Rezolvarea sistemelor cu ajutorul matricei inverse

Un mic atelier produce două repere, $P_1$ și $P_2$. Fiecare bucată din $P_1$ stă $2$ ore la strung și $3$ ore la freză; fiecare bucată din $P_2$ stă $1$ oră la strung și $4$ ore la freză. La sfârșitul fiecărei săptămâni, contoarele celor două utilaje arată câte ore au lucrat în total — iar șeful de atelier vrea să afle câte bucăți din fiecare reper au ieșit pe ușă. Săptămâna trecută contoarele au arătat $80$ și $170$ de ore; săptămâna aceasta, $100$ și $200$.

Fiecare săptămână înseamnă un sistem nou. Numerele din stânga egalului însă — orele pe bucată — nu se schimbă niciodată: ele țin de tehnologie, nu de comenzi. Ar fi risipă să reluăm de fiecare dată tot calculul. Ce ne trebuie este o „mașină care merge înapoi": un tablou de numere, calculat o singură dată, care transformă orele de utilaj în bucăți produse. Acea mașină există și o cunoști deja — este inversa matricei sistemului.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii un sistem liniar sub forma matriceală $AX=B$ și să recunoști rolul fiecărei matrice.
• Vei ști de ce soluția este $X=A^{-1}B$ și de ce înmulțirea se face la stânga, nu la dreapta.
• Vei ști să demonstrezi că, atunci când $\det A\ne 0$, sistemul are soluție unică.
• Vei ști să aplici algoritmul complet pe sisteme de tip $2\times 2$, $3\times 3$ și $4\times 4$.
• Vei ști să rezolvi mai multe sisteme deodată, când doar coloana termenilor liberi se schimbă.
• Vei ști exact când metoda nu se aplică și ce urmează atunci.

Hai să descoperim împreună

1. Sistemul, scris ca o singură ecuație

Ai văzut la lecția despre forma matriceală a unui sistem că orice sistem liniar se împachetează în trei matrice: matricea sistemului $A$ (coeficienții), matricea coloană a necunoscutelor $X$ și matricea coloană a termenilor liberi $B$. Sistemul atelierului nostru,

$$\{\begin{array}{l}2x+y=80\\ 3x+4y=170\end{array}$$

devine $AX=B$, cu

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 4\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}80\\ 170\end{array}\right).$$

Verifică singur, făcând produsul $AX$: prima linie dă $2x+y$, a doua dă $3x+4y$. Cum egalitatea a două matrice coloană înseamnă egalitate pe fiecare linie, ecuația matriceală $AX=B$ spune exact același lucru ca sistemul de la care am plecat.

2. De ce nu putem „împărți" la $A$

Dacă $A$, $X$ și $B$ ar fi numere, din $AX=B$ am obține imediat $X=\frac{B}{A}$, cu grija ca $A\ne 0$. Cu matrice, împărțirea nu există: nu s-a definit niciodată o operație $B:A$ și nici nu se poate defini fără ambiguitate. Motivul e chiar necomutativitatea înmulțirii, pe care ai întâlnit-o la proprietățile înmulțirii matricelor: dacă am scrie $\frac{B}{A}$, nu s-ar ști dacă înțelegem $A^{-1}B$ sau $B{A}^{-1}$, iar cele două sunt, în general, matrice diferite.

Ce avem în loc este înmulțirea cu inversa, precizând întotdeauna de care parte. Pornim de la $AX=B$ și înmulțim ambii membri la stânga cu $A^{-1}$:

$$A^{-1}(AX)=A^{-1}B⟺(A^{-1}A)X=A^{-1}B⟺I_{n}X=A^{-1}B⟺X=A^{-1}B.$$

Am folosit, pe rând, asociativitatea înmulțirii, definiția inversei ($A^{-1}A=I_n$) și faptul că $I_n$ este element neutru. Observă de ce partea contează: înmulțind la dreapta am obține $AX{A}^{-1}$, unde nimic nu se simplifică.

3. Teorema soluției unice

Teoremă. Fie $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ o matrice inversabilă (adică $\det A\ne 0$) și $B\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{C})$. Atunci sistemul $AX=B$ are soluție și această soluție este unică, anume $X=A^{-1}B$.

