Sisteme de ecuații liniare cu parametru: discuția completă

Un inginer scrie sistemul care leagă forțele dintr-o grindă, dar coeficienții depind de un unghi pe care încă nu l-a fixat. Un economist scrie sistemul cererii și al ofertei, iar în el apare o taxă a cărei valoare urmează să fie votată. În ambele cazuri sistemul are, pe una dintre poziții, o literă — iar acea literă poate face ca problema să aibă o soluție unică, o infinitate de soluții sau niciuna.

Un astfel de sistem nu se „rezolvă" — se discută: împarți valorile literei în cazuri și spui, pentru fiecare caz, ce se întâmplă. Este exercițiul care adună tot ce ai construit în această unitate: regula lui Cramer, rangul unei matrice, teorema Kronecker-Capelli și teorema lui Rouché.

Ce vei învăța

• Vei ști să determini valorile critice ale parametrului, rezolvând $\Delta =0$, și să scrii soluția în funcție de parametru pe cazul general, cu formulele lui Cramer.
• Vei ști să decizi în fiecare caz critic dacă sistemul e incompatibil sau nedeterminat, cu rangul și cu teorema lui Rouché, și de ce relația $\Delta \cdot x_k={\Delta }_k$ dă o ieșire rapidă doar către „incompatibil".
• Vei ști să discuți sisteme cu mai multe ecuații decât necunoscute, cu determinanți caracteristici care conțin parametrul.
• Vei ști să afli pentru ce valori ale parametrului un sistem omogen are și soluții nebanale.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă „sistem cu parametru"

Un parametru este o literă care apare printre coeficienți sau printre termenii liberi și care nu este necunoscută: necunoscutele ($x$, $y$, $z$) se caută, parametrul ($m$, $a$, $p$ — litera din enunț) se fixează pe rând, iar fiecare valoare fixată dă alt sistem numeric. Un sistem cu parametru nu e deci un singur sistem, ci o familie infinită de sisteme, iar răspunsul corect la o discuție nu e un triplet de numere, ci un tabel de cazuri.

2. Algoritmul discuției — cei cinci pași

Pentru un sistem pătratic (același număr de ecuații și de necunoscute), discuția are întotdeauna aceeași structură:

1. Calculezi $\Delta =\det A$ ca expresie în parametru și îl factorizezi — îți trebuie rădăcinile.
2. Rezolvi ecuația $\Delta =0$. Rădăcinile ei sunt valorile critice ale parametrului.
3. Cazul general ($\Delta \ne 0$): sistemul e de tip Cramer, deci compatibil determinat, cu $x_k=\frac{{\Delta }_k}{\Delta }$ scris ca funcție de parametru.
4. Fiecare valoare critică se ia separat: înlocuiești parametrul, obții un sistem numeric și îi studiezi compatibilitatea cu rangul, cu Kronecker-Capelli sau cu Rouché.
5. Strângi totul într-un tabel de cazuri.

Pasul sărit cel mai des e al patrulea: un $\Delta$ nul nu înseamnă „incompatibil", ci doar „nu mai am voie să folosesc Cramer".

3. Discuția completă pe un sistem de două ecuații

Discutăm sistemul $$\{\begin{array}{l}mx+4y=2\\ x+my=1\end{array},m\in \mathbb{R}.$$

Pașii 1 și 2. $A=\left(\begin{array}{cc}m& 4\\ 1& m\end{array}\right)$, cu $\Delta =\det A=m^2-4=(m-2)(m+2)$, iar $\Delta =0⟺m\in \{-2,2\}$: acestea sunt valorile critice.

Pasul 3 — cazul general $m\notin \{-2,2\}$. Sistemul e de tip Cramer, cu ${\Delta }_1=\left|\begin{array}{cc}2& 4\\ 1& m\end{array}\right|=2(m-2)$ și ${\Delta }_2=\left|\begin{array}{cc}m& 2\\ 1& 1\end{array}\right|=m-2$. Simplificăm cu factorul comun $m-2$, nenul aici tocmai pentru că am ieșit din cazul $m=2$: $$x=\frac{2(m-2)}{(m-2)(m+2)}=\frac{2}{m+2},y=\frac{m-2}{(m-2)(m+2)}=\frac{1}{m+2}.$$

Pasul 4a — cazul $m=2$. Sistemul devine $2x+4y=2$ și $x+2y=1$, adică aceeași ecuație de două ori: $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}=1$, deci compatibil, cu $n-r=1$ necunoscută secundară, adică simplu nedeterminat. Cu $y=\alpha$ obținem $x=1-2\alpha$, deci $S=\{(1-2\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$.

