Sisteme liniare omogene

Într-un nod de rețea — electrică, de conducte sau de trafic — se scrie mereu aceeași propoziție: cât intră, atât iese. Traducerea ei în algebră are o formă foarte particulară: suma unor mărimi, cu semne, este egală cu zero. Nu apare niciun termen liber, pentru că nimic nu se produce și nimic nu dispare în nod; se face doar bilanțul. La fel arată și ecuațiile de echilibru dintr-o reacție chimică, atunci când căutăm coeficienții cu care se scriu substanțele.

Sistemele care ies din astfel de bilanțuri au toți termenii liberi nuli. Se numesc omogene și au două particularități care le fac speciale: nu sunt niciodată incompatibile, iar întrebarea interesantă nu mai este „are soluții?", ci „are și alte soluții în afară de cea evidentă?". Vom vedea că răspunsul se citește dintr-un singur număr — determinantul sistemului, când matricea e pătratică — sau, în general, din rangul matricei sistemului.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști un sistem liniar omogen și să-l scrii sub forma matriceală $AX=O$.
• Vei ști să demonstrezi că orice sistem omogen este compatibil, exhibând soluția banală.
• Vei ști de ce criteriile de compatibilitate (Kronecker-Capelli și Rouché) sunt automat îndeplinite la un sistem omogen.
• Vei ști să decizi, prin rang, dacă un sistem omogen are și soluții nebanale, și să le scrii pe toate.
• Vei ști că la un sistem omogen pătratic totul se reduce la condiția $\det A=0$.
• Vei ști de ce un sistem omogen cu mai multe necunoscute decât ecuații are întotdeauna soluții nebanale.

Hai să descoperim împreună

1. Bilanțul care naște zerouri

Un depozit are trei benzi transportoare care duc marfă spre un punct de sortare și trei care o duc mai departe. Dacă notăm cu $x$, $y$, $z$ debitele orare (în tone) de pe primele trei benzi, condiția ca punctul de sortare să nu acumuleze și să nu rămână gol dă, pentru fiecare dintre cele trei zone ale halei, câte o egalitate de tipul „intrări minus ieșiri egal zero":

$$x+2y-z=0,2x-y+3z=0,3x+y+2z=0.$$

Observă ce nu apare: niciun număr în dreapta. Aceasta e semnătura sistemelor de echilibru. Și observă ce se vede imediat: oprind toate benzile, adică luând $x=y=z=0$, cele trei egalități sunt adevărate. Soluția aceasta există întotdeauna, dar nu ne spune nimic util despre depozit. Întrebarea reală este: se poate ca benzile să meargă și totuși bilanțul să fie zero?

2. Definiția și scrierea matriceală

Definiție. Un sistem de $m$ ecuații liniare cu $n$ necunoscute se numește omogen dacă toți termenii liberi sunt nuli:

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=0\\ \cdots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=0\end{array}$$

Cu notațiile din scrierea matriceală a sistemelor, unde $A=(a_{ij})$ este matricea sistemului, $X$ este matricea coloană a necunoscutelor și $B$ cea a termenilor liberi, condiția „omogen" înseamnă exact $B=O_{m,1}$, deci forma matriceală este

$$AX=O_{m,1},A\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{C}),X\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{C}).$$

Matricea extinsă a unui sistem omogen este $\overline{A}$, obținută din $A$ prin adăugarea, la dreapta, a unei coloane numai cu zerouri. Reține imaginea aceasta: coloana adăugată nu aduce nicio informație nouă. Din ea vor decurge, în două rânduri, toate proprietățile care urmează.

3. Soluția banală. Orice sistem omogen este compatibil

Teoremă. Orice sistem liniar omogen este compatibil.

Demonstrație. Înlocuim $x_1=x_2=\cdots =x_n=0$ în ecuația de rang $i$. Membrul stâng devine $a_{i1}\cdot 0+a_{i2}\cdot 0+\cdots +a_{in}\cdot 0=0$, adică exact membrul drept. Cum $i$ a fost ales arbitrar, toate cele $m$ ecuații sunt verificate, deci sistemul are cel puțin o soluție. $■$

Soluția $(0,0,\dots ,0)$ se numește soluția banală (sau soluția nulă). Matriceal: $A\cdot O_{n,1}=O_{m,1}$, ceea ce e o proprietate a înmulțirii matricelor, nu un accident.

Prin urmare, la un sistem omogen cuvântul „incompatibil" nu se poate rosti niciodată. Rămân doar două posibilități: sistemul e compatibil determinat (și atunci unica lui soluție este cea banală) sau este compatibil nedeterminat (și atunci, pe lângă cea banală, are o infinitate de soluții nebanale, adică soluții în care măcar o necunoscută este nenulă).

4. De ce criteriile de compatibilitate nu au ce refuza

Poate părea că am scăpat prea ușor. Să verificăm concluzia și cu cele două criterii generale.