Demonstrație. Existența: punem $X_0=A^{-1}B$ și verificăm prin înlocuire, $A{X}_0=A(A^{-1}B)=(A{A}^{-1})B=I_{n}B=B$, deci $X_0$ chiar este soluție.

Unicitatea: fie $X_1$ o soluție oarecare, adică $A{X}_1=B$. Înmulțind la stânga cu $A^{-1}$ obținem $(A^{-1}A)X_1=A^{-1}B$, adică $X_1=A^{-1}B=X_0$. Orice soluție coincide cu $X_0$, deci soluția este unică. $■$

Reține și forma negativă a concluziei, cerută adesea la Bacalaureat M1: dacă $\det A\ne 0$, sistemul nu poate avea două soluții diferite. Un sistem pătratic cu determinantul nenul este, în limbajul fixat la lecția precedentă, compatibil determinat — exact ce spune și teorema lui Cramer. Demonstrația de mai sus este chiar cea mai scurtă justificare a acestui fapt.

4. Algoritmul, în cinci pași

1. Scrii sistemul ordonat, cu necunoscutele în aceeași ordine în fiecare ecuație și cu $0$ acolo unde o necunoscută lipsește.
2. Identifici $A$, $X$ și $B$ și scrii ecuația $AX=B$.
3. Calculezi $\det A$. Dacă este $0$, metoda nu se aplică — te oprești aici (vezi punctul 7).
4. Calculezi $A^{-1}$ cu matricea adjunctă: $A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$, unde $A^{\ast }$ este transpusa matricei complemenților algebrici.
5. Efectuezi produsul $A^{-1}B$, citești necunoscutele de pe liniile rezultatului și verifici soluția în toate ecuațiile sistemului inițial.

Verificarea nu e opțională: metoda are un singur loc periculos — calculul lui $A^{-1}$, unde o eroare de semn strică tot — iar substituția o prinde imediat.

5. Exemplul complet, pas cu pas

Rezolvăm sistemul

$$\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ y+2z=8\\ x+2y+4z=17\end{array}$$

Pasul 1–2. A doua ecuație nu conține $x$, deci în matricea sistemului scriem $0$ pe poziția respectivă. Obținem

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 2\\ 1& 2& 4\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}6\\ 8\\ 17\end{array}\right).$$

Pasul 3. Dezvoltăm determinantul după prima coloană, pentru că are un zero:

$$\det A=1\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right|-0\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 4\end{array}\right|+1\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=1\cdot 0+1\cdot 1=1.$$

Cum $\det A=1\ne 0$, matricea este inversabilă și metoda se aplică.

Pasul 4. Calculăm cei nouă complemenți algebrici ${\delta }_{ij}=(-1{)}^{i+j}{\Delta }_{ij}$, unde ${\Delta }_{ij}$ este minorul obținut ștergând linia $i$ și coloana $j$:

Matricea adjunctă este transpusa tabloului de mai sus, deci pe linia $i$ și coloana $j$ a lui $A^{\ast }$ stă ${\delta }_{ji}$; cum $\det A=1$, inversa coincide cu adjuncta:

$$A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}0& -2& 1\\ 2& 3& -2\\ -1& -1& 1\end{array}\right).$$

Control rapid, obligatoriu: prima linie a produsului $A\cdot A^{-1}$ este $(0+2-1,-2+3-1,1-2+1)=(1,0,0)$ ✓, și tot așa pentru celelalte două.

Pasul 5. Înmulțim:

$$X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{ccc}0& -2& 1\\ 2& 3& -2\\ -1& -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}6\\ 8\\ 17\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\cdot 6-2\cdot 8+1\cdot 17\\ 2\cdot 6+3\cdot 8-2\cdot 17\\ -1\cdot 6-1\cdot 8+1\cdot 17\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right).$$

Deci $x=1$, $y=2$, $z=3$. Verificare în toate cele trei ecuații: $1+2+3=6$ ✓; $2+2\cdot 3=8$ ✓; $1+2\cdot 2+4\cdot 3=17$ ✓.

