_2$, ${\Delta }_3$.

3. Teorema lui Cramer

Teoremă (Cramer). Fie un sistem de $n$ ecuații liniare cu $n$ necunoscute, cu $\Delta =\det A\ne 0$. Atunci sistemul este compatibil determinat, iar unica lui soluție este dată de

$$x_k=\frac{{\Delta }_k}{\Delta },k=1,2,\dots ,n.$$

Demonstrație. Cum $\det A\ne 0$, matricea $A$ este inversabilă și, conform formulei stabilite la Calculul inversei cu matricea adjunctă,

$$A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast },$$

unde $A^{\ast }$ este matricea adjunctă, adică transpusa matricei complemenților algebrici; elementul ei de pe linia $k$ și coloana $i$ este ${\delta }_{ik}$.

Înmulțind la stânga egalitatea $AX=B$ cu $A^{-1}$, obținem $X=A^{-1}B$; reciproc, înmulțind $X=A^{-1}B$ la stânga cu $A$, regăsim $AX=B$. Deci sistemul are exact o soluție, matricea coloană $A^{-1}B$. Elementul ei de pe linia $k$ este

$$x_k=\frac{1}{\Delta }\sum _{i=1}^n{\delta }_{ik}{b}_i.$$

Rămâne de recunoscut suma. Dezvoltăm determinantul ${\Delta }_k$ după coloana $k$ — vezi Dezvoltarea determinantului după o linie sau o coloană. Pe coloana $k$ a lui ${\Delta }_k$ stau exact numerele $b_1,b_2,\dots ,b_n$. Complementul algebric al elementului de pe poziția $(i,k)$ se calculează ștergând linia $i$ și coloana $k$; or, coloana $k$ este tocmai cea care a fost înlocuită, deci minorul rămas este identic cu cel din $\Delta$. Prin urmare complementul algebric este ${\delta }_{ik}$, același ca în $A$, și

$${\Delta }_k=\sum _{i=1}^n{b}_i{\delta }_{ik}.$$

Comparând ultimele două egalități obținem $x_k=\frac{{\Delta }_k}{\Delta }$, ceea ce trebuia demonstrat. $■$

Observă ce spune teorema și ce nu spune: ea garantează existența și unicitatea soluției numai când $\Delta \ne 0$. Formula $X=A^{-1}B$ a fost aici doar unealta demonstrației; ca metodă de rezolvare, cu organizarea calculelor pe care o cere, ea se studiază la lecția 32, Rezolvarea sistemelor cu ajutorul matricei inverse.

4. Rețeta de lucru, în cinci pași

1. Verifică dacă sistemul are tot atâtea ecuații câte necunoscute. Dacă nu, regula lui Cramer nu se aplică.
2. Scrie matricea sistemului $A$ și calculează $\Delta =\det A$. Dacă $\Delta =0$, te oprești: sistemul nu este de tip Cramer.
3. Construiește ${\Delta }_1,\dots ,{\Delta }_n$, înlocuind pe rând câte o coloană cu coloana termenilor liberi.
4. Împarte: $x_k=\frac{{\Delta }_k}{\Delta }$.
5. Verifică soluția în toate ecuațiile. Este singurul control care prinde o greșeală de semn într-un determinant.

Pasul $2$ înaintea pasului $3$ nu este o toană: dacă $\Delta =0$, ceilalți determinanți nu-ți mai folosesc la nimic, iar la ordinul $3$ ai economisit trei calcule.

5. Un sistem $2\times 2$, complet

Rezolvăm $4x-y=11$, $3x+2y=11$. Determinantul principal este

$$\Delta =\left|\begin{array}{cc}4& -1\\ 3& 2\end{array}\right|=8+3=11\ne 0,$$

deci sistemul este de tip Cramer. Înlocuim pe rând coloanele:

$${\Delta }_1=\left|\begin{array}{cc}11& -1\\ 11& 2\end{array}\right|=22+11=33,{\Delta }_2=\left|\begin{array}{cc}4& 11\\ 3& 11\end{array}\right|=44-33=11.$$

Deci $x=\frac{33}{11}=3$ și $y=\frac{11}{11}=1$. Verificare în ambele ecuații: $4\cdot 3-1=11$ ✓ și $3\cdot 3+2=11$ ✓. Așadar $S=\{(3,1)\}$.