Cu teorema Kronecker-Capelli. Matricea extinsă $\overline{A}$ se obține din $A$ adăugând o coloană de zerouri. Orice minor al lui $\overline{A}$ care folosește coloana adăugată are o coloană nulă, deci este nul; așadar minorii nenuli ai lui $\overline{A}$ sunt exact minorii nenuli ai lui $A$, iar cel mai mare ordin al unui minor nenul este același:

$$\mathrm{rang}\overline{A}=\mathrm{rang}A.$$

Egalitatea cerută de Kronecker-Capelli este deci îndeplinită automat, pentru orice sistem omogen. Compatibilitatea rezultă din nou.

Cu teorema lui Rouché. Un determinant caracteristic se obține bordând minorul principal cu coeficienții unei ecuații secundare și cu coloana termenilor liberi. La un sistem omogen această ultimă coloană e formată numai din zerouri, deci fiecare determinant caracteristic are o coloană nulă și este nul. Toți determinanții caracteristici fiind nuli, teorema lui Rouché dă compatibilitatea. Cele trei drumuri duc în același loc — semn bun.

5. Când apar și soluții nebanale

Am eliminat o întrebare și ne-a rămas cea adevărată. Notăm $r=\mathrm{rang}A$ și $n$ = numărul necunoscutelor. Din teoria sistemelor compatibile nedeterminate știm că un sistem compatibil are soluție unică atunci când $r=n$ și o infinitate de soluții, cu $n-r$ necunoscute secundare, când $r<n$.

Teoremă. Un sistem liniar omogen cu $n$ necunoscute are și soluții nebanale dacă și numai dacă $\mathrm{rang}A<n$. Dacă $\mathrm{rang}A=n$, singura soluție este cea banală.

Demonstrație. Sistemul e compatibil, conform punctului 3. Dacă $r=n$, sistemul e compatibil determinat, deci are o singură soluție; cum soluția banală este soluție, ea este aceea, și alta nu există. Dacă $r<n$, sistemul e compatibil nedeterminat: alegând necunoscutele secundare (în număr de $n-r\ge 1$) putem da uneia dintre ele valoarea $1$, iar restului valoarea $0$, și obținem astfel o soluție în care cel puțin o necunoscută este nenulă — o soluție nebanală. $■$

Reține formularea în cuvinte: un sistem omogen are soluții nebanale exact atunci când rangul este mai mic decât numărul necunoscutelor, adică exact atunci când ecuațiile „nu sunt destule" ca să fixeze toate necunoscutele.

6. Cazul pătratic: totul se decide din determinant

Cel mai des întâlnit caz, și singurul care apare aproape mereu în subiectele de Bacalaureat M1, este cel în care numărul ecuațiilor este egal cu numărul necunoscutelor, $m=n$, deci $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$.

Teoremă. Fie un sistem omogen cu $n$ ecuații și $n$ necunoscute, de matrice $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$. Atunci:

$$\text{sistemul are numai soluția banala˘}⟺\det A\ne 0;\text{sistemul are și soluții nebanale}⟺\det A=0.$$

Demonstrație. Dacă $\det A\ne 0$, sistemul este de tip Cramer, deci compatibil determinat, iar din formulele lui Cramer avem $x_k=\frac{{\Delta }_k}{\Delta }$. Fiecare ${\Delta }_k$ se obține din $\Delta$ înlocuind coloana $k$ cu coloana termenilor liberi, adică cu o coloană de zerouri; un determinant cu o coloană nulă este nul, deci ${\Delta }_k=0$ pentru orice $k$ și, prin urmare, $x_k=0$ pentru orice $k$: numai soluția banală.

Reciproc, dacă $\det A=0$, atunci $\mathrm{rang}A<n$ (rangul unei matrice pătratice de ordin $n$ este $n$ exact când determinantul ei e nenul), deci, prin teorema de la punctul 5, sistemul are și soluții nebanale. $■$

Merită să observi eleganța primului argument: nu am calculat nimic. Coloana de zerouri a făcut toată treaba, exact ca la punctul 4.

7. Mai multe necunoscute decât ecuații

Consecință. Un sistem liniar omogen cu $m$ ecuații și $n$ necunoscute, în care $m<n$, are întotdeauna soluții nebanale.

Demonstrație. Rangul unei matrice cu $m$ linii nu poate depăși $m$, pentru că orice minor se formează alegând linii dintre cele $m$ existente. Deci $\mathrm{rang}A\le m<n$, iar punctul 5 dă concluzia. $■$

Este un rezultat pe care îl poți folosi fără niciun calcul. Dacă vezi două ecuații omogene cu trei necunoscute, sau trei ecuații omogene cu patru necunoscute, poți scrie direct că sistemul are o infinitate de soluții. În subiectele de Bacalaureat M1 apare uneori exact ca atare: „justificați că sistemul are și soluții nebanale".

8. Cum arată mulțimea soluțiilor și cum se lucrează

Soluțiile nebanale nu vin niciodată singure. Are loc următoarea proprietate, care se verifică într-o linie și care explică de ce ele sunt întotdeauna infinit de multe.

Proprietate. Dacă $X_1$ și $X_2$ sunt soluții ale sistemului omogen $AX=O$ și $\alpha ,\beta \in \mathbb{C}$, atunci $\alpha X_1+\beta X_2$ este tot o soluție.

