Subgrupurile grupului aditiv al numerelor întregi și ale grupului multiplicativ al numerelor complexe nenule

Lecția trecută ți-a dat un test rapid pentru întrebarea „este $H$ subgrup?"; lecția de față răspunde la o întrebare mult mai ambițioasă, una dintre puținele de la clasa a 12-a la care se poate da un răspuns complet: care sunt toate subgrupurile unui grup dat. Vom rezolva problema pentru două grupuri, iar rezultatul va fi de fiecare dată o listă închisă, fără „și altele". Subgrupurile grupului aditiv al numerelor întregi sunt exact mulțimile de multipli $n\mathbb{Z}$, iar subgrupurile finite ale grupului multiplicativ al numerelor complexe nenule sunt exact mulțimile $U_n$ ale rădăcinilor de ordinul $n$ ale unității.

Merită spus de la început de ce e rar așa ceva. Într-un grup oarecare, subgrupurile pot fi multe și dezordonate, iar clasificarea lor e o problemă grea. Cele două grupuri de aici sunt însă „ordonate" de câte o mărime care se poate compara: în $\mathbb{Z}$ comparăm numerele, în cercul unitate comparăm argumentele. Și în amândouă vom folosi exact același instrument, unul învățat la gimnaziu: împărțirea cu rest. Ideea aceasta, aplicată de două ori în două locuri complet diferite, este miezul lecției.

Ce vei învăța

• Vei ști să demonstrezi că $n\mathbb{Z}$ este subgrup al grupului aditiv al numerelor întregi, pentru orice $n\in \mathbb{N}$.
• Vei ști să demonstrezi teorema de clasificare: orice subgrup al lui $(\mathbb{Z},+)$ este de forma $n\mathbb{Z}$, cu $n$ unic determinat.
• Vei ști să compari două subgrupuri ale lui $\mathbb{Z}$ și să calculezi intersecția lor, folosind divizibilitatea și cel mai mic multiplu comun.
• Vei ști să recunoști cele mai importante subgrupuri ale lui $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$ și să demonstrezi că un subgrup finit al lui se află pe cercul unitate.
• Vei ști că subgrupurile finite ale lui $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$ sunt exact mulțimile $U_n$, și de ce $U_n$ este subgrup al lui $U_m$ tocmai când $n$ divide $m$.

Hai să descoperim împreună

1. Ce sunt subgrupurile grupului aditiv al numerelor întregi?

Subgrupurile grupului aditiv al numerelor întregi sunt exact mulțimile de forma $n\mathbb{Z}=\{nk\mid k\in \mathbb{Z}\}$, adică mulțimile multiplilor unui număr natural fixat $n$: pentru $n=0$ se obține subgrupul $\{0\}$, pentru $n=1$ se obține tot grupul $\mathbb{Z}$, iar pentru $n\ge 2$ se obțin toate subgrupurile proprii ale lui $\mathbb{Z}$.

Notația $n\mathbb{Z}$ se citește „multiplii lui $n$" și e cea folosită peste tot de aici înainte: $2\mathbb{Z}$ este mulțimea numerelor pare, $3\mathbb{Z}=\{\dots ,-6,-3,0,3,6,\dots \}$, iar $5\mathbb{Z}$ este mulțimea numerelor divizibile cu $5$.

Că fiecare astfel de mulțime este subgrup se verifică pe cele patru rânduri ale criteriului de la Subgrupul: definiție, criteriu și exemple, în notație aditivă. Într-adevăr, $n\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Z}$; mulțimea e nevidă, pentru că $0=n\cdot 0\in n\mathbb{Z}$; dacă $x=nk$ și $y=nl$ cu $k,l\in \mathbb{Z}$, atunci

$$x+y=nk+nl=n(k+l)\in n\mathbb{Z},-x=-(nk)=n(-k)\in n\mathbb{Z},$$

iar $k+l$ și $-k$ sunt numere întregi. Deci $n\mathbb{Z}$ este subgrup al lui $(\mathbb{Z},+)$.

Partea grea, și cea care dă valoare lecției, este afirmația reciprocă: nu mai există altele. Un subgrup al lui $\mathbb{Z}$ nu poate fi, de pildă, mulțimea numerelor prime, nici mulțimea pătratelor perfecte, nici vreo mulțime „stranie" care să nu fie o mulțime de multipli. Asta demonstrăm acum.

2. De ce orice subgrup al lui $(\mathbb{Z},+)$ este de forma $n\mathbb{Z}$?

Teoremă. Fie $H$ un subgrup al grupului $(\mathbb{Z},+)$. Atunci există un unic număr natural $n$ astfel încât $H=n\mathbb{Z}$.

Demonstrație. Cazul întâi: $H=\{0\}$. Atunci $H=0\cdot \mathbb{Z}=\{0\}$, deci $n=0$.

Cazul al doilea: $H$ conține un element $a\ne 0$. Cum $H$ e subgrup, el conține și $-a$; unul dintre numerele $a$ și $-a$ este strict pozitiv, deci $H$ conține numere naturale nenule. Mulțimea acestora este o submulțime nevidă a lui ${\mathbb{N}}^{\ast }$, deci are un cel mai mic element; îl notăm cu $n$. Vom arăta că $H=n\mathbb{Z}$, prin dublă incluziune.

Incluziunea $n\mathbb{Z}\subseteq H$. Din $n\in H$ și din stabilitate obținem $n+n=2n\in H$, apoi $2n+n=3n\in H$ și, din aproape în aproape, $kn\in H$ pentru orice $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ — un raționament prin inducție matematică, cu pasul „dacă $kn\in H$, atunci $kn+n=(k+1)n\in H$". Cum $H$ conține opusele, avem și $-kn\in H$; iar $0\in H$. Prin urmare orice multiplu întreg al lui $n$ este în $H$.