6. Adevăratul avantaj: mai multe coloane de termeni liberi

Întoarce-te la atelier. Matricea $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 4\end{array}\right)$ are $\det A=8-3=5$ și

$$A^{-1}=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ -3& 2\end{array}\right).$$

Săptămâna trecută: $X=A^{-1}\left(\begin{array}{c}80\\ 170\end{array}\right)=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{c}320-170\\ -240+340\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}30\\ 20\end{array}\right)$. Săptămâna aceasta: $X=A^{-1}\left(\begin{array}{c}100\\ 200\end{array}\right)=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{c}400-200\\ -300+400\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}40\\ 20\end{array}\right)$.

O singură inversă, două răspunsuri. Cu formulele lui Cramer ar fi trebuit să recalculăm de fiecare dată determinanții ${\Delta }_1$ și ${\Delta }_2$, pentru că ei conțin coloana termenilor liberi, care se schimbă.

Ideea merge mai departe: dacă ai $k$ sisteme cu aceeași matrice $A$ și coloane diferite $B_1,\dots ,B_k$, așază coloanele una lângă alta într-o matrice $B$ de tip $n\times k$. Atunci $X=A^{-1}B$ are drept coloane, în ordine, soluțiile celor $k$ sisteme — exact ideea de la ecuațiile matriceale, privită dinspre sisteme.

7. Când metoda nu se aplică

Metoda cere două condiții, amândouă esențiale: matricea sistemului să fie pătratică (tot atâtea ecuații câte necunoscute — pentru $3$ ecuații cu $4$ necunoscute nu există $A^{-1}$) și $\det A\ne 0$ (altfel matricea nu e inversabilă, după criteriul determinantului, iar egalitatea $X=A^{-1}B$ nu are sens).

Atenție la o confuzie frecventă: „$\det A=0$" nu înseamnă „sistemul nu are soluții". Priviți sistemele

$$\{\begin{array}{l}x+2y=3\\ 2x+4y=6\end{array}\text{și}\{\begin{array}{l}x+2y=3\\ 2x+4y=7\end{array}$$

Amândouă au aceeași matrice $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$, cu $\det A=4-4=0$. Primul are o infinitate de soluții (a doua ecuație e dublul primeia, deci nu spune nimic nou), al doilea nu are niciuna (aceleași numere din stânga ar trebui să dea și $6$, și $7$). Determinantul nul nu decide între cele două situații — spune doar că metoda inversei tace.

Ce le deosebește se măsoară cu rangul unei matrice, unealta pe care o construim la lecția următoare, Rangul unei matrice: definiția cu minori: comparația dintre $\mathrm{rang}A$ și $\mathrm{rang}\overline{A}$, unde $\overline{A}$ este matricea extinsă, va da răspunsul complet.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un sistem $2\times 2$ cu inversă întreagă

Rezolvați, prin metoda matricei inverse, sistemul $5x+2y=9$, $7x+3y=13$.

Rezolvare. $A=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 7& 3\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{c}9\\ 13\end{array}\right)$, iar $\det A=15-14=1\ne 0$.

Pentru o matrice de ordin $2$, adjuncta se scrie direct: se schimbă între ele elementele de pe diagonala principală și se schimbă semnul celorlalte două. Deci

$$A^{-1}=\frac{1}{1}\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -7& 5\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -7& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}9\\ 13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}27-26\\ -63+65\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right).$$

Soluția este $x=1$, $y=2$. Verificare: $5+4=9$ ✓ și $7+6=13$ ✓.

Exemplul 2 — Când inversa are numitori

Rezolvați sistemul $2x+3y=8$, $x-y=-1$.

Rezolvare. $\det A=2\cdot (-1)-3\cdot 1=-5\ne 0$, deci

$$A^{-1}=\frac{1}{-5}\left(\begin{array}{cc}-1& -3\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{5}& \frac{3}{5}\\ \frac{1}{5}& -\frac{2}{5}\end{array}\right).$$

Atunci

$$X=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{5}& \frac{3}{5}\\ \frac{1}{5}& -\frac{2}{5}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}8\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{8}{5}-\frac{3}{5}\\ \frac{8}{5}+\frac{2}{5}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right).$$

Verificare: $2\cdot 1+3\cdot 2=8$ ✓ și $1-2=-1$ ✓. Fracțiile din $A^{-1}$ nu sunt un semn de greșeală — soluția poate ieși perfect întreagă chiar și așa.

Exemplul 3 — Un sistem $3\times 3$

Rezolvați sistemul $x+2y=5$, $y+z=5$, $x+z=4$.

