Subiectul I: combinatorică și probabilități

Există un tip de cerință care apare, într-o formă sau alta, în aproape fiecare variantă de examen: „calculați probabilitatea ca, alegând un element din mulțimea…, acesta să…". Se rezolvă în trei rânduri, valorează cinci puncte și se pierde, de obicei, nu din necunoaștere, ci din grabă — s-a numărat cu aranjamente acolo unde trebuiau combinări, sau s-a uitat că mulțimea are $20$ de elemente, nu $19$. Recapitularea aceasta de clasa a 12-a ia exact acest tip de cerință și îl demontează bucată cu bucată. Probabilitatea clasică a unui eveniment este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor egal posibile, iar numărarea lor se face cu permutări, aranjamente sau combinări, după cum ordinea contează sau nu.

Ea nu reia capitolul de combinatorică al clasei a X-a — pentru asta există lecțiile-sursă, spre care trimitem la fiecare pas. Ea reia formatul: zece tipuri de cerințe de câte cinci puncte, fiecare cu o rezolvare-model de trei-patru rânduri, așa cum se scrie în lucrare. Structura completă a probei e descrisă în lecția despre structura examenului de Bacalaureat M1; aici intrăm în prima ei treime.

Ce vei învăța

• Vei ști să alegi, dintr-un enunț, unealta de numărare potrivită: permutări, aranjamente sau combinări.
• Vei ști să rezolvi ecuațiile scurte cu $C_n^k$ și $A_n^k$ care apar la Subiectul I, cu tot cu condițiile asupra lui $n$.
• Vei ști să afli termenul general al unei dezvoltări binomiale și să extragi din ea termenul cerut.
• Vei ști să calculezi o probabilitate clasică numărând corect cazurile favorabile și cazurile posibile.
• Vei ști când te scapă de muncă evenimentul contrar și când e nevoie de formula reuniunii.
• Vei ști să redactezi fiecare cerință în forma pe care baremul o punctează integral.

Hai să descoperim împreună

1. Ce se cere din combinatorică și probabilități la Subiectul I?

Subiectul I este partea de examen formată din șase cerințe independente, de câte cinci puncte fiecare, care acoperă materia claselor a IX-a și a X-a, cu elemente din a XI-a. Ele se rezolvă scurt, fără demonstrații, iar baremul acordă punctele pe pași — de obicei doi puncte pentru scrierea formulei corecte și trei pentru finalizarea calculului.

Din combinatorică și probabilități se cer, practic, zece tipuri de cerințe. Iată-le adunate, cu unealta fiecăreia și cu lecția din care vine:

Notațiile rămân cele din clasa a X-a și se scriu identic în lucrare: $P_n=n!$, $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$, $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$. Combinările nu se scriu niciodată cu notația internațională; la Bacalaureat M1 se folosește $C_n^k$.

2. Cum alegi între permutări, aranjamente și combinări?

Toată combinatorica de examen se reduce la două întrebări, puse în ordinea aceasta: Câte obiecte iau din câte? și Contează ordinea în care le iau?

Legătura dintre ultimele două casete e cea mai utilă egalitate a capitolului: fiecare submulțime de $k$ elemente poate fi ordonată în $k!$ feluri, deci $$A_n^k=C_n^k\cdot k!,\text{adica˘}{C}_n^k=\frac{A_n^k}{k!}.$$

Cerința 1 (5 p). Calculați $\frac{A_7^3}{P_3}$. Rezolvare-model: $A_7^3=7\cdot 6\cdot 5=210$ și $P_3=3!=6$, deci raportul este $\frac{210}{6}=35$. (Observă că am regăsit $C_7^3=35$ — exact relația de mai sus.)

Cerința 2 (5 p). Câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu cifrele $1$, $2$, $3$, $4$, $5$? Rezolvare-model: cifrele sunt distincte și ordinea lor schimbă numărul, deci sunt aranjamente: $A_5^3=5\cdot 4\cdot 3=60$ numere.

Cerința 3 (5 p). Câte submulțimi cu două elemente are o mulțime cu șase elemente? Rezolvare-model: o submulțime nu are ordine, deci $C_6^2=\frac{6\cdot 5}{2}=15$.

Capcana cifrei $0$ merită scrisă separat, pentru că apare des: dacă printre cifre e și $0$, el nu poate sta pe prima poziție. La întrebarea „câte numere de patru cifre distincte se formează cu cifrele $0,1,2,3,4,5$?" se alege întâi prima cifră ($5$ variante) și abia apoi celelalte trei din cele cinci rămase: $5\cdot A_5^3=5\cdot 60=300$.