6. Un sistem $3\times 3$: atelierul de mobilă

Reluăm sistemul rămas nerezolvat în lecția Sisteme de ecuații liniare: forma matriceală, matricea sistemului și matricea extinsă, unde $x$, $y$, $z$ erau numărul de rafturi, de noptiere și de dulapuri:

$$\{\begin{array}{l}x+y+z=12\\ 2x+3y+z=23\\ x+2y+3z=26\end{array}$$

Determinantul principal, calculat cu regula lui Sarrus — care, atenție, se aplică numai la ordinul $3$ — este

$$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& 1\\ 1& 2& 3\end{array}\right|=(9+1+4)-(3+2+6)=14-11=3\ne 0.$$

Sistemul este de tip Cramer. Înlocuim, pe rând, fiecare coloană cu coloana termenilor liberi:

$${\Delta }_1=\left|\begin{array}{ccc}12& 1& 1\\ 23& 3& 1\\ 26& 2& 3\end{array}\right|=9,{\Delta }_2=\left|\begin{array}{ccc}1& 12& 1\\ 2& 23& 1\\ 1& 26& 3\end{array}\right|=12,{\Delta }_3=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 12\\ 2& 3& 23\\ 1& 2& 26\end{array}\right|=15.$$

De pildă, dezvoltând ${\Delta }_1$ după prima linie: $12(9-2)-1(69-26)+1(46-78)=84-43-32=9$. Împărțind, $x=\frac{9}{3}=3$, $y=\frac{12}{3}=4$, $z=\frac{15}{3}=5$.

Verificare în toate cele trei ecuații: $3+4+5=12$ ✓; $6+12+5=23$ ✓; $3+8+15=26$ ✓. Atelierul a livrat $3$ rafturi, $4$ noptiere și $5$ dulapuri — numere întregi și pozitive, deci și interpretarea în context este corectă.

7. Când regula NU se aplică

Regula lui Cramer are exact două condiții, iar când una cade, metoda se oprește.

Sistemul nu este pătratic. Dacă numărul ecuațiilor diferă de numărul necunoscutelor, $A$ nu are determinant și nici nu se pune problema lui $\Delta$.

Determinantul principal este nul. Atunci sistemul poate fi incompatibil sau compatibil nedeterminat, iar $\Delta$ singur nu spune care dintre ele. Ai văzut în lecția precedentă două sisteme cu același $\Delta =0$, unul fără nicio soluție și unul cu o infinitate. Instrumentele care decid în acest caz sunt rangul unei matrice și teoremele de compatibilitate, din lecțiile 33–36: Rangul unei matrice: definiția cu minori și Teorema Kronecker-Capelli.

O eroare de raționament de evitat. Din $\Delta =0$ nu rezultă că sistemul este incompatibil, iar din ${\Delta }_k=0$ pentru un $k$ nu rezultă nimic special dacă $\Delta \ne 0$ — înseamnă doar că necunoscuta respectivă este $0$. De exemplu, la un sistem cu $\Delta =5$ și ${\Delta }_2=0$, avem pur și simplu $x_2=0$.

8. O aplicație: amestecul de cafea

Un magazin amestecă trei sortimente de cafea, de $2$, $3$ și $5$ lei pe kilogram, obținând $12$ kg de amestec care valorează $37$ de lei. Din primul sortiment se pun cu $2$ kg mai mult decât din al treilea. Câte kilograme intră din fiecare?

Cu $x$, $y$, $z$ numărul de kilograme din cele trei sortimente, condițiile („cantitatea totală", „valoarea totală", „relația dintre primul și al treilea") dau

$$\{\begin{array}{l}x+y+z=12\\ 2x+3y+5z=37\\ x-z=2\end{array}\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& 5\\ 1& 0& -1\end{array}\right|=1.$$

Determinantul principal fiind $1$, împărțirile de la final vor fi banale. Calculăm auxiliarii: ${\Delta }_1=5$, ${\Delta }_2=4$, ${\Delta }_3=3$, deci $x=5$, $y=4$, $z=3$.