Rezolvare. Completăm cu zerouri: $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 4\end{array}\right)$. Dezvoltăm după prima linie: $\det A=1\cdot 1-2\cdot (-1)+0=3\ne 0$.

Complemenții algebrici sunt ${\delta }_{11}=1$, ${\delta }_{12}=1$, ${\delta }_{13}=-1$, ${\delta }_{21}=-2$, ${\delta }_{22}=1$, ${\delta }_{23}=2$, ${\delta }_{31}=2$, ${\delta }_{32}=-1$, ${\delta }_{33}=1$. Transpunem și împărțim la $\det A=3$:

$$A^{-1}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 2\\ 1& 1& -1\\ -1& 2& 1\end{array}\right),X=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}5-10+8\\ 5+5-4\\ -5+10+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right).$$

Verificare: $1+4=5$ ✓; $2+3=5$ ✓; $1+3=4$ ✓.

Exemplul 4 — Două sisteme rezolvate deodată

Se dă matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 2\\ 1& 2& 4\end{array}\right)$. Rezolvați sistemele $AX=B_1$ și $AX=B_2$, unde $B_1=\left(\begin{array}{c}6\\ 8\\ 17\end{array}\right)$ și $B_2=\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 9\end{array}\right)$.

Rezolvare. Inversa a fost calculată în secțiunea $5$. Punem cele două coloane într-o singură matrice $B$ de tip $3\times 2$ și facem un singur produs:

$$X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{ccc}0& -2& 1\\ 2& 3& -2\\ -1& -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}6& 3\\ 8& 5\\ 17& 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 3\\ 3& 1\end{array}\right).$$

Prima coloană este soluția primului sistem, $(1,2,3)$; a doua este soluția celui de-al doilea, $(-1,3,1)$. Verificare pentru al doilea: $-1+3+1=3$ ✓; $3+2\cdot 1=5$ ✓; $-1+2\cdot 3+4\cdot 1=9$ ✓.

Exemplul 5 — Sistem cu parametru

Se consideră sistemul $mx+y+z=1$, $x+my+z=1$, $x+y+mz=1$, cu $m\in \mathbb{R}$. Determinați valorile lui $m$ pentru care sistemul se poate rezolva prin metoda matricei inverse și rezolvați-l pentru $m=0$.

Rezolvare. Matricea sistemului este $A=\left(\begin{array}{ccc}m& 1& 1\\ 1& m& 1\\ 1& 1& m\end{array}\right)$. Adunăm liniile a doua și a treia la prima; pe prima linie apare $m+2$ în fiecare poziție, deci scoatem factor comun și obținem $\det A=(m+2)(m-1{)}^2$. Metoda se aplică exact când $\det A\ne 0$, adică pentru $m\in \mathbb{R}\setminus \{-2,1\}$.

Pentru $m=0$ avem $\det A=2$, iar $A^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 1& -1& 1\\ 1& 1& -1\end{array}\right)$, deci $X=\frac{1}{2}(1,1,1)$, adică $x=y=z=\frac{1}{2}$. Verificare în prima ecuație: $0\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$ ✓; celelalte două se verifică la fel, prin simetrie.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 7\end{array}\right)$. a) Arătați că $A$ este inversabilă și determinați $A^{-1}$. b) Rezolvați, folosind punctul a), sistemul $x+2y=4$, $3x+7y=13$. c) Arătați că sistemul de la punctul b) nu poate avea două soluții distincte.

Rezolvare. a) $\det A=1\cdot 7-2\cdot 3=1\ne 0$, deci $A$ este inversabilă, iar

$$A^{-1}=\frac{1}{1}\left(\begin{array}{cc}7& -2\\ -3& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7& -2\\ -3& 1\end{array}\right).$$

Control: $A\cdot A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}7-6& -2+2\\ 21-21& -6+7\end{array}\right)=I_2$ ✓.

b) Sistemul se scrie $AX=B$ cu $B=\left(\begin{array}{c}4\\ 13\end{array}\right)$, deci $X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{c}28-26\\ -12+13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$. Soluția este $x=2$, $y=1$; verificare: $2+2=4$ ✓ și $6+7=13$ ✓.

c) Dacă $X_1$ și $X_2$ ar fi două soluții, atunci din $A{X}_1=B$ și $A{X}_2=B$ ar rezulta, înmulțind la stânga cu $A^{-1}$, că $X_1=A^{-1}B=X_2$. Sistemul este compatibil determinat.

