Sisteme rezolvate cu matricea inversă: pe scurt

Un sistem liniar se scrie $AX=B$. Dacă am avea numere, am împărți la $A$ — dar împărțirea matricelor nu există, tocmai pentru că înmulțirea nu e comutativă și nu s-ar ști dacă $\frac{B}{A}$ înseamnă $A^{-1}B$ sau $B{A}^{-1}$. În locul ei folosim înmulțirea cu inversa, precizând de care parte: din $AX=B$, înmulțind la stânga cu $A^{-1}$, obținem $(A^{-1}A)X=A^{-1}B$, adică $X=A^{-1}B$.

Teoremă. Dacă $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ este inversabilă, adică $\det A\ne 0$, atunci sistemul $AX=B$ are soluție unică, $X=A^{-1}B$. Existența se verifică prin înlocuire, iar unicitatea rezultă înmulțind orice soluție la stânga cu $A^{-1}$.

Algoritmul are cinci pași: scrii sistemul ordonat (cu $0$ acolo unde lipsește o necunoscută), identifici $A$, $X$, $B$, calculezi $\det A$, calculezi $A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$ — unde $A^{\ast }$ este transpusa matricei complemenților algebrici — și efectuezi produsul $A^{-1}B$, verificând apoi soluția în toate ecuațiile.

Avantajul metodei apare când mai multe sisteme au aceeași matrice $A$: inversa se calculează o singură dată. Condițiile de aplicare sunt două: matrice pătratică și determinant nenul.

Exerciții din această mini-lecție

1. Fie $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ cu $\det A\ne 0$. Soluția sistemului $AX=B$ este:

   • a) $X=B{A}^{-1}$
   • b) $X=A{B}^{-1}$
   • c) $X=A^{-1}{B}^{-1}$
   • d) $X=A^{-1}B$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $X=A^{-1}B$

   Se înmulțește la stânga cu $A^{-1}$, singura parte în care apare $A^{-1}A=I_n$. Scrierea $B{A}^{-1}$ nu se poate nici măcar efectua: $B$ are tipul $n\times 1$, iar $A^{-1}$ tipul $n\times n$, deci numărul de coloane ale lui $B$ nu se potrivește cu numărul de linii ale lui $A^{-1}$ pentru $n\ge 2$. Matricea $B$ nici nu are inversă, fiind o coloană.

2. Rezolvând sistemul $3x+5y=11$, $2x+4y=10$ prin metoda matricei inverse, se obține:

   • a) $(-3,4)$
   • b) $(4,-3)$
   • c) $(3,-4)$
   • d) $(-6,8)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $(-3,4)$

   $\det A=12-10=2\ne 0$, iar $A^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}4& -5\\ -2& 3\end{array}\right)$. Atunci $X=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}44-50\\ -22+30\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\end{array}\right)$. Uitarea împărțirii la $\det A$ dă perechea $(-6,8)$. Verificare: $-9+20=11$ și $-6+16=10$.

3. Inversa matricei $A=\left(\begin{array}{cc}4& 7\\ 1& 2\end{array}\right)$ este:

   • a) $\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -7& 4\end{array}\right)$
   • b) $\left(\begin{array}{cc}2& -7\\ -1& 4\end{array}\right)$
   • c) $\left(\begin{array}{cc}-4& 7\\ 1& -2\end{array}\right)$
   • d) $\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{4}& \frac{1}{7}\\ 1& \frac{1}{2}\end{array}\right)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\left(\begin{array}{cc}2& -7\\ -1& 4\end{array}\right)$

   $\det A=8-7=1$. La ordinul $2$, adjuncta se scrie direct: elementele de pe diagonala principală se schimbă între ele, iar celorlalte două li se schimbă semnul. Rezultă $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -7\\ -1& 4\end{array}\right)$; control: $A\cdot A^{-1}=I_2$. Prima variantă uită transpunerea, a treia schimbă semnul unde nu trebuie, iar inversa nu se obține niciodată luând inversele elementelor.