Pasul 4b — cazul $m=-2$. Sistemul devine $-x+2y=1$ și $-x+2y=-1$: aceeași expresie ar trebui să fie și $1$, și $-1$. Formal, $\mathrm{rang}A=1$, dar $\mathrm{rang}\overline{A}=2$, căci minorul din coloana lui $y$ și coloana termenilor liberi este $4\cdot 1-2\cdot (-2)=8\ne 0$. Prin Kronecker-Capelli, sistemul e incompatibil.

Pasul 5 — tabelul.

4. Relația $\Delta \cdot x_k={\Delta }_k$ și ieșirea rapidă către „incompatibil"

Observă ceva mai sus: pentru $m=-2$ am avut $\Delta =0$, dar ${\Delta }_1=-8\ne 0$. Nu e o coincidență.

Propoziție. Dacă $(x_1,\dots ,x_n)$ este o soluție a unui sistem pătratic, atunci $\Delta \cdot x_k={\Delta }_k$ pentru orice $k$.

Justificare. Citite pe coloane, ecuațiile spun că $B=x_1{C}_1+\cdots +x_n{C}_n$, unde $C_j$ sunt coloanele lui $A$. În ${\Delta }_k$, coloana $k$ e $B$; îi aplicăm, pentru fiecare $j\ne k$, transformarea $C_k\leftarrow C_k-x_j{C}_j$, care nu schimbă determinantul (Proprietatea $8$ din Proprietățile determinanților (II), dusă pe coloane prin $\det ({}^{t}A)=\det A$). Rămâne coloana $x_k{C}_k$, iar factorul comun $x_k$ dă ${\Delta }_k=x_k\Delta$. $■$

Consecința e o ieșire rapidă: dacă $\Delta =0$ și există măcar un ${\Delta }_k\ne 0$, sistemul e incompatibil — o soluție ar da ${\Delta }_k=0\cdot x_k=0$.

Atenție însă la cealaltă ramură. Dacă $\Delta =0$ și toți ${\Delta }_k=0$, nu se poate decide nimic. Două sisteme cu exact aceiași determinanți nuli se comportă diferit:

• $2x+4y=2$, $x+2y=1$ — aici $\Delta ={\Delta }_1={\Delta }_2=0$ și sistemul e compatibil nedeterminat (cazul $m=2$ de mai sus);
• $x+y+z=1$, $x+y+z=1$, $x+y+z=2$ — aici toți cei patru determinanți sunt nuli (fiecare are două linii identice), dar $\mathrm{rang}A=1$ și $\mathrm{rang}\overline{A}=2$, deci sistemul e incompatibil.

Regula corectă are deci trei ramuri: $\Delta \ne 0$ dă soluție unică; $\Delta =0$ cu un ${\Delta }_k$ nenul dă incompatibilitate; $\Delta =0$ cu toți ${\Delta }_k$ nuli nu decide — se trece la ranguri.

5. Un sistem de trei ecuații cu toate cele trei situații

Discutăm sistemul $$\{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ x+2y+mz=3\\ x+my+2z=3\end{array},m\in \mathbb{R}.$$

Determinantul sistemului, cu regula lui Sarrus (permisă, fiind ordinul $3$): $$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& m\\ 1& m& 2\end{array}\right|=4+2m-(4+m^2)=-m(m-2),$$ deci valorile critice sunt $m=0$ și $m=2$.