Să exersăm

La fiecare exercițiu, calculează întâi $\det A$ — el decide dacă mai are rost să continui — și verifică soluția în toate ecuațiile, nu doar în prima.

1. Rezolvă prin metoda matricei inverse sistemul $2x+y=5$, $x+y=3$.

2. Rezolvă sistemul $4x+3y=10$, $3x+2y=7$.

3. Rezolvă sistemul $3x+y=5$, $2x+4y=10$.

4. Rezolvă sistemul $x-y=1$, $2x+y=8$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un sistem $AX=B$ cu $A$ pătratică și $\det A\ne 0$ poate avea două soluții distincte."

6. Rezolvă sistemul $x+z=4$, $2x+y=5$, $y+z=3$.

7. Arată că sistemul $2x+y=3$, $x+y+z=4$, $y+2z=5$ nu poate fi rezolvat prin metoda matricei inverse.

8. (Problemă aplicată.) Trei lăzi se cântăresc două câte două: prima cu a doua dau $3$ kg, a doua cu a treia dau $5$ kg, prima cu a treia dau $4$ kg. Scrie sistemul, rezolvă-l matriceal și află masa fiecărei lăzi.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Soluția sistemului $AX=B$ se scrie $X=B{A}^{-1}$."

10. Rezolvă sistemul $x+2y+3z=14$, $y+2z=8$, $z=3$.

11. Determină valorile lui $m\in \mathbb{R}$ pentru care sistemul $mx+2y=1$, $3x+(m-1)y=4$ poate fi rezolvat prin metoda matricei inverse.

12. (Problemă aplicată.) În atelierul din deschiderea lecției, contoarele arată $120$ de ore la strung și $230$ la freză. Câte bucăți din fiecare reper s-au produs?

13. Rezolvă sistemul $2x-y=1$, $3x+y=9$.

14. Se dau $A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& 3\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}7& 1\\ 10& 2\end{array}\right)$. Rezolvă ecuația matriceală $AX=B$ și spune ce reprezintă fiecare coloană a lui $X$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 4\\ 1& 3& 9\end{array}\right)$. a) Calculează $\det A$. b) Rezolvă sistemul $AX=B$, unde $B=\left(\begin{array}{c}6\\ 11\\ 20\end{array}\right)$.

16. Explică, în două-trei fraze, de ce produsul se scrie $A^{-1}B$ și nu $B{A}^{-1}$, folosind și argumentul dimensiunilor.

17. Cu aceeași matrice ca în Exemplul rezolvat $1$ — adică $A=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 7& 3\end{array}\right)$ — rezolvă sistemul cu $B=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$, refolosind inversa deja calculată.

18. (Provocare.) Pentru $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 2\\ 1& 2& 4\end{array}\right)$, rezolvă pe rând cele trei sisteme $AX=B$ cu $B$ egal cu prima, a doua, respectiv a treia coloană a lui $I_3$. Așază cele trei soluții una lângă alta, ca trei coloane. Ce matrice ai obținut și de ce era de așteptat?

Răspunsuri și explicații

1. $\det A=2-1=1$; $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$, deci $X=\left(\begin{array}{c}5-3\\ -5+6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$. Verificare: $4+1=5$ ✓, $2+1=3$ ✓.

2. $\det A=8-9=-1$; $A^{-1}=\frac{1}{-1}\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& 3\\ 3& -4\end{array}\right)$, deci $X=\left(\begin{array}{c}-20+21\\ 30-28\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$. Verificare: $4+6=10$ ✓, $3+4=7$ ✓.

3. $\det A=12-2=10$; $A^{-1}=\frac{1}{10}\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ -2& 3\end{array}\right)$, deci $X=\frac{1}{10}\left(\begin{array}{c}20-10\\ -10+30\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$. Verificare: $3+2=5$ ✓, $2+8=10$ ✓.

4. $\det A=1\cdot 1-(-1)\cdot 2=3$; $A^{-1}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -2& 1\end{array}\right)$, deci $X=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}1+8\\ -2+8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)$. Verificare: $3-2=1$ ✓, $6+2=8$ ✓.

