Subgrupul generat de un element; grupuri ciclice

Subgrupul generat de un element și grupurile ciclice sunt, la clasa a XII-a, răspunsul la o întrebare pe care ți-o poate pune un ceas obișnuit. Subgrupul generat de un element $x$ este mulțimea $⟨x⟩$ a tuturor puterilor întregi ale lui $x$, iar un grup ciclic este un grup produs în acest fel de un singur element, numit generator. Pune degetul pe ora $12$ și mută-l de fiecare dată cu cinci ore înainte: ajungi pe rând la $5$, $10$, $3$, $8$, $1$, $6$, $11$, $4$, $9$, $2$, $7$ și, la a douăsprezecea mutare, înapoi la $12$ — ai atins fiecare oră de pe cadran. Repetă experiența cu pasul de patru ore și te învârți la nesfârșit prin doar trei poziții: $4$, $8$, $12$. Aceeași mulțime, aceeași operație, două comportamente complet diferite — iar deosebirea dintre ele este exact subiectul lecției de față.

Ai deja toate uneltele. La ordinul unui element al unui grup ai învățat să numeri de câte ori trebuie compus un element cu el însuși până iese elementul neutru, iar la grupuri finite și teorema lui Lagrange ai văzut că ordinul unui subgrup divide ordinul grupului. Acum legăm cele două idei într-una singură: fiecare element al unui grup fabrică, singur, un subgrup, iar acel subgrup are exact atâtea elemente cât este ordinul lui. De aici iese și ultima consecință a teoremei lui Lagrange, cea care spune că un grup cu un număr prim de elemente nu poate arăta decât într-un singur fel.

Ce vei învăța

• Vei ști să construiești subgrupul generat de un element, notat $⟨x⟩$, și să demonstrezi că este într-adevăr subgrup.
• Vei ști să folosești egalitatea $\mathrm{card}⟨x⟩=\mathrm{ord}(x)$ pentru a afla, dintr-un singur calcul, câte elemente are subgrupul generat.
• Vei ști să recunoști un grup ciclic și să-i găsești toți generatorii.
• Vei ști să determini generatorii grupului aditiv al claselor de resturi și să explici de ce sunt exact aceia.
• Vei ști să demonstrezi Consecința 3 a teoremei lui Lagrange: orice grup cu un număr prim de elemente este ciclic.
• Vei ști să arăți că un grup dat nu este ciclic, arătând că niciun element al lui nu are ordinul potrivit.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este subgrupul generat de un element?

Într-un grup $(G,\cdot )$, un singur element are deja o descendență întreagă: puterile lui. Din puterile unui element și calcule în grupuri finite știi că se pot forma $x^0=e$, $x^1=x$, $x^2=x\cdot x$ și așa mai departe, dar și puterile cu exponent negativ, $x^{-1}$, $x^{-2}$, cu regulile obișnuite $x^m{x}^n=x^{m+n}$ și $(x^m{)}^n=x^{mn}$, valabile pentru orice exponenți întregi. Strângem toate aceste puteri într-o singură mulțime și îi dăm un nume.

Subgrupul generat de un element $x$ dintr-un grup este mulțimea tuturor puterilor lui $x$ cu exponent număr întreg, notată $⟨x⟩$; ea conține elementul neutru, elementul însuși, toate puterile lui pozitive și inversele acestora, și este cel mai mic subgrup al grupului care îl conține pe $x$.

Formal, într-un grup $(G,\cdot )$ scriem

$$⟨x⟩=\{x^k\mid k\in \mathbb{Z}\}=\{\dots ,x^{-2},x^{-1},e,x,x^2,\dots \}.$$

Când grupul e notat aditiv, puterile devin multipli, iar definiția se citește $⟨x⟩=\{kx\mid k\in \mathbb{Z}\}$. Este exact ce ai făcut pe ceas: pasul de cinci ore a produs mulțimea tuturor multiplilor lui $5$ modulo $12$, adică tot cadranul, iar pasul de patru ore a produs mulțimea multiplilor lui $4$, adică trei ore din douăsprezece.

2. Este $⟨x⟩$ chiar un subgrup?

Numele conține deja răspunsul, dar el trebuie demonstrat. Folosim criteriul de subgrup în forma lui de la lecția $24$: o submulțime $H$ a lui $G$ este subgrup dacă $H\ne \varnothing$, produsul a două elemente din $H$ rămâne în $H$ și inversul oricărui element din $H$ rămâne în $H$.

Propoziție. Fie $(G,\cdot )$ un grup și $x\in G$. Atunci $⟨x⟩$ este subgrup al lui $G$.

Demonstrație. Mulțimea nu e vidă, pentru că $e=x^0\in ⟨x⟩$. Fie acum două elemente ale ei, $x^m$ și $x^n$, cu $m,n\in \mathbb{Z}$. Produsul lor este $x^m{x}^n=x^{m+n}$, iar $m+n$ este tot număr întreg, deci produsul aparține lui $⟨x⟩$. În fine, inversul lui $x^m$ este $x^{-m}$, iar $-m$ este tot întreg, deci și inversul aparține lui $⟨x⟩$. Cele trei condiții ale criteriului sunt îndeplinite. $■$

Merită observat cât de puțin s-a folosit: doar regulile de calcul cu puteri. De aceea propoziția e adevărată în orice grup, finit sau infinit, comutativ sau nu.