Cazul $m\notin \{0,2\}$. Înlocuind pe rând fiecare coloană cu coloana termenilor liberi se obțin ${\Delta }_1=-2(m-1)(m-2)$ și ${\Delta }_2={\Delta }_3=2-m$, deci, simplificând cu $m-2\ne 0$, $$x=\frac{-2(m-1)(m-2)}{-m(m-2)}=\frac{2(m-1)}{m},y=z=\frac{2-m}{-m(m-2)}=\frac{1}{m}.$$

Control instantaneu: pentru $m=1$ formulele dau $(0,1,1)$, iar înlocuirea în cele trei ecuații dă $2=2$, $3=3$, $3=3$.

Cazul $m=0$. Sistemul devine $x+y+z=2$, $x+2y=3$, $x+2z=3$. Minorul $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=1\ne 0$ și $\Delta =0$ dau $\mathrm{rang}A=2$; îl luăm minor principal (liniile $1$ și $2$, coloanele lui $x$ și $y$), ecuația secundară fiind a treia. Bordându-l cu coeficienții ecuației secundare și cu coloana termenilor liberi, determinantul caracteristic este $$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& 2& 3\\ 1& 0& 3\end{array}\right|=9-7=2\ne 0,$$ deci, prin teorema lui Rouché, sistemul este incompatibil.

Cazul $m=2$. Ultimele două ecuații devin identice, $x+2y+2z=3$; același minor principal dă $\mathrm{rang}A=2$, iar determinantul caracteristic are două linii identice, deci e nul: sistemul e compatibil, cu o necunoscută secundară. Scăzând primele două ecuații obținem $y+z=1$, deci $x=1$; cu $z=\alpha$: $$S=\{(1,1-\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}.$$

6. Două situații speciale

Sisteme nepătratice. Când ecuațiile sunt mai multe decât necunoscutele, matricea nu mai e pătratică și nu există niciun $\Delta$: discuția se face direct cu teorema lui Rouché, iar parametrul apare în determinanții caracteristici. Se alege un minor principal (de obicei fără parametru, deci $\mathrm{rang}A$ nu depinde de el), se identifică ecuațiile secundare și se impune ca toți determinanții caracteristici să fie nuli. Exemplul $4$ arată procedura.

Sisteme omogene. La un sistem omogen toți termenii liberi sunt nuli, deci sistemul e întotdeauna compatibil: soluția banală există mereu, iar $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}$ oricum. Întrebarea nu mai e „este compatibil?", ci „are și soluții nebanale?", iar pentru un sistem omogen pătratic răspunsul e scurt: $$\text{sistemul omogen are soluții nebanale}⟺\Delta =0.$$ Într-adevăr, dacă $\Delta \ne 0$ regula lui Cramer dă $x_k=\frac{{\Delta }_k}{\Delta }=0$ pentru toți $k$, fiindcă fiecare ${\Delta }_k$ are o coloană nulă; iar dacă $\Delta =0$, rangul e $r<n$, deci rămân $n-r\ge 1$ necunoscute secundare. Exemplul $5$ face discuția completă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O discuție de două rânduri

Discutați, după valorile lui $m\in \mathbb{R}$, sistemul $mx+y=1$, $x+y=2$.

Rezolvare. $\Delta =\left|\begin{array}{cc}m& 1\\ 1& 1\end{array}\right|=m-1$, deci singura valoare critică e $m=1$. Pentru $m\ne 1$, din ${\Delta }_1=-1$ și ${\Delta }_2=2m-1$ rezultă $x=\frac{1}{1-m}$, $y=\frac{2m-1}{m-1}$. Pentru $m=1$ ecuațiile devin $x+y=1$ și $x+y=2$, imposibil simultan: $\mathrm{rang}A=1\ne 2=\mathrm{rang}\overline{A}$, deci sistemul e incompatibil (se vede și cu ieșirea rapidă: $\Delta =0$, dar ${\Delta }_1=-1\ne 0$).

Exemplul 2 — Două valori critice, ambele nedeterminate

Discutați sistemul $mx+y=m$, $x+my=1$.

Rezolvare. $\Delta =m^2-1=(m-1)(m+1)$, cu valorile critice $m=\pm 1$. Pentru $m\notin \{-1,1\}$: ${\Delta }_1=\left|\begin{array}{cc}m& 1\\ 1& m\end{array}\right|=m^2-1$ și ${\Delta }_2=\left|\begin{array}{cc}m& m\\ 1& 1\end{array}\right|=0$, deci $x=1$ și $y=0$, indiferent de $m$.