Demonstrație. Folosind proprietățile înmulțirii matricelor,

$$A(\alpha X_1+\beta X_2)=\alpha (A{X}_1)+\beta (A{X}_2)=\alpha \cdot O+\beta \cdot O=O.■$$

Consecință imediată: dacă există o soluție nebanală $X_1$, atunci $\alpha X_1$ este soluție pentru orice $\alpha$, deci soluțiile sunt infinit de multe. Aceasta e și explicația formei în care se scrie răspunsul: mulțimea soluțiilor se prezintă cu unul, doi sau mai mulți parametri, notați $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$, iar numărul lor este exact $n-r$.

⚠️ Atenție la analogia cu sistemele neomogene. Proprietatea de mai sus este falsă pentru sisteme cu termeni liberi nenuli: dacă $A{X}_1=B$ și $A{X}_2=B$ cu $B\ne O$, atunci $A(X_1+X_2)=2B\ne B$. Suma a două soluții e soluție numai la sistemele omogene — și tocmai coloana de zerouri e motivul.

Rețeta de lucru. Pentru un sistem omogen, procedezi așa:

1. scrii matricea sistemului $A$ (nu ai nevoie de $\overline{A}$: coloana ei suplimentară e nulă);
2. dacă $A$ e pătratică, calculezi $\det A$. Dacă $\det A\ne 0$, ai terminat: $S=\{(0,0,\dots ,0)\}$;
3. dacă $\det A=0$ (sau dacă $A$ nu e pătratică), calculezi $\mathrm{rang}A=r$ și alegi un minor principal de ordin $r$;
4. păstrezi ecuațiile principale, treci necunoscutele secundare în membrul drept și rezolvi sistemul rămas, care e de tip Cramer, în raport cu necunoscutele principale;
5. scrii mulțimea soluțiilor cu $n-r$ parametri și verifici soluția generală în toate ecuațiile inițiale, inclusiv în cele secundare.

Metoda aceasta cere calculul unui rang și al câtorva determinanți. Există și un drum mult mai scurt, care aduce sistemul la o formă din care soluțiile se citesc direct — metoda lui Gauss, pe care o vei învăța în lecția următoare; ea funcționează identic pentru sistemele omogene și pentru cele neomogene.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Numai soluția banală

Rezolvați sistemul omogen $\{\begin{array}{l}x+y+z=0\\ 2x-y+3z=0\\ x+2y-z=0\end{array}$.

Rezolvare. Sistemul are trei ecuații și trei necunoscute, deci matricea lui este pătratică:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& -1& 3\\ 1& 2& -1\end{array}\right).$$

Calculăm determinantul cu regula lui Sarrus:

$$\det A=1\cdot (-1)\cdot (-1)+1\cdot 3\cdot 1+1\cdot 2\cdot 2-(1\cdot (-1)\cdot 1+1\cdot 3\cdot 2+1\cdot 2\cdot (-1))=(1+3+4)-(-1+6-2)=8-3=5.$$

Cum $\det A=5\ne 0$, sistemul este de tip Cramer, deci compatibil determinat, iar unica lui soluție este cea banală:

$$S=\{(0,0,0)\}.$$

Verificare: $0+0+0=0$, $0-0+0=0$, $0+0-0=0$ ✓.

Exemplul 2 — Determinant nul: apar soluțiile nebanale

Rezolvați sistemul omogen $\{\begin{array}{l}x+2y-z=0\\ 2x-y+3z=0\\ 3x+y+2z=0\end{array}$ (sistemul benzilor transportoare din deschiderea lecției).

Rezolvare. Matricea sistemului este $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 2& -1& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right)$, iar

$$\det A=1\cdot (-1)\cdot 2+2\cdot 3\cdot 3+(-1)\cdot 2\cdot 1-((-1)\cdot (-1)\cdot 3+1\cdot 3\cdot 1+2\cdot 2\cdot 2)=(-2+18-2)-(3+3+8)=14-14=0.$$

Deci sistemul are și soluții nebanale. Aflăm rangul: minorul din primele două linii și primele două coloane este

$$\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& -1\end{array}\right|=-1-4=-5\ne 0,$$

deci $\mathrm{rang}A=2$ (nu poate fi $3$, pentru că $\det A=0$). Alegem acest minor ca minor principal: necunoscutele principale sunt $x$ și $y$, cea secundară este $z$, iar ecuațiile principale sunt primele două. Trecem $z$ în dreapta:

$$\{\begin{array}{l}x+2y=z\\ 2x-y=-3z\end{array}$$

Înmulțim a doua ecuație cu $2$ și o adunăm la prima: $5x=z-6z=-5z$, deci $x=-z$. Din prima ecuație, $2y=z-x=z+z=2z$, deci $y=z$. Notăm $z=\alpha$ și obținem

$$S=\{(-\alpha ,\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}.$$

Verificarea în ecuația secundară (a treia, cea care nu a intrat în calcul) este obligatorie: $3(-\alpha )+\alpha +2\alpha =-3\alpha +3\alpha =0$ ✓. Interpretarea pentru depozit: benzile pot funcționa, cu condiția ca a doua și a treia să aibă același debit, iar prima să transporte în sens invers, cu același debit.