Al doilea tipar cu restricție este cel al obiectelor care trebuie să stea alături. Trucul se numește „blocul": cele două obiecte lipite se tratează ca unul singur, se permută obiectele rămase, iar la final se înmulțește cu numărul de ordonări din interiorul blocului. Pentru cinci cărți dintre care două trebuie să fie vecine, obținem $4!\cdot 2!=24\cdot 2=48$ așezări din cele $5!=120$ posibile.

3. Cum se rezolvă ecuațiile cu combinări și aranjamente?

Enunțul e mereu la fel de scurt: „Determinați $n\in \mathbb{N}$, $n\ge k$, pentru care …". Rețeta are trei pași, în ordinea aceasta.

Etapa 1. Se scrie condiția asupra lui $n$ (fără ea, baremul taie un punct): $A_n^k$ și $C_n^k$ au sens numai pentru $n\ge k$, cu $n,k\in \mathbb{N}$. Etapa 2. Se desfac factorialele până la un produs scurt: $A_n^2=n(n-1)$, $C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$, $C_n^1=n$, $C_n^{n-1}=n$. Etapa 3. Se rezolvă ecuația de gradul al doilea obținută și se elimină soluția care nu respectă condiția.

Cerința 4 (5 p). Determinați $n\in \mathbb{N}$, $n\ge 2$, pentru care $C_n^2=15$. Rezolvare-model: $\frac{n(n-1)}{2}=15\Rightarrow n^2-n-30=0\Rightarrow n\in \{6,-5\}$. Cum $n\ge 2$, rămâne $n=6$.

Aceeași rețetă merge la $A_n^2=20$ (de unde $n=5$) și la $C_n^2=3n$, unde simplificarea prin $n\ne 0$ dă $n-1=6$, adică $n=7$. Când exponentul e „de sus", se folosește întâi formula combinărilor complementare: $C_n^{n-2}=C_n^2$, deci $C_n^{n-2}=28$ devine $n(n-1)=56$, cu soluția $n=8$.

4. Cum se află termenul cerut dintr-o dezvoltare binomială?

Binomul lui Newton se scrie $$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k,$$ iar la Subiectul I nu se cere niciodată dezvoltarea întreagă, ci un singur termen. De aceea singura formulă care trebuie știută pe de rost este cea a termenului general: $$T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k,k=0,1,\dots ,n.$$

Atenție la indice: termenul $T_{k+1}$ corespunde valorii $k$, deci al treilea termen este $T_3$, obținut pentru $k=2$. Dezvoltarea are $n+1$ termeni.

Cerința 5 (5 p). Determinați coeficientul lui $x^3$ din dezvoltarea $(x+2{)}^5$. Rezolvare-model: $T_{k+1}=C_5^k{x}^{5-k}{2}^k$; exponentul lui $x$ este $5-k=3$, deci $k=2$ și coeficientul este $C_5^2\cdot 2^2=10\cdot 4=40$.

Cerința 6 (5 p). Determinați termenul care nu îl conține pe $x$ din dezvoltarea ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^6$. Rezolvare-model: $T_{k+1}=C_6^k{x}^{6-k}{x}^{-k}=C_6^k{x}^{6-2k}$; punem $6-2k=0$, deci $k=3$, iar termenul liber este $C_6^3=20$.

O cerință-soră cere rangul termenului, nu valoarea lui: „al câtelea termen al dezvoltării $(x+1{)}^{10}$ îl conține pe $x^7$?". Ecuația e aceeași, $10-k=7$, deci $k=3$, dar răspunsul cerut este rangul $k+1=4$: termenul al patrulea, care este $C_{10}^3{x}^7=120x^7$. Confuzia dintre $k$ și $k+1$ este cea mai frecventă pierdere de puncte din tot capitolul.

Tot din binom se cer, la fel de des, două sume: suma coeficienților binomiali, $C_n^0+C_n^1+\cdots +C_n^n=2^n$ (se obține punând $a=b=1$), și suma alternantă $C_n^0-C_n^1+\cdots +(-1{)}^n{C}_n^n=0$ pentru $n\ge 1$ (se obține punând $a=1$, $b=-1$). Pentru $n=6$, prima sumă valorează $2^6=64$.