Pentru $m=1$ ambele ecuații devin $x+y=1$: $S=\{(1-\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$. Pentru $m=-1$ ele devin $-x+y=-1$ și $x-y=1$, adică tot una singură: $S=\{(1+\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$. Soluția din cazul general, $(1,0)$, aparține ambelor mulțimi — pentru $\alpha =0$.

Exemplul 3 — Un sistem de ordinul al treilea, discuție completă

Discutați sistemul $mx+y+z=1$, $x+my+z=m$, $x+y+mz=m^2$.

Rezolvare. $\Delta =\left|\begin{array}{ccc}m& 1& 1\\ 1& m& 1\\ 1& 1& m\end{array}\right|=m^3+2-3m=(m-1{)}^2(m+2)$, deci valorile critice sunt $m=1$ și $m=-2$.

Pentru $m\notin \{1,-2\}$ se obțin ${\Delta }_1=-(m-1{)}^2(m+1)$, ${\Delta }_2=(m-1{)}^2$, ${\Delta }_3=(m-1{)}^2(m+1{)}^2$; simplificând cu $(m-1{)}^2\ne 0$: $$x=-\frac{m+1}{m+2},y=\frac{1}{m+2},z=\frac{(m+1{)}^2}{m+2}.$$

Pentru $m=1$ toate ecuațiile devin $x+y+z=1$, deci $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}=1$ și avem două necunoscute secundare: sistem dublu nedeterminat, $S=\{(1-\alpha -\beta ,\alpha ,\beta )\mid \alpha ,\beta \in \mathbb{R}\}$.

Pentru $m=-2$ sistemul devine $-2x+y+z=1$, $x-2y+z=-2$, $x+y-2z=4$; adunându-le, membrii stângi se anulează și rămâne $0=3$: incompatibil.

Exemplul 4 — Sistem cu trei ecuații și două necunoscute

Determinați valorile lui $m$ pentru care sistemul $x+2y=5$, $3x-y=1$, $x+my=3$ este compatibil și rezolvați-l în acest caz.

Rezolvare. Minorul principal $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& -1\end{array}\right|=-7\ne 0$ dă $\mathrm{rang}A=2$ pentru orice $m$, iar ecuația secundară e a treia. Determinantul caracteristic este $$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 5\\ 3& -1& 1\\ 1& m& 3\end{array}\right|=-1+15m-(13+m)=14m-14,$$ deci sistemul e compatibil $⟺m=1$. Atunci $x+2y=5$ și $3x-y=1$ dau $x=1$, $y=2$, iar ecuația secundară confirmă: $1+2=3$.

Exemplul 5 — Sistem omogen: pentru ce $m$ apar soluții nebanale

Determinați $m\in \mathbb{R}$ pentru care sistemul omogen $2x-y+z=0$, $x+y-z=0$, $3x+my+2z=0$ admite și soluții diferite de cea banală, apoi rezolvați-l pentru acea valoare.

Rezolvare. $\Delta =\left|\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 1& 1& -1\\ 3& m& 2\end{array}\right|=7+m-(1-2m)=3(m+2)$, deci soluțiile nebanale apar exact pentru $m=-2$. Minorul $\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right|=3\ne 0$ dă $\mathrm{rang}A=2$ și o necunoscută secundară. Cu $z=\alpha$, adunând ecuațiile principale $2x-y=-\alpha$ și $x+y=\alpha$ obținem $3x=0$, deci $x=0$, $y=\alpha$ și $S=\{(0,\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră sistemul $x+y+z=6$, $x+2y+3z=14$, $x+3y+mz=24$, cu $m\in \mathbb{R}$. a) Calculați determinantul matricei sistemului. b) Determinați valorile lui $m$ pentru care sistemul are soluție unică. c) Rezolvați sistemul pentru $m=7$ și arătați că pentru $m=5$ el este incompatibil.

