Subgrupul: definiție, criteriu și exemple

Pe cadranul unui ceas orele se adună modulo $12$, iar cele patru poziții de sfert — $\hat{0}$, $\hat{3}$, $\hat{6}$, $\hat{9}$ — formează, singure, un grup mai mic ascuns înăuntrul celui mare: exact ceea ce numim, la clasa a 12-a, un subgrup. Subgrupul este o submulțime nevidă a unui grup care, cu aceeași lege, formează ea însăși grup: compusul a două elemente ale ei rămâne în ea, iar simetricul fiecărui element al ei este tot acolo. Lecția de față arată cum recunoști un subgrup fără să reiei de la capăt toate axiomele grupului și de ce, în subiectele de matematică-informatică, cerința „arătați că $H$ este subgrup al lui $G$" se rezolvă în patru rânduri de scris.

Ideea din spate este o economie, și una serioasă. Ai verificat deja, la Grupul: definiție și exemple din mulțimile de numere, cât costă să demonstrezi asociativitatea unei legi: e partea cea mai lungă a oricărei astfel de probleme. Dacă mulțimea ta stă în interiorul unui grup despre care se știe deja că e grup, asociativitatea vine gratis — ea se verifică pentru toate elementele grupului mare, deci în particular și pentru cele din mulțimea mică. Din această observație se naște criteriul de subgrup, unealta cea mai des folosită din toată unitatea.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești subgrupul unui grup și să explici de ce legea indusă este bine definită doar dacă submulțimea este parte stabilă.
• Vei ști să demonstrezi că elementul neutru al subgrupului coincide cu elementul neutru al grupului, iar simetricul calculat în subgrup coincide cu cel din grup.
• Vei ști să enunți și să aplici criteriul de subgrup în cele patru etape ale lui, atât în notație multiplicativă, cât și în notație aditivă.
• Vei ști să folosești forma comprimată $x{y}^{-1}\in H$ și să spui când e mai comodă decât cele două condiții separate.
• Vei ști să găsești toate subgrupurile unui grup finit mic și să decizi rapid dacă o submulțime dată este sau nu subgrup.
• Vei ști că intersecția a două subgrupuri este mereu subgrup, iar reuniunea, în general, nu.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este un subgrup?

Pornim de la ceasul din deschidere. Grupul mare este $({\mathbb{Z}}_{12},+)$, grupul aditiv al claselor de resturi modulo $12$, pe care l-ai construit la Grupul aditiv și grupul multiplicativ al claselor de resturi modulo n. Submulțimea sferturilor de cadran este $H=\{\hat{0},\hat{3},\hat{6},\hat{9}\}$. Adunăm în $H$ exact cum adunam în ${\mathbb{Z}}_{12}$ și obținem tabla:

În toată tabla nu apare niciun element din afara lui $H$ — deci $H$ este parte stabilă a lui ${\mathbb{Z}}_{12}$ în raport cu adunarea, iar legea indusă pe $H$ este chiar adunarea claselor. Mai mult, pe prima linie și pe prima coloană se reproduce ordinea elementelor, semn că $\hat{0}$ este element neutru și pentru $H$; iar în fiecare linie apare $\hat{0}$, deci fiecare element are opus în $H$: opusul lui $\hat{3}$ este $\hat{9}$, opusul lui $\hat{6}$ este $\hat{6}$ însuși.

Subgrupul unui grup $(G,\cdot )$ este o submulțime nevidă $H$ a lui $G$ care, împreună cu legea moștenită de la $G$, formează ea însăși un grup: compusul a două elemente din $H$ rămâne în $H$, elementul neutru se află în $H$, iar simetricul fiecărui element din $H$ este tot în $H$. Se scrie, în cuvinte, „$H$ este subgrup al lui $G$" — simbolul $H\le G$ nu se folosește în această lecție și nici în celelalte.

Prima condiție, „compusul a două elemente din $H$ rămâne în $H$", nu este un moft: fără ea nici măcar nu am avea o lege de compoziție pe $H$, pentru că o lege pe $H$ trebuie să fie o funcție $H\times H\to H$. Cu alte cuvinte, orice discuție despre structura lui $H$ începe cu partea stabilă; abia după aceea are sens întrebarea dacă structura obținută e grup.

Exemplul negativ de reținut: $\mathbb{N}$ este parte stabilă a lui $\mathbb{Z}$ în raport cu adunarea și are element neutru $0$, dar nu este subgrup al lui $(\mathbb{Z},+)$, fiindcă $3$ nu are opus în $\mathbb{N}$.

2. De ce nu trebuie reverificate toate axiomele?

La Grupul: definiție și exemple din mulțimile de numere ai verificat structura de grup în cei patru pași (0–3): legea de compoziție, asociativitatea, elementul neutru, simetricele. Pentru un subgrup, doi dintre ei devin aproape gratuiți. Prima economie e că asociativitatea (pasul 1) nu se mai verifică niciodată: egalitatea $(xy)z=x(yz)$ este adevărată pentru orice trei elemente din $G$, deci în particular pentru orice trei elemente din $H$, care sunt și ele elemente din $G$. Un elev care rescrie demonstrația asociativității pentru $H$ pierde zece minute degeaba.

A doua economie e mai subtilă și merită demonstrată, pentru că fără ea am putea bănui că subgrupul are „propriul lui neutru", diferit de al grupului.

Propoziție. Fie $H$ un subgrup al grupului $(G,\cdot )$, cu elementul neutru $e$ al lui $G$. Atunci elementul neutru al lui $H$ este chiar $e$, iar simetricul unui element $x\in H$, calculat în $H$, coincide cu $x^{-1}$, simetricul lui calculat în $G$.