Mai mult, $⟨x⟩$ este cel mai mic subgrup care îl conține pe $x$: dacă $H$ este un subgrup oarecare al lui $G$ cu $x\in H$, atunci $H$ conține și $x\cdot x=x^2$, și $x^3$, și inversul $x^{-1}$, deci conține toate puterile întregi ale lui $x$; prin urmare $⟨x⟩\subseteq H$. Un singur element „trage după el" un subgrup întreg, și nimic mai puțin.

3. Cât de mare este subgrupul generat de un element?

Aici intră în scenă ordinul. Reamintim definiția fixată la lecția $26$: $\mathrm{ord}(x)$ este cel mai mic număr natural nenul $n$ pentru care $x^n=e$; dacă un asemenea număr nu există, spunem că elementul are ordin infinit. Legătura cu subgrupul generat este cât se poate de strânsă.

Teoremă. Fie $(G,\cdot )$ un grup și $x\in G$ un element de ordin finit, $\mathrm{ord}(x)=n$. Atunci

$$⟨x⟩=\{e,x,x^2,\dots ,x^{n-1}\}\text{și}\mathrm{card}⟨x⟩=\mathrm{ord}(x).$$

Demonstrație. Arătăm întâi că orice putere întreagă a lui $x$ se reduce la una dintre cele $n$ scrise mai sus. Fie $k\in \mathbb{Z}$. Împărțim $k$ la $n$ cu rest: există $q\in \mathbb{Z}$ și $r\in \{0,1,\dots ,n-1\}$ astfel încât $k=nq+r$. Atunci

$$x^k=x^{nq+r}=(x^n{)}^q\cdot x^r=e^q\cdot x^r=x^r,$$

pentru că $x^n=e$. Deci mulțimea $⟨x⟩$ este inclusă în $\{e,x,\dots ,x^{n-1}\}$; incluziunea inversă e evidentă, fiindcă fiecare dintre aceste elemente este o putere a lui $x$.

Rămâne de arătat că cele $n$ elemente sunt distincte două câte două. Presupunem prin absurd că $x^i=x^j$ pentru doi exponenți cu $0\le i<j\le n-1$. Înmulțind ambii membri cu $x^{-i}$ obținem $e=x^{j-i}$, unde $0<j-i<n$. Am găsit astfel un exponent natural nenul, mai mic decât $n$, care dă elementul neutru — ceea ce contrazice minimalitatea lui $n$ din definiția ordinului. Prin urmare elementele sunt distincte, iar subgrupul are exact $n$ elemente. $■$

Enunțul acesta este cerut explicit de programa de matematică-informatică: „determinarea ordinului unui element al unui grup finit, a subgrupului generat de acesta și stabilirea legăturii dintre cardinalul subgrupului și ordinul elementului care îl generează". În practică el înseamnă că, dacă ai calculat ordinul, știi deja câte elemente are subgrupul, fără să le mai numeri.

Când $x$ are ordin infinit, puterile $\dots ,x^{-1},e,x,x^2,\dots$ sunt toate distincte (același raționament, dus la capăt: o coincidență $x^i=x^j$ ar produce un exponent nenul cu $x^{j-i}=e$), deci $⟨x⟩$ este o mulțime infinită. Așa se întâmplă cu numărul $2$ în grupul $({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$: puterile $\dots ,\frac{1}{4},\frac{1}{2},1,2,4,8,\dots$ nu se repetă niciodată.

4. Grupuri ciclice: ce sunt și care sunt primele exemple?

Uneori un singur element ajunge pentru tot grupul. Acesta e cazul cel mai simplu cu putință și merită un nume.

Definiție. Un grup $(G,\cdot )$ se numește ciclic dacă există un element $x\in G$ cu $G=⟨x⟩$. Un asemenea element se numește generator al grupului.

Trei exemple, toate întâlnite deja:

• $(\mathbb{Z},+)$ este ciclic, generat de $1$: mulțimea multiplilor întregi ai lui $1$ este $\mathbb{Z}$ însuși. Un al doilea generator este $-1$; alții nu există, pentru că $⟨k⟩=k\mathbb{Z}$, iar la subgrupurile grupului aditiv al numerelor întregi ai văzut că $k\mathbb{Z}=\mathbb{Z}$ numai pentru $k=\pm 1$.
• $({\mathbb{Z}}_n,+)$ este ciclic, generat de $\hat{1}$: adunând $\hat{1}$ cu el însuși obții pe rând $\hat{2},\hat{3},\dots ,\widehat{n-1},\hat{0}$.
• $(U_n,\cdot )$, grupul rădăcinilor de ordinul $n$ ale unității, este ciclic, generat de ${\epsilon }_1=\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}$, pentru că ${\epsilon }_1^k={\epsilon }_k$ pentru orice $k$ — exact ce ai calculat la rădăcinile de ordinul n ale unui număr complex.