Incluziunea $H\subseteq n\mathbb{Z}$. Fie $m\in H$ oarecare. Împărțim $m$ la $n$ cu rest:

$$m=nq+r,q\in \mathbb{Z},0\le r<n.$$

Din incluziunea deja demonstrată avem $nq\in H$, deci și $-nq\in H$; atunci

$$r=m-nq=m+(-nq)\in H,$$

pentru că $H$ e stabil la adunare. Am obținut un element $r$ al lui $H$ cu $0\le r<n$. Dacă am avea $r>0$, atunci $r$ ar fi un număr natural nenul din $H$ mai mic decât $n$, ceea ce contrazice alegerea lui $n$ ca cel mai mic astfel de număr. Rămâne $r=0$, deci $m=nq\in n\mathbb{Z}$.

Cele două incluziuni dau $H=n\mathbb{Z}$.

Unicitatea. Dacă $n\mathbb{Z}=m\mathbb{Z}$ cu $n,m\in \mathbb{N}$, atunci $n\in m\mathbb{Z}$, deci $m\mid n$, și $m\in n\mathbb{Z}$, deci $n\mid m$. Două numere naturale care se divid reciproc sunt egale, deci $n=m$. $■$

Observă unde a fost folosită fiecare ipoteză: stabilitatea a dat incluziunea $n\mathbb{Z}\subseteq H$, existența opuselor a dat trecerea de la $a$ la $-a$ și de la $nq$ la $-nq$, iar buna ordonare a lui ${\mathbb{N}}^{\ast }$ (orice submulțime nevidă are cel mai mic element) a dat elementul $n$. Fără vreuna dintre ele demonstrația cade.

3. Cum se compară două subgrupuri ale lui $\mathbb{Z}$?

Acum că știm cine sunt toate subgrupurile, le putem compara între ele printr-o simplă condiție de divizibilitate.

Propoziție. Pentru $n,m\in \mathbb{N}$ avem $n\mathbb{Z}\subseteq m\mathbb{Z}$ dacă și numai dacă $m\mid n$.

Demonstrație. Dacă $m\mid n$, scriem $n=md$ cu $d\in \mathbb{Z}$; atunci orice element $nk$ al lui $n\mathbb{Z}$ se scrie $m(dk)\in m\mathbb{Z}$. Reciproc, dacă $n\mathbb{Z}\subseteq m\mathbb{Z}$, atunci în particular $n=n\cdot 1\in m\mathbb{Z}$, adică $n$ este multiplu de $m$, deci $m\mid n$. $■$

Atenție la sensul incluziunii, pentru că e contra-intuitiv: cu cât $n$ e mai mare, cu atât $n\mathbb{Z}$ e mai mic. Astfel $6\mathbb{Z}\subseteq 3\mathbb{Z}$, nu invers; iar $12\mathbb{Z}\subseteq 6\mathbb{Z}\subseteq 3\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Z}$.

Intersecția. Știm din lecția precedentă că intersecția a două subgrupuri e subgrup, deci $n\mathbb{Z}\cap m\mathbb{Z}=d\mathbb{Z}$ pentru un $d$ unic. Elementele intersecției sunt exact numerele divizibile și cu $n$, și cu $m$, adică multiplii comuni; cel mai mic dintre cei strict pozitivi este cel mai mic multiplu comun, deci

$$n\mathbb{Z}\cap m\mathbb{Z}=[n,m]\mathbb{Z}.$$

De exemplu $4\mathbb{Z}\cap 6\mathbb{Z}=12\mathbb{Z}$ și $3\mathbb{Z}\cap 5\mathbb{Z}=15\mathbb{Z}$.

Suma. Fie $K=\{na+mb\mid a,b\in \mathbb{Z}\}$. Mulțimea $K$ este subgrup: conține $0$, iar $(na+mb)+(n{a}^{\prime }+m{b}^{\prime })=n(a+a^{\prime })+m(b+b^{\prime })$ și $-(na+mb)=n(-a)+m(-b)$ au tot forma cerută. Deci $K=d\mathbb{Z}$ pentru un $d$ natural. Cum $n=n\cdot 1+m\cdot 0\in K$ și $m\in K$, avem $d\mid n$ și $d\mid m$, deci $d$ e divizor comun; iar $d\in K$ se scrie $d=na+mb$, deci orice divizor comun al lui $n$ și $m$ divide pe $d$. Prin urmare $d=(n,m)$, cel mai mare divizor comun, și

$$\{na+mb\mid a,b\in \mathbb{Z}\}=(n,m)\mathbb{Z}.$$

Concret: $\{4a+6b\mid a,b\in \mathbb{Z}\}=2\mathbb{Z}$, iar $\{3a+5b\mid a,b\in \mathbb{Z}\}=\mathbb{Z}$, pentru că $(3,5)=1$ — de aici și faptul, util în exerciții, că un subgrup care conține două numere prime între ele este întreg $\mathbb{Z}$.

4. Ce subgrupuri are grupul multiplicativ al numerelor complexe nenule?

Trecem la $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$, grupul numerelor complexe nenule cu înmulțirea. Aici elementul neutru este numărul $1$, iar simetricul lui $z$ este $z^{-1}=\frac{1}{z}$; litera $e$ nu apare în această lecție decât ca nume generic al elementului neutru, iar numărul lui Euler nu intervine deloc.