Demonstrație. Notăm cu $e_H$ elementul neutru al grupului $H$. În $H$ avem $e_H\cdot e_H=e_H$. Această egalitate are loc și în $G$, unde $e_H$ este inversabil (fiind element al lui $G$). Compunem la stânga cu $e_H^{-1}$, inversul luat în $G$:

$$e_H^{-1}\cdot (e_H\cdot e_H)=e_H^{-1}\cdot e_H⟹(e_H^{-1}\cdot e_H)\cdot e_H=e⟹e\cdot e_H=e⟹e_H=e.$$

Am folosit doar asociativitatea și regulile de calcul de la Reguli de calcul într-un grup; ecuații într-un grup. Pentru a doua afirmație, fie $x\in H$ și fie $x^{\prime }$ simetricul lui $x$ în $H$. Atunci $x\cdot x^{\prime }=e_H=e$, egalitate care are loc și în $G$; dar în $G$ soluția ecuației $x\cdot t=e$ este unică și egală cu $x^{-1}$, deci $x^{\prime }=x^{-1}$. $■$

Concluzia practică: o dată ce știi că $H$ e subgrup, calculezi în $H$ cu neutrul și cu inversele grupului mare. Consecința pe care o vei folosi la fiecare exercițiu: orice subgrup conține elementul neutru al grupului. De aici și cel mai rapid test de respingere: dacă $e\notin H$, atunci $H$ nu e subgrup, indiferent cât de frumos arată în rest.

3. Criteriul de subgrup: cum arăți în patru rânduri că $H$ este subgrup?

Definiția cere să verifici că $(H,\cdot )$ e grup. Teorema următoare spune că e destul să verifici două condiții, iar existența neutrului vine pe gratis din ele.

Teoremă (criteriul de subgrup). Fie $(G,\cdot )$ un grup și $H$ o submulțime a lui $G$. Atunci $H$ este subgrup al lui $G$ dacă și numai dacă sunt îndeplinite condițiile:

1. $H\ne \varnothing$;
2. pentru orice $x,y\in H$ avem $xy\in H$;
3. pentru orice $x\in H$ avem $x^{-1}\in H$.

Demonstrație. „$\Rightarrow$" Dacă $H$ este subgrup, atunci $H$ conține elementul neutru (propoziția de mai sus), deci e nevidă; legea indusă ia valori în $H$, ceea ce e chiar condiția 2; iar fiecare element are simetric în $H$, care este $x^{-1}$ tot din propoziția de mai sus — deci condiția 3.

„$\Leftarrow$" Condiția 2 spune că $H$ este parte stabilă, deci pe $H$ avem o lege de compoziție indusă. Asociativitatea se moștenește din $G$. Cum $H\ne \varnothing$, alegem un element $x_0\in H$; din condiția 3 rezultă $x_0^{-1}\in H$, iar din condiția 2 aplicată perechii $(x_0,x_0^{-1})$ rezultă

$$x_0\cdot x_0^{-1}=e\in H,$$

deci $H$ are element neutru. În fine, condiția 3 spune că orice element din $H$ are simetric în $H$. Prin urmare $(H,\cdot )$ este grup, adică $H$ este subgrup al lui $G$. $■$

Observă rolul condiției 1: ea aduce elementul neutru înăuntru. Fără ea, mulțimea vidă ar satisface formal condițiile 2 și 3, dar nu e grup, pentru că un grup are obligatoriu element neutru.

Rețeta de redactare, cea pe care o vei folosi în lucrări și în subiectele de Bacalaureat M1, are patru rânduri:

• rândul 1: arăți că $H\subseteq G$ (adesea e evident din felul în care e scrisă mulțimea, dar se spune);
• rândul 2: arăți că $H\ne \varnothing$, de regulă indicând un element concret — cel mai comod, $e\in H$;
• rândul 3: iei $x,y\in H$ arbitrare, le scrii în forma generală a elementelor lui $H$ și verifici că $xy$ are aceeași formă;
• rândul 4: iei $x\in H$ arbitrar și verifici că $x^{-1}$ are aceeași formă.

În notație aditivă, criteriul se citește la fel, cu simbolurile schimbate: $H\ne \varnothing$, $x+y\in H$ pentru orice $x,y\in H$, și $-x\in H$ pentru orice $x\in H$. Nu e altă teoremă, e aceeași, scrisă cu $+$ în loc de $\cdot$, cu $0$ în loc de $e$ și cu $-x$ în loc de $x^{-1}$.

4. Forma comprimată și subgrupurile improprii

Cele două condiții de stabilitate se pot strânge într-una singură.

Observație. Fie $H\ne \varnothing$, $H\subseteq G$. Atunci $H$ este subgrup al lui $G$ dacă și numai dacă $$x,y\in H⟹x{y}^{-1}\in H.$$

Într-adevăr, dacă $H$ e subgrup, atunci $y^{-1}\in H$ și, prin stabilitate, $x{y}^{-1}\in H$. Reciproc, luând $x=y$ obținem $e\in H$; perechea $(e,y)$ dă $y^{-1}\in H$ pentru orice $y\in H$; iar perechea $(x,y^{-1})$ dă $x(y^{-1}{)}^{-1}=xy\in H$. Ambele condiții ale criteriului sunt îndeplinite.

Forma comprimată e comodă când elementele lui $H$ se scriu printr-o formulă în care produsul cu un invers se simplifică frumos — de pildă la mulțimile de forma $\{a^k\mid k\in \mathbb{Z}\}$, unde $a^k(a^m{)}^{-1}=a^{k-m}$ dintr-o singură linie. Ea nu se dă niciodată ca definiție a subgrupului; e o observație de calcul. În notație aditivă devine: $x-y\in H$ pentru orice $x,y\in H$.

Orice grup $G$ are cel puțin două subgrupuri: mulțimea $\{e\}$, formată doar din elementul neutru, și $G$ însuși. Ele se numesc subgrupurile improprii ale lui $G$; orice alt subgrup se numește subgrup propriu. Verificarea pentru $\{e\}$ e imediată: $e\cdot e=e\in \{e\}$ și $e^{-1}=e\in \{e\}$.

5. Cum arată subgrupurile în grupurile de numere și în cele de matrice?

Lanțul aditiv. Din $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}$ și din faptul că suma și opusul nu părăsesc niciuna dintre mulțimi, rezultă că $(\mathbb{Z},+)$ este subgrup al lui $(\mathbb{Q},+)$, care e subgrup al lui $(\mathbb{R},+)$, care e subgrup al lui $(\mathbb{C},+)$.

Lanțul multiplicativ. La fel, $({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$ e subgrup al lui $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$, care e subgrup al lui $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$. Tot subgrupuri ale lui $({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$ sunt $\{-1,1\}$, în care fiecare element e propriul lui invers, și ${\mathbb{Q}}_{+}^{\ast }$.