5. Cum se calculează probabilitatea clasică?

Definiția clasică, singura care se cere la Bacalaureat M1, este raportul $$P(A)=\frac{\text{numa˘rul cazurilor favorabile}}{\text{numa˘rul cazurilor posibile}}=\frac{\mathrm{card}A}{\mathrm{card}\Omega },$$ valabil când toate cazurile sunt egal probabile. Rezultatul este întotdeauna un număr din $[0,1]$ și se dă ca fracție ireductibilă — nu ca procent, dacă enunțul nu cere altfel.

Redactarea care ia toate cele cinci puncte are trei rânduri: se scrie mulțimea cazurilor posibile și cardinalul ei, se scrie mulțimea cazurilor favorabile și cardinalul ei, se face raportul și se simplifică.

Cerința 7 (5 p). Se alege la întâmplare un element al mulțimii $M=\{1,2,\dots ,20\}$. Calculați probabilitatea ca elementul ales să fie divizibil cu $3$. Rezolvare-model: cazuri posibile — $\mathrm{card}M=20$; cazuri favorabile — multiplii lui $3$ din $M$ sunt $3,6,9,12,15,18$, deci $6$; probabilitatea este $\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$.

Numărarea multiplilor se face rapid cu împărțirea: în $\{1,2,\dots ,n\}$ există exact $\left[\frac{n}{d}\right]$ multipli ai lui $d$, unde $[x]$ este partea întreagă. Pentru $n=20$ și $d=3$ obținem $[6,66\dots ]=6$, exact cât am numărat.

Al doilea loc din care se iau cazurile este mulțimea numerelor cu un anumit număr de cifre. Numerele naturale de două cifre sunt $10,11,\dots ,99$, deci sunt $99-10+1=90$ — cardinalul se calculează, nu se ghicește. Pe această mulțime se cer probabilități de tipul „numărul are cifrele egale" ($9$ cazuri favorabile, deci $\frac{1}{10}$), „are cifrele distincte" ($90-9=81$, deci $\frac{9}{10}$) sau „este pătrat perfect" ($16$, $25$, $36$, $49$, $64$, $81$, deci $\frac{1}{15}$).

Al treilea tipar este cel al extragerilor: dintr-o urnă cu bile de două culori se extrag simultan două bile. Cazurile posibile sunt $C_8^2=28$ dacă urna are opt bile, iar cazurile favorabile se numără tot cu combinări. Cuvântul „simultan" e cel care impune combinările; dacă enunțul ar cere extrageri succesive, cu ordinea contorizată, numitorul ar deveni $A_8^2=56$ — dublul, pentru că fiecare pereche apare în două ordini.

Cerința 8 (5 p). O urnă conține $5$ bile albe și $3$ bile negre. Se extrag simultan două bile. Calculați probabilitatea ca ambele să fie albe. Rezolvare-model: cazuri posibile $C_8^2=28$; cazuri favorabile $C_5^2=10$; probabilitatea este $\frac{10}{28}=\frac{5}{14}$.

6. Când folosești evenimentul contrar și când formula reuniunii?

Două formule scurte rezolvă restul cerințelor, iar alegerea între ele se face după un singur cuvânt din enunț.

Evenimentul contrar al lui $A$ se notează $\overline{A}$ și înseamnă „nu se întâmplă $A$"; probabilitățile lor se completează la $1$: $$P\left(\overline{A}\right)=1-P(A).$$ Cuvântul care îl cheamă este „cel puțin". Dacă $A$ este „cel puțin una albă", atunci $\overline{A}$ este „niciuna albă", adică „amândouă negre" — un singur calcul, în loc de două cazuri adunate.

Cerința 9 (5 p). Din urna de mai sus se extrag două bile. Calculați probabilitatea ca cel puțin una să fie albă. Rezolvare-model: evenimentul contrar este „ambele negre", cu $C_3^2=3$ cazuri favorabile din $28$; deci $P(A)=1-\frac{3}{28}=\frac{25}{28}$.

Formula reuniunii acoperă cuvântul „sau": $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B),$$ iar scăderea intersecției e obligatorie ori de câte ori un caz poate fi favorabil pentru amândouă evenimentele deodată. Când evenimentele sunt incompatibile ($A\cap B=\varnothing$), termenul al treilea dispare.

