Subgrupul generat; grupuri ciclice: pe scurt

Subgrupul generat de un element $x$ este mulțimea tuturor puterilor lui cu exponent întreg, $⟨x⟩=\{x^k\mid k\in \mathbb{Z}\}$; el este subgrup (criteriul se verifică folosind doar regulile puterilor) și este cel mai mic subgrup care îl conține pe $x$, pentru că orice subgrup care îl conține pe $x$ conține toate puterile lui. În notație aditivă, $⟨x⟩=\{kx\mid k\in \mathbb{Z}\}$.

Legătura cu ordinul este strânsă: dacă $\mathrm{ord}(x)=n$ este finit, atunci $⟨x⟩=\{e,x,x^2,\dots ,x^{n-1}\}$ și $\mathrm{card}⟨x⟩=\mathrm{ord}(x)$ — o dată calculat ordinul, știi deja câte elemente are subgrupul. Pentru un element de ordin infinit, $⟨x⟩$ este infinit. Un grup se numește ciclic dacă există $x$ cu $G=⟨x⟩$; un asemenea $x$ se numește generator. Exemplele standard sunt $(\mathbb{Z},+)$, generat de $1$, $({\mathbb{Z}}_n,+)$, generat de $\hat{1}$, și $(U_n,\cdot )$, generat de ${\epsilon }_1$. În $({\mathbb{Z}}_n,+)$, clasa $\hat{k}$ este generator dacă și numai dacă $(k,n)=1$. Consecința 3 a teoremei lui Lagrange: orice grup cu un număr prim de elemente este ciclic, iar orice element diferit de $e$ îl generează. Grupul lui Klein și $(S_3,\circ )$ nu sunt ciclice: niciun element nu are ordinul egal cu cardinalul grupului.

Exerciții din această mini-lecție

1. Câte elemente are subgrupul $⟨\hat{9}⟩$ generat de clasa $\hat{9}$ în grupul $({\mathbb{Z}}_{24},+)$?

   • a) $3$
   • b) $8$
   • c) $9$
   • d) $24$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $8$

   Avem $\mathrm{card}⟨x⟩=\mathrm{ord}(x)$, iar $\mathrm{ord}\left(\hat{9}\right)=\frac{24}{(9,24)}=\frac{24}{3}=8$. Subgrupul este $\{\hat{0},\hat{9},\widehat{18},\hat{3},\widehat{12},\widehat{21},\hat{6},\widehat{15}\}$, adică multiplii lui $\hat{3}$. Varianta $3$ ia cel mai mare divizor comun, varianta $9$ confundă subgrupul cu elementul, iar $24$ ar cere ca $\hat{9}$ să fie generator.

2. Care dintre următoarele clase generează grupul $({\mathbb{Z}}_{20},+)$?

   • a) $\hat{4}$
   • b) $\hat{5}$
   • c) $\widehat{13}$
   • d) $\widehat{15}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\widehat{13}$

   Clasa $\hat{k}$ generează $({\mathbb{Z}}_n,+)$ dacă și numai dacă $(k,n)=1$. Avem $(4,20)=4$, $(5,20)=5$, $(15,20)=5$, dar $(13,20)=1$, deci doar $\widehat{13}$ are ordinul $20$ și parcurge tot grupul. Un criteriu greșit des folosit este „$k$ să fie prim” — $\hat{5}$ îl îndeplinește, dar nu generează.

3. Care dintre următoarele grupuri nu este ciclic?

   • a) grupul lui Klein
   • b) $(U_9,\cdot )$
   • c) $({\mathbb{Z}}_{13},+)$
   • d) $(\mathbb{Z},+)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) grupul lui Klein

   În grupul lui Klein toate cele trei elemente diferite de neutru au ordinul $2$, iar niciunul nu are ordinul $4$; cum un generator ar trebui să aibă ordinul egal cu numărul de elemente, grupul nu este ciclic. $({\mathbb{Z}}_{13},+)$ este generat de $\hat{1}$ (și, având un număr prim de elemente, de oricare element nenul), $(U_9,\cdot )$ de ${\epsilon }_1$, iar $(\mathbb{Z},+)$ de $1$.