Cuvântul „ciclic" descrie fidel imaginea: pornești din $e$, aplici mereu același element și parcurgi un ciclu care se închide după $\mathrm{ord}(x)$ pași. Pe cercul unitate, generatorul lui $U_n$ chiar rotește punctul $1$ cu un unghi fix, până când se întoarce de unde a plecat.

5. Cum recunoști generatorii grupului claselor de resturi?

Întrebarea are un răspuns complet și ușor de aplicat, iar el explică povestea de pe ceas. Reținem întâi cum se calculează ordinul unei clase.

Propoziție. În grupul $({\mathbb{Z}}_n,+)$, ordinul clasei $\hat{k}$ este $\mathrm{ord}(\hat{k})=\frac{n}{d}$, unde $d=(k,n)$ este cel mai mare divizor comun al lui $k$ și $n$.

Demonstrație. Ordinul lui $\hat{k}$ este cel mai mic număr natural nenul $m$ cu $m\hat{k}=\hat{0}$, adică cel mai mic $m$ cu $n\mid mk$. Scriem $k=d{k}^{\prime }$ și $n=d{n}^{\prime }$, unde $(k^{\prime },n^{\prime })=1$. Condiția $n\mid mk$ devine $d{n}^{\prime }\mid md{k}^{\prime }$, adică $n^{\prime }\mid m{k}^{\prime }$. Cum $n^{\prime }$ și $k^{\prime }$ nu au divizori comuni în afară de $1$, rezultă $n^{\prime }\mid m$. Cel mai mic număr natural nenul cu această proprietate este chiar $m=n^{\prime }=\frac{n}{d}$. $■$

Consecință. Clasa $\hat{k}$ generează grupul $({\mathbb{Z}}_n,+)$ dacă și numai dacă $(k,n)=1$, pentru că numai atunci $\mathrm{ord}(\hat{k})=n=\mathrm{card}{\mathbb{Z}}_n$.

Iată tabelul pentru $n=12$, cadranul ceasului:

Generatorii sunt $\hat{1}$, $\hat{5}$, $\hat{7}$ și $\widehat{11}$ — exact clasele numerelor prime cu $12$. Pasul de cinci ore parcurge tot cadranul; pasul de patru ore are ordinul $3$ și se închide după trei mutări. Numărul generatorilor este numărul întregilor din $\{1,2,\dots ,n-1\}$ primi cu $n$, adică valoarea funcției lui Euler în $n$, despre care am pomenit deja în unitatea trecută.

6. Consecința 3 a teoremei lui Lagrange

Ultima lecție a lăsat două consecințe numerotate. Le reluăm identic, pentru că demonstrația de mai jos se sprijină pe prima dintre ele. Consecința 1 spune că $\mathrm{ord}(x)\mid \mathrm{card}G$ pentru orice $x\in G$, iar Consecința 2 spune că $x^{\mathrm{card}G}=e$ pentru orice $x\in G$. Acum putem adăuga a treia, care este proprietatea lecției de față.

Consecința 3. Orice grup finit al cărui număr de elemente este un număr prim este ciclic; mai mult, orice element diferit de elementul neutru îl generează.

Demonstrație. Fie $G$ un grup cu $\mathrm{card}G=p$, unde $p$ este prim, și fie $x\in G$, $x\ne e$. Din Consecința 1 avem $\mathrm{ord}(x)\mid p$, deci $\mathrm{ord}(x)\in \{1,p\}$, pentru că un număr prim are doar divizorii $1$ și $p$. Dar $\mathrm{ord}(x)=1$ ar însemna $x^1=e$, adică $x=e$, ceea ce am exclus. Rămâne $\mathrm{ord}(x)=p$. Din teorema de la punctul $3$, $\mathrm{card}⟨x⟩=\mathrm{ord}(x)=p=\mathrm{card}G$, iar $⟨x⟩\subseteq G$; două mulțimi finite, una inclusă în cealaltă și cu același număr de elemente, coincid. Deci $⟨x⟩=G$. $■$

Rezultatul e surprinzător de tare: dacă știi doar că un grup are $7$ elemente, îi cunoști deja toată structura. Nu ai nevoie să vezi tabla, nu ai nevoie să știi ce sunt elementele — grupul se comportă întocmai ca ceasul cu șapte ore. La numere care nu sunt prime lucrurile stau altfel, și tocmai de aceea punctul următor există.

7. Care grupuri nu sunt ciclice?

Ca să arăți că un grup nu este ciclic, e destul să verifici că niciun element al lui nu are ordinul egal cu numărul de elemente ale grupului. Într-un grup finit cu $m$ elemente, un generator ar avea $\mathrm{card}⟨x⟩=m$, deci $\mathrm{ord}(x)=m$; dacă toate ordinele sunt strict mai mici decât $m$, grupul nu poate fi ciclic.

