Subiectul I: combinatorică și probabilități: pe scurt

Toată combinatorica de examen pornește de la două întrebări, puse în ordinea aceasta: câte obiecte iau din câte? și contează ordinea? Dacă da, se numără cu $P_n=n!$ sau cu $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$; dacă nu, cu $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$. Egalitatea care leagă cele două numărări și scurtează jumătate dintre cerințe este $A_n^k=C_n^k\cdot k!$. Două restricții se repetă: cifra $0$ nu poate sta pe prima poziție a unui număr, iar obiectele care trebuie să fie vecine se tratează ca un „bloc”. Ecuațiile cu $C_n^k$ sau $A_n^k$ se rezolvă în trei etape — condiția $n\ge k$, desfacerea factorialelor, eliminarea soluției care nu o respectă. Din binomul lui Newton se cere un singur termen, prin $T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$, iar cerința se traduce într-o ecuație pusă pe exponent; atenție la deosebirea dintre $k$ și rangul $k+1$. Probabilitatea clasică este $P(A)=\frac{\mathrm{card}A}{\mathrm{card}\Omega }$, dată ca fracție ireductibilă din $[0,1]$. Cuvântul „cel puțin” cheamă evenimentul contrar, $P\left(\overline{A}\right)=1-P(A)$, iar cuvântul „sau” cheamă formula reuniunii, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$, în care scăderea intersecției nu se sare.

Exerciții din această mini-lecție

1. Câte echipe de trei elevi se pot forma dintr-o clasă cu $11$ elevi?

   • a) $A_{11}^3=990$
   • b) $P_3=6$
   • c) $C_{11}^3=165$
   • d) $11\cdot 3=33$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $C_{11}^3=165$

   Prima întrebare este „contează ordinea?”. O echipă este o submulțime: nu are ordine, deci se numără cu combinări, $C_{11}^3=\frac{11\cdot 10\cdot 9}{6}=165$. Varianta cu aranjamente numără fiecare echipă de $3!=6$ ori, câte o dată pentru fiecare ordonare a celor trei elevi — exact relația $A_{11}^3=C_{11}^3\cdot 3!$, adică $990=165\cdot 6$.

2. Determinați numărul natural $n$, $n\ge 2$, pentru care $C_n^2=21$.

   • a) $n=7$
   • b) $n=6$
   • c) $n=42$
   • d) $n=-6$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $n=7$

   Etapa 1: condiția $n\ge 2$ e dată în enunț și se scrie. Etapa 2: $C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}=21$, deci $n(n-1)=42$. Etapa 3: $n^2-n-42=0$, cu rădăcinile $7$ și $-6$; a doua se elimină, fiind negativă. Verificare: $C_7^2=\frac{7\cdot 6}{2}=21$ ✓. Varianta $42$ confundă produsul $n(n-1)$ cu $n$.

3. Al câtelea termen al dezvoltării ${\left(x+3\right)}^{12}$ îl conține pe $x^4$?

   • a) al optulea
   • b) al nouălea
   • c) al patrulea
   • d) al cincilea
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) al nouălea

   Termenul general este $T_{k+1}=C_{12}^k{x}^{12-k}{3}^k$. Ecuația se pune pe exponentul lui $x$: $12-k=4$, deci $k=8$. Cerința fiind despre rang, răspunsul este $k+1=9$: termenul al nouălea. Varianta „al optulea” dă valoarea lui $k$ în loc de rang — confuzia cea mai frecventă din tot capitolul. Variantele $4$ și $5$ citesc exponentul drept rang.