Cerința 10 (5 p). Se alege un element al mulțimii $\{1,2,\dots ,20\}$. Calculați probabilitatea ca el să fie par sau divizibil cu $3$. Rezolvare-model: numerele pare sunt $10$, cele divizibile cu $3$ sunt $6$, iar cele divizibile cu $6$ (deci în ambele categorii) sunt $3$. Cazurile favorabile sunt $10+6-3=13$, deci probabilitatea este $\frac{13}{20}$.

Formula reuniunii are și o variantă pentru numărare pură, fără probabilități: $\mathrm{card}(A\cup B)=\mathrm{card}A+\mathrm{card}B-\mathrm{card}(A\cap B)$. La Subiectul I ea apare exact în același tip de cerință, formulată doar cu „câte numere din mulțime sunt divizibile cu $2$ sau cu $5$?"; rezolvarea e identică, minus împărțirea finală la cardinalul mulțimii.

Trei proprietăți de control închid secțiunea și se folosesc la verificarea răspunsului: $P(\varnothing )=0$, $P(\Omega )=1$ și $0\le P(A)\le 1$ pentru orice eveniment $A$. Din ele iese și un argument scurt, cerut uneori sub formă de „adevărat sau fals": dacă $P(A)=0,6$ și $P(B)=0,7$, evenimentele nu pot fi incompatibile, pentru că suma probabilităților ar depăși $1$.

7. Ce cuprinde trusa de control a unei cerințe de 90 de secunde?

Înainte de a trece la cerința următoare, treci lista aceasta, în gând:

• am scris numitorul (cazurile posibile) înainte de numărător?
• am simplificat fracția până la forma ireductibilă?
• rezultatul e între $0$ și $1$? (o probabilitate mai mare ca $1$ înseamnă că am numărat favorabilele cu ordine și posibilele fără)
• la ecuațiile cu $C_n^k$: am eliminat soluția negativă și am scris condiția $n\ge k$?
• la binom: am pus condiția pe exponent, nu pe indice?

Trei observații de barem, culese din rezolvările care pierd puncte deși răspunsul final e bun:

• formula scrisă valorează puncte chiar dacă socoteala se strică; de aceea $C_8^2=\frac{8\cdot 7}{2}$ se scrie înainte de a fi calculat;
• cardinalele se justifică într-o propoziție, nu se dau ca cifre căzute din cer: „mulțimea are $90$ de elemente, pentru că numerele de două cifre sunt de la $10$ la $99$";
• răspunsul se încheie cu o propoziție, nu cu o fracție subliniată: „probabilitatea cerută este $\frac{3}{10}$".

Un ultim reper de timp: cele șase cerințe ale Subiectului I trebuie rezolvate în $35$–$40$ de minute, ca să rămână două ore pentru celelalte două subiecte. O cerință de combinatorică bine antrenată durează sub trei minute.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Calcul direct cu aranjamente și combinări

Calculați $A_8^3-6C_8^3$.

$A_8^3=8\cdot 7\cdot 6=336$, iar $C_8^3=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{1\cdot 2\cdot 3}=56$. Atunci $A_8^3-6C_8^3=336-336=0$.

Rezultatul nu e o coincidență: $A_n^k=C_n^k\cdot k!$, iar aici $k!=3!=6$. Cine observă relația scrie răspunsul fără să calculeze nimic.

Exemplul 2 — Numărare cu restricție pe prima cifră

Câte numere naturale de patru cifre distincte se pot forma cu cifrele $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$?

Prima cifră nu poate fi $0$, deci pentru ea avem $5$ posibilități. După ce am fixat-o, mai avem cinci cifre disponibile (cele patru rămase plus $0$) din care alegem trei, în ordine: $A_5^3=60$.

Numărul cerut este $5\cdot 60=300$.

Greșeala clasică: $A_6^4=360$, care include și cele $60$ de „numere" ce încep cu $0$ — adică numere de trei cifre deghizate.

Exemplul 3 — Ecuație cu combinări

Determinați $n\in \mathbb{N}$, $n\ge 2$, pentru care $C_n^1+C_n^2=15$.

Condiția $n\ge 2$ e dată. Desfacem: $C_n^1=n$ și $C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$, deci ecuația devine $$n+\frac{n(n-1)}{2}=15⟺2n+n^2-n=30⟺n^2+n-30=0.$$ Rădăcinile sunt $n=5$ și $n=-6$; a doua se elimină, fiind negativă. Răspuns: $n=5$.

Exemplul 4 — Termenul fără $x$ dintr-o dezvoltare

Determinați termenul care nu îl conține pe $x$ din dezvoltarea ${\left(x^2+\frac{1}{x}\right)}^9$, unde $x\ne 0$.