Primul exemplu este grupul lui Klein $K=\{f_1,f_2,f_3,f_4\}$, format din funcțiile $f_1(x)=x$, $f_2(x)=-x$, $f_3(x)=\frac{1}{x}$, $f_4(x)=-\frac{1}{x}$ definite pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, cu compunerea funcțiilor, pe care l-ai construit la grupuri de funcții și grupul lui Klein. Fiecare dintre cele trei funcții diferite de identitate aplicată de două ori dă identitatea: $f_2\circ f_2=f_1$, $f_3\circ f_3=f_1$, $f_4\circ f_4=f_1$. Așadar ordinele sunt $1,2,2,2$, niciunul nu este $4$, deci $K$ nu este ciclic, deși are patru elemente.

Al doilea exemplu este $(S_3,\circ )$, grupul permutărilor de trei obiecte, care are șase elemente. Permutarea identică are ordinul $1$; cele trei permutări care schimbă între ele două valori și o lasă pe a treia pe loc au ordinul $2$; celelalte două au ordinul $3$. Niciun element de ordin $6$, deci nici $S_3$ nu este ciclic. Observă că numărul $6$ nu e prim — dacă ar fi fost, Consecința 3 ar fi interzis această situație.

Cu acest instrument am terminat studiul unui grup „din interior". De acum înainte vom compara grupuri între ele, cu ajutorul funcțiilor care le leagă structurile: acesta este subiectul lecției despre morfisme de grupuri, iar ordinele calculate aici vor fi cheia comparației.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Subgrupul generat de o clasă de resturi

Determinați $⟨\hat{3}⟩$ în grupul $({\mathbb{Z}}_{12},+)$ și verificați egalitatea $\mathrm{card}⟨\hat{3}⟩=\mathrm{ord}(\hat{3})$.

Rezolvare. Adunăm $\hat{3}$ cu el însuși: $\hat{3}$, $\hat{6}$, $\hat{9}$, $\widehat{12}=\hat{0}$. Am ajuns la elementul neutru după patru pași, deci $\mathrm{ord}(\hat{3})=4$, în acord cu formula $\frac{12}{(3,12)}=\frac{12}{3}=4$. Subgrupul generat este

$$⟨\hat{3}⟩=\{\hat{0},\hat{3},\hat{6},\hat{9}\},$$

o mulțime cu patru elemente. Într-adevăr, $\mathrm{card}⟨\hat{3}⟩=4=\mathrm{ord}(\hat{3})$. Observă și că $4\mid 12$, cum cere teorema lui Lagrange.

Exemplul 2 — Subgrupul generat de $i$ în grupul numerelor complexe nenule

Determinați $⟨i⟩$ în grupul $(\mathbb{C}^{}, \cdot)$.*

Rezolvare. Calculăm puterile succesive: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$. Am obținut elementul neutru la a patra putere și nu mai devreme, deci $\mathrm{ord}(i)=4$ și

$$⟨i⟩=\{1,i,-1,-i\}=U_4.$$

Subgrupul generat de $i$ este chiar grupul rădăcinilor de ordinul patru ale unității. Puterile negative nu aduc nimic nou: $i^{-1}=-i$, $i^{-2}=-1$, exact ce prevede demonstrația teoremei.

Exemplul 3 — Subgrupul generat de o permutare

Fie $\sigma =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)\in S_3$. Determinați $⟨\sigma ⟩$.

Rezolvare. Compunem $\sigma$ cu ea însăși, cu convenția „întâi cea din dreapta, apoi cea din stânga" fixată la permutări: definiție, notație și compunere:

$${\sigma }^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right),{\sigma }^3=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 2& 3\end{array}\right)=e.$$

Deci $\mathrm{ord}(\sigma )=3$ și $⟨\sigma ⟩=\{e,\sigma ,{\sigma }^2\}$, un subgrup cu trei elemente al lui $S_3$. Numărul $3$ divide $6$, cum trebuie. Subgrupul acesta este ciclic, deși $S_3$ nu este — un grup neciclic poate avea foarte bine subgrupuri ciclice.

Exemplul 4 — Un element de ordin infinit

Arătați că $⟨2⟩$ este o mulțime infinită în grupul $(\mathbb{Q}^{}, \cdot)$.*

Rezolvare. Puterile lui $2$ sunt $2^k$ cu $k\in \mathbb{Z}$, adică $\dots ,\frac{1}{8},\frac{1}{4},\frac{1}{2},1,2,4,8,\dots$. Pentru orice $k\ge 1$ avem $2^k\ge 2>1$, deci nicio putere naturală nenulă nu dă elementul neutru $1$. Prin urmare $\mathrm{ord}(2)=\infty$ și, conform observației de la punctul $3$, toate puterile sunt distincte:

$$⟨2⟩=\{2^k\mid k\in \mathbb{Z}\}$$

este infinită. Este un subgrup infinit al unui grup infinit, generat totuși de un singur element — deci $⟨2⟩$ este el însuși un grup ciclic.

Exemplul 5 — Un grup cu șapte elemente

Se știe despre un grup $(G,\cdot )$ doar că are $7$ elemente. Câte subgrupuri are și câți generatori?

Rezolvare. Cum $7$ este prim, Consecința 3 spune că $G$ este ciclic și că orice element diferit de $e$ îl generează. Așadar $G$ are exact $6$ generatori.