Subgrupuri se găsesc imediat, câte vrei:

• lanțul ${\mathbb{Q}}^{\ast }\subseteq {\mathbb{R}}^{\ast }\subseteq {\mathbb{C}}^{\ast }$, în care fiecare mulțime e subgrup al următoarei;
• ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$, numerele reale strict pozitive, și ${\mathbb{Q}}_{+}^{\ast }$;
• $\{-1,1\}$, cu două elemente;
• mulțimea $\{2^k\mid k\in \mathbb{Z}\}$, infinită;
• cercul unitate $\mathbb{U}=\{z\in {\mathbb{C}}^{\ast }\mid |z|=1\}$ — litera $\mathbb{U}$, fără indice, e rezervată acestei mulțimi și nu se confundă nici cu $U_n$, nici cu grupul claselor inversabile $U({\mathbb{Z}}_n,\cdot )$: din $|zw|=|z|\cdot |w|$ și $\left|\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{|z|}$, proprietăți demonstrate la Modulul unui număr complex, rezultă că $\mathbb{U}$ e stabil la înmulțire și la inversare;
• pentru fiecare $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, mulțimea rădăcinilor de ordinul $n$ ale unității, $$U_n=\{z\in \mathbb{C}\mid z^n=1\}=\left\{{\epsilon }_k=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}|k=0,1,\dots ,n-1\right\},$$ studiată la Rădăcinile unității și poligoanele regulate și reluată ca grup la Grupul rădăcinilor de ordinul n ale unității.

Că $U_n$ e subgrup se vede din criteriu într-o linie: dacă $z^n=1$ și $w^n=1$, atunci $(zw{)}^n=z^n{w}^n=1$ și ${\left(\frac{1}{z}\right)}^n=\frac{1}{z^n}=1$. Iar $U_n$ este finit, cu $\mathrm{card}{U}_n=n$.

Lista subgrupurilor lui $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$ este, în întregul ei, mult prea bogată ca să poată fi scrisă. Dar dacă ne uităm numai la cele finite, surpriza e că le-am scris deja pe toate.

5. De ce un subgrup finit stă pe cercul unitate?

Propoziție. Dacă $H$ este un subgrup finit al lui $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$, atunci $|z|=1$ pentru orice $z\in H$.

Demonstrație. Fie $z\in H$. Prin stabilitate, toate puterile $z,z^2,z^3,\dots$ sunt în $H$. Modulele lor sunt $|z^k|=|z{|}^k$. Dacă am avea $|z|>1$, șirul $|z{|}^k$ ar fi strict crescător, deci puterile $z^k$ ar fi două câte două distincte și $H$ ar avea o infinitate de elemente — contradicție cu ipoteza că $H$ e finit. Dacă am avea $|z|<1$, șirul $|z{|}^k$ ar fi strict descrescător și am ajunge la aceeași contradicție. Rămâne $|z|=1$. $■$

Consecință. Într-un subgrup finit $H$, orice element este o rădăcină a unității: mulțimea puterilor $z,z^2,z^3,\dots$ e cuprinsă în $H$, care e finit, deci există $i<j$ cu $z^i=z^j$; simplificând cu $z^i$ (posibil, pentru că $z$ e inversabil), obținem $z^{j-i}=1$ cu $j-i\ge 1$.

Așadar un subgrup finit al lui $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$ este format din puncte de pe cercul unitate, fiecare rădăcină a unității de un anumit ordin. Ne rămâne să arătăm că punctele acestea sunt așezate la distanțe unghiulare egale, adică formează exact un $U_m$.

6. Teorema de clasificare a subgrupurilor finite ale lui $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$

Teoremă. Subgrupurile finite ale grupului $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$ sunt exact mulțimile $U_m$, cu $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Demonstrație. Am văzut că fiecare $U_m$ este subgrup finit. Fie acum $H$ un subgrup finit oarecare. Dacă $H=\{1\}$, atunci $H=U_1$ și am terminat. Presupunem $H\ne \{1\}$.

Din propoziția anterioară, toate elementele lui $H$ se află pe cercul unitate, deci fiecare $z\in H$ se scrie în forma trigonometrică $z=\cos \theta +i\sin \theta$, cu argumentul redus $\theta \in [0,2\pi )$, ca la Forma trigonometrică a unui număr complex. Singurul element de argument $0$ este $1$. Cum $H$ e finit și are și alte elemente în afară de $1$, mulțimea argumentelor strict pozitive ale elementelor lui $H$ este finită și nevidă, deci are un cel mai mic element; fie $\epsilon \in H$ elementul de argument minim și fie $\alpha \in (0,2\pi )$ acest argument.

Pasul 1: $\alpha =\frac{2\pi }{m}$ pentru un $m \in \mathbb{N}^{}$,$m \ge 2$.\ast Fie$m$celmaimicnum\breve{a}rnaturalnenulcu$m\alpha \ge 2\pi$;elexist\breve{a},pentruc\breve{a}multipliilui$\alpha$dep\breve{a}șescoric\hat{a}nd$2\pi$.Atunci$(m-1)\alpha < 2\pi$,deci$m\alpha < 2\pi + \alpha$,adic\breve{a}$m\alpha - 2\pi \in [0, \alpha)$.Dar$\varepsilon^{m} \in H$,iarargumentulluiredusestetocmai$m\alpha - 2\pi$.Dac\breve{a}acestargumentarfistrictpozitiv,arfiunargumentdin$H$maimicdec\hat{a}t$\alpha$—contradicțiecuminimalitatealui$\alpha$.Deci$m\alpha - 2\pi = 0$,adic\breve{a}$\alpha = \dfrac{2\pi}{m}$,șiatunci$\varepsilon = \cos\dfrac{2\pi}{m} + i\sin\dfrac{2\pi}{m}$.

Pasul 2: $U_m\subseteq H$. Puterile ${\epsilon }^0=1,{\epsilon }^1,\dots ,{\epsilon }^{m-1}$ sunt toate în $H$ și au argumentele $0,\frac{2\pi }{m},\dots ,\frac{2(m-1)\pi }{m}$, adică sunt exact cele $m$ elemente ale lui $U_m$.