Atenție la o capcană: $(\mathbb{Z},+)$ nu este subgrup al lui $({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$. Un subgrup trebuie să aibă aceeași lege ca grupul mare, nu doar o parte din elementele lui; când legile diferă, întrebarea nici nu se pune.

Grupuri de matrice. Ai văzut la Grupuri de matrice și grupuri de permutări că $G{L}_2(\mathbb{R})=\{A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})\mid \det A\ne 0\}$ este grup față de înmulțirea matricelor. Fie $$H=\{A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})\mid \det A=1\}.$$ Mulțimea $H$ este inclusă în $G{L}_2(\mathbb{R})$, pentru că $1\ne 0$. Ea e nevidă: $\det I_2=1$, deci $I_2\in H$. Dacă $A,B\in H$, atunci, cu teorema demonstrată la Determinantul produsului a două matrice, $\det (AB)=\det A\cdot \det B=1\cdot 1=1$, deci $AB\in H$. În fine, din $A{A}^{-1}=I_2$ rezultă $\det A\cdot \det (A^{-1})=1$, deci $\det (A^{-1})=1$ și $A^{-1}\in H$. Prin urmare $H$ este subgrup al lui $G{L}_2(\mathbb{R})$.

Familiile parametrizate. Pentru $x\in \mathbb{R}$ notăm $A(x)=\left(\begin{array}{cc}1& x\\ 0& 1\end{array}\right)$. Un calcul direct dă $A(x)A(y)=A(x+y)$, iar mulțimea $G=\{A(x)\mid x\in \mathbb{R}\}$ este grup, cu neutrul $A(0)=I_2$ și cu $A(x{)}^{-1}=A(-x)$. Submulțimea $H=\{A(k)\mid k\in \mathbb{Z}\}$ este subgrup al lui $G$: e nevidă ($A(0)\in H$), $A(k)A(m)=A(k+m)$ cu $k+m\in \mathbb{Z}$, iar $A(k{)}^{-1}=A(-k)$ cu $-k\in \mathbb{Z}$. Este structura lui $\mathbb{Z}$ în interiorul lui $\mathbb{R}$, mutată pe matrice.

6. Cum arată toate subgrupurile unui grup finit?

Într-un grup finit mic putem căuta subgrupurile sistematic: pornim de la $\{e\}$, adăugăm un element, adăugăm tot ce ne obligă stabilitatea și inversele, și ne oprim când mulțimea se închide. Iată rezultatele pentru trei grupuri cunoscute.

În $({\mathbb{Z}}_6,+)$ există exact patru subgrupuri: $$\{\hat{0}\},\{\hat{0},\hat{3}\},\{\hat{0},\hat{2},\hat{4}\},{\mathbb{Z}}_6.$$ Cardinalele lor sunt $1$, $2$, $3$ și $6$. De ce nu apare niciun subgrup cu patru sau cu cinci elemente? Pentru moment, răspunsul e „am încercat și nu iese"; la Grupuri finite; teorema lui Lagrange vei afla motivul adevărat, iar el va fi o teoremă, nu o observație.

În grupul lui Klein $K=\{e,a,b,c\}$, în care $a^2=b^2=c^2=e$ și $ab=c$, există exact cinci subgrupuri: $\{e\}$, $\{e,a\}$, $\{e,b\}$, $\{e,c\}$ și $K$. Cardinalele sunt $1$, $2$, $2$, $2$ și $4$. Realizarea concretă a lui $K$, cu funcțiile $f_1(x)=x$, $f_2(x)=-x$, $f_3(x)=\frac{1}{x}$, $f_4(x)=-\frac{1}{x}$ față de compunere, a fost construită la Grupuri de funcții; grupul lui Klein; acolo, subgrupul $\{f_1,f_2\}$ înseamnă „identitatea și schimbarea semnului".

În $(S_3,\circ )$, grupul permutărilor de grad $3$, folosim numele fixate la Grupuri de matrice și grupuri de permutări: $e$, ${\sigma }_1$, ${\sigma }_2$, ${\sigma }_3$, ${\sigma }_4$, ${\sigma }_5$. Există exact șase subgrupuri: $$\{e\},\{e,{\sigma }_1\},\{e,{\sigma }_2\},\{e,{\sigma }_3\},\{e,{\sigma }_4,{\sigma }_5\},S_3,$$ cu cardinalele $1$, $2$, $2$, $2$, $3$ și $6$. Primele patru se citesc direct de pe tabla lui $S_3$, pentru că ${\sigma }_1$, ${\sigma }_2$ și ${\sigma }_3$ sunt fiecare propriul simetric; la al cincilea, ${\sigma }_4\circ {\sigma }_4={\sigma }_5$, ${\sigma }_4\circ {\sigma }_5=e$ și ${\sigma }_4^{-1}={\sigma }_5$. Reține un fapt care va conta mai târziu: $S_3$ nu are niciun subgrup cu patru elemente, deși are șase elemente cu totul.

7. Ce se întâmplă cu intersecția și cu reuniunea a două subgrupuri?

Propoziție. Dacă $H$ și $K$ sunt subgrupuri ale grupului $(G,\cdot )$, atunci $H\cap K$ este subgrup al lui $G$.

Demonstrație. Evident $H\cap K\subseteq G$. Cum $e\in H$ și $e\in K$, avem $e\in H\cap K$, deci intersecția e nevidă. Fie $x,y\in H\cap K$. Atunci $x,y\in H$, deci $xy\in H$; și $x,y\in K$, deci $xy\in K$; prin urmare $xy\in H\cap K$. La fel, din $x\in H$ rezultă $x^{-1}\in H$, iar din $x\in K$ rezultă $x^{-1}\in K$, deci $x^{-1}\in H\cap K$. Criteriul de subgrup e verificat. $■$

Cu reuniunea lucrurile stau altfel. În $({\mathbb{Z}}_6,+)$ luăm $H=\{\hat{0},\hat{3}\}$ și $K=\{\hat{0},\hat{2},\hat{4}\}$, două subgrupuri. Reuniunea lor este $H\cup K=\{\hat{0},\hat{2},\hat{3},\hat{4}\}$ și nu e parte stabilă: $\hat{3}+\hat{2}=\hat{5}\notin H\cup K$. Deci reuniunea a două subgrupuri, în general, nu este subgrup. Același lucru se vede în $S_3$: reuniunea subgrupurilor $\{e,{\sigma }_3\}$ și $\{e,{\sigma }_1\}$ este $\{e,{\sigma }_1,{\sigma }_3\}$, iar ${\sigma }_3\circ {\sigma }_1={\sigma }_4$ nu se află printre elementele ei.