Subgrupurile: dacă $H$ este subgrup al lui $G$, teorema lui Lagrange dă $\mathrm{card}H\mid 7$, deci $\mathrm{card}H\in \{1,7\}$. Rezultă că singurele subgrupuri sunt $\{e\}$ și $G$ însuși — două la număr. Un grup cu un număr prim de elemente nu are subgrupuri „intermediare".

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră grupul $({\mathbb{Z}}_{18},+)$. a) Calculați $\mathrm{ord}(\hat{6})$. b) Determinați subgrupul $⟨\hat{6}⟩$. c) Determinați toți generatorii grupului $({\mathbb{Z}}_{18},+)$.

Rezolvare. a) Aplicăm propoziția de la punctul $5$: $\mathrm{ord}(\hat{6})=\frac{18}{(6,18)}=\frac{18}{6}=3$. Verificare directă: $\hat{6}+\hat{6}=\widehat{12}\ne \hat{0}$, iar $\hat{6}+\hat{6}+\hat{6}=\widehat{18}=\hat{0}$.

b) Din teoremă, subgrupul generat are exact $\mathrm{ord}(\hat{6})=3$ elemente, iar acestea sunt primii trei multipli ai lui $\hat{6}$:

$$⟨\hat{6}⟩=\{\hat{0},\hat{6},\widehat{12}\}.$$

c) Clasa $\hat{k}$ este generator dacă și numai dacă $(k,18)=1$. Numerele din $\{1,2,\dots ,17\}$ prime cu $18=2\cdot 3^2$ sunt cele care nu se divid nici cu $2$, nici cu $3$: $1,5,7,11,13,17$. Prin urmare generatorii sunt

$$\hat{1},\hat{5},\hat{7},\widehat{11},\widehat{13},\widehat{17},$$

șase la număr. Acest tip de cerință, cu trei subpuncte legate între ele, este exact formatul Subiectului al II-lea de la Bacalaureat M1.

Să exersăm

Înainte de fiecare exercițiu, întreabă-te ce ai de aflat: ordinul (un număr), subgrupul generat (o mulțime) sau generatorii (o listă). Cele trei se determină unul din altul, dar răspunsul cerut trebuie scris în forma cerută.

1. Determină $⟨\hat{4}⟩$ în $({\mathbb{Z}}_{12},+)$ și precizează câte elemente are.

2. Calculează $\mathrm{ord}(\hat{8})$ în $({\mathbb{Z}}_{12},+)$ folosind formula cu cel mai mare divizor comun, apoi verifică prin adunări succesive.

3. Determină toți generatorii grupului $({\mathbb{Z}}_{10},+)$.

4. Determină $⟨-1⟩$ în grupul $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-un grup cu $6$ elemente există un element de ordin $6$."

6. Fie $\sigma =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 4& 1\end{array}\right)\in S_4$. Calculează $\mathrm{ord}(\sigma )$ și scrie $⟨\sigma ⟩$.

7. Câte elemente are $⟨{\epsilon }_2⟩$ în grupul $(U_6,\cdot )$, unde ${\epsilon }_2=\cos \frac{4\pi }{6}+i\sin \frac{4\pi }{6}$?

8. Arată că grupul $({\mathbb{Z}}_5,+)$ este ciclic și scrie toți generatorii lui.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice subgrup al unui grup ciclic finit este ciclic."

10. Determină subgrupul generat de $\widehat{10}$ în $({\mathbb{Z}}_{15},+)$.

11. Un grup are $13$ elemente. Câte subgrupuri are și câți generatori?

12. (Problemă aplicată.) Un panou publicitar rotativ are $8$ poziții egal depărtate și se rotește la fiecare comandă cu $3$ poziții. Prin câte poziții trece până revine la cea inițială și în ce ordine?

13. Arată că grupul $(U_4,\cdot )$ este ciclic, dar grupul lui Klein nu este, deși ambele au patru elemente.

14. Determină toate ordinele elementelor grupului $({\mathbb{Z}}_8,+)$ și spune câte elemente de fiecare ordin există.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) În grupul $({\mathbb{Z}}_{20},+)$: a) calculează $\mathrm{ord}(\hat{8})$; b) determină $⟨\hat{8}⟩$; c) determină numărul generatorilor grupului.

16. Arată că $⟨\hat{2}⟩=⟨\hat{4}⟩$ în $({\mathbb{Z}}_6,+)$ și explică de ce două elemente diferite pot genera același subgrup.

17. Fie $G$ un grup ciclic finit generat de $x$, cu $\mathrm{card}G=n$. Arată că $x^{-1}$ este de asemenea generator al lui $G$.

18. (Provocare.) Fie $(G,\cdot )$ un grup cu $\mathrm{card}G=4$. Arată că $G$ este ciclic sau toate elementele diferite de $e$ au ordinul $2$, și că nu există altă posibilitate.

Răspunsuri și explicații

1. $\hat{4}$, $\hat{8}$, $\widehat{12}=\hat{0}$, deci $⟨\hat{4}⟩=\{\hat{0},\hat{4},\hat{8}\}$, cu trei elemente. Formula confirmă: $\mathrm{ord}(\hat{4})=\frac{12}{(4,12)}=\frac{12}{4}=3$.