Exemplul 3 — Două ecuații, trei necunoscute

Rezolvați sistemul omogen $\{\begin{array}{l}x-y+2z=0\\ 2x+y-z=0\end{array}$.

Rezolvare. Avem $m=2<3=n$, deci, conform consecinței de la punctul 7, sistemul are cu siguranță soluții nebanale — fără niciun calcul.

Matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 2& 1& -1\end{array}\right)$ are minorul $\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 1\end{array}\right|=1+2=3\ne 0$, deci $\mathrm{rang}A=2$ (mai mare nu poate fi, matricea are doar două linii). Grad de nedeterminare: $n-r=3-2=1$, deci sistemul este simplu nedeterminat, cu $z$ necunoscută secundară:

$$\{\begin{array}{l}x-y=-2z\\ 2x+y=z\end{array}$$

Adunând cele două ecuații: $3x=-z$, deci $x=-\frac{z}{3}$; apoi $y=x+2z=-\frac{z}{3}+2z=\frac{5z}{3}$. Ca să scăpăm de numitori, notăm $z=3\alpha$ (parametrul $\alpha$ parcurge tot $\mathbb{R}$ când $z$ parcurge $\mathbb{R}$, deci nu pierdem nicio soluție):

$$S=\{(-\alpha ,5\alpha ,3\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}.$$

Verificare în ambele ecuații: $-\alpha -5\alpha +6\alpha =0$ ✓ și $-2\alpha +5\alpha -3\alpha =0$ ✓.

Exemplul 4 — Trei ecuații, patru necunoscute: dublu nedeterminat

Rezolvați sistemul omogen $\{\begin{array}{l}x+y+z+t=0\\ x+2y+3z+4t=0\\ 2x+3y+4z+5t=0\end{array}$.

Rezolvare. Din nou $m=3<4=n$, deci există soluții nebanale. Matricea sistemului este $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 4& 5\end{array}\right)$. Observăm că linia a treia este suma primelor două, deci orice minor de ordin $3$ are o linie egală cu suma celorlalte două și este nul; rangul nu este $3$. Minorul $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=1\ne 0$ arată că $\mathrm{rang}A=2$.

Grad de nedeterminare: $n-r=4-2=2$, deci sistemul este dublu nedeterminat. Necunoscute principale: $x$ și $y$; secundare: $z$ și $t$. Ecuații principale: primele două.

$$\{\begin{array}{l}x+y=-z-t\\ x+2y=-3z-4t\end{array}$$

Scădem prima ecuație din a doua: $y=-2z-3t$. Apoi $x=-z-t-y=-z-t+2z+3t=z+2t$. Notăm $z=\alpha$, $t=\beta$:

$$S=\{(\alpha +2\beta ,-2\alpha -3\beta ,\alpha ,\beta )\mid \alpha ,\beta \in \mathbb{R}\}.$$

Verificarea în ecuația secundară: $2(\alpha +2\beta )+3(-2\alpha -3\beta )+4\alpha +5\beta =2\alpha +4\beta -6\alpha -9\beta +4\alpha +5\beta =0$ ✓.

Exemplul 5 — Combinații de soluții

Se știe că $X_1=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ este soluție a sistemului omogen din Exemplul 2. Arătați, fără a rezolva sistemul, că $X_2=\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ și $X_3=\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ -3\end{array}\right)$ sunt de asemenea soluții.

Rezolvare. Observăm că $X_2=4X_1$ și $X_3=-3X_1$. Folosim proprietatea de la punctul 8, cu $\beta =0$: dacă $A{X}_1=O$, atunci

$$A(\alpha X_1)=\alpha (A{X}_1)=\alpha \cdot O=O$$

pentru orice $\alpha \in \mathbb{C}$. Luând $\alpha =4$ obținem că $X_2$ e soluție, iar cu $\alpha =-3$ obținem că $X_3$ e soluție. Verificarea directă în prima ecuație confirmă: $-4+2\cdot 4-4=0$ ✓ și $3+2\cdot (-3)-(-3)=3-6+3=0$ ✓.

Observație: același raționament arată că niciun sistem omogen nu are exact două soluții. Ori are una singură (cea banală), ori are o infinitate.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră sistemul $\{\begin{array}{l}x+2y-z=0\\ 2x-y+3z=0\\ 3x+y+mz=0\end{array}$, cu $m\in \mathbb{R}$.

a) Arătați că sistemul admite soluția $(0,0,0)$, oricare ar fi $m\in \mathbb{R}$. b) Determinați $m$ pentru care sistemul admite și soluții nebanale. c) Pentru valoarea găsită la punctul b), rezolvați sistemul.