Pasul 3: $H\subseteq U_m$. Fie $z\in H$, cu argumentul redus $\theta \in [0,2\pi )$. Împărțim $\theta$ la $\alpha$: există $q\in \mathbb{N}$ și $\rho$ cu

$$\theta =q\alpha +\rho ,0\le \rho <\alpha .$$

Numărul complex $z\cdot {\epsilon }^{-q}$ este în $H$ (produs de elemente din $H$) și are argumentul redus $\theta -q\alpha =\rho \in [0,\alpha )$. Din minimalitatea lui $\alpha$ rezultă $\rho =0$, deci $z={\epsilon }^q\in U_m$.

Din pașii 2 și 3 obținem $H=U_m$. $■$

Din teoremă și din propoziția de comparare a lui $U_n$ cu $U_m$ rezultă și modul în care subgrupurile finite se cuprind unele pe altele: $U_n\subseteq U_m$ dacă și numai dacă $n\mid m$. De pildă $U_2$ și $U_3$ sunt subgrupuri ale lui $U_6$, dar $U_4$ nu este subgrup al lui $U_6$, pentru că $4$ nu divide $6$.

7. De ce funcționează aceeași idee în două grupuri diferite?

Cele două teoreme sunt, în fond, aceeași demonstrație scrisă de două ori. În ambele cazuri am ales elementul „cel mai mic" după o mărime potrivită, am arătat că toate elementele subgrupului sunt multipli ai lui, și am folosit împărțirea cu rest pentru a exclude orice altceva. Tabelul de mai jos pune față în față cele două drumuri:

Diferența esențială e că, în $\mathbb{Z}$, ipoteza de finitudine nu a fost necesară — clasificarea acoperă toate subgrupurile, inclusiv cele infinite. În $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$, ipoteza e obligatorie: cercul unitate $\mathbb{U}$ însuși e un subgrup infinit care nu este niciun $U_m$, iar ${\mathbb{Q}}^{\ast }$ e un altul.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Intersecții de subgrupuri ale lui $\mathbb{Z}$

Determinați numărul natural $d$ pentru care: a) $3\mathbb{Z}\cap 5\mathbb{Z}=d\mathbb{Z}$; b) $4\mathbb{Z}\cap 6\mathbb{Z}=d\mathbb{Z}$; c) $6\mathbb{Z}\cap 12\mathbb{Z}=d\mathbb{Z}$.

Rezolvare. Intersecția este mulțimea multiplilor comuni, iar cel mai mic multiplu comun strict pozitiv dă numărul căutat.

a) $[3,5]=15$, deci $d=15$: $3\mathbb{Z}\cap 5\mathbb{Z}=15\mathbb{Z}$.

b) $[4,6]=12$, deci $d=12$. Verificare pe un element: $24$ e divizibil și cu $4$, și cu $6$, și e multiplu de $12$; iar $8$ e în $4\mathbb{Z}$, dar nu în $6\mathbb{Z}$.

c) Cum $12\mathbb{Z}\subseteq 6\mathbb{Z}$ (fiindcă $6\mid 12$), intersecția e chiar $12\mathbb{Z}$, deci $d=12$.

Exemplul 2 — Un subgrup care conține două numere date

Fie $H$ un subgrup al lui $(\mathbb{Z},+)$ cu proprietatea că $12\in H$ și $18\in H$. Arătați că $6\in H$ și determinați cel mai mic subgrup cu această proprietate.

Rezolvare. Din stabilitate și din existența opuselor, $H$ conține $18+(-12)=6$. Prin urmare $H$ conține $6\mathbb{Z}$.

Din teorema de clasificare, $H=n\mathbb{Z}$ pentru un $n$ natural. Din $12\in n\mathbb{Z}$ și $18\in n\mathbb{Z}$ rezultă $n\mid 12$ și $n\mid 18$, deci $n$ este divizor comun al lor: $n\in \{1,2,3,6\}$. Cel mai mic subgrup, adică cel corespunzător celui mai mare $n$, este $6\mathbb{Z}$ — și el chiar conține $12$ și $18$. Rezultatul e în acord cu formula din lecție: $\{12a+18b\mid a,b\in \mathbb{Z}\}=(12,18)\mathbb{Z}=6\mathbb{Z}$.

Exemplul 3 — Subgrupurile care conțin un subgrup dat

Determinați toate subgrupurile lui $(\mathbb{Z},+)$ care conțin $12\mathbb{Z}$.

Rezolvare. Orice subgrup este de forma $n\mathbb{Z}$, iar $12\mathbb{Z}\subseteq n\mathbb{Z}$ dacă și numai dacă $n\mid 12$. Divizorii naturali ai lui $12$ sunt $1,2,3,4,6,12$, deci subgrupurile căutate sunt

$$\mathbb{Z},2\mathbb{Z},3\mathbb{Z},4\mathbb{Z},6\mathbb{Z},12\mathbb{Z},$$

în total șase. Observă că $n=0$ nu convine: $0\mathbb{Z}=\{0\}$ nu conține $12$.

Exemplul 4 — Care $U_n$ sunt subgrupuri ale lui $U_{12}$?

Determinați toate subgrupurile finite ale lui $(\mathbb{C}^{}, \cdot)$conținute\hat{ı}n$U_{12}$.*

Rezolvare. Un subgrup finit este, conform teoremei de clasificare, de forma $U_n$; iar $U_n\subseteq U_{12}$ dacă și numai dacă $n\mid 12$. Divizorii lui $12$ sunt $1,2,3,4,6,12$, deci subgrupurile căutate sunt

$$U_1=\{1\},U_2=\{1,-1\},U_3,U_4=\{1,i,-1,-i\},U_6,U_{12},$$

cu $1,2,3,4,6$, respectiv $12$ elemente. Toate aceste numere divid $12$ — un fapt care nu e o coincidență și pe care îl vei demonstra la Grupuri finite; teorema lui Lagrange.