Verificare în toate ecuațiile: $5+4+3=12$ ✓; $10+12+15=37$ ✓; $5-3=2$ ✓. Amestecul conține $5$ kg din primul sortiment, $4$ kg din al doilea și $3$ kg din al treilea.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un sistem $2\times 2$ cu coeficienți negativi

Rezolvați, cu regula lui Cramer, sistemul $5x-2y=4$, $3x+y=9$.

Rezolvare. $\Delta =5\cdot 1-(-2)\cdot 3=5+6=11\ne 0$, deci sistemul este de tip Cramer. Apoi

$${\Delta }_1=\left|\begin{array}{cc}4& -2\\ 9& 1\end{array}\right|=4+18=22,{\Delta }_2=\left|\begin{array}{cc}5& 4\\ 3& 9\end{array}\right|=45-12=33,$$

deci $x=\frac{22}{11}=2$ și $y=\frac{33}{11}=3$. Verificare: $10-6=4$ ✓ și $6+3=9$ ✓, deci $S=\{(2,3)\}$.

Exemplul 2 — Un sistem $3\times 3$ cu zerouri în matrice

Rezolvați sistemul $x+2y=5$, $2y+z=7$, $x+z=4$.

Rezolvare. Necunoscutele care lipsesc dau coeficienți $0$, deci

$$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 2& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right|=1\cdot (2-0)-2\cdot (0-1)+0=2+2=4\ne 0.$$

Zerourile ajută: dezvoltăm fiecare auxiliar după linia sau coloana cu cele mai multe zerouri. Obținem ${\Delta }_1=4$, ${\Delta }_2=8$, ${\Delta }_3=12$; de exemplu, dezvoltând ${\Delta }_1$ după ultima linie, ${\Delta }_1=4\cdot (2-0)-0+1\cdot (10-14)=8-4=4$.

Deci $x=1$, $y=2$, $z=3$. Verificare: $1+4=5$ ✓, $4+3=7$ ✓, $1+3=4$ ✓.

Exemplul 3 — Când soluția nu este întreagă

Rezolvați sistemul $2x+y-z=2$, $x-y+2z=0$, $3x+2y+z=5$.

Rezolvare. Cu regula lui Sarrus,

$$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 1& -1& 2\\ 3& 2& 1\end{array}\right|=(-2+6-2)-(3+8+1)=2-12=-10\ne 0.$$

Auxiliarii sunt ${\Delta }_1=-5$, ${\Delta }_2=-15$, ${\Delta }_3=-5$, deci

$$x=\frac{-5}{-10}=\frac{1}{2},y=\frac{-15}{-10}=\frac{3}{2},z=\frac{-5}{-10}=\frac{1}{2}.$$

Verificare: $1+\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=2$ ✓; $\frac{1}{2}-\frac{3}{2}+1=0$ ✓; $\frac{3}{2}+3+\frac{1}{2}=5$ ✓. Soluțiile fracționare sunt perfect normale; lasă-le sub formă de fracții ordinare, nu le transforma în zecimale.

Exemplul 4 — Un sistem cu parametru

Determinați valorile lui $m\in \mathbb{R}$ pentru care sistemul $mx+y=3$, $x+my=3$ este de tip Cramer, apoi rezolvați-l pentru $m=2$.

Rezolvare. Sistemul are două ecuații și două necunoscute, deci rămâne de pus condiția asupra determinantului:

$$\Delta =\left|\begin{array}{cc}m& 1\\ 1& m\end{array}\right|=m^2-1\ne 0⟺m\ne 1\text{și}m\ne -1.$$

Deci sistemul este de tip Cramer pentru $m\in \mathbb{R}\setminus \{-1,1\}$.

Pentru $m=2$: $\Delta =3$, ${\Delta }_1=\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 3& 2\end{array}\right|=3$ și ${\Delta }_2=\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 3\end{array}\right|=3$, deci $x=y=1$. Verificare: $2+1=3$ ✓ și $1+2=3$ ✓.

Exemplul 5 — Un sistem care nu este de tip Cramer

Arătați că sistemul $x+2y+3z=4$, $2x+4y+6z=8$, $x+y+z=3$ nu este de tip Cramer și explicați ce se poate spune despre el.