5. Fals. Teorema demonstrată în lecție spune că soluția este unică: dacă $A{X}_1=B$ și $A{X}_2=B$, înmulțind la stânga cu $A^{-1}$ obținem $X_1=A^{-1}B=X_2$. Două soluții distincte pot apărea numai când $\det A=0$ (și nici atunci obligatoriu — sistemul poate fi și incompatibil).

6. Ordonăm necunoscutele și completăm cu zerouri: $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 2& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ 3\end{array}\right)$, $\det A=3$, iar $A^{-1}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ -2& 1& 2\\ 2& -1& 1\end{array}\right)$. Rezultă $X=\frac{1}{3}(4+5-3,-8+5+6,8-5+3)=(2,1,2)$. Verificare: $2+2=4$ ✓; $4+1=5$ ✓; $1+2=3$ ✓.

7. Matricea sistemului este $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 1& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$, cu $\det A=2(2-1)-1(2-0)+0=0$. Matricea nu este inversabilă, deci nu există $A^{-1}$ și metoda nu se poate aplica. (Sistemul are, de fapt, o infinitate de soluții — dar asta se decide cu rangul, la lecțiile următoare.)

8. Cu $x$, $y$, $z$ masele celor trei lăzi: $x+y=3$, $y+z=5$, $x+z=4$. Matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$ are $\det A=2$ și $A^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 1& 1& -1\\ -1& 1& 1\end{array}\right)$, deci $X=\frac{1}{2}(3-5+4,3+5-4,-3+5+4)=(1,2,3)$. Lăzile au $1$ kg, $2$ kg și $3$ kg. Verificare: $1+2=3$ ✓, $2+3=5$ ✓, $1+3=4$ ✓.

9. Fals, din două motive. Întâi, ordinea: din $AX=B$ se înmulțește la stânga, iar înmulțirea matricelor nu e comutativă, deci $A^{-1}B\ne B{A}^{-1}$ în general. Al doilea motiv e decisiv: $B$ are tipul $n\times 1$ și $A^{-1}$ tipul $n\times n$, iar produsul $B{A}^{-1}$ nici nu se poate efectua pentru $n\ge 2$.

10. $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ este superior triunghiulară, deci $\det A=1\cdot 1\cdot 1=1$. Inversa este $A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 1\\ 0& 1& -2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$, iar $X=\left(\begin{array}{c}14-16+3\\ 8-6\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$. Verificare: $1+4+9=14$ ✓; $2+6=8$ ✓; $3=3$ ✓.

11. $\det A=m(m-1)-6=m^2-m-6=(m-3)(m+2)$. Metoda se aplică pentru $\det A\ne 0$, adică $m\in \mathbb{R}\setminus \{-2,3\}$.

12. Sistemul este $2x+y=120$, $3x+4y=230$, cu aceeași matrice ca în lecție, deci aceeași inversă: $A^{-1}=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ -3& 2\end{array}\right)$. Atunci $X=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{c}480-230\\ -360+460\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}50\\ 20\end{array}\right)$: $50$ de bucăți din $P_1$ și $20$ din $P_2$. Verificare: $100+20=120$ ✓; $150+80=230$ ✓.

13. $\det A=2\cdot 1-(-1)\cdot 3=5$; $A^{-1}=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -3& 2\end{array}\right)$, deci $X=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{c}1+9\\ -3+18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)$. Verificare: $4-3=1$ ✓, $6+3=9$ ✓.

14. $\det A=9-8=1$, deci $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -4& 3\end{array}\right)$ și

$$X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -4& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}7& 1\\ 10& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}21-20& 3-4\\ -28+30& -4+6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 2\end{array}\right).$$

Prima coloană, $(1,2)$, este soluția sistemului cu termenii liberi $(7,10)$; a doua, $(-1,2)$, este soluția sistemului cu termenii liberi $(1,2)$. Verificare pentru a doua: $3\cdot (-1)+2\cdot 2=1$ ✓ și $4\cdot (-1)+3\cdot 2=2$ ✓.