Rezolvare. a) Sistemul este omogen (toți termenii liberi sunt nuli), deci, prin teorema de la punctul 3, tripletul $(0,0,0)$ îl verifică: fiecare membru stâng devine o sumă de produse cu factorul $0$. Concluzia nu depinde de $m$.

b) Fiind un sistem pătratic omogen, el are și soluții nebanale exact când $\det A=0$, unde

$$\det A=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 2& -1& 3\\ 3& 1& m\end{array}\right|=1\cdot (-1)\cdot m+2\cdot 3\cdot 3+(-1)\cdot 2\cdot 1-((-1)\cdot (-1)\cdot 3+1\cdot 3\cdot 1+2\cdot 2\cdot m)=-5m+10.$$

Condiția $-5m+10=0$ dă $m=2$.

c) Pentru $m=2$ sistemul devine exact cel din Exemplul 2, deja rezolvat:

$$S=\{(-\alpha ,\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}.$$

Verificarea finală, în toate cele trei ecuații: $-\alpha +2\alpha -\alpha =0$ ✓, $-2\alpha -\alpha +3\alpha =0$ ✓, $-3\alpha +\alpha +2\alpha =0$ ✓.

Să exersăm

La fiecare sistem omogen, începe prin a număra ecuațiile și necunoscutele: dacă sunt mai puține ecuații decât necunoscute, știi răspunsul la întrebarea „are soluții nebanale?" înainte de orice calcul.

1. Rezolvă sistemul omogen $\{\begin{array}{l}x+y+z=0\\ 2x-y+3z=0\\ x+2y-z=0\end{array}$, precizând dacă are sau nu soluții nebanale.

2. Rezolvă sistemul omogen $\{\begin{array}{l}x-y+2z=0\\ 2x+y-z=0\\ 3x+z=0\end{array}$.

3. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Există sisteme liniare omogene incompatibile."

4. Determină $m\in \mathbb{R}$ pentru care sistemul $\{\begin{array}{l}2x-y=0\\ mx-2y=0\end{array}$ are și soluții nebanale, apoi rezolvă-l pentru valoarea găsită.

5. Rezolvă sistemul omogen $\{\begin{array}{l}x+2y-3z=0\\ 2x-y+z=0\end{array}$.

6. Rezolvă sistemul omogen $\{\begin{array}{l}x+y-z+2t=0\\ 2x-y+3z-t=0\end{array}$ și precizează gradul lui de nedeterminare.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă un sistem omogen cu trei ecuații și trei necunoscute are $\det A=0$, atunci are o infinitate de soluții."

8. (Problemă aplicată.) Într-un nod de rețea intră un curent $x$ și ies două curenți, $y$ și $z$; în plus, o a doua condiție de echilibru dă $2x=3y+z$, iar o a treia, $x-y-z=0$. Scrie sistemul omogen corespunzător, rezolvă-l și precizează în ce raport trebuie să fie cei trei curenți.

9. Arată că sistemul omogen de matrice $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 1\\ 0& 1& 1& 0\\ 1& 1& 0& 1\\ 0& 1& 0& 1\end{array}\right)$ are numai soluția banală, calculând $\det A$.

10. Rezolvă sistemul omogen $\{\begin{array}{l}x+2y+3z=0\\ 2x+4y+6z=0\\ 3x+6y+9z=0\end{array}$ și precizează rangul matricei sistemului.

11. Se știe că $(2,-1,3)$ este soluție a unui sistem liniar omogen cu trei necunoscute. Scrie alte trei soluții ale aceluiași sistem, justificând.

12. Rezolvă sistemul omogen $\{\begin{array}{l}x-y=0\\ y-z=0\\ x-z=0\end{array}$, precizând rangul matricei sistemului.

13. Explică, în două-trei fraze, de ce coloana termenilor liberi a unui sistem omogen face ca toți determinanții caracteristici din teorema lui Rouché să fie nuli.

14. Un sistem liniar omogen are $5$ necunoscute, iar rangul matricei sistemului este $3$. Câte necunoscute secundare are și cu câți parametri se scrie mulțimea soluțiilor?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră sistemul $\{\begin{array}{l}2x+y-z=0\\ x-y+2z=0\\ 3x+az=0\end{array}$, cu $a\in \mathbb{R}$. a) Calculează determinantul matricei sistemului. b) Determină $a$ pentru care sistemul are și soluții nebanale. c) Rezolvă sistemul pentru valoarea găsită.

16. Arată că, dacă $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ are două linii identice, sistemul omogen $AX=O$ are cu siguranță soluții nebanale.

17. Un sistem liniar omogen are $3$ ecuații și $4$ necunoscute. Poate el avea soluție unică? Justifică.

18. (Provocare.) Fie $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ o matrice pentru care sistemul omogen $AX=O$ are numai soluția banală. Arată că, pentru orice matrice coloană $B\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{C})$, sistemul $AX=B$ este compatibil determinat. (Indicație: ce spune ipoteza despre $\det A$?)

Răspunsuri și explicații

1. $\det A=5\ne 0$ (calculat cu Sarrus în Exemplul 1), deci sistemul este compatibil determinat și are numai soluția banală: $S=\{(0,0,0)\}$. Nu are soluții nebanale.