Rezolvare. A doua linie a matricei sistemului este dublul primei, deci, printr-o proprietate a determinanților, $\Delta =0$. Într-adevăr,

$$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 1& 1& 1\end{array}\right|=(4+12+6)-(12+6+4)=0.$$

Sistemul nu este de tip Cramer, deci formulele nu se pot aplica. Se observă însă că și a doua ecuație este dublul primei ($8=2\cdot 4$), deci ea nu aduce nimic nou: rămân două condiții independente pentru trei necunoscute, iar sistemul are o infinitate de soluții. Studiul riguros al acestui caz se face la Teorema lui Rouché.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră sistemul $x+y+z=6$, $x+2y+4z=11$, $x+3y+9z=18$. a) Calculați determinantul matricei sistemului. b) Arătați că sistemul este de tip Cramer și rezolvați-l.

Rezolvare. a) Cu regula lui Sarrus,

$$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 4\\ 1& 3& 9\end{array}\right|=(18+4+3)-(2+12+9)=25-23=2.$$

b) Sistemul are trei ecuații, trei necunoscute și $\Delta =2\ne 0$, deci este de tip Cramer. Calculăm auxiliarii:

$${\Delta }_1=\left|\begin{array}{ccc}6& 1& 1\\ 11& 2& 4\\ 18& 3& 9\end{array}\right|=6,{\Delta }_2=\left|\begin{array}{ccc}1& 6& 1\\ 1& 11& 4\\ 1& 18& 9\end{array}\right|=4,{\Delta }_3=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 6\\ 1& 2& 11\\ 1& 3& 18\end{array}\right|=2.$$

Deci $x=3$, $y=2$, $z=1$. Verificare în toate ecuațiile: $3+2+1=6$ ✓; $3+4+4=11$ ✓; $3+6+9=18$ ✓. Așadar $S=\{(3,2,1)\}$.

Să exersăm

La fiecare sistem, calculează întâi $\Delta$; dacă iese $0$, oprește-te și spune de ce. Verifică apoi soluția în toate ecuațiile.

1. Rezolvă cu regula lui Cramer sistemul $x+y=5$, $2x-y=1$.

2. Rezolvă sistemul $3x+2y=8$, $x-y=1$.

3. Rezolvă sistemul $2x-3y=1$, $4x+y=9$.

4. Rezolvă sistemul $x+y+z=6$, $x-y+2z=5$, $2x+y-z=1$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă determinantul principal al unui sistem pătratic este nul, atunci sistemul este sigur incompatibil."

6. Determină valorile lui $m\in \mathbb{R}$ pentru care sistemul $mx+y=3$, $x+my=3$ nu este de tip Cramer.

7. Rezolvă sistemul $5x-2y=4$, $3x+y=9$ și compară numărul de calcule cu cel cerut de metoda reducerii.

8. (Problemă aplicată.) Într-un laborator se prepară $30$ de litri de soluție din două soluții de $12$ g/l și $20$ g/l, astfel încât amestecul să conțină $440$ g de substanță. Află câți litri se iau din fiecare.

9. Rezolvă sistemul $x+2y=4$, $3y+z=6$, $2x+z=7$.

10. Rezolvă sistemul $2x+3y=4$, $4x-y=1$ și lasă rezultatul sub formă de fracție.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Determinantul ${\Delta }_2$ se obține din $\Delta$ înlocuind linia a doua cu coloana termenilor liberi."

12. Rezolvă sistemul $x-y+z=2$, $2x+y-z=1$, $x+2y+2z=11$.

13. Rezolvă sistemul $3x+y+2z=13$, $x-y+z=4$, $2x+3y-z=4$.

14. La un sistem de tip Cramer cu trei necunoscute se obține $\Delta =5$ și ${\Delta }_2=0$. Ce poți spune despre soluție? Este sistemul incompatibil?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră sistemul $2x+y+z=7$, $x+3y+2z=13$, $x+y+4z=15$. a) Calculează determinantul matricei sistemului. b) Rezolvă sistemul cu regula lui Cramer.

16. (Problemă aplicată.) Într-un circuit, intensitățile $I_1$, $I_2$, $I_3$ verifică $2I_1+I_2=5$, $3I_2+I_3=6$, $I_1+2I_3=8$. Află cele trei intensități.

17. Câți determinanți trebuie calculați pentru a rezolva prin regula lui Cramer un sistem cu $3$ necunoscute? Dar unul cu $4$ necunoscute?

