Subgrupurile întregilor și ale complexelor: pe scurt

Subgrupurile grupului aditiv al numerelor întregi sunt exact mulțimile $n\mathbb{Z}=\{nk\mid k\in \mathbb{Z}\}$, cu $n$ natural unic determinat: $0\mathbb{Z}=\{0\}$ și $1\mathbb{Z}=\mathbb{Z}$ sunt subgrupurile improprii. Demonstrația reciprocei este modelul de raționament al lecției: dacă $H\ne \{0\}$, se ia $n$ cel mai mic element strict pozitiv al lui $H$; multiplii lui sunt în $H$ prin stabilitate și opuse, iar orice $m\in H$ se împarte cu rest la $n$, restul $r=m-nq$ fiind tot în $H$ și mai mic decât $n$, deci nul.

Comparația se face prin divizibilitate, cu sensul contra-intuitiv: $n\mathbb{Z}\subseteq m\mathbb{Z}$ dacă și numai dacă $m\mid n$, deci $12\mathbb{Z}\subseteq 6\mathbb{Z}\subseteq 3\mathbb{Z}$. Mai departe, $n\mathbb{Z}\cap m\mathbb{Z}=[n,m]\mathbb{Z}$ (cel mai mic multiplu comun), iar $\{na+mb\mid a,b\in \mathbb{Z}\}=(n,m)\mathbb{Z}$ (cel mai mare divizor comun). În $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$, un subgrup finit are toate elementele de modul $1$, altfel puterile unui element ar da o infinitate de valori distincte; iar teorema de clasificare spune că subgrupurile finite sunt exact mulțimile $U_n$ ale rădăcinilor de ordinul $n$ ale unității, cu $U_n\subseteq U_m$ dacă și numai dacă $n\mid m$. Cercul unitate $\mathbb{U}$ este subgrup infinit și nu este niciun $U_m$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Intersecția $12\mathbb{Z}\cap 18\mathbb{Z}$ este:

   • a) $6\mathbb{Z}$
   • b) $36\mathbb{Z}$
   • c) $216\mathbb{Z}$
   • d) $30\mathbb{Z}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $36\mathbb{Z}$

   Elementele intersecției sunt numerele divizibile și cu $12$, și cu $18$, adică multiplii comuni; cel mai mic dintre cei strict pozitivi este $[12,18]=36$, deci intersecția este $36\mathbb{Z}$. Varianta $6\mathbb{Z}$ ia cel mai mare divizor comun, care corespunde mulțimii $\{12a+18b\}$; varianta $216\mathbb{Z}$ ia produsul, iar $30\mathbb{Z}$ suma.

2. Mulțimea $\{20a+14b\mid a,b\in \mathbb{Z}\}$ este egală cu:

   • a) $2\mathbb{Z}$
   • b) $140\mathbb{Z}$
   • c) $34\mathbb{Z}$
   • d) $\mathbb{Z}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $2\mathbb{Z}$

   Mulțimea este subgrup al lui $(\mathbb{Z},+)$, deci de forma $d\mathbb{Z}$, iar $d$ este cel mai mare divizor comun: $(20,14)=2$. Varianta $140\mathbb{Z}$ ia cel mai mic multiplu comun, care corespunde intersecției $20\mathbb{Z}\cap 14\mathbb{Z}$; varianta $34\mathbb{Z}$ adună numerele; iar $\mathbb{Z}$ ar cere ca cele două numere să fie prime între ele.

3. Care dintre următoarele mulțimi este subgrup al grupului $\left(U_{20},\cdot \right)$?

   • a) $U_8$
   • b) $U_{40}$
   • c) $U_{15}$
   • d) $U_{10}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $U_{10}$

   Avem $U_n\subseteq U_m$ dacă și numai dacă $n\mid m$. Dintre numerele date, doar $10$ divide $20$, deci doar $U_{10}$ este subgrup al lui $U_{20}$. Numerele $8$ și $15$ nu divid $20$, iar $U_{40}$ îl conține pe $U_{20}$, deci incluziunea merge în celălalt sens.