Exemplul 5 — Un element și subgrupurile finite care îl conțin

Fie $z=\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}$. Arătați că $z^8=1$ și $z^4=-1$, apoi determinați cel mai mic subgrup finit al lui $(\mathbb{C}^{}, \cdot)$care\hat{ı}lconținepe$z$.*

Rezolvare. Scriem $z$ în formă trigonometrică: $|z|=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=1$, iar argumentul este $\frac{\pi }{4}$, pentru că $\cos \frac{\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Deci $z=\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}$ și, ridicând la putere,

$$z^4=\cos \pi +i\sin \pi =-1,z^8=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1.$$

Prin urmare $z\in U_8$. Un subgrup finit care îl conține pe $z$ este de forma $U_m$; din $z\in U_m$ rezultă $z^m=1$, adică $\cos \frac{m\pi }{4}+i\sin \frac{m\pi }{4}=1$, ceea ce cere $8\mid m$. Cel mai mic astfel de subgrup este deci $U_8$, cu opt elemente.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră mulțimile $H=6\mathbb{Z}\cap 8\mathbb{Z}$ și $K=\{6a+8b\mid a,b\in \mathbb{Z}\}$. Este un exercițiu în stilul Subiectului al II-lea. a) Arătați că $H$ este subgrup al grupului $(\mathbb{Z},+)$ și determinați numărul natural $n$ pentru care $H=n\mathbb{Z}$. b) Arătați că $K$ este subgrup al lui $(\mathbb{Z},+)$ și determinați numărul natural $p$ pentru care $K=p\mathbb{Z}$. c) Determinați toate subgrupurile lui $(\mathbb{Z},+)$ care conțin mulțimea $H$ și sunt conținute în $K$.

Rezolvare. a) $6\mathbb{Z}$ și $8\mathbb{Z}$ sunt subgrupuri, iar intersecția a două subgrupuri este subgrup, conform propoziției din lecția precedentă. Elementele lui $H$ sunt multiplii comuni ai lui $6$ și $8$, iar $[6,8]=24$, deci $H=24\mathbb{Z}$ și $n=24$.

b) $0=6\cdot 0+8\cdot 0\in K$, deci $K\ne \varnothing$. Dacă $x=6a+8b$ și $y=6a^{\prime }+8b^{\prime }$, atunci $x+y=6(a+a^{\prime })+8(b+b^{\prime })\in K$ și $-x=6(-a)+8(-b)\in K$; criteriul de subgrup e verificat. Cum $K=p\mathbb{Z}$ cu $p=(6,8)=2$, avem $K=2\mathbb{Z}$. (Verificare directă: $2=6\cdot (-1)+8\cdot 1\in K$, iar orice $6a+8b$ e par.)

c) Căutăm subgrupurile $m\mathbb{Z}$ cu $24\mathbb{Z}\subseteq m\mathbb{Z}\subseteq 2\mathbb{Z}$. Prima incluziune cere $m\mid 24$, a doua cere $2\mid m$. Divizorii pari ai lui $24$ sunt $2,4,6,8,12,24$, deci subgrupurile căutate sunt

$$2\mathbb{Z},4\mathbb{Z},6\mathbb{Z},8\mathbb{Z},12\mathbb{Z},24\mathbb{Z},$$

în total șase.

Să exersăm

La orice exercițiu despre subgrupurile lui $\mathbb{Z}$, prima mișcare este să scrii subgrupul sub forma $n\mathbb{Z}$; de acolo, totul devine divizibilitate. La subgrupurile finite ale lui $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$, prima mișcare este să scrii elementele în formă trigonometrică.

1. Arată, pe cele patru rânduri ale criteriului, că $7\mathbb{Z}$ este subgrup al lui $(\mathbb{Z},+)$.

2. Determină $d$ natural cu $4\mathbb{Z}\cap 10\mathbb{Z}=d\mathbb{Z}$ și scrie trei elemente ale intersecției.

3. Care dintre incluziunile $6\mathbb{Z}\subseteq 3\mathbb{Z}$ și $3\mathbb{Z}\subseteq 6\mathbb{Z}$ este adevărată? Justifică.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Mulțimea numerelor întregi impare este subgrup al lui $(\mathbb{Z},+)$."

5. Determină toate subgrupurile lui $(\mathbb{Z},+)$ care conțin $18\mathbb{Z}$.

6. Arată că $\{5a+7b\mid a,b\in \mathbb{Z}\}=\mathbb{Z}$ și scrie o pereche $(a,b)$ pentru care $5a+7b=1$.

7. Scrie elementele lui $U_6$ în formă trigonometrică și verifică pe listă faptul că $U_3\subseteq U_6$.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „$U_4$ este subgrup al lui $U_6$."

9. Arată că ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ este subgrup al lui $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$ și explică de ce el nu este de forma $U_m$.

10. Fie $z=\cos \frac{2\pi }{5}+i\sin \frac{2\pi }{5}$. Arată că $z\in U_5$ și că $z\notin U_m$ pentru $m\in \{1,2,3,4\}$.

11. Arată că cercul unitate $\mathbb{U}=\{z\in {\mathbb{C}}^{\ast }\mid |z|=1\}$ este subgrup al lui $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$ și că are o infinitate de elemente.

12. Arată că $2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}$ nu este subgrup al lui $(\mathbb{Z},+)$, indicând perechea de elemente care „iese".

13. (Problemă aplicată.) Două becuri de semnalizare clipesc la fiecare $4$ secunde, respectiv la fiecare $6$ secunde, iar la momentul $0$ clipesc împreună. Descrie mulțimea momentelor (măsurate în secunde, cu semn) la care clipesc simultan și scrie-o sub forma $n\mathbb{Z}$.