18. (Provocare.) Arată că, dacă toți coeficienții și toți termenii liberi ai unui sistem de tip Cramer sunt numere întregi și $\Delta =1$ sau $\Delta =-1$, atunci toate componentele soluției sunt numere întregi.

Răspunsuri și explicații

1. $\Delta =1\cdot (-1)-1\cdot 2=-3$; ${\Delta }_1=\left|\begin{array}{cc}5& 1\\ 1& -1\end{array}\right|=-6$ și ${\Delta }_2=\left|\begin{array}{cc}1& 5\\ 2& 1\end{array}\right|=-9$, deci $x=2$, $y=3$. Verificare: $5$ ✓ și $4-3=1$ ✓.

2. $\Delta =-3-2=-5$; ${\Delta }_1=-8-2=-10$, ${\Delta }_2=3-8=-5$, deci $x=2$, $y=1$. Verificare: $6+2=8$ ✓ și $2-1=1$ ✓.

3. $\Delta =2+12=14$; ${\Delta }_1=1+27=28$, ${\Delta }_2=18-4=14$, deci $x=2$, $y=1$. Verificare: $4-3=1$ ✓ și $8+1=9$ ✓.

4. $\Delta =7$, ${\Delta }_1=7$, ${\Delta }_2=14$, ${\Delta }_3=21$, deci $x=1$, $y=2$, $z=3$. Verificare: $6$ ✓; $1-2+6=5$ ✓; $2+2-3=1$ ✓.

5. Fals. Un determinant principal nul înseamnă doar că sistemul nu este de tip Cramer; el poate fi incompatibil, dar poate fi și compatibil nedeterminat, ca în exemplul $x+3y=7$, $2x+6y=14$. Decizia se ia cu teoremele din lecțiile 35 și 36.

6. Sistemul nu este de tip Cramer exact când $\Delta =m^2-1=0$, adică pentru $m=1$ sau $m=-1$. (Pentru $m=1$ ambele ecuații devin $x+y=3$, deci sistemul e nedeterminat; pentru $m=-1$ ele devin contradictorii.)

7. $\Delta =11$, ${\Delta }_1=22$, ${\Delta }_2=33$, deci $x=2$, $y=3$; verificare: $10-6=4$ ✓, $6+3=9$ ✓. Cramer cere trei determinanți de ordinul al doilea, adică șase înmulțiri; metoda reducerii cere aproximativ tot atâtea operații la ordinul $2$ — avantajul lui Cramer apare de la ordinul $3$ în sus și mai ales la sistemele cu parametru.

8. Cu $x$ și $y$ numărul de litri din fiecare soluție: $x+y=30$, $12x+20y=440$. Atunci $\Delta =20-12=8$, ${\Delta }_1=600-440=160$, ${\Delta }_2=440-360=80$, deci $x=20$ și $y=10$. Verificare: $30$ ✓ și $240+200=440$ ✓.

9. Matricea sistemului este $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 3& 1\\ 2& 0& 1\end{array}\right)$, cu $\Delta =1\cdot 3-2\cdot (0-2)+0=3+4=7$. Auxiliarii: ${\Delta }_1=14$, ${\Delta }_2=7$, ${\Delta }_3=21$, deci $x=2$, $y=1$, $z=3$. Verificare: $2+2=4$ ✓; $3+3=6$ ✓; $4+3=7$ ✓.

10. $\Delta =2\cdot (-1)-3\cdot 4=-14$; ${\Delta }_1=\left|\begin{array}{cc}4& 3\\ 1& -1\end{array}\right|=-4-3=-7$ și ${\Delta }_2=\left|\begin{array}{cc}2& 4\\ 4& 1\end{array}\right|=2-16=-14$. Deci $x=\frac{-7}{-14}=\frac{1}{2}$ și $y=1$. Verificare: $1+3=4$ ✓ și $2-1=1$ ✓.

11. Fals. Se înlocuiește coloana a doua, nu linia. Motivul se vede în demonstrație: coloana $k$ este cea care „aparține" necunoscutei $x_k$, iar complemenții algebrici după acea coloană rămân neschimbați exact pentru că ea a fost înlocuită.