2. $(8,12)=4$, deci $\mathrm{ord}(\hat{8})=\frac{12}{4}=3$. Verificare: $\hat{8}+\hat{8}=\widehat{16}=\hat{4}$, apoi $\hat{4}+\hat{8}=\widehat{12}=\hat{0}$. Trei adunări, cum era prevăzut.

3. Generatorii sunt clasele $\hat{k}$ cu $(k,10)=1$, adică $\hat{1}$, $\hat{3}$, $\hat{7}$, $\hat{9}$ — patru generatori.

4. Puterile lui $-1$ sunt $-1$ și $(-1{)}^2=1$, apoi se repetă. Deci $\mathrm{ord}(-1)=2$ și $⟨-1⟩=\{-1,1\}$, un subgrup cu două elemente al lui $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$.

5. Fals. Contraexemplul este $(S_3,\circ )$, grupul permutărilor de trei obiecte: are șase elemente, dar ordinele lor sunt $1$, $2$, $2$, $2$, $3$, $3$, deci niciunul nu este $6$. Teorema lui Lagrange garantează doar că ordinele divid numărul de elemente, nu că valoarea maximă este atinsă; afirmația devine adevărată doar dacă se știe în plus că grupul este ciclic.

6. ${\sigma }^2=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 3& 4& 1& 2\end{array}\right)$, ${\sigma }^3=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 4& 1& 2& 3\end{array}\right)$, ${\sigma }^4=e$. Deci $\mathrm{ord}(\sigma )=4$ și $⟨\sigma ⟩=\{e,\sigma ,{\sigma }^2,{\sigma }^3\}$, un subgrup cu patru elemente al lui $S_4$ (iar $4\mid 24$).

7. În notația din clasa a X-a, ${\epsilon }_2={\epsilon }_1^2$, deci puterile lui sunt ${\epsilon }_2,{\epsilon }_4,{\epsilon }_0=1$. Așadar $\mathrm{ord}({\epsilon }_2)=3$ și $⟨{\epsilon }_2⟩=\{1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_4\}$ are trei elemente.

8. $5$ este număr prim, deci, prin Consecința 3, grupul este ciclic și orice element diferit de $\hat{0}$ îl generează: generatorii sunt $\hat{1}$, $\hat{2}$, $\hat{3}$, $\hat{4}$.

9. Adevărat; se poate demonstra, dar demonstrația depășește programa — verifică pe ${\mathbb{Z}}_{12}$. În $({\mathbb{Z}}_{12},+)$, subgrupurile sunt $⟨\hat{1}⟩$, $⟨\hat{2}⟩$, $⟨\hat{3}⟩$, $⟨\hat{4}⟩$, $⟨\hat{6}⟩$ și $\{\hat{0}\}$ — toate generate de un singur element, deci toate ciclice.

10. $(10,15)=5$, deci $\mathrm{ord}(\widehat{10})=\frac{15}{5}=3$ și $⟨\widehat{10}⟩=\{\hat{0},\widehat{10},\hat{5}\}$, pentru că $\widehat{10}+\widehat{10}=\widehat{20}=\hat{5}$ și $\hat{5}+\widehat{10}=\widehat{15}=\hat{0}$.

11. $13$ este prim, deci grupul are exact două subgrupuri, $\{e\}$ și el însuși, și $12$ generatori (toate elementele în afară de neutru).

12. Numerotăm pozițiile cu $\hat{0},\hat{1},\dots ,\hat{7}$ în $({\mathbb{Z}}_8,+)$; comanda înseamnă adunarea lui $\hat{3}$. Cum $(3,8)=1$, ordinul este $\frac{8}{1}=8$, deci panoul trece prin toate cele opt poziții, în ordinea $\hat{0},\hat{3},\hat{6},\hat{1},\hat{4},\hat{7},\hat{2},\hat{5}$, și abia apoi revine.

13. În $U_4$, elementul $i$ are ordinul $4$ (Exemplul 2), deci $⟨i⟩=U_4$ și grupul este ciclic. În grupul lui Klein toate elementele diferite de identitate au ordinul $2$, deci fiecare generează un subgrup cu două elemente, niciodată tot grupul. Același număr de elemente, structuri diferite.

14. $\mathrm{ord}(\hat{k})=\frac{8}{(k,8)}$: $\hat{0}$ are ordinul $1$; $\hat{4}$ are ordinul $2$; $\hat{2}$ și $\hat{6}$ au ordinul $4$; $\hat{1}$, $\hat{3}$, $\hat{5}$, $\hat{7}$ au ordinul $8$. Deci: un element de ordin $1$, unul de ordin $2$, două de ordin $4$ și patru de ordin $8$.

15. a) $(8,20)=4$, deci $\mathrm{ord}(\hat{8})=\frac{20}{4}=5$. b) $⟨\hat{8}⟩=\{\hat{0},\hat{8},\widehat{16},\hat{4},\widehat{12}\}$, cinci elemente, obținute adunând succesiv $\hat{8}$. c) Generatorii sunt clasele $\hat{k}$ cu $(k,20)=1$: $1,3,7,9,11,13,17,19$, deci opt generatori.