Termenul general este $$T_{k+1}=C_9^k{\left(x^2\right)}^{9-k}{\left(\frac{1}{x}\right)}^k=C_9^k{x}^{18-2k-k}=C_9^k{x}^{18-3k}.$$ Punem $18-3k=0$, deci $k=6$, valoare acceptabilă pentru că $0\le 6\le 9$. Termenul cerut este $T_7=C_9^6=C_9^3=84$.

Controlul: $C_9^6=C_9^3$ prin combinări complementare, iar $C_9^3=\frac{9\cdot 8\cdot 7}{6}=84$.

Exemplul 5 — Probabilitate pe mulțimea numerelor de două cifre

Se alege la întâmplare un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca el să aibă cifrele egale.

Cazuri posibile: numerele de două cifre sunt $10,11,\dots ,99$, deci $\mathrm{card}\Omega =99-10+1=90$.

Cazuri favorabile: numerele cu cifrele egale sunt $11,22,33,\dots ,99$, adică $9$.

Probabilitatea este $\frac{9}{90}=\frac{1}{10}$.

Aceeași mulțime, altă cerință: probabilitatea ca numărul să fie pătrat perfect. Pătratele de două cifre sunt $16$, $25$, $36$, $49$, $64$, $81$ — șase numere — deci probabilitatea este $\frac{6}{90}=\frac{1}{15}$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Șase cerințe independente, de câte cinci puncte, exact în formatul Subiectului I.

a) Calculați $C_6^2+A_4^2-P_3$. $C_6^2=15$, $A_4^2=12$, $P_3=6$, deci rezultatul este $15+12-6=21$.

b) Determinați $n\in \mathbb{N}$, $n\ge 2$, pentru care $A_n^2=20$. $n(n-1)=20\Rightarrow n^2-n-20=0\Rightarrow n\in \{5,-4\}$; cu $n\ge 2$ rămâne $n=5$.

c) Determinați coeficientul lui $x^2$ din dezvoltarea $(x-1{)}^4$. $T_{k+1}=C_4^k{x}^{4-k}(-1{)}^k$; pentru $4-k=2$ avem $k=2$, deci coeficientul este $C_4^2(-1{)}^2=6$.

d) Se alege la întâmplare un element al mulțimii $\{1,2,\dots ,20\}$. Calculați probabilitatea ca el să fie pătrat perfect. Pătratele perfecte din mulțime sunt $1$, $4$, $9$, $16$, deci probabilitatea este $\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$.

e) Într-o clasă sunt $6$ băieți și $4$ fete. Se alege la întâmplare o echipă de trei elevi. Calculați probabilitatea ca echipa să conțină exact o fată. Cazuri posibile: $C_{10}^3=120$. Cazuri favorabile: alegem fata în $C_4^1=4$ moduri și cei doi băieți în $C_6^2=15$ moduri, deci $4\cdot 15=60$. Probabilitatea este $\frac{60}{120}=\frac{1}{2}$.

f) Se aruncă două zaruri. Calculați probabilitatea ca suma punctelor obținute să fie $7$. Cazuri posibile: $6\cdot 6=36$. Cazuri favorabile: perechile $(1,6)$, $(2,5)$, $(3,4)$, $(4,3)$, $(5,2)$, $(6,1)$, deci $6$. Probabilitatea este $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.

Să exersăm

1. Calculați $P_5$, $A_6^3$ și $C_7^3$.

2. Arătați că $\frac{A_8^3}{C_8^3}=3!$ și explicați într-o propoziție de ce raportul nu depinde de $n$.

3. Câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu cifrele $2$, $4$, $6$, $8$?

4. Câte submulțimi cu trei elemente are o mulțime cu $10$ elemente?

5. Determinați $n\in \mathbb{N}$, $n\ge 2$, pentru care $C_n^2=3n$.

6. Determinați $n\in \mathbb{N}$, $n\ge 2$, pentru care $C_n^{n-2}=28$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice $n\ge 1$ avem $A_n^n=P_n$."

8. Determinați coeficientul lui $x^3$ din dezvoltarea $(x+2{)}^5$.

9. Determinați termenul care nu îl conține pe $x$ din dezvoltarea ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^6$, $x\ne 0$.