Merită reținută și tranzitivitatea: dacă $K$ e subgrup al lui $H$, iar $H$ e subgrup al lui $G$, atunci $K$ e subgrup al lui $G$ — o rescriere a criteriului, folosind faptul că neutrul și inversele sunt aceleași la toate cele trei niveluri.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un subgrup în $({\mathbb{Z}}_6,+)$

Arătați că $H=\{\hat{0},\hat{2},\hat{4}\}$ este subgrup al grupului $({\mathbb{Z}}_6,+)$.

Rezolvare. Aplicăm criteriul, în notație aditivă, pe cele patru rânduri.

$H\subseteq {\mathbb{Z}}_6$ — evident, elementele scrise sunt clase modulo $6$. $H\ne \varnothing$, pentru că $\hat{0}\in H$.

Stabilitatea o citim din tabla legii induse:

Niciun rezultat nu iese din $H$, deci $x+y\in H$ pentru orice $x,y\in H$.

Opusele: $-\hat{0}=\hat{0}$, $-\hat{2}=\hat{4}$ (pentru că $\hat{2}+\hat{4}=\hat{0}$), $-\hat{4}=\hat{2}$. Toate sunt în $H$.

Prin urmare $H$ este subgrup al lui $({\mathbb{Z}}_6,+)$, cu $\mathrm{card}H=3$.

Exemplul 2 — Puterile întregi ale unui număr

Arătați că $H=\{2^k\mid k\in \mathbb{Z}\}$ este subgrup al grupului $(\mathbb{Q}^{}, \cdot)$.*

Rezolvare. Elementele lui $H$ sunt numere raționale nenule: pentru $k\ge 0$ avem întregul $2^k$, iar pentru $k<0$ avem fracția $\frac{1}{2^{-k}}$. Deci $H\subseteq {\mathbb{Q}}^{\ast }$.

$H\ne \varnothing$: pentru $k=0$ obținem $2^0=1\in H$, adică exact elementul neutru.

Stabilitatea: dacă $x=2^k$ și $y=2^m$ cu $k,m\in \mathbb{Z}$, atunci $xy=2^k\cdot 2^m=2^{k+m}$, iar $k+m\in \mathbb{Z}$, deci $xy\in H$.

Inversele: $x^{-1}={\left(2^k\right)}^{-1}=2^{-k}$, iar $-k\in \mathbb{Z}$, deci $x^{-1}\in H$.

Aici se vede și avantajul formei comprimate: dintr-un singur calcul, $x{y}^{-1}=2^k\cdot 2^{-m}=2^{k-m}\in H$, ambele condiții sunt acoperite.

Exemplul 3 — Un subgrup al grupului matricelor inversabile

Arătați că $H = \left{ \begin{pmatrix}a&0\0&b\end{pmatrix} \ \Big\vert\ a, b \in \mathbb{R}^{} \right}$estesubgrupallui$GL_2(\mathbb{R})$.*

Rezolvare. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right)$ avem $\det A=ab\ne 0$, deci $A$ e inversabilă și $H\subseteq G{L}_2(\mathbb{R})$.

$H\ne \varnothing$: pentru $a=b=1$ obținem $I_2\in H$.

Stabilitatea: pentru $A=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}c& 0\\ 0& d\end{array}\right)$,

$$AB=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}c& 0\\ 0& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ac& 0\\ 0& bd\end{array}\right),$$

iar $ac\ne 0$ și $bd\ne 0$, deci $AB\in H$.

Inversele: $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{a}& 0\\ 0& \frac{1}{b}\end{array}\right)$, ceea ce se verifică imediat înmulțind cu $A$; cum $\frac{1}{a},\frac{1}{b}\in {\mathbb{R}}^{\ast }$, avem $A^{-1}\in H$.

Deci $H$ este subgrup al lui $G{L}_2(\mathbb{R})$. Observă că $H$ este comutativ, deși $G{L}_2(\mathbb{R})$ nu este — un subgrup poate avea proprietăți pe care grupul mare nu le are.

Exemplul 4 — Subgrupuri în $S_3$

În grupul $(S_3,\circ )$, cu notațiile fixate la lecția despre grupuri de permutări, se consideră ${\sigma }_4=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)$. Stabiliți dacă mulțimile $P=\{e,{\sigma }_4\}$ și $Q=\{e,{\sigma }_4,{\sigma }_5\}$ sunt subgrupuri ale lui $S_3$.

Rezolvare. Calculăm mai întâi puterile lui ${\sigma }_4$, compunând ca la Permutări: definiție, notație și compunere, adică „întâi cea din dreapta, apoi cea din stânga":

$${\sigma }_4\circ {\sigma }_4=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right)={\sigma }_5,{\sigma }_4\circ {\sigma }_5=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 2& 3\end{array}\right)=e.$$

Mulțimea $P=\{e,{\sigma }_4\}$ nu este subgrup: nu e parte stabilă, pentru că ${\sigma }_4\circ {\sigma }_4={\sigma }_5\notin P$.

Mulțimea $Q=\{e,{\sigma }_4,{\sigma }_5\}$ este subgrup. E nevidă. Stabilitatea se citește pe tabla lui $S_3$: ${\sigma }_4\circ {\sigma }_4={\sigma }_5$, ${\sigma }_4\circ {\sigma }_5={\sigma }_5\circ {\sigma }_4=e$ și ${\sigma }_5\circ {\sigma }_5={\sigma }_4$, deci niciun rezultat nu iese din $Q$. Inversele: $e^{-1}=e$, ${\sigma }_4^{-1}={\sigma }_5$ și ${\sigma }_5^{-1}={\sigma }_4$, toate în $Q$.

