Subgrupul și criteriul lui: pe scurt

Subgrupul unui grup $(G,\cdot )$ este o submulțime nevidă $H$ care, cu legea moștenită din $G$, este ea însăși grup; se scrie în cuvinte „$H$ este subgrup al lui $G$”, fără simbol. Două economii esențiale: asociativitatea nu se verifică niciodată, fiind adevărată pentru toate elementele lui $G$, iar elementul neutru și simetricele lui $H$ coincid cu cele ale lui $G$. De aici testul rapid de respingere: dacă $e\notin H$, atunci $H$ nu este subgrup.

Criteriul de subgrup: $H\subseteq G$ este subgrup dacă și numai dacă $H\ne \varnothing$, $xy\in H$ pentru orice $x,y\in H$ și $x^{-1}\in H$ pentru orice $x\in H$. Redactarea are patru rânduri: incluziunea, nevidarea (de regulă arătând că $e\in H$), stabilitatea și inversele. În notație aditivă condițiile devin $x+y\in H$ și $-x\in H$. Forma comprimată „$x,y\in H\Rightarrow x{y}^{-1}\in H$” este o observație de calcul, nu o definiție. Deosebirea de parte stabilă se reține pe contraexemplul $\mathbb{N}$ în $(\mathbb{Z},+)$: stabil la adunare, dar $3$ nu are opus în $\mathbb{N}$. Orice grup are subgrupurile improprii $\{e\}$ și $G$. Intersecția a două subgrupuri este întotdeauna subgrup; reuniunea, în general, nu — contraexemplul de reținut este $\{\hat{0},\hat{3}\}\cup \{\hat{0},\hat{2},\hat{4}\}$ în ${\mathbb{Z}}_6$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Care dintre următoarele submulțimi nu este subgrup al grupului $(\mathbb{Z},+)$?

   • a) $7\mathbb{Z}$
   • b) $\{0\}$
   • c) $\mathbb{N}$
   • d) $\mathbb{Z}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\mathbb{N}$

   Mulțimea $\mathbb{N}$ este parte stabilă în raport cu adunarea și conține elementul neutru $0$, dar nu este subgrup: opusul lui $3$ este $-3$, care nu se află în $\mathbb{N}$. Este contraexemplul-etalon pentru deosebirea dintre parte stabilă și subgrup. Celelalte trei verifică toate condițiile criteriului, iar $\{0\}$ și $\mathbb{Z}$ sunt subgrupurile improprii.

2. Când se arată că o submulțime $H$ a unui grup $(G,\cdot )$ este subgrup, ce nu trebuie verificat?

   • a) că $H$ este nevidă
   • b) că legea este asociativă pe $H$
   • c) că $xy\in H$ pentru orice $x,y\in H$
   • d) că $x^{-1}\in H$ pentru orice $x\in H$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) că legea este asociativă pe $H$

   Asociativitatea se moștenește: egalitatea $(xy)z=x(yz)$ este adevărată pentru orice trei elemente ale lui $G$, deci în particular pentru cele din $H$. Se scrie o singură frază, „asociativitatea se moștenește din $G$”. Celelalte trei condiții formează exact criteriul de subgrup și toate trebuie verificate — fără nevidare, criteriul ar fi îndeplinit și de mulțimea vidă.

3. Care dintre următoarele mulțimi de matrice este subgrup al grupului $\left(G{L}_2(\mathbb{R}),\cdot \right)$?

   • a) $\{A\mid \det A\in \{-1,1\}\}$
   • b) $\{A\mid \det A=-1\}$
   • c) $\{A\mid \det A\ge 1\}$
   • d) $\{A\mid \det A=0\}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\{A\mid \det A\in \{-1,1\}\}$

   Din $\det (AB)=\det A\cdot \det B$, produsul a două matrice cu determinantul $\pm 1$ are tot determinantul $\pm 1$; $I_2$ aparține mulțimii, iar din $\det A\cdot \det \left(A^{-1}\right)=1$ rezultă $\det \left(A^{-1}\right)=\pm 1$. Prima mulțime nu conține $I_2$ și nu e stabilă ($(-1)(-1)=1$); a treia nu conține inversele ($\det A=2$ dă $\det A^{-1}=\frac{1}{2}$); a patra nici măcar nu este inclusă în $G{L}_2(\mathbb{R})$.