Sisteme liniare omogene: pe scurt

Un sistem liniar este omogen dacă toți termenii liberi sunt nuli; matriceal, $AX=O_{m,1}$. Astfel de sisteme ies din bilanțuri — „cât intră, atât iese" — și au două particularități.

Prima: orice sistem omogen este compatibil. Înlocuind $x_1=\cdots =x_n=0$, fiecare ecuație devine $0=0$; această soluție se numește soluția banală. Cuvântul „incompatibil" nu se poate rosti niciodată despre un sistem omogen. Criteriile generale confirmă: matricea extinsă se obține adăugând o coloană nulă, deci $\mathrm{rang}\overline{A}=\mathrm{rang}A$ (Kronecker-Capelli), iar fiecare determinant caracteristic are o coloană nulă, deci este nul (Rouché).

A doua: întrebarea reală este dacă există și soluții nebanale. Un sistem omogen cu $n$ necunoscute are soluții nebanale dacă și numai dacă $\mathrm{rang}A<n$. La un sistem pătratic, aceasta înseamnă $\det A=0$; dacă $\det A\ne 0$, toți ${\Delta }_k$ au o coloană nulă, deci $x_k=0$ pentru orice $k$. Consecință de folosit fără calcul: un sistem omogen cu mai puține ecuații decât necunoscute ($m<n$) are întotdeauna soluții nebanale.

Dacă $X_1$ și $X_2$ sunt soluții, atunci $\alpha X_1+\beta X_2$ este tot soluție — proprietate valabilă numai la sistemele omogene.

Exerciții din această mini-lecție

1. Un sistem de ecuații liniare omogen:

   • a) poate fi incompatibil, dacă $\det A=0$
   • b) este întotdeauna compatibil, având cel puțin soluția banală
   • c) are întotdeauna o infinitate de soluții
   • d) are soluții nebanale dacă și numai dacă $\det A\ne 0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) este întotdeauna compatibil, având cel puțin soluția banală

   Tripletul $(0,0,\dots ,0)$ verifică orice ecuație cu termen liber nul, deci compatibilitatea este garantată — cuvântul „incompatibil" nu se aplică niciodată aici. Infinitatea de soluții apare numai când $\mathrm{rang}A<n$; iar la un sistem pătratic soluțiile nebanale apar exact când $\det A=0$, nu invers.

2. Sistemul omogen $2x+y-z=0$, $x+3y+z=0$, $x-y+2z=0$ are:

   • a) o infinitate de soluții
   • b) nicio soluție
   • c) numai soluția banală $(0,0,0)$
   • d) exact două soluții
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) numai soluția banală $(0,0,0)$

   Matricea sistemului este pătratică, iar cu regula lui Sarrus $\det A=17\ne 0$. Sistemul este deci de tip Cramer: fiecare ${\Delta }_k$ se obține înlocuind o coloană cu coloana termenilor liberi, care este nulă, deci ${\Delta }_k=0$ și $x=y=z=0$. Un sistem omogen nu poate fi fără soluții și nici nu poate avea exact două.

3. Un sistem de ecuații liniare omogen cu $3$ ecuații și $5$ necunoscute:

   • a) are întotdeauna soluții nebanale
   • b) are numai soluția banală
   • c) poate fi incompatibil
   • d) are soluții nebanale doar dacă $\mathrm{rang}A=3$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) are întotdeauna soluții nebanale

   Rangul unei matrice cu $3$ linii nu poate depăși $3$, deci $\mathrm{rang}A\le 3<5=n$. Cum un sistem omogen are soluții nebanale exact când $\mathrm{rang}A<n$, concluzia se scrie fără niciun calcul. Gradul de nedeterminare este $5-\mathrm{rang}A$, deci cel puțin $2$.