12. $\Delta =12$, ${\Delta }_1=12$, ${\Delta }_2=24$, ${\Delta }_3=36$, deci $x=1$, $y=2$, $z=3$. Verificare: $1-2+3=2$ ✓; $2+2-3=1$ ✓; $1+4+6=11$ ✓.

13. $\Delta =7$, ${\Delta }_1=14$, ${\Delta }_2=7$, ${\Delta }_3=21$, deci $x=2$, $y=1$, $z=3$. Verificare: $6+1+6=13$ ✓; $2-1+3=4$ ✓; $4+3-3=4$ ✓.

14. Cum $\Delta \ne 0$, sistemul este de tip Cramer, deci compatibil determinat. Din ${\Delta }_2=0$ rezultă doar $y=\frac{0}{5}=0$: a doua necunoscută este nulă. Sistemul nu este nici pe departe incompatibil.

15. a) Cu regula lui Sarrus, $\Delta =\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 3& 2\\ 1& 1& 4\end{array}\right|=(24+2+1)-(3+4+4)=27-11=16$. b) ${\Delta }_1=16$, ${\Delta }_2=32$, ${\Delta }_3=48$, deci $x=1$, $y=2$, $z=3$. Verificare: $2+2+3=7$ ✓; $1+6+6=13$ ✓; $1+2+12=15$ ✓.

16. Matricea sistemului este $\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 3& 1\\ 1& 0& 2\end{array}\right)$, cu $\Delta =12+1=13$. Auxiliarii: ${\Delta }_1=26$, ${\Delta }_2=13$, ${\Delta }_3=39$, deci $I_1=2$, $I_2=1$, $I_3=3$. Verificare: $4+1=5$ ✓; $3+3=6$ ✓; $2+6=8$ ✓.

17. Pentru $3$ necunoscute: $\Delta$ plus ${\Delta }_1$, ${\Delta }_2$, ${\Delta }_3$, adică patru determinanți de ordinul al treilea. Pentru $4$ necunoscute: cinci determinanți de ordinul al patrulea — de aici crește repede efortul, motiv pentru care lecția 31 se ocupă special de organizarea acestor calcule.

18. Toți determinanții $\Delta$ și ${\Delta }_k$ au elemente numere întregi, iar un determinant de matrice cu elemente întregi este, prin definiția lui ca sumă de produse de elemente, tot un număr întreg. Prin urmare fiecare ${\Delta }_k$ este întreg, iar $x_k=\frac{{\Delta }_k}{\Delta }=\pm {\Delta }_k$ este întreg. (Control pe sistemul cafelei, cu $\Delta =1$: soluția $(5,4,3)$ este într-adevăr formată din numere întregi.)

De reținut

• Sistem de tip Cramer = $n$ ecuații, $n$ necunoscute și $\Delta =\det A\ne 0$. Ambele condiții sunt obligatorii.
• Teorema lui Cramer: un astfel de sistem este compatibil determinat, iar soluția lui este $x_k=\frac{{\Delta }_k}{\Delta }$.
• ${\Delta }_k$ se obține înlocuind COLOANA $k$ a lui $\Delta$ cu coloana termenilor liberi; restul coloanelor rămân neatinse.
• Se calculează întâi $\Delta$. Dacă iese $0$, metoda se oprește acolo și nu mai are rost să calculezi auxiliarii.
• Soluția se verifică în toate ecuațiile — este singura plasă de siguranță împotriva unei greșeli de semn.

Greșeli frecvente

• Înlocuirea liniei în loc de coloană. ${\Delta }_2$ se obține schimbând coloana a doua, nu linia a doua. Este greșeala numărul unu la această temă.
• Aplicarea regulii când $\Delta =0$. Din $\frac{{\Delta }_k}{0}$ nu iese nimic; sistemul poate fi incompatibil sau nedeterminat, iar decizia se ia cu alte unelte.
• Sarrus la ordinul $4$. Regula lui Sarrus și regula triunghiului se aplică exclusiv la determinanți de ordinul $3$. La ordinul $4$ se dezvoltă după o linie sau o coloană.
• Confuzia dintre ${\Delta }_k=0$ și „sistem incompatibil". Dacă $\Delta \ne 0$, un auxiliar nul înseamnă doar că necunoscuta respectivă este $0$.
• Uitarea verificării. O greșeală de semn într-un singur determinant dă o soluție complet falsă, care se prinde imediat prin substituție.