Exemplul 5 — Trei submulțimi care nu sunt subgrupuri

Explicați de ce niciuna dintre următoarele mulțimi nu este subgrup al grupului indicat: a) $A=\{\hat{1},\hat{3},\hat{5}\}$ în $({\mathbb{Z}}_6,+)$; b) $B=\mathbb{Z}$ în $(\mathbb{R}^{}, \cdot)$;c)$C = {z \in \mathbb{C}^{} \mid \operatorname{Re} z > 0}$\hat{ı}n$(\mathbb{C}^{}, \cdot)$.*

Rezolvare. a) Elementul neutru al lui $({\mathbb{Z}}_6,+)$ este $\hat{0}$, iar $\hat{0}\notin A$. Cum orice subgrup conține neutrul, $A$ nu e subgrup. (Se vede și direct: $\hat{1}+\hat{3}=\hat{4}\notin A$.)

b) Aici problema e la incluziune: $0\in \mathbb{Z}$, dar $0\notin {\mathbb{R}}^{\ast }$, deci $B$ nici măcar nu e submulțime a grupului. Chiar dacă am lua ${\mathbb{Z}}^{\ast }$, tot n-ar merge: $2\in {\mathbb{Z}}^{\ast }$, dar $2^{-1}=\frac{1}{2}\notin {\mathbb{Z}}^{\ast }$.

c) Mulțimea $C$ conține $1$ și e nevidă, dar nu e parte stabilă: pentru $z=1+2i$ avem $\mathrm{Re}z=1>0$, în timp ce

$$z^2=(1+2i{)}^2=1+4i+4i^2=-3+4i,\mathrm{Re}(z^2)=-3<0,$$

deci $z^2\notin C$. O singură pereche care iese din mulțime e suficientă pentru respingere.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Pentru orice $x\in \mathbb{R}$ se consideră matricea $A(x)=\left(\begin{array}{cc}1& x\\ 0& 1\end{array}\right)$ și mulțimea $G=\{A(x)\mid x\in \mathbb{R}\}$, despre care se știe că este grup în raport cu înmulțirea matricelor. Acesta este un exercițiu în stilul Subiectului al II-lea. a) Arătați că $A(x)\cdot A(y)=A(x+y)$, pentru orice $x,y\in \mathbb{R}$. b) Determinați elementul neutru al grupului $G$ și inversa matricei $A(x)$. c) Arătați că $H=\{A(k)\mid k\in \mathbb{Z}\}$ este subgrup al lui $G$ și că $K=\{A(k)\mid k\in \mathbb{N}\}$ nu este.

Rezolvare. a) Înmulțim direct:

$$A(x)\cdot A(y)=\left(\begin{array}{cc}1& x\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& y\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 1+x\cdot 0& 1\cdot y+x\cdot 1\\ 0\cdot 1+1\cdot 0& 0\cdot y+1\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& x+y\\ 0& 1\end{array}\right)=A(x+y).$$

b) Din a) avem $A(x)\cdot A(0)=A(x)=A(0)\cdot A(x)$, iar $A(0)=I_2$, deci elementul neutru este $I_2$. Tot din a), $A(x)\cdot A(-x)=A(0)=I_2$, deci $A(x{)}^{-1}=A(-x)=\left(\begin{array}{cc}1& -x\\ 0& 1\end{array}\right)$.

c) Pentru $H$ aplicăm criteriul. Evident $H\subseteq G$, pentru că orice întreg este număr real. $H\ne \varnothing$, fiindcă $A(0)=I_2\in H$. Dacă $A(k),A(m)\in H$ cu $k,m\in \mathbb{Z}$, atunci $A(k)\cdot A(m)=A(k+m)$ și $k+m\in \mathbb{Z}$, deci produsul e în $H$. Dacă $A(k)\in H$, atunci $A(k{)}^{-1}=A(-k)$ și $-k\in \mathbb{Z}$, deci inversa e în $H$. Prin urmare $H$ este subgrup al lui $G$.

Pentru $K$, condiția de stabilitate e îndeplinită ($k+m\in \mathbb{N}$ dacă $k,m\in \mathbb{N}$), dar cea de inversare nu: $A(1)\in K$, în timp ce $A(1{)}^{-1}=A(-1)\notin K$, pentru că $-1\notin \mathbb{N}$. Deci $K$ este doar parte stabilă, nu subgrup — aceeași situație ca la $\mathbb{N}$ în $(\mathbb{Z},+)$.

Să exersăm

Înainte de orice rezolvare, scrie-ți pe foaie cele patru rânduri ale criteriului și bifează-le unul câte unul. Pentru respingere, e suficient un singur contraexemplu — iar cel mai rapid test de respingere este „elementul neutru se află în $H$?".

1. Arată că $H=\{\hat{0},\hat{3}\}$ este subgrup al lui $({\mathbb{Z}}_6,+)$ și scrie tabla legii induse.

2. Scrie tabla lui $H=\{\hat{0},\hat{4},\hat{8}\}$ în $({\mathbb{Z}}_{12},+)$ și arată că $H$ este subgrup.

3. Arată că $\{-1,1\}$ este subgrup al lui $({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$. Este $\{-1,0,1\}$ subgrup al lui $(\mathbb{Z},+)$?

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice parte stabilă a unui grup este subgrup al lui."

5. Arată că $H=\{3^k\mid k\in \mathbb{Z}\}$ este subgrup al lui $({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$, folosind forma comprimată a criteriului.

6. În $(S_3,\circ )$ se consideră ${\sigma }_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right)$. Este $\{e,{\sigma }_3\}$ subgrup al lui $S_3$? Dar $\{{\sigma }_3\}$?

7. Determină toate subgrupurile grupului $({\mathbb{Z}}_4,+)$ și scrie cardinalul fiecăruia.

8. Arată că $H=\{A\in G{L}_2(\mathbb{R})\mid \det A\in \{-1,1\}\}$ este subgrup al lui $G{L}_2(\mathbb{R})$.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $K$ este subgrup al lui $H$, iar $H$ este subgrup al lui $G$, atunci $K$ este subgrup al lui $G$."

10. Arată că $U_4=\{1,i,-1,-i\}$ este subgrup al lui $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$ și scrie tabla înmulțirii pe $U_4$.

11. Calculează $\{\hat{0},\hat{2},\hat{4}\}\cap \{\hat{0},\hat{3}\}$ în ${\mathbb{Z}}_6$ și verifică faptul că rezultatul este subgrup.

12. Găsește două subgrupuri ale lui $({\mathbb{Z}}_6,+)$ a căror reuniune nu este subgrup și indică perechea de elemente care „iese".