Rezolvare. a) $\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 3& m\end{array}\right|=2m+6-(11+m)=m-5$.

b) Soluția e unică exact când sistemul e de tip Cramer, deci pentru $m\ne 5$.

c) Pentru $m=7$: $\Delta =2$, ${\Delta }_1=-2$, ${\Delta }_2=12$, ${\Delta }_3=2$, deci $x=-1$, $y=6$, $z=1$; verificare în cele trei ecuații: $-1+6+1=6$, $-1+12+3=14$, $-1+18+7=24$.

Pentru $m=5$ linia a treia a matricei este $2$ ori linia a doua minus linia întâi, dar la termenii liberi $2\cdot 14-6=22\ne 24$. Deci $\mathrm{rang}A=2$ și $\mathrm{rang}\overline{A}=3$: prin Kronecker-Capelli, sistemul e incompatibil.

Să exersăm

La fiecare discuție, scrie răspunsul ca tabel de cazuri și nu uita mulțimea soluțiilor în cazurile nedeterminate.

1. Discută sistemul $2x+my=3$, $x+y=2$.

2. Discută sistemul $x+y+z=1$, $x+2y+3z=2$, $x+4y+mz=4$.

3. Discută sistemul $mx+y+z=1$, $x+my+z=1$, $x+y+mz=1$.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă determinantul unui sistem pătratic este nul, atunci sistemul este incompatibil."

5. Determină valorile lui $m$ pentru care sistemul omogen $mx+2y=0$, $8x+my=0$ admite și soluții nebanale, apoi scrie mulțimea soluțiilor în fiecare caz.

6. Determină $m$ astfel încât sistemul $x+y=1$, $2x+my=3$ să aibă soluție unică, apoi scrie soluția în funcție de $m$.

7. Determină valorile lui $m$ pentru care sistemul $x+2y=5$, $3x-y=1$, $x+my=3$ este incompatibil.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un sistem liniar omogen nu poate fi niciodată incompatibil."

9. Determină $m$ pentru care sistemul omogen $(m-1)x+y=0$, $4x+(m-1)y=0$ are și soluții nebanale.

10. Arată că sistemul $x+my=1$, $-mx+y=0$ este de tip Cramer pentru orice $m\in \mathbb{R}$ și scrie soluția.

11. Discută sistemul omogen $2x-y+z=0$, $x+y-z=0$, $3x+my+2z=0$ și scrie mulțimea soluțiilor în cazul critic.

12. (Problemă aplicată.) Un cinematograf vinde $40$ de bilete, unele la $20$ de lei, celelalte la $p$ lei, și încasează $1100$ de lei. Scrie sistemul, discută-l după $p$ și spune pentru ce prețuri problema are sens (ambele numere de bilete pozitive).

13. Discută sistemul $x+y+z=2$, $x+2y+3z=5$, $2x+3y+4z=a$, după valorile lui $a\in \mathbb{R}$.

14. Explică de ce nu ai voie să simplifici fracția $\frac{{\Delta }_1}{\Delta }$ cu un factor care se anulează pentru una dintre valorile critice.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră sistemul $x+y+z=6$, $x+2y+3z=14$, $x+3y+mz=24$. a) Calculați $\Delta$. b) Determinați $m$ pentru care sistemul este compatibil determinat. c) Rezolvați sistemul pentru $m=6$.

16. Discută sistemul $mx+4y=2$, $x+my=1$ și verifică, prin înlocuire, soluția obținută pentru $m=3$.

17. Arată că sistemul $x+y=1$, $mx-y+z=0$, $y+mz=2$ are soluție unică pentru orice $m\in \mathbb{R}$ și scrie această soluție.

18. (Provocare.) Se consideră sistemul $x+y+z=1$, $x+2y+3z=a$, $x+4y+9z=a^2$. Arată că e de tip Cramer pentru orice $a\in \mathbb{R}$, rezolvă-l în funcție de $a$ și determină valorile lui $a$ pentru care toate cele trei necunoscute sunt nenegative.

Răspunsuri și explicații

1. $\Delta =2-m$, valoare critică $m=2$. Pentru $m\ne 2$: ${\Delta }_1=3-2m$, ${\Delta }_2=1$, deci $x=\frac{3-2m}{2-m}$, $y=\frac{1}{2-m}$. Pentru $m=2$, $x+y$ ar trebui să fie și $\frac{3}{2}$, și $2$ — incompatibil (confirmă și ieșirea rapidă: ${\Delta }_2=1\ne 0$).