15. a) Dezvoltând după prima linie, $\det A=(18-12)-(9-4)+(3-2)=2$. b) Complemenții algebrici dau $A^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}6& -6& 2\\ -5& 8& -3\\ 1& -2& 1\end{array}\right)$, deci $X=\frac{1}{2}(36-66+40,-30+88-60,6-22+20)=(5,-1,2)$. Verificare: $5-1+2=6$ ✓; $5-2+8=11$ ✓; $5-3+18=20$ ✓.

16. Pentru că simplificarea vine din $A^{-1}A=I_n$, iar ca să obții acest produs trebuie să pui $A^{-1}$ în stânga lui $A$. În plus, dimensiunile hotărăsc singure: $A^{-1}B$ este un produs $(n\times n)\cdot (n\times 1)$, deci se poate efectua, pe când $B{A}^{-1}$ ar cere ca $B$ să aibă $n$ coloane — imposibil pentru $n\ge 2$.

17. Refolosim $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -7& 5\end{array}\right)$: $X=\left(\begin{array}{c}3-4\\ -7+10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\end{array}\right)$. Verificare: $5\cdot (-1)+2\cdot 3=1$ ✓ și $7\cdot (-1)+3\cdot 3=2$ ✓. Aceasta este economia metodei: inversa se calculează o singură dată.

18. Înmulțind $A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0& -2& 1\\ 2& 3& -2\\ -1& -1& 1\end{array}\right)$ cu coloanele lui $I_3$ obții, pe rând, $(0,2,-1)$, $(-2,3,-1)$ și $(1,-2,1)$ — adică exact coloanele lui $A^{-1}$. Era de așteptat: puse una lângă alta, cele trei sisteme formează ecuația $AX=I_3$, cu soluția $X=A^{-1}{I}_3=A^{-1}$. Deci a calcula inversa înseamnă a rezolva $n$ sisteme cu aceeași matrice.

De reținut

• Forma matriceală: orice sistem liniar se scrie $AX=B$, cu $A$ matricea sistemului, $X$ coloana necunoscutelor și $B$ coloana termenilor liberi.
• Soluția: dacă $A$ este pătratică și $\det A\ne 0$, atunci $X=A^{-1}B$, iar această soluție este unică.
• Partea contează: se înmulțește la stânga cu $A^{-1}$, pentru că doar așa apare $A^{-1}A=I_n$. Scrierea $B{A}^{-1}$ este greșită și, de regulă, nici nu se poate efectua.
• Condițiile de aplicare: matrice pătratică și determinant nenul. Dacă una lipsește, metoda tace și se trece la rang.
• Avantajul metodei: cu aceeași matrice $A$ și mai multe coloane de termeni liberi, inversa se calculează o singură dată, iar $X=A^{-1}B$ rezolvă toate sistemele deodată.

Greșeli frecvente

• Înmulțirea la dreapta. Din $AX=B$ se scrie $X=A^{-1}B$, nu $X=B{A}^{-1}$. Reține: inversa vine de partea în care stă $A$ față de $X$.
• Uitarea zerourilor. Dacă o necunoscută lipsește dintr-o ecuație, coeficientul ei este $0$ și trebuie scris în matrice. Sistemul $y+2z=8$ dă linia $(0,1,2)$, nu $(1,2)$.
• Confuzia „$\det A=0$" cu „nu există soluții". Determinantul nul spune doar că metoda inversei nu se aplică; sistemul poate fi incompatibil sau poate avea o infinitate de soluții, iar deosebirea se face cu rangul.
• Adjuncta scrisă fără transpunere. $A^{\ast }$ este transpusa matricei complemenților algebrici: pe poziția $(i,j)$ stă ${\delta }_{ji}$. Cine sare transpunerea obține, la ordinul $3$, o matrice care nu verifică $A\cdot A^{-1}=I_3$.
• Renunțarea la verificare. O greșeală de semn la un singur complement algebric strică toată soluția. Substituția în toate ecuațiile costă un minut și prinde eroarea de fiecare dată.

Aplică acasă

1. Rețeta ta. Alege două prăjituri și scrie, pentru fiecare, câte grame de făină și câte de zahăr cere: ai obținut o matrice $2\times 2$. Calculează-i inversa o singură dată, apoi află, pentru trei „comenzi" diferite de făină și zahăr, câte prăjituri de fiecare fel poți face.