Aplică acasă

1. Rețeta inversă. Alege trei numere întregi mici, scrie trei ecuații liniare pe care le verifică și dă sistemul unui coleg. Calculează apoi tu $\Delta$ și cei trei auxiliari și vezi dacă regăsești numerele alese.

2. Cronometrul. Rezolvă același sistem $3\times 3$ o dată prin substituție și o dată cu regula lui Cramer, măsurând timpul. Notează care metodă îți dă mai puține ocazii de greșeală.

3. Prețurile din bon. Ia trei bonuri de la același magazin, cu aceleași trei produse în cantități diferite. Din cele trei totaluri scrie un sistem $3\times 3$ și află prețurile unitare cu regula lui Cramer.

Pentru părinți și profesori

Lecția are două fețe: una teoretică (demonstrația, care leagă regula lui Cramer de matricea adjunctă și de dezvoltarea unui determinant după o coloană) și una algoritmică (rețeta în cinci pași). A doua se învață repede; prima este cea care explică de ce ${\Delta }_k$ se construiește înlocuind o coloană, și nu o linie, iar elevii care o înțeleg nu mai fac această greșeală.

De verificat în caiet: (1) $\Delta$ este calculat înaintea auxiliarilor; (2) la fiecare ${\Delta }_k$ s-a înlocuit coloana corectă; (3) regula lui Sarrus e folosită doar la ordinul $3$; (4) soluția e substituită în toate ecuațiile; (5) rezultatele fracționare sunt lăsate ca fracții ordinare. Întrebări de control: „Ce condiții definesc un sistem de tip Cramer?"; „Ce se schimbă în $\Delta$ pentru a obține ${\Delta }_3$?"; „Ce faci dacă $\Delta =0$?".

La BAC M1, regula lui Cramer apare în subiectul al II-lea aproape în fiecare sesiune, de obicei pe un sistem $3\times 3$ cu un parametru. Semn că elevul a înțeles: începe orice problemă de sistem pătratic prin calculul lui $\Delta$ și discută separat cazul $\Delta =0$.

Întrebări frecvente

Ce este un sistem de tip Cramer? Este un sistem de ecuații liniare care are tot atâtea ecuații câte necunoscute și al cărui determinant principal, $\Delta =\det A$, este nenul. Un astfel de sistem are întotdeauna exact o soluție.

Cum se calculează ${\Delta }_1$, ${\Delta }_2$, ${\Delta }_3$? Fiecare se obține din $\Delta$ înlocuind o singură coloană cu coloana termenilor liberi: pentru ${\Delta }_1$ prima coloană, pentru ${\Delta }_2$ a doua, pentru ${\Delta }_3$ a treia. Celelalte coloane rămân neschimbate.

Ce fac dacă determinantul principal este zero? Regula lui Cramer nu se mai aplică. Sistemul poate fi incompatibil sau compatibil nedeterminat, iar decizia se ia cu rangul matricei și cu teoremele Kronecker-Capelli și Rouché, din lecțiile 35 și 36.

Pot folosi regula lui Cramer la un sistem cu $3$ ecuații și $4$ necunoscute? Nu. Regula cere ca numărul ecuațiilor să fie egal cu numărul necunoscutelor; altfel matricea sistemului nu este pătratică și nici nu are determinant.

De ce se înlocuiește o coloană și nu o linie? Pentru că în demonstrație suma ${\sum }_i{b}_i{\delta }_{ik}$ este dezvoltarea determinantului după coloana $k$, iar complemenții algebrici de pe acea coloană nu se schimbă când coloana este înlocuită. Înlocuind o linie ai obține alt număr, fără nicio legătură cu soluția.

Soluția poate ieși cu fracții? Da, și este perfect normal: $x_k$ este un raport de doi întregi și nu are motiv să fie întreg. Rezultatul se lasă sub formă de fracție ordinară, simplificată.

Cum apare regula lui Cramer în subiectele de Bacalaureat M1? Cel mai des pe un sistem $3\times 3$: se cere calculul determinantului sistemului, discuția după un parametru și, în final, rezolvarea prin formulele $x_k=\frac{{\Delta }_k}{\Delta }$.