13. (Problemă aplicată.) Pe un cadran cu $12$ diviziuni, un indicator sare de fiecare dată cu $4$ diviziuni înainte. Descrie mulțimea pozițiilor pe care le poate ocupa, plecând din poziția $\hat{0}$, și arată că ea este subgrup al lui $({\mathbb{Z}}_{12},+)$.

14. Arată că $H=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in \mathbb{Z}\}$ este subgrup al lui $(\mathbb{R},+)$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Pe $\mathbb{R}$ se definește legea $x\ast y=x+y-3$, despre care se știe că determină o structură de grup comutativ. Determină elementul neutru și simetricul lui $x$, apoi arată că $H=\{3+k\mid k\in \mathbb{Z}\}$ este subgrup al lui $(\mathbb{R},\ast )$.

16. Arată că $H=\{z\in {\mathbb{C}}^{\ast }\mid |z|=1\}$ este subgrup al lui $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$.

17. În grupul lui Klein $K=\{e,a,b,c\}$, cu $a^2=b^2=c^2=e$ și $ab=c$, arată că $\{e,a\}$ este subgrup și explică de ce $\{e,a,b\}$ nu este.

18. (Provocare.) În $(S_3,\circ )$ se consideră mulțimea $M$ a permutărilor $x$ cu proprietatea $x\circ x=e$. Determină $M$ și arată că $M$ nu este subgrup al lui $S_3$.

Răspunsuri și explicații

1. $H\subseteq {\mathbb{Z}}_6$, $\hat{0}\in H$; $\hat{3}+\hat{3}=\hat{6}=\hat{0}\in H$, deci $H$ e parte stabilă; opusul lui $\hat{3}$ este $\hat{3}$, iar opusul lui $\hat{0}$ este $\hat{0}$. Tabla are patru celule: pe prima linie $\hat{0},\hat{3}$, pe a doua $\hat{3},\hat{0}$. Deci $H$ este subgrup, cu $\mathrm{card}H=2$.

2. $\hat{4}+\hat{4}=\hat{8}$, $\hat{4}+\hat{8}=\widehat{12}=\hat{0}$, $\hat{8}+\hat{8}=\widehat{16}=\hat{4}$; tabla se închide în $H$. Opusele: $-\hat{4}=\hat{8}$, $-\hat{8}=\hat{4}$, $-\hat{0}=\hat{0}$. Deci $H$ e subgrup, cu $\mathrm{card}H=3$.

3. Pentru $\{-1,1\}$: $1\in \{-1,1\}$; produsele $1\cdot 1=1$, $1\cdot (-1)=-1$, $(-1)(-1)=1$ rămân în mulțime; fiecare element e propriul lui invers. Deci e subgrup. Pentru $\{-1,0,1\}$ în $(\mathbb{Z},+)$: nu e parte stabilă, fiindcă $1+1=2$ nu e în mulțime; deci nu e subgrup.

4. Fals. Contraexemplul standard: $\mathbb{N}$ este parte stabilă a lui $(\mathbb{Z},+)$, dar nu e subgrup, pentru că $3$ nu are opus în $\mathbb{N}$. Partea stabilă cere doar condiția de stabilitate; subgrupul cere și inversele.

5. $H\subseteq {\mathbb{Q}}^{\ast }$ și $3^0=1\in H$. Pentru $x=3^k$, $y=3^m$ cu $k,m\in \mathbb{Z}$: $x{y}^{-1}=3^k\cdot 3^{-m}=3^{k-m}\in H$, pentru că $k-m\in \mathbb{Z}$. Forma comprimată încheie demonstrația într-un singur calcul.

6. $\{e,{\sigma }_3\}$ este subgrup: ${\sigma }_3\circ {\sigma }_3=e$, deci mulțimea e stabilă, iar ${\sigma }_3^{-1}={\sigma }_3$. Mulțimea $\{{\sigma }_3\}$ nu este subgrup, fiindcă nu conține elementul neutru $e$ (echivalent: ${\sigma }_3\circ {\sigma }_3=e\notin \{{\sigma }_3\}$).

7. Subgrupurile lui $({\mathbb{Z}}_4,+)$ sunt exact trei: $\{\hat{0}\}$ cu un element, $\{\hat{0},\hat{2}\}$ cu două elemente și ${\mathbb{Z}}_4$ cu patru elemente. Mulțimile $\{\hat{0},\hat{1}\}$ și $\{\hat{0},\hat{3}\}$ nu sunt stabile ($\hat{1}+\hat{1}=\hat{2}$, respectiv $\hat{3}+\hat{3}=\hat{2}$).

8. $I_2\in H$, cu $\det I_2=1$. Dacă $\det A,\det B\in \{-1,1\}$, atunci $\det (AB)=\det A\cdot \det B\in \{-1,1\}$, deci $AB\in H$. Din $\det A\cdot \det (A^{-1})=1$ rezultă $\det (A^{-1})=\frac{1}{\det A}\in \{-1,1\}$, deci $A^{-1}\in H$. Criteriul e verificat.

9. Adevărat. $K\subseteq H\subseteq G$, deci $K\subseteq G$; $K\ne \varnothing$; pentru $x,y\in K$ produsul $xy$ calculat în $K$ e același cu cel calculat în $G$ (legea e aceeași) și aparține lui $K$; la fel pentru inverse, care coincid la toate cele trei niveluri, conform propoziției din lecție.

10. $1\in U_4$; produsele se calculează cu $i^2=-1$ și rămân în mulțime; inversele sunt $1^{-1}=1$, $i^{-1}=-i$, $(-1{)}^{-1}=-1$, $(-i{)}^{-1}=i$. Tabla, pe linii, în ordinea $1,i,-1,-i$: linia lui $1$ este $1,i,-1,-i$; linia lui $i$ este $i,-1,-i,1$; linia lui $-1$ este $-1,-i,1,i$; linia lui $-i$ este $-i,1,i,-1$.

11. Intersecția este $\{\hat{0}\}$, subgrupul impropriu format doar din elementul neutru; el verifică imediat criteriul, fiindcă $\hat{0}+\hat{0}=\hat{0}$ și $-\hat{0}=\hat{0}$.