14. Determină toate subgrupurile finite ale lui $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$ conținute în $U_{18}$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Fie $H$ un subgrup al lui $(\mathbb{Z},+)$ cu $10\in H$ și $15\in H$. Arată că $5\in H$, determină toate valorile posibile ale numărului $n$ pentru care $H=n\mathbb{Z}$ și precizează cel mai mic astfel de subgrup.

16. Arată că $U_2=\{-1,1\}$ este singurul subgrup cu două elemente al lui $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$.

17. Scrie sub forma $n\mathbb{Z}$ mulțimea numerelor întregi divizibile și cu $9$, și cu $15$.

18. (Provocare.) Arată că $\mathbb{Z}$ este subgrup al lui $(\mathbb{Q},+)$, dar că nu există niciun $q\in \mathbb{Q}$ cu $\mathbb{Z}=q\mathbb{Q}$. Care pas al demonstrației teoremei de clasificare nu mai poate fi făcut în $\mathbb{Q}$?

Răspunsuri și explicații

1. $7\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Z}$; $0=7\cdot 0\in 7\mathbb{Z}$, deci mulțimea e nevidă; $7k+7l=7(k+l)$ cu $k+l\in \mathbb{Z}$; $-(7k)=7(-k)$ cu $-k\in \mathbb{Z}$. Deci $7\mathbb{Z}$ e subgrup.

2. $[4,10]=20$, deci $d=20$ și $4\mathbb{Z}\cap 10\mathbb{Z}=20\mathbb{Z}$; trei elemente: $-40$, $0$, $60$.

3. Adevărată este $6\mathbb{Z}\subseteq 3\mathbb{Z}$, pentru că $3\mid 6$: orice multiplu de $6$ e multiplu de $3$. Incluziunea inversă e falsă: $3\in 3\mathbb{Z}$, dar $3\notin 6\mathbb{Z}$.

4. Fals. Mulțimea numerelor impare nu conține elementul neutru $0$ (care e par) și nici nu e parte stabilă: $1+3=4$ e par. Oricare dintre cele două motive e suficient.

5. Sunt subgrupurile $n\mathbb{Z}$ cu $n\mid 18$, adică $\mathbb{Z}$, $2\mathbb{Z}$, $3\mathbb{Z}$, $6\mathbb{Z}$, $9\mathbb{Z}$ și $18\mathbb{Z}$ — în total șase.

6. Mulțimea este subgrup, deci egală cu $(5,7)\mathbb{Z}=1\cdot \mathbb{Z}=\mathbb{Z}$, pentru că $5$ și $7$ sunt prime între ele. O pereche concretă: $a=3$, $b=-2$, fiindcă $5\cdot 3+7\cdot (-2)=15-14=1$.

7. $U_6=\left\{\cos \frac{2k\pi }{6}+i\sin \frac{2k\pi }{6}|k=0,\dots ,5\right\}$, adică $1$, $\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$, $-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$, $-1$, $-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$. Elementele lui $U_3$ sunt cele cu $k\in \{0,2,4\}$: $1$, $-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$, $-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$. Deci $U_3\subseteq U_6$, în acord cu $3\mid 6$.

8. Fals. Ar trebui ca $4\mid 6$, ceea ce e neadevărat. Concret, $i\in U_4$, dar $i^6=(i^2{)}^3=-1\ne 1$, deci $i\notin U_6$.

9. Pentru $x,y>0$ reale avem $xy>0$ și $\frac{1}{x}>0$, iar $1\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$; deci criteriul e verificat. Mulțimea nu e de forma $U_m$ pentru că are o infinitate de elemente, în timp ce fiecare $U_m$ are exact $m$ elemente. (Se vede și direct: $2\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$, dar $2^m\ne 1$ pentru orice $m\ge 1$.)

10. $z^5=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1$, deci $z\in U_5$. Pentru $m\le 4$, $z^m=\cos \frac{2m\pi }{5}+i\sin \frac{2m\pi }{5}$, iar $\frac{2m\pi }{5}$ nu e multiplu de $2\pi$ (ar trebui $5\mid m$), deci $z^m\ne 1$ și $z\notin U_m$.

11. $|1|=1$, deci $1\in \mathbb{U}$; din $|zw|=|z|\cdot |w|=1$ și $\left|\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{|z|}=1$ rezultă stabilitatea și închiderea la inverse. Mulțimea e infinită: pentru fiecare $\theta \in [0,2\pi )$ punctul $\cos \theta +i\sin \theta$ e în $\mathbb{U}$, iar valorile lui $\theta$ sunt o infinitate.

12. $2\in 2\mathbb{Z}$ și $3\in 3\mathbb{Z}$, dar $2+3=5$ nu e nici par, nici multiplu de $3$, deci $5\notin 2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}$. Reuniunea nu e parte stabilă, deci nu e subgrup.

13. Momentele la care clipește primul bec formează $4\mathbb{Z}$, cele ale celui de-al doilea formează $6\mathbb{Z}$; clipesc simultan la momentele din $4\mathbb{Z}\cap 6\mathbb{Z}=12\mathbb{Z}$, adică din $12$ în $12$ secunde.

14. Sunt $U_n$ cu $n\mid 18$: $U_1$, $U_2$, $U_3$, $U_6$, $U_9$ și $U_{18}$, cu $1,2,3,6,9$, respectiv $18$ elemente.

15. $H$ conține $15+(-10)=5$. Din teorema de clasificare $H=n\mathbb{Z}$, iar din $10,15\in n\mathbb{Z}$ rezultă $n\mid 10$ și $n\mid 15$, deci $n\in \{1,5\}$. Cele două subgrupuri posibile sunt $\mathbb{Z}$ și $5\mathbb{Z}$, iar cel mai mic este $5\mathbb{Z}$.