2. $\Delta =m-7$. Pentru $m\ne 7$: ${\Delta }_1={\Delta }_3=0$ și ${\Delta }_2=m-7$, deci soluția e $(0,1,0)$, aceeași pentru orice $m$. Pentru $m=7$: $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}=2$, sistem simplu nedeterminat, $S=\{(\alpha ,1-2\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$.

3. $\Delta =(m-1{)}^2(m+2)$. Pentru $m\notin \{1,-2\}$, din simetria sistemului, $x=y=z=\frac{1}{m+2}$. Pentru $m=1$ toate ecuațiile devin $x+y+z=1$: dublu nedeterminat, $S=\{(1-\alpha -\beta ,\alpha ,\beta )\mid \alpha ,\beta \in \mathbb{R}\}$. Pentru $m=-2$, adunând ecuațiile se obține $0=3$: incompatibil.

4. Fals. $\Delta =0$ înseamnă doar că sistemul nu e de tip Cramer. El poate fi incompatibil sau compatibil nedeterminat; decizia se ia comparând $\mathrm{rang}A$ cu $\mathrm{rang}\overline{A}$.

5. $\Delta =m^2-16$, deci soluții nebanale pentru $m=\pm 4$: la $m=4$ ambele ecuații se reduc la $y=-2x$, iar la $m=-4$ la $y=2x$, deci $S=\{(\alpha ,-2\alpha )\}$, respectiv $S=\{(\alpha ,2\alpha )\}$, cu $\alpha \in \mathbb{R}$. Altfel, doar soluția banală.

6. $\Delta =m-2$, deci soluție unică pentru $m\ne 2$. Cu ${\Delta }_1=m-3$ și ${\Delta }_2=1$: $x=\frac{m-3}{m-2}$, $y=\frac{1}{m-2}$. Pentru $m=2$ sistemul e incompatibil.

7. Determinantul caracteristic $14m-14$ se anulează doar pentru $m=1$, deci sistemul e incompatibil pentru orice $m\ne 1$.

8. Adevărat. Coloana termenilor liberi e nulă, deci adăugarea ei la $A$ nu poate crește rangul: $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}$ mereu. Concret, soluția banală verifică orice ecuație omogenă.

9. $\Delta =(m-1{)}^2-4=(m-3)(m+1)$, deci soluții nebanale pentru $m=3$ ($S=\{(\alpha ,-2\alpha )\}$) și $m=-1$ ($S=\{(\alpha ,2\alpha )\}$).

10. $\Delta =1+m^2>0$ pentru orice $m$ real, deci sistemul e mereu de tip Cramer. Cu ${\Delta }_1=1$ și ${\Delta }_2=m$: $x=\frac{1}{1+m^2}$, $y=\frac{m}{1+m^2}$.

11. $\Delta =3(m+2)$: pentru $m\ne -2$ doar soluția banală, iar pentru $m=-2$, $\mathrm{rang}A=2$ și $S=\{(0,\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$.

12. Cu $x$ = numărul biletelor de $20$ de lei și $y$ = numărul celorlalte: $x+y=40$, $20x+py=1100$, cu $\Delta =p-20$, ${\Delta }_1=40p-1100$, ${\Delta }_2=300$. Pentru $p=20$ sistemul e incompatibil (încasarea ar fi $800$ de lei). Pentru $p\ne 20$: $y=\frac{300}{p-20}$, $x=40-y$; problema are sens când $0<y<40$, adică $p>27,5$ lei. De pildă, $p=35$ dă $x=y=20$.

13. $\Delta =0$ pentru orice $a$ (linia a treia e suma primelor două) și $\mathrm{rang}A=2$. Compatibilitatea cere ca și termenii liberi să respecte relația: $a=2+5=7$. Pentru $a\ne 7$ sistemul e incompatibil; pentru $a=7$ e simplu nedeterminat, $S=\{(\alpha -1,3-2\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$.