12. $H=\{\hat{0},\hat{3}\}$ și $K=\{\hat{0},\hat{2},\hat{4}\}$ sunt subgrupuri, dar $H\cup K=\{\hat{0},\hat{2},\hat{3},\hat{4}\}$ nu este: perechea care iese este $(\hat{3},\hat{2})$, cu $\hat{3}+\hat{2}=\hat{5}\notin H\cup K$.

13. Pozițiile sunt $\hat{0},\hat{4},\hat{8}$, apoi se reia ciclul, pentru că $\hat{8}+\hat{4}=\widehat{12}=\hat{0}$. Mulțimea $\{\hat{0},\hat{4},\hat{8}\}$ este subgrup al lui $({\mathbb{Z}}_{12},+)$, conform exercițiului 2. Interpretarea: indicatorul nu poate ajunge niciodată în pozițiile care nu sunt multipli de $4$.

14. $0=0+0\sqrt{2}\in H$. Pentru $x=a+b\sqrt{2}$ și $y=c+d\sqrt{2}$ cu $a,b,c,d\in \mathbb{Z}$: $x+y=(a+c)+(b+d)\sqrt{2}\in H$, pentru că $a+c,b+d\in \mathbb{Z}$; iar $-x=(-a)+(-b)\sqrt{2}\in H$. Deci $H$ e subgrup al lui $(\mathbb{R},+)$.

15. Din $x\ast e=x$ obținem $x+e-3=x$, deci $e=3$. Din $x\ast x^{\prime }=3$ obținem $x+x^{\prime }-3=3$, deci $x^{\prime }=6-x$. Acum: $3=3+0\in H$; pentru $x=3+k$ și $y=3+m$ cu $k,m\in \mathbb{Z}$, $x\ast y=(3+k)+(3+m)-3=3+(k+m)\in H$; iar simetricul lui $3+k$ este $6-(3+k)=3+(-k)\in H$. Deci $H$ e subgrup al lui $(\mathbb{R},\ast )$.

16. $|1|=1$, deci $1\in H$ și $H\ne \varnothing$. Pentru $z,w\in H$: $|zw|=|z|\cdot |w|=1$, deci $zw\in H$; iar $\left|\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{|z|}=1$, deci $z^{-1}\in H$. Geometric, $H$ este cercul de rază $1$ cu centrul în origine.

17. $\{e,a\}$ este subgrup: $a\cdot a=e$, deci mulțimea e stabilă, iar $a^{-1}=a$. Mulțimea $\{e,a,b\}$ nu este subgrup, pentru că $ab=c\notin \{e,a,b\}$ — nu e parte stabilă.

18. Condiția $x\circ x=e$ este îndeplinită de $e$ și de cele trei permutări care schimbă între ele două elemente și îl lasă pe al treilea pe loc, deci $M=\{e,{\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3\}$, cu patru elemente. $M$ nu este subgrup: din tabla lui $S_3$, ${\sigma }_3\circ {\sigma }_1={\sigma }_4$, iar ${\sigma }_4\circ {\sigma }_4={\sigma }_5\ne e$, deci ${\sigma }_4\notin M$ și $M$ nu e parte stabilă. (În treacăt: $\mathrm{card}M=4$, iar $S_3$ are $6$ elemente — încă un indiciu că un subgrup cu patru elemente n-avea cum să existe.)

De reținut

• Un subgrup al grupului $(G,\cdot )$ este o submulțime nevidă $H$ care, cu legea moștenită din $G$, este ea însăși grup; asociativitatea se moștenește automat și nu se mai verifică niciodată.
• Elementul neutru al unui subgrup coincide cu elementul neutru al grupului, iar simetricul unui element din subgrup coincide cu simetricul lui din grup, deci orice subgrup conține pe $e$.
• Criteriul de subgrup spune că $H\subseteq G$ este subgrup dacă și numai dacă $H\ne \varnothing$, $xy\in H$ pentru orice $x,y\in H$ și $x^{-1}\in H$ pentru orice $x\in H$; în notație aditivă condițiile devin $x+y\in H$ și $-x\in H$.
• Forma comprimată a criteriului, „$x,y\in H\Rightarrow x{y}^{-1}\in H$", este o observație de calcul, comodă la mulțimile de puteri, dar nu se dă niciodată ca definiție a subgrupului.
• Intersecția a două subgrupuri este întotdeauna subgrup, în timp ce reuniunea a două subgrupuri, în general, nu este; contraexemplul de reținut este $\{\hat{0},\hat{3}\}\cup \{\hat{0},\hat{2},\hat{4}\}$ în ${\mathbb{Z}}_6$.

Greșeli frecvente

• Verificarea asociativității pentru subgrup. Este pierdere de timp: legea lui $H$ e restricția legii lui $G$, iar asociativitatea, fiind adevărată pentru toate elementele lui $G$, e adevărată și pentru cele din $H$. Corect: se scrie o singură frază, „asociativitatea se moștenește din $G$".
• Uitarea condiției $H\ne \varnothing$. Fără ea, criteriul ar fi verificat și de mulțimea vidă, care nu e grup. Corect: se indică un element concret al lui $H$, de regulă $e$, și se scrie explicit că $H$ e nevidă.
• Confuzia dintre parte stabilă și subgrup. $\mathbb{N}$ în $(\mathbb{Z},+)$ și $\{A(k)\mid k\in \mathbb{N}\}$ în grupul matricelor $A(x)$ sunt părți stabile care nu sunt subgrupuri. Corect: după stabilitate se verifică întotdeauna și inversele.
• Compararea a două grupuri cu legi diferite. $(\mathbb{Z},+)$ nu e subgrup al lui $({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$, deși $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$; un subgrup are obligatoriu aceeași lege ca grupul care îl conține. Corect: prima întrebare e „ce lege?", abia a doua „ce mulțime?".
• Concluzia că reuniunea a două subgrupuri e subgrup. Este falsă în general, chiar dacă intersecția este mereu subgrup. Corect: se testează stabilitatea pe o pereche cu un element din fiecare subgrup — de obicei acolo se rupe.

Aplică acasă

1. Ceasul cu sărituri. Desenează un cadran cu $12$ diviziuni și marchează, cu o culoare, pozițiile atinse plecând din $\hat{0}$ cu salturi de $3$, iar cu altă culoare pozițiile atinse cu salturi de $5$. Notează cardinalul fiecărei mulțimi și verifică pe desen care dintre cele două este subgrup propriu al lui $({\mathbb{Z}}_{12},+)$ și care este tot grupul.