16. $⟨\hat{2}⟩=\{\hat{0},\hat{2},\hat{4}\}$ și $⟨\hat{4}⟩=\{\hat{0},\hat{4},\hat{2}\}$ — aceeași mulțime. Explicația: $\hat{4}=\hat{2}+\hat{2}$ este o putere a lui $\hat{2}$, iar $\hat{2}=\hat{4}+\hat{4}$ este o putere a lui $\hat{4}$, deci fiecare aparține subgrupului generat de celălalt și cele două subgrupuri se includ reciproc.

17. Fie $y=x^{-1}$. Orice element al lui $G$ se scrie $x^k$ pentru un $k\in \mathbb{Z}$, iar $x^k=(x^{-1}{)}^{-k}=y^{-k}$, deci aparține lui $⟨y⟩$. Prin urmare $G\subseteq ⟨y⟩\subseteq G$, adică $⟨y⟩=G$ și $x^{-1}$ este generator.

18. Fie $x\in G$, $x\ne e$. Din Consecința 1, $\mathrm{ord}(x)\mid 4$, deci $\mathrm{ord}(x)\in \{2,4\}$ (valoarea $1$ e exclusă, fiindcă $x\ne e$). Dacă vreun element are ordinul $4$, atunci $\mathrm{card}⟨x⟩=4=\mathrm{card}G$, deci $⟨x⟩=G$ și grupul e ciclic. Dacă niciun element nu are ordinul $4$, atunci toate elementele diferite de $e$ au ordinul $2$. Nu există a treia posibilitate, pentru că divizorii lui $4$ sunt doar $1$, $2$ și $4$. Ambele situații se întâlnesc: $({\mathbb{Z}}_4,+)$ este de primul tip, grupul lui Klein de al doilea.

De reținut

• Subgrupul generat de un element $x$ al unui grup este $⟨x⟩=\{x^k\mid k\in \mathbb{Z}\}$ și este cel mai mic subgrup care îl conține pe $x$.
• Pentru un element de ordin finit are loc egalitatea $\mathrm{card}⟨x⟩=\mathrm{ord}(x)$, iar subgrupul este format exact din $e,x,x^2,\dots ,x^{\mathrm{ord}(x)-1}$.
• Un grup se numește ciclic dacă un singur element al lui îl generează, iar acel element se numește generator; exemplele standard sunt $(\mathbb{Z},+)$, $({\mathbb{Z}}_n,+)$ și $(U_n,\cdot )$.
• În grupul $({\mathbb{Z}}_n,+)$ avem $\mathrm{ord}(\hat{k})=\frac{n}{(k,n)}$, deci clasa $\hat{k}$ este generator dacă și numai dacă $k$ și $n$ sunt prime între ele.
• Consecința 3 a teoremei lui Lagrange spune că orice grup cu un număr prim de elemente este ciclic și că oricare dintre elementele lui diferite de $e$ îl generează.

Greșeli frecvente

• Confuzia dintre ordinul grupului și ordinul unui element. Ordinul grupului este $\mathrm{card}G$, un cardinal; ordinul unui element este $\mathrm{ord}(x)$, cel mai mic exponent nenul care dă neutrul. Legătura dintre ele este divizibilitatea, nu egalitatea.
• Credința că orice grup finit este ciclic. Grupul lui Klein și $S_3$ arată contrariul. Ciclicitatea e garantată numai când numărul de elemente este prim.
• Uitarea puterilor negative din definiție. $⟨x⟩$ conține și $x^{-1}$, $x^{-2}$; în cazul ordinului finit ele nu aduc elemente noi, dar în cazul infinit sunt jumătate din subgrup, iar la demonstrația criteriului de subgrup fără ele nu se poate.
• Calculul ordinului „din ochi" în ${\mathbb{Z}}_n$. Ordinul lui $\hat{k}$ nu este $n-k$ și nici $k$, ci $\frac{n}{(k,n)}$. Verifică întotdeauna cu cel mai mare divizor comun.
• Concluzia greșită din teorema lui Lagrange. Faptul că un număr $d$ divide $\mathrm{card}G$ nu garantează existența unui element de ordin $d$; teorema interzice ordinele care nu divid, dar nu le impune pe cele care divid.

Aplică acasă

1. Ceasul cu pași diferiți. Desenează un cadran cu $12$ ore și marchează, cu culori diferite, drumurile obținute cu pasul $2$, $3$, $5$ și $8$. Notează pentru fiecare câte ore atinge și compară numărul obținut cu $\frac{12}{(k,12)}$.

2. Tabelul ordinelor. Alcătuiește, pentru $({\mathbb{Z}}_9,+)$ și pentru $({\mathbb{Z}}_{16},+)$, tabelul cu ordinele tuturor claselor. Numără generatorii fiecărui grup și verifică dacă numărul lor coincide cu numărul întregilor mai mici decât $n$ și primi cu $n$.