16. Un subgrup cu două elemente este finit, deci, conform teoremei, este $U_m$ pentru un $m$; cum $\mathrm{card}{U}_m=m$, avem $m=2$, adică subgrupul e $U_2=\{1,-1\}$. Verificare: $(-1)(-1)=1$ și $(-1{)}^{-1}=-1$.

17. Numerele divizibile și cu $9$, și cu $15$ sunt multiplii comuni ai lor, adică multiplii lui $[9,15]=45$. Mulțimea este $45\mathbb{Z}$.

18. $\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Q}$, $0\in \mathbb{Z}$, suma și opusul a numere întregi sunt întregi, deci $\mathbb{Z}$ e subgrup al lui $(\mathbb{Q},+)$. Dacă $q\ne 0$, atunci $q\mathbb{Q}=\mathbb{Q}$ (orice rațional $x$ se scrie $q\cdot \frac{x}{q}$), iar dacă $q=0$, atunci $q\mathbb{Q}=\{0\}$; niciuna dintre cele două mulțimi nu este $\mathbb{Z}$. Pasul care nu se mai poate face este alegerea celui mai mic element strict pozitiv: în $\mathbb{Q}$, între $0$ și orice număr pozitiv $x$ se află $\frac{x}{2}$, deci nu există un cel mai mic element strict pozitiv.

De reținut

• Mulțimea $n\mathbb{Z}=\{nk\mid k\in \mathbb{Z}\}$ este subgrup al grupului aditiv al numerelor întregi pentru orice $n\in \mathbb{N}$, iar $0\mathbb{Z}=\{0\}$ și $1\mathbb{Z}=\mathbb{Z}$ sunt cele două subgrupuri improprii.
• Teorema de clasificare spune că orice subgrup al lui $(\mathbb{Z},+)$ este de forma $n\mathbb{Z}$, cu $n$ natural unic determinat, iar demonstrația ei folosește cel mai mic element strict pozitiv al subgrupului și împărțirea cu rest.
• Comparația se face prin divizibilitate: $n\mathbb{Z}\subseteq m\mathbb{Z}$ dacă și numai dacă $m\mid n$, iar $n\mathbb{Z}\cap m\mathbb{Z}=[n,m]\mathbb{Z}$ și $\{na+mb\mid a,b\in \mathbb{Z}\}=(n,m)\mathbb{Z}$.
• Un subgrup finit al lui $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$ are toate elementele de modul $1$, pentru că altfel puterile unui element de modul diferit de $1$ ar da o infinitate de elemente distincte.
• Subgrupurile finite ale lui $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$ sunt exact mulțimile $U_n$ ale rădăcinilor de ordinul $n$ ale unității, iar $U_n\subseteq U_m$ dacă și numai dacă $n$ divide $m$.

Greșeli frecvente

• Inversarea sensului incluziunii. Se scrie „$3\mathbb{Z}\subseteq 6\mathbb{Z}$ pentru că $3<6$". Corect: $n\mathbb{Z}\subseteq m\mathbb{Z}$ înseamnă $m\mid n$, deci $6\mathbb{Z}\subseteq 3\mathbb{Z}$ — cu cât numărul e mai mare, cu atât mulțimea multiplilor lui e mai mică.
• Confuzia dintre intersecție și sumă. Intersecția lui $n\mathbb{Z}$ cu $m\mathbb{Z}$ dă cel mai mic multiplu comun, iar mulțimea $\{na+mb\}$ dă cel mai mare divizor comun. Corect: se reține că intersecția e mai mică decât fiecare dintre cele două, deci îi corespunde un număr mai mare.
• Uitarea cazului $H=\{0\}$. Demonstrația teoremei începe cu acest caz separat, pentru că altfel „cel mai mic element strict pozitiv" nu ar exista. Corect: se tratează întâi $H=\{0\}$, cu $n=0$, apoi cazul general.
• Aplicarea clasificării lui $U_n$ la subgrupuri infinite. Cercul unitate și ${\mathbb{Q}}^{\ast }$ sunt subgrupuri ale lui $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$ care nu sunt de forma $U_m$. Corect: teorema clasifică numai subgrupurile finite, iar ipoteza de finitudine se citează de fiecare dată.
• Ideea că $U_n$ e subgrup al lui $U_m$ ori de câte ori $n<m$. Fals: $U_4$ nu e subgrup al lui $U_6$, deși $4<6$. Corect: condiția e $n\mid m$, iar contraexemplul de reținut este $i\in U_4$ cu $i^6=-1\ne 1$.

Aplică acasă

1. Sita multiplilor. Scrie pe o foaie numerele întregi de la $-20$ la $20$ și încercuiește, cu trei culori, elementele lui $2\mathbb{Z}$, $3\mathbb{Z}$ și $6\mathbb{Z}$. Verifică vizual cele două incluziuni $6\mathbb{Z}\subseteq 2\mathbb{Z}$ și $6\mathbb{Z}\subseteq 3\mathbb{Z}$, apoi găsește pe desen mulțimea $2\mathbb{Z}\cap 3\mathbb{Z}$ și scrie-o sub forma $n\mathbb{Z}$.

2. Ceasul complex. Desenează cercul unitate și marchează cele douăsprezece vârfuri ale lui $U_{12}$, ca pe un cadran de ceas. Colorează separat vârfurile lui $U_2$, $U_3$, $U_4$ și $U_6$ și observă că fiecare dintre aceste mulțimi cade exact pe vârfurile unui poligon regulat. Explică în două fraze de ce $U_5$ nu apare pe desen.

3. Vânătoarea de contraexemple. Găsește trei submulțimi ale lui $\mathbb{Z}$ care nu sunt subgrupuri și, pentru fiecare, spune care condiție cade: lipsa lui $0$, lipsa stabilității sau lipsa opuselor. Apoi arată că fiecare dintre ele este inclusă într-un subgrup $n\mathbb{Z}$ potrivit.