2. $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 2& 1& -1\\ 3& 0& 1\end{array}\right)$, iar $\det A=1+3+0-(6+0-2)=4-4=0$, deci există soluții nebanale. Minorul $\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 1\end{array}\right|=3\ne 0$ dă $\mathrm{rang}A=2$; cu $z$ secundară, din $x-y=-2z$ și $2x+y=z$ obținem $3x=-z$, deci $x=-\frac{z}{3}$ și $y=\frac{5z}{3}$. Cu $z=3\alpha$: $S=\{(-\alpha ,5\alpha ,3\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$. Verificare în ecuația a treia: $-3\alpha +3\alpha =0$ ✓.

3. Fals. Orice sistem omogen admite soluția banală $(0,0,\dots ,0)$, deci are cel puțin o soluție și, prin definiție, este compatibil. Un sistem omogen poate fi doar compatibil determinat sau compatibil nedeterminat.

4. $\det A=\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ m& -2\end{array}\right|=-4+m$. Soluții nebanale există exact când $-4+m=0$, adică $m=4$. Pentru $m=4$, ambele ecuații se reduc la $2x-y=0$, deci $y=2x$ și $S=\{(\alpha ,2\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$.

5. Două ecuații, trei necunoscute: $m=2<3=n$, deci există soluții nebanale. Minorul $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& -1\end{array}\right|=-5\ne 0$ dă $\mathrm{rang}A=2$, iar $z$ e secundară: $x+2y=3z$ și $2x-y=-z$. Din a doua, $y=2x+z$; înlocuind, $x+4x+2z=3z$, deci $5x=z$, adică $x=\frac{z}{5}$ și $y=\frac{7z}{5}$. Cu $z=5\alpha$: $S=\{(\alpha ,7\alpha ,5\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$. Verificare: $\alpha +14\alpha -15\alpha =0$ ✓ și $2\alpha -7\alpha +5\alpha =0$ ✓.

6. Două ecuații, patru necunoscute, deci grad de nedeterminare $4-2=2$: sistemul este dublu nedeterminat. Minorul $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& -1\end{array}\right|=-3\ne 0$ dă $\mathrm{rang}A=2$, cu $x,y$ principale și $z,t$ secundare: $x+y=z-2t$ și $2x-y=-3z+t$. Adunând: $3x=-2z-t$. Cu $z=3\alpha$ și $t=3\beta$ obținem $x=-2\alpha -\beta$ și $y=z-2t-x=3\alpha -6\beta +2\alpha +\beta =5\alpha -5\beta$, deci $S=\{(-2\alpha -\beta ,5\alpha -5\beta ,3\alpha ,3\beta )\mid \alpha ,\beta \in \mathbb{R}\}$.

7. Adevărat. La un sistem omogen pătratic, $\det A=0$ înseamnă $\mathrm{rang}A<n$, deci sistemul este compatibil nedeterminat. Cum orice multiplu al unei soluții nebanale este tot soluție, soluțiile sunt infinit de multe.

8. Condițiile se scriu $x-y-z=0$, $2x-3y-z=0$ și $x-y-z=0$; a treia o repetă pe prima, deci sistemul are matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ 2& -3& -1\\ 1& -1& -1\end{array}\right)$, cu două linii identice și $\det A=0$. Minorul $\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& -3\end{array}\right|=-1\ne 0$ dă $\mathrm{rang}A=2$; cu $z$ secundară: $x-y=z$ și $2x-3y=z$. Scăzând dublul primei din a doua: $-y=-z$, deci $y=z$ și $x=2z$. Cu $z=\alpha$: $S=\{(2\alpha ,\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$. Curenții sunt în raportul $x:y:z=2:1:1$.

9. Dezvoltând determinantul după ultima linie se obține $\det A=-2\ne 0$. Sistemul este de tip Cramer, deci compatibil determinat, iar unica soluție este cea banală: $S=\{(0,0,0,0)\}$.

10. Liniile a doua și a treia sunt multipli ai primei ($\times 2$, respectiv $\times 3$), deci toți minorii de ordin $2$ și $3$ sunt nuli, iar $\mathrm{rang}A=1$. Grad de nedeterminare $3-1=2$: sistemul se reduce la $x+2y+3z=0$. Cu $y=\alpha$ și $z=\beta$: $S=\{(-2\alpha -3\beta ,\alpha ,\beta )\mid \alpha ,\beta \in \mathbb{R}\}$.

11. Orice multiplu al unei soluții este soluție, pentru că $A(\alpha X)=\alpha (AX)=\alpha \cdot O=O$. Deci $(4,-2,6)$ (cu $\alpha =2$), $(-2,1,-3)$ (cu $\alpha =-1$) și $(1,-\frac{1}{2},\frac{3}{2})$ (cu $\alpha =\frac{1}{2}$) sunt soluții. La fel este și $(0,0,0)$, care e soluție a oricărui sistem omogen.