3. Rădăcinile unității pe cerc. Desenează cele $6$ rădăcini de ordinul șase ale unității pe cercul unitate și, pentru fiecare, urmărește cu creionul puterile ei succesive. Scrie apoi care dintre ele generează tot grupul $U_6$ și verifică regula cu cel mai mare divizor comun.

Pentru părinți și profesori

Lecția strânge într-un singur enunț tot ce s-a construit în ultimele lecții de algebră: ordinul unui element, criteriul de subgrup și teorema lui Lagrange. Rezultatul central, $\mathrm{card}⟨x⟩=\mathrm{ord}(x)$, apare literal în programa de matematică-informatică (competența XII.CS.4.2) și e cerut la BAC M1 în forma „determinați subgrupul generat de …" sau „câte elemente are …". Demonstrația lui folosește teorema împărțirii cu rest, cunoscută din gimnaziu, și principiul minimului din definiția ordinului.

De verificat în caiet: (1) subgrupul generat este scris ca mulțime, cu acolade, nu ca număr; (2) ordinul unei clase din ${\mathbb{Z}}_n$ este calculat cu $\frac{n}{(k,n)}$, nu ghicit; (3) la Consecința 3 se citează explicit Consecința 1, nu se sare peste ea; (4) când se afirmă că un grup nu este ciclic, se listează toate ordinele. Întrebări de control: „Ce înseamnă că un grup e ciclic?"; „Câte elemente are $⟨x⟩$ dacă $\mathrm{ord}(x)=5$?"; „De ce grupul lui Klein nu e ciclic?"; „Câți generatori are $({\mathbb{Z}}_{12},+)$?".

Semn că elevul a înțeles: dintr-un grup cu $p$ elemente, $p$ prim, deduce singur toată structura, fără să vadă tabla operației; și, invers, în fața unui grup cu $4$ sau $6$ elemente nu presupune automat că e ciclic, ci calculează ordinele.

Întrebări frecvente

Ce este subgrupul generat de un element? Subgrupul generat de un element $x$ al unui grup este mulțimea tuturor puterilor întregi ale lui $x$, notată $⟨x⟩$. Ea conține elementul neutru, elementul însuși, toate puterile lui pozitive și inversele lor, formează un subgrup și este cel mai mic subgrup care îl conține pe $x$. Într-un grup notat aditiv, puterile devin multipli.

Care este formula pentru numărul de elemente al subgrupului generat? Formula este $\mathrm{card}⟨x⟩=\mathrm{ord}(x)$, valabilă pentru orice element de ordin finit dintr-un grup oarecare. Cu alte cuvinte, dacă ai calculat ordinul elementului, cunoști deja câte elemente are subgrupul pe care îl generează, fără să le mai numeri unul câte unul.

Ce este un grup ciclic? Un grup este ciclic dacă există un element al lui care, prin puterile sale, produce tot grupul; acel element se numește generator. Exemplele clasice sunt grupul aditiv al numerelor întregi, grupul aditiv al claselor de resturi modulo $n$ și grupul rădăcinilor de ordinul $n$ ale unității.

Cum se determină generatorii grupului claselor de resturi modulo n? Clasa $\hat{k}$ generează grupul $({\mathbb{Z}}_n,+)$ dacă și numai dacă $k$ și $n$ sunt prime între ele, adică $(k,n)=1$. Motivul este că ordinul clasei $\hat{k}$ se calculează cu formula $\frac{n}{(k,n)}$, iar acesta trebuie să fie egal cu $n$ pentru ca puterile să acopere tot grupul.

De ce un grup cu un număr prim de elemente este ciclic? Pentru că ordinul oricărui element divide numărul de elemente al grupului, iar un număr prim $p$ are doar divizorii $1$ și $p$. Un element diferit de neutru nu poate avea ordinul $1$, deci are ordinul $p$; subgrupul pe care îl generează are atunci $p$ elemente, adică este tot grupul.

Cum arăt că un grup nu este ciclic? Calculezi ordinele tuturor elementelor și arăți că niciunul nu este egal cu numărul de elemente al grupului. Dacă toate ordinele sunt strict mai mici, niciun element nu poate genera tot grupul, deci acesta nu este ciclic. Așa se procedează cu grupul lui Klein, unde ordinele sunt $1,2,2,2$.

Poate un element să genereze un subgrup infinit? Da, atunci când elementul are ordin infinit, adică nicio putere naturală nenulă a lui nu dă elementul neutru. În acest caz toate puterile întregi sunt distincte, iar subgrupul generat este infinit. Exemplele obișnuite sunt $⟨1⟩=\mathbb{Z}$ în grupul aditiv al întregilor și $⟨2⟩$ în grupul multiplicativ al raționalelor nenule.

Unde apare subgrupul generat în subiectele de Bacalaureat M1? Apare la Subiectul al II-lea, în problemele de algebră despre grupuri finite: se cere ordinul unui element, apoi subgrupul generat de el, apoi numărul generatorilor grupului. Cerințele sunt legate între ele, astfel încât rezultatul de la primul subpunct se folosește la următoarele două.