Pentru părinți și profesori

Lecția are, spre deosebire de majoritatea lecțiilor de algebră din clasa a XII-a, două teoreme de clasificare complete, cu demonstrații. Ele sunt valoroase pedagogic pentru că arată același mecanism — „alege elementul minim, apoi împarte cu rest" — în două contexte fără nicio legătură aparentă. Programa cere explicit identificarea subgrupurilor grupului aditiv al numerelor întregi, iar rezultatul despre $U_n$ pregătește comparațiile dintre tablele grupurilor finite, care vin peste câteva lecții.

De verificat în caiet: (1) demonstrația teoremei din $\mathbb{Z}$ începe cu cazul $H=\{0\}$; (2) se spune explicit unde a fost folosită împărțirea cu rest și de ce restul nu poate fi strict pozitiv; (3) la comparații, sensul incluziunii e cel corect, $n\mathbb{Z}\subseteq m\mathbb{Z}⟺m\mid n$; (4) la $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$ se citează de fiecare dată ipoteza de finitudine. Întrebări de control: „Cine sunt toate subgrupurile lui $\mathbb{Z}$?"; „Ce este $4\mathbb{Z}\cap 6\mathbb{Z}$?"; „De ce un subgrup finit din ${\mathbb{C}}^{\ast }$ stă pe cercul unitate?"; „Când e $U_n$ subgrup al lui $U_m$?".

La BAC M1, subiectele nu cer demonstrația teoremei, ci consecințele ei: „arătați că $H$ este subgrup și determinați $n$ cu $H=n\mathbb{Z}$", „determinați subgrupurile care conțin $12\mathbb{Z}$", „arătați că un subgrup care conține $10$ și $15$ conține $5$". Toate se rezolvă în două-trei rânduri dacă elevul are reflexul de a traduce imediat în divizibilitate. Semn că a înțeles: în fața unui subgrup necunoscut al lui $\mathbb{Z}$, caută cel mai mic element strict pozitiv al lui.

Întrebări frecvente

Care sunt toate subgrupurile grupului aditiv al numerelor întregi? Sunt exact mulțimile $n\mathbb{Z}=\{nk\mid k\in \mathbb{Z}\}$, cu $n$ număr natural, adică mulțimile multiplilor unui număr fixat. Pentru $n=0$ se obține $\{0\}$, pentru $n=1$ se obține tot $\mathbb{Z}$, iar pentru $n\ge 2$ se obțin subgrupurile proprii. Numărul $n$ este unic determinat de subgrup.

Cum se demonstrează că orice subgrup al lui $\mathbb{Z}$ este de forma $n\mathbb{Z}$? Dacă subgrupul e $\{0\}$, luăm $n=0$. Altfel, el conține numere naturale nenule; fie $n$ cel mai mic dintre ele. Multiplii lui $n$ sunt în subgrup prin stabilitate și prin opuse. Reciproc, orice element $m$ se împarte cu rest la $n$, iar restul, fiind și el în subgrup și mai mic decât $n$, este obligatoriu zero.

Când este $n\mathbb{Z}$ inclus în $m\mathbb{Z}$? Exact atunci când $m$ divide $n$. De pildă $12\mathbb{Z}\subseteq 6\mathbb{Z}\subseteq 3\mathbb{Z}$, pentru că $3\mid 6\mid 12$. Regula pare inversată față de intuiție, dar are un motiv simplu: cu cât pasul e mai mare, cu atât punctele marcate pe axă sunt mai rare, deci mulțimea are mai puține elemente.

Cât este intersecția a două subgrupuri ale lui $\mathbb{Z}$? Intersecția $n\mathbb{Z}\cap m\mathbb{Z}$ este mulțimea multiplilor comuni ai lui $n$ și $m$, adică $[n,m]\mathbb{Z}$, unde $[n,m]$ este cel mai mic multiplu comun. De exemplu $4\mathbb{Z}\cap 6\mathbb{Z}=12\mathbb{Z}$. Rezultatul e tot subgrup, pentru că intersecția a două subgrupuri este întotdeauna subgrup.

Ce sunt subgrupurile finite ale grupului numerelor complexe nenule? Sunt exact mulțimile $U_n$ ale rădăcinilor de ordinul $n$ ale unității, adică vârfurile poligoanelor regulate înscrise în cercul unitate, cu un vârf în punctul $1$. Fiecare $U_n$ are $n$ elemente. Subgrupurile infinite, precum cercul unitate sau ${\mathbb{Q}}^{\ast }$, nu intră în această clasificare.

De ce un subgrup finit al lui ${\mathbb{C}}^{\ast }$ are toate elementele de modul 1? Pentru că puterile unui element $z$ rămân în subgrup, iar modulele lor sunt $|z{|}^k$. Dacă modulul ar fi mai mare decât $1$, șirul acestor module ar fi strict crescător; dacă ar fi mai mic, strict descrescător. În ambele cazuri puterile ar fi distincte două câte două, deci subgrupul ar fi infinit.

Când este $U_n$ subgrup al lui $U_m$? Exact atunci când $n$ divide $m$. Astfel $U_3$ și $U_2$ sunt subgrupuri ale lui $U_6$, dar $U_4$ nu este, pentru că $4$ nu divide $6$. Verificarea directă: dacă $z^n=1$ și $m=nd$, atunci $z^m=(z^n{)}^d=1$, deci $z\in U_m$.

Unde apar subgrupurile lui $\mathbb{Z}$ în subiectele de Bacalaureat M1? În Subiectul al II-lea, în problemele de structuri algebrice, de obicei ca cerință de tipul „arătați că mulțimea dată este subgrup al lui $(\mathbb{Z},+)$ și determinați $n$ cu $H=n\mathbb{Z}$". Rezolvarea are două părți: criteriul de subgrup, apoi identificarea celui mai mic element strict pozitiv al mulțimii.