12. $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 1& -1\\ 1& 0& -1\end{array}\right)$, iar cu regula lui Sarrus $\det A=(-1)+1+0-(0+0+0)=0$; într-adevăr, linia a treia este suma primelor două. Minorul $\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right|=1\ne 0$ dă $\mathrm{rang}A=2$. Din $x=y$ și $y=z$ rezultă $S=\{(\alpha ,\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$; a treia ecuație, $x=z$, se verifică automat.

13. Un determinant caracteristic se obține bordând minorul principal cu coeficienții unei ecuații secundare și cu coloana termenilor liberi. La un sistem omogen, coloana termenilor liberi conține numai zerouri, deci fiecare determinant caracteristic are o coloană nulă, iar un determinant cu o coloană nulă este $0$. Teorema lui Rouché confirmă astfel compatibilitatea, pentru orice sistem omogen.

14. Numărul necunoscutelor secundare este $n-r=5-3=2$, deci sistemul este dublu nedeterminat, iar mulțimea soluțiilor se scrie cu doi parametri.

15. a) $\det A=\left|\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 1& -1& 2\\ 3& 0& a\end{array}\right|=-2a+6+0-(3+0+a)=-3a+3$. b) Sistemul are și soluții nebanale exact când $\det A=0$, adică $a=1$. c) Pentru $a=1$, minorul $\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -1\end{array}\right|=-3\ne 0$ dă $\mathrm{rang}A=2$; din $2x+y=z$ și $x-y=-2z$, adunând, $3x=-z$, deci $x=-\frac{z}{3}$ și $y=z-2x=\frac{5z}{3}$. Cu $z=3\alpha$: $S=\{(-\alpha ,5\alpha ,3\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$. Verificare în a treia ecuație: $-3\alpha +3\alpha =0$ ✓.

16. Un determinant care are două linii identice este nul, deci $\det A=0$. Sistemul fiind omogen și pătratic, condiția $\det A=0$ este echivalentă cu existența soluțiilor nebanale, ceea ce trebuia arătat.

17. Nu. Rangul matricei sistemului nu poate depăși numărul liniilor, deci $\mathrm{rang}A\le 3<4=n$. Sistemul este așadar compatibil nedeterminat, cu cel puțin o necunoscută secundară, deci are o infinitate de soluții.

18. Ipoteza spune că sistemul omogen are soluție unică, adică $\mathrm{rang}A=n$; pentru o matrice pătratică de ordin $n$ aceasta înseamnă $\det A\ne 0$. Dar atunci, pentru orice coloană $B$, sistemul $AX=B$ este de tip Cramer, deci compatibil determinat, cu soluția unică $X=A^{-1}B$. Concluzia merită reținută: inversabilitatea lui $A$ se poate testa privind doar sistemul omogen asociat.

De reținut

• Un sistem este omogen dacă toți termenii liberi sunt nuli: $AX=O$. Matricea lui extinsă are o coloană suplimentară formată numai din zerouri.
• Orice sistem omogen este compatibil, pentru că admite soluția banală $(0,0,\dots ,0)$. Cuvântul „incompatibil" nu apare niciodată la un sistem omogen.
• Sistemul are și soluții nebanale dacă și numai dacă $\mathrm{rang}A<n$, unde $n$ este numărul necunoscutelor; atunci soluțiile se scriu cu $n-\mathrm{rang}A$ parametri.
• La un sistem omogen pătratic: numai soluția banală $⟺\det A\ne 0$; soluții nebanale $⟺\det A=0$.
• Dacă sunt mai puține ecuații decât necunoscute ($m<n$), sistemul omogen are întotdeauna soluții nebanale — se poate afirma fără niciun calcul.

Greșeli frecvente

• „Sistemul este incompatibil." Imposibil la un sistem omogen: soluția banală există întotdeauna. Dacă ai ajuns la o contradicție, ai greșit un semn — reia calculul.
• Uitarea soluției banale din mulțimea soluțiilor. Când scrii $S=\{(-\alpha ,\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$, tripletul $(0,0,0)$ este inclus, pentru $\alpha =0$. Nu-l scrie separat și nu-l exclude.
• Confuzia dintre „soluție nebanală" și „toate necunoscutele nenule". O soluție e nebanală dacă cel puțin una dintre necunoscute e nenulă; $(1,0,0)$ poate fi o soluție nebanală perfect valabilă.
• Verificarea doar în ecuațiile principale. Soluția generală trebuie verificată și în ecuațiile secundare — cele care nu au intrat în calcul. Este singurul control real al rezultatului.
• Aplicarea proprietății sumei la sisteme neomogene. Suma a două soluții este soluție numai la sistemele omogene. Dacă $A{X}_1=B$ și $A{X}_2=B$ cu $B\ne O$, atunci $A(X_1+X_2)=2B\ne B$.

Aplică acasă

1. Bilanțul din bucătărie. Scrie condiția ca, într-un amestec de trei ingrediente, cantitatea de grăsime să fie egală cu cea rezultată dintr-un al doilea amestec — vei obține o ecuație cu termen liber nul. Adaugă a doua condiție, pentru zahăr, și rezolvă sistemul omogen obținut: vei găsi raportul ingredientelor, nu cantitățile lor.