14. Simplificarea presupune că factorul e nenul, iar el se anulează exact în valoarea critică. Formula e deci valabilă numai pe cazul general; în valoarea critică nici nu are sens $\frac{{\Delta }_1}{\Delta }$, fiindcă $\Delta =0$.

15. a) $\Delta =m-5$. b) Compatibil determinat pentru $m\ne 5$. c) Pentru $m=6$: $\Delta =1$, ${\Delta }_1=0$, ${\Delta }_2=4$, ${\Delta }_3=2$, deci $(x,y,z)=(0,4,2)$; verificare: $0+4+2=6$, $0+8+6=14$, $0+12+12=24$.

16. $\Delta =m^2-4$; pentru $m\notin \{-2,2\}$, $x=\frac{2}{m+2}$, $y=\frac{1}{m+2}$; pentru $m=2$, $S=\{(1-2\alpha ,\alpha )\}$; pentru $m=-2$, incompatibil. La $m=3$: $x=\frac{2}{5}$, $y=\frac{1}{5}$, iar înlocuirea dă $\frac{6}{5}+\frac{4}{5}=2$ și $\frac{2}{5}+\frac{3}{5}=1$.

17. $\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ m& -1& 1\\ 0& 1& m\end{array}\right|=-(m^2+m+1)$; trinomul $m^2+m+1$ are discriminantul $-3<0$ și coeficient dominant pozitiv, deci $\Delta \ne 0$ pentru orice $m$. Cu ${\Delta }_1=1-m$, ${\Delta }_2=-(m^2+2)$, ${\Delta }_3=-(m+2)$: $x=\frac{m-1}{m^2+m+1}$, $y=\frac{m^2+2}{m^2+m+1}$, $z=\frac{m+2}{m^2+m+1}$.

18. $\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 4& 9\end{array}\right|=2\ne 0$, independent de $a$, deci sistemul e de tip Cramer pentru orice $a$. Din ${\Delta }_1=(a-2)(a-3)$, ${\Delta }_2=-2(a-1)(a-3)$, ${\Delta }_3=(a-1)(a-2)$ rezultă $$x=\frac{(a-2)(a-3)}{2},y=-(a-1)(a-3),z=\frac{(a-1)(a-2)}{2}.$$ Condiția $y\ge 0$ dă $a\in [1,3]$, $x\ge 0$ dă $a\le 2$ sau $a\ge 3$, iar $z\ge 0$ dă $a\le 1$ sau $a\ge 2$. Intersecția celor trei mulțimi este $\{1,2,3\}$, cu soluțiile $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ și, respectiv, $(0,0,1)$.

De reținut

• Discuția are cinci pași: calculezi $\Delta$, îl factorizezi, rezolvi $\Delta =0$, tratezi cazul general cu Cramer și fiecare valoare critică separat, cu ranguri.
• $\Delta \ne 0$ înseamnă compatibil determinat, cu $x_k=\frac{{\Delta }_k}{\Delta }$; $\Delta =0$ înseamnă doar că regula lui Cramer nu se mai aplică.
• Regula cu trei ramuri: $\Delta =0$ și un ${\Delta }_k\ne 0$ dă incompatibil; $\Delta =0$ și toți ${\Delta }_k=0$ nu decide — se compară $\mathrm{rang}A$ cu $\mathrm{rang}\overline{A}$.
• Sistemele nepătratice nu au $\Delta$: discuția se face direct cu teorema lui Rouché, iar parametrul apare în determinanții caracteristici.
• Un sistem omogen pătratic are soluții nebanale dacă și numai dacă $\Delta =0$.

Greșeli frecvente

• „$\Delta =0$, deci sistemul e incompatibil." Fals: poate fi și nedeterminat. Verdictul îl dau rangurile.
• „$\Delta =0$ și toți ${\Delta }_k=0$, deci sistemul e nedeterminat." Tot fals: la $x+y+z=1$, $x+y+z=1$, $x+y+z=2$ toți acești determinanți sunt nuli, dar sistemul e incompatibil. Ramura aceasta obligă la calculul rangurilor.
• Simplificarea fără condiție. Din $x=\frac{2(m-2)}{(m-2)(m+2)}$ scrii $x=\frac{2}{m+2}$ numai după ce ai scris „presupunem $m\ne 2$".
• Discuție incompletă. Fiecare rădăcină a lui $\Delta$ are nevoie de propriul verdict și, dacă e cazul, de mulțimea soluțiilor.
• Confuzia dintre parametrul din enunț și cel al soluției. $m$ vine din problemă; $\alpha$ îl alegi tu ca necunoscută secundară. A scrie $S=\{(1-2m,m)\}$ în loc de $S=\{(1-2\alpha ,\alpha )\}$ amestecă două lucruri diferite.