2. Vânătoarea de subgrupuri. Scrie tabla grupului $({\mathbb{Z}}_8,+)$ și găsește, prin încercări sistematice, toate subgrupurile lui. Pornește de fiecare dată de la $\{\hat{0}\}$, adaugă un element și adaugă apoi tot ce te obligă stabilitatea. Notează cardinalele obținute și compară-le cu $8$.

3. Trei mulțimi de matrice. Verifică, pe câte un exemplu numeric fiecare, dacă următoarele mulțimi sunt subgrupuri ale lui $G{L}_2(\mathbb{R})$: matricele cu $\det A=2$; matricele diagonale cu elemente nenule; matricele cu toate elementele numere întregi și $\det A=1$. Scrie pentru fiecare ce condiție a criteriului trece și care cade.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce prima noțiune „relativă" din unitatea de grupuri: până acum elevul verifica dacă o mulțime este grup, de acum verifică dacă o mulțime este grup în interiorul altui grup. Diferența e practică și se vede la economia de scris: asociativitatea nu se mai demonstrează. Miezul lecției este criteriul de subgrup, cu demonstrația lui în ambele sensuri, plus propoziția care garantează că neutrul și inversele nu se schimbă când coborâm în subgrup — fără această propoziție, criteriul ar fi doar o rețetă memorată.

De verificat în caiet: (1) apar toate cele patru rânduri ale rețetei, inclusiv „$H\ne \varnothing$"; (2) elementele generice ale lui $H$ sunt scrise în forma lor generală („fie $x=2^k$, $y=2^m$ cu $k,m\in \mathbb{Z}$"), nu pe exemple numerice; (3) la respingere se dă un contraexemplu concret, nu o formulare vagă; (4) nu se confundă partea stabilă cu subgrupul. Întrebări de control: „De ce nu verificăm asociativitatea?"; „Ce conține obligatoriu orice subgrup?"; „Care sunt cele două subgrupuri improprii?"; „Este reuniunea a două subgrupuri un subgrup?".

La BAC M1, subgrupurile apar în Subiectul al II-lea, aproape întotdeauna ca ultim subpunct al unei probleme de structuri: primele două subpuncte cer o proprietate a legii sau o inversă, al treilea cere „arătați că $H$ este subgrup". Punctajul se ia pe pași, deci un elev care scrie corect cele patru rânduri, chiar dacă greșește un calcul, ia partea cea mai mare din cele cinci puncte. Semn că a înțeles: în fața unei mulțimi noi începe prin a căuta elementul neutru în ea, nu prin a face calcule la întâmplare.

Întrebări frecvente

Ce este un subgrup al unui grup? Un subgrup al grupului $(G,\cdot )$ este o submulțime nevidă $H$ a lui $G$ care, cu legea moștenită de la $G$, formează ea însăși un grup. Concret, produsul a două elemente din $H$ rămâne în $H$, elementul neutru al lui $G$ se află în $H$, iar inversul fiecărui element din $H$ este tot în $H$.

Cum arăți că o mulțime este subgrup? Se aplică criteriul de subgrup, în patru rânduri: arăți că $H$ este inclusă în $G$, că $H$ este nevidă (de obicei arătând că elementul neutru se află în $H$), că produsul $xy$ a două elemente arbitrare din $H$ rămâne în $H$ și că inversul $x^{-1}$ al oricărui element din $H$ este tot în $H$. Asociativitatea nu se verifică.

De ce nu se verifică asociativitatea la subgrup? Pentru că legea lui $H$ este restricția legii lui $G$, iar egalitatea $(xy)z=x(yz)$ este adevărată pentru orice trei elemente ale lui $G$. Elementele lui $H$ fiind și ele elemente ale lui $G$, egalitatea are loc automat și în $H$. E principala economie pe care o aduce noțiunea de subgrup.

Care este diferența dintre parte stabilă și subgrup? Partea stabilă cere doar ca $xy$ să rămână în mulțime pentru orice $x,y$ din ea. Subgrupul cere, în plus, ca elementul neutru și inversul fiecărui element să fie tot în mulțime. Exemplul de reținut: $\mathbb{N}$ este parte stabilă a lui $(\mathbb{Z},+)$, dar nu este subgrup, fiindcă numărul $3$ nu are opus în $\mathbb{N}$.

Ce sunt subgrupurile improprii? Sunt cele două subgrupuri pe care le are orice grup $G$: mulțimea $\{e\}$, formată doar din elementul neutru, și grupul $G$ însuși. Orice alt subgrup se numește subgrup propriu. Un grup poate să nu aibă niciun subgrup propriu — se întâmplă, de pildă, la $({\mathbb{Z}}_5,+)$.

Este reuniunea a două subgrupuri tot un subgrup? În general, nu. Contraexemplul standard este în $({\mathbb{Z}}_6,+)$: subgrupurile $\{\hat{0},\hat{3}\}$ și $\{\hat{0},\hat{2},\hat{4}\}$ au reuniunea $\{\hat{0},\hat{2},\hat{3},\hat{4}\}$, care nu e parte stabilă, deoarece $\hat{3}+\hat{2}=\hat{5}$ nu se află în ea. Intersecția, în schimb, este întotdeauna subgrup.

Cum se scrie criteriul de subgrup în notație aditivă? Se înlocuiesc simbolurile: $H$ nevidă, $x+y\in H$ pentru orice $x,y\in H$ și $-x\in H$ pentru orice $x\in H$. Elementul neutru se scrie $0$, iar simetricul se numește opus. Este aceeași teoremă, folosită așa la toate grupurile aditive, de la $(\mathbb{Z},+)$ la $({\mathbb{Z}}_n,+)$.

Unde apar subgrupurile în subiectele de Bacalaureat M1? În Subiectul al II-lea, la problema de structuri algebrice, de obicei ca subpunctul c). Enunțul dă un grup construit cu o lege de compoziție sau cu matrice, iar cerința este „arătați că $H$ este subgrup". Se rezolvă cu cele patru rânduri ale criteriului, iar punctajul se acordă pe pași, deci fiecare rând scris corect aduce puncte.