2. Muzeul rapoartelor. Ia trei sisteme omogene $3\times 3$ inventate de tine, cu numere mici. Pentru fiecare, calculează întâi $\det A$ și abia apoi rezolvă. Vei constata că, exact atunci când determinantul iese $0$, apare familia de soluții cu un parametru — și că, dacă iese nenul, orice încercare de a găsi o soluție nebanală eșuează.

3. Egalarea unei reacții chimice. Ia reacția $x{\mathrm{H}}_2+y{\mathrm{O}}_2\to z{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}$ și scrie, pentru fiecare element, condiția ca numărul de atomi din stânga să fie egal cu cel din dreapta: pentru hidrogen $2x=2z$, pentru oxigen $2y=z$. Mutând totul în stânga obții un sistem omogen cu două ecuații și trei necunoscute — deci, prin rezultatul de mai sus, sigur cu soluții nebanale. Rezolvă-l: vei găsi o familie cu un parametru, iar coeficienții reacției sunt cei mai mici întregi pozitivi din familie. Repetă cu $x{\mathrm{N}}_2+y{\mathrm{H}}_2\to z\mathrm{N}{\mathrm{H}}_3$.

Pentru părinți și profesori

Lecția tratează un caz particular al compatibilității sistemelor liniare, dar unul care apare foarte des în subiecte, tocmai pentru că răspunsul se obține repede. Nucleul ei nu e o tehnică nouă de calcul, ci un raționament: coloana de zerouri anulează, pe rând, determinanții din formulele lui Cramer, determinanții caracteristici din teorema lui Rouché și diferența dintre rangul lui $A$ și cel al matricei extinse. Elevul care înțelege acest fir nu mai are nimic de memorat.

De verificat în caiet: (1) apare formularea „sistemul este omogen, deci compatibil, cu soluția banală"; (2) la un sistem pătratic se calculează întâi determinantul, nu se pornește direct cu rezolvarea; (3) mulțimea soluțiilor e scrisă cu numărul corect de parametri, adică $n-\mathrm{rang}A$; (4) verificarea se face și în ecuațiile secundare. Întrebări de control: „Poate fi un sistem omogen incompatibil?"; „Ce înseamnă soluție nebanală?"; „Când are un sistem pătratic omogen și alte soluții în afară de cea nulă?"; „De ce un sistem cu $2$ ecuații și $3$ necunoscute are sigur soluții nebanale?".

La BAC M1 tema apare cel mai des sub forma unei probleme cu parametru: „determinați $m$ pentru care sistemul admite și soluții nebanale" — un enunț care se traduce imediat în ecuația $\det A=0$. Semn că elevul a înțeles: recunoaște sistemul omogen dintr-o privire, spune de la început că e compatibil și pornește direct spre determinant, fără să încerce metode generale de compatibilitate.

Întrebări frecvente

Ce este un sistem liniar omogen? Este un sistem de ecuații liniare în care toți termenii liberi sunt egali cu zero, adică se scrie matriceal $AX=O$. Toate ecuațiile au forma „combinație liniară de necunoscute egală cu $0$".

Poate fi un sistem omogen incompatibil? Nu, niciodată. Înlocuind toate necunoscutele cu $0$ se obține o egalitate adevărată în fiecare ecuație, deci sistemul are cel puțin o soluție. Un sistem omogen este fie compatibil determinat, fie compatibil nedeterminat.

Ce este soluția banală? Este soluția în care toate necunoscutele sunt nule, $(0,0,\dots ,0)$. Ea există la orice sistem omogen. O soluție se numește nebanală dacă cel puțin una dintre necunoscute este diferită de zero.

Când are un sistem omogen și soluții nebanale? Exact atunci când rangul matricei sistemului este mai mic decât numărul necunoscutelor. Dacă sistemul este pătratic, condiția se scrie mai simplu: $\det A=0$.

Cum determin parametrul pentru care un sistem omogen are soluții nebanale? Calculezi determinantul matricei sistemului în funcție de parametru și rezolvi ecuația „determinant egal cu zero". Valorile obținute sunt exact cele pentru care apar soluțiile nebanale.

De ce un sistem cu mai multe necunoscute decât ecuații are sigur soluții nebanale? Pentru că rangul matricei sistemului nu poate depăși numărul liniilor, deci este cel mult egal cu numărul ecuațiilor. Cum acesta e mai mic decât numărul necunoscutelor, rangul este strict mai mic decât $n$ și sistemul devine compatibil nedeterminat.

Câte soluții poate avea un sistem omogen? Fie exact una (cea banală), fie o infinitate. Nu poate avea, de exemplu, exact două soluții: orice multiplu al unei soluții nebanale este tot o soluție, deci de la a doua soluție încolo apar imediat infinit de multe.

Cum apar sistemele omogene la Bacalaureat M1? Aproape întotdeauna ca sisteme pătratice cu parametru, în care se cere valoarea parametrului pentru care există și soluții nebanale, urmată de rezolvarea sistemului pentru acea valoare. Uneori apar și ca justificare rapidă a inversabilității unei matrice.