Aplică acasă

1. Fabrica de sisteme. Ia un sistem $2\times 2$ oarecare și înlocuiește un coeficient cu $m$; calculează $\Delta$, află valorile critice și verifică pe fiecare, cu numere concrete, dacă sistemul iese incompatibil sau nedeterminat.

2. Tabelul de discuție într-o foaie de calcul. Pune pe o coloană valorile $m=-3,\dots ,3$ și pe rânduri formulele lui $\Delta$, ${\Delta }_1$, ${\Delta }_2$; observă unde apar zerouri și care dintre ele sunt „toate nule".

3. Reține contraexemplul. Scrie pe o fișă cele două sisteme din secțiunea $4$, unul nedeterminat și unul incompatibil, ambele cu toți determinanții nuli — e cel mai bun antidot pentru regula falsă.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică dacă elevul poate organiza o rezolvare, nu doar dacă știe să calculeze: determinant cu literă, factorizare, o ecuație în parametru, apoi analiză pe cazuri cu rangul, Kronecker-Capelli și Rouché. E, practic, examenul de final al capitolului de sisteme.

De verificat în caiet: (1) determinantul a fost factorizat; (2) simplificările din cazul general au condiția care le permite; (3) fiecare valoare critică are un verdict scris; (4) în cazurile nedeterminate apare mulțimea soluțiilor, cu parametrul $\alpha$. Întrebări de control: „Ce înseamnă că $\Delta =0$?"; „Poți da un sistem cu $\Delta =0$ care are o infinitate de soluții?".

La BAC M1 tema apare aproape în fiecare sesiune, în forma „calculați determinantul; determinați $m$ pentru care sistemul are soluție unică; rezolvați pentru o valoare dată".

Întrebări frecvente

Ce înseamnă să discuți un sistem cu parametru? Înseamnă să împarți valorile parametrului în cazuri și să spui, pentru fiecare caz, dacă sistemul e compatibil determinat, compatibil nedeterminat sau incompatibil, scriind și mulțimea soluțiilor acolo unde ea există.

Cum aflu valorile critice ale parametrului? Calculezi $\Delta$ ca expresie în parametru și rezolvi $\Delta =0$; rădăcinile ei sunt valorile critice, iar în afara lor sistemul e de tip Cramer.

Dacă determinantul este zero, sistemul este incompatibil? Nu neapărat: $\Delta =0$ spune doar că regula lui Cramer nu se mai aplică. Sistemul poate fi incompatibil sau nedeterminat, iar decizia se ia comparând $\mathrm{rang}A$ cu $\mathrm{rang}\overline{A}$.

La ce folosește regula „$\Delta =0$ și un ${\Delta }_k\ne 0$"? E o scurtătură sigură către „incompatibil", justificată prin relația $\Delta \cdot x_k={\Delta }_k$. Dacă însă toți ${\Delta }_k$ sunt nuli, regula nu spune nimic și trebuie să calculezi rangurile.

Când are un sistem omogen și soluții nebanale? Un sistem omogen pătratic are soluții diferite de cea banală dacă și numai dacă determinantul lui este nul. Dacă are mai multe necunoscute decât ecuații, are întotdeauna soluții nebanale, pentru că rangul nu poate atinge numărul necunoscutelor.

Ce se cere de obicei la Bacalaureat M1 la această temă? Trei cerințe legate: determinantul în funcție de parametru, valorile pentru care sistemul are soluție unică și rezolvarea pentru o valoare numerică dată. Notează necunoscutele secundare cu $\alpha$ și $\beta$, iar litera din enunț las-o rezervată parametrului problemei.