Sisteme cu parametru: discuția: pe scurt

Un parametru este o literă dintre coeficienți sau dintre termenii liberi care nu este necunoscută: necunoscutele se caută, parametrul se fixează pe rând. Un sistem cu parametru nu se rezolvă, ci se discută, iar răspunsul nu e un triplet de numere, ci un tabel de cazuri.

Pentru un sistem pătratic, discuția are cinci pași: calculezi $\Delta =\det A$ ca expresie în parametru și îl factorizezi; rezolvi $\Delta =0$ și obții valorile critice; pe cazul general ($\Delta \ne 0$) sistemul e de tip Cramer și scrii $x_k=\frac{{\Delta }_k}{\Delta }$ ca funcție de parametru; iei fiecare valoare critică separat, o înlocuiești și studiezi sistemul numeric obținut cu rangul, cu Kronecker-Capelli sau cu teorema lui Rouché; strângi totul în tabel.

Pasul sărit cel mai des este al patrulea: $\Delta =0$ nu înseamnă „incompatibil", ci doar că regula lui Cramer nu se mai aplică.

Relația $\Delta \cdot x_k={\Delta }_k$ dă o ieșire rapidă, dar numai într-un sens: dacă $\Delta =0$ și există un ${\Delta }_k\ne 0$, sistemul e incompatibil. Dacă $\Delta =0$ și toți ${\Delta }_k=0$, nu se poate decide — se trece la ranguri.

La un sistem omogen pătratic, întrebarea devine „are și soluții nebanale?", iar răspunsul e scurt: exact când $\Delta =0$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Într-o discuție după parametru, pentru o valoare critică (adică o valoare care anulează $\Delta$):

   • a) sistemul este sigur incompatibil
   • b) sistemul este sigur compatibil nedeterminat
   • c) sistemul nu mai este de tip Cramer, iar natura lui se stabilește separat, cu rangul sau cu teorema lui Rouché
   • d) formulele lui Cramer se aplică după simplificarea fracțiilor
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) sistemul nu mai este de tip Cramer, iar natura lui se stabilește separat, cu rangul sau cu teorema lui Rouché

   Un $\Delta$ nul spune doar că nu mai avem voie să împărțim la el. Valoarea critică se înlocuiește în sistem, se obține un sistem numeric și acesta se studiază separat: poate ieși incompatibil, dar la fel de bine poate ieși compatibil nedeterminat. Simplificarea fracțiilor $\frac{{\Delta }_k}{\Delta }$ este legitimă numai pe cazul general, tocmai pentru că acolo factorul comun este nenul.

2. Un sistem pătratic are $\Delta =0$ și ${\Delta }_2=5$. Sistemul este:

   • a) compatibil determinat
   • b) incompatibil
   • c) compatibil simplu nedeterminat
   • d) omogen
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) incompatibil

   Pentru orice soluție a unui sistem pătratic are loc $\Delta \cdot x_k={\Delta }_k$. Dacă ar exista o soluție, am avea ${\Delta }_2=0\cdot x_2=0$, în contradicție cu ${\Delta }_2=5$. Aceasta este ieșirea rapidă către incompatibilitate; ea funcționează însă numai în acest sens, nu și invers.

3. Un sistem pătratic are $\Delta =0$ și toți determinanții auxiliari ${\Delta }_k=0$. Atunci:

   • a) sistemul este sigur compatibil nedeterminat
   • b) sistemul este sigur incompatibil
   • c) sistemul are soluție unică
   • d) nu se poate decide nimic; se trece la compararea rangurilor
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) nu se poate decide nimic; se trece la compararea rangurilor

   Două sisteme cu exact aceiași determinanți nuli se pot comporta diferit. La $2x+4y=2$, $x+2y=1$ toți determinanții sunt nuli și sistemul e compatibil nedeterminat; la $x+y+z=1$, $x+y+z=1$, $x+y+z=2$ sunt tot toți nuli (fiecare are două linii identice), dar $\mathrm{rang}A=1$ și $\mathrm{rang}\overline{A}=2$, deci sistemul e incompatibil. Regula are trei ramuri, iar aceasta este ramura care nu decide.