2. Cântărirea în perechi. Ia trei obiecte din casă și cântărește-le două câte două. Scrie sistemul, rezolvă-l cu metoda inversei și compară rezultatul cu masele măsurate individual: diferențele mici vin din precizia cântarului, nu din matematică.

3. Inversa ca tabel de conversie. Ia $A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& 3\end{array}\right)$, care are $\det A=1$, și verifică pe cinci coloane $B$ alese de tine că soluțiile ies mereu numere întregi. Explică-ți de ce.

Pentru părinți și profesori

Lecția face legătura dintre două capitole care, altfel, rămân separate în mintea elevului: inversa unei matrice (o temă de algebră a matricelor) și rezolvarea sistemelor (o temă de calcul). Ideea centrală este una singură și merită repetată acasă cu voce tare: un sistem este o singură ecuație, $AX=B$, iar rezolvarea lui înseamnă înmulțirea cu inversa, la stânga.

De verificat în caiet: (1) matricea sistemului conține zerouri acolo unde lipsesc necunoscute; (2) $\det A$ este calculat înainte de orice altceva; (3) matricea adjunctă este transpusa complemenților algebrici, nu tabloul lor direct; (4) produsul este scris $A^{-1}B$, în această ordine; (5) soluția este verificată în toate ecuațiile. Întrebări de control: „De ce nu putem împărți la o matrice?"; „Ce se întâmplă dacă $\det A=0$?"; „De ce metoda merită mai ales când se schimbă doar termenii liberi?".

La BAC M1 metoda apare frecvent în subiectul al II-lea, de obicei în trei pași: se cere $\det A$, apoi $A^{-1}$, apoi soluția sistemului — punctele se dau pe fiecare pas separat, chiar dacă pasul următor iese greșit. Semn că elevul a înțeles: știe să spună, fără să calculeze, dacă metoda se aplică sau nu, doar privind forma sistemului și valoarea determinantului.

Întrebări frecvente

Cum se rezolvă un sistem cu ajutorul matricei inverse? Scrii sistemul sub forma $AX=B$, calculezi $\det A$ și, dacă este nenul, calculezi $A^{-1}$ cu matricea adjunctă. Soluția este $X=A^{-1}B$, iar necunoscutele se citesc pe liniile matricei coloană obținute.

De ce se înmulțește cu inversa la stânga și nu la dreapta? Pentru că simplificarea se bazează pe $A^{-1}A=I_n$, iar acest produs apare doar dacă $A^{-1}$ stă în stânga lui $A$. Înmulțind la dreapta ai obține $AX{A}^{-1}$, unde nimic nu se anulează; în plus, la un $X$ de tip $n\times 1$, produsul $X{A}^{-1}$ nici nu se poate efectua.

Ce fac dacă determinantul matricei sistemului este zero? Metoda nu se aplică, pentru că $A^{-1}$ nu există. Sistemul poate fi totuși compatibil, cu o infinitate de soluții, sau incompatibil; deosebirea se face cu ajutorul rangului și al teoremelor de compatibilitate care urmează.

Metoda inversei sau formulele lui Cramer — care e mai bună? Pentru un singur sistem, formulele lui Cramer cer, de regulă, mai puțin scris. Metoda inversei devine net mai bună când ai mai multe sisteme cu aceeași matrice $A$ și doar cu termeni liberi diferiți, pentru că inversa se calculează o singură dată.

Se poate folosi metoda la un sistem cu $3$ ecuații și $4$ necunoscute? Nu. Matricea sistemului nu este pătratică, iar inversa se definește numai pentru matrice pătratice. Astfel de sisteme se studiază cu rangul și cu teorema lui Rouché.

Cum verific rapid că am calculat corect inversa? Faci produsul $A\cdot A^{-1}$ și te uiți dacă iese $I_n$. La ordinul $3$ e suficient, ca prim control, să calculezi prima linie a produsului: dacă nu iese $(1,0,0)$, ai deja o eroare de semn într-un complement algebric.

Cum apare metoda matricei inverse la Bacalaureat M1? Aproape întotdeauna în subiectul al II-lea, pe pași: „arătați că $A$ este inversabilă", „determinați $A^{-1}$", „rezolvați sistemul". Uneori cerința este deghizată într-o ecuație matriceală $AX=B$, unde $B$ are mai multe coloane — rezolvarea e aceeași.