10. Calculați suma $C_6^0+C_6^1+C_6^2+C_6^3+C_6^4+C_6^5+C_6^6$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se alege la întâmplare un element al mulțimii $\{1,2,\dots ,20\}$. Calculați probabilitatea ca elementul ales să fie număr prim.

12. Se alege la întâmplare un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca el să fie divizibil cu $11$.

13. (Problemă aplicată.) O urnă conține $5$ bile albe și $3$ bile negre. Se extrag simultan două bile. Calculați probabilitatea ca ele să aibă culori diferite.

14. Din aceeași urnă se extrag două bile. Calculați probabilitatea ca cel puțin una să fie neagră.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se alege la întâmplare un element al mulțimii $\{1,2,\dots ,20\}$. Calculați probabilitatea ca el să fie divizibil cu $2$ sau cu $5$.

16. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $P(A)=0,6$ și $P(B)=0,7$, atunci evenimentele $A$ și $B$ nu pot fi incompatibile."

17. Se alege la întâmplare o submulțime a unei mulțimi cu $5$ elemente. Calculați probabilitatea ca ea să aibă exact două elemente.

18. (Provocare.) Într-un grup de $10$ elevi se alege la întâmplare o echipă de trei. Calculați probabilitatea ca un elev fixat dinainte să facă parte din echipă și arătați că rezultatul se putea prevedea fără nicio combinare.

Răspunsuri și explicații

1. $P_5=5!=120$; $A_6^3=6\cdot 5\cdot 4=120$; $C_7^3=\frac{7\cdot 6\cdot 5}{6}=35$. Coincidența dintre primele două valori e întâmplătoare — sunt numărări diferite.

2. $A_8^3=336$ și $C_8^3=56$, deci raportul este $6=3!$. În general $A_n^k=C_n^k\cdot k!$, pentru că fiecare submulțime de $k$ elemente se poate ordona în $k!$ feluri; raportul depinde doar de $k$.

3. Ordinea contează și cifrele sunt distincte: $A_4^3=4\cdot 3\cdot 2=24$ numere. Nicio cifră nu este $0$, deci nu apare restricția pe prima poziție.

4. $C_{10}^3=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{6}=120$.

5. $\frac{n(n-1)}{2}=3n$; cum $n\ge 2$, putem simplifica prin $n$: $n-1=6$, deci $n=7$.

6. $C_n^{n-2}=C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}=28$, deci $n(n-1)=56$ și $n=8$ (soluția $n=-7$ se elimină).

7. Adevărat. $A_n^n=\frac{n!}{(n-n)!}=\frac{n!}{0!}=n!=P_n$: a aranja toate cele $n$ obiecte înseamnă chiar a le permuta.

8. $T_{k+1}=C_5^k{x}^{5-k}{2}^k$; din $5-k=3$ rezultă $k=2$, deci coeficientul este $C_5^2\cdot 4=40$.

9. $T_{k+1}=C_6^k{x}^{6-2k}$; din $6-2k=0$ rezultă $k=3$, deci termenul liber este $T_4=C_6^3=20$.

10. Suma tuturor coeficienților binomiali de ordinul $n$ este $2^n$; aici $2^6=64$. Se obține punând $a=b=1$ în binomul lui Newton.

11. Numerele prime din $\{1,2,\dots ,20\}$ sunt $2,3,5,7,11,13,17,19$, deci $8$ la număr. Probabilitatea este $\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$. (Atenție: $1$ nu este număr prim.)

12. Numerele de două cifre divizibile cu $11$ sunt $11,22,\dots ,99$, adică $9$, iar cazurile posibile sunt $90$. Probabilitatea este $\frac{9}{90}=\frac{1}{10}$.

13. Cazuri posibile: $C_8^2=28$. Cazuri favorabile: o bilă albă din $5$ și una neagră din $3$, deci $5\cdot 3=15$. Probabilitatea este $\frac{15}{28}$.

14. Evenimentul contrar este „ambele albe", cu $C_5^2=10$ cazuri favorabile. Deci probabilitatea cerută este $1-\frac{10}{28}=\frac{18}{28}=\frac{9}{14}$.

15. Multiplii lui $2$ sunt $10$, cei ai lui $5$ sunt $4$ ($5,10,15,20$), iar cei ai lui $10$ (comuni) sunt $2$. Cazurile favorabile sunt $10+4-2=12$, deci probabilitatea este $\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$.

16. Adevărat. Dacă ar fi incompatibile, am avea $P(A\cup B)=0,6+0,7=1,3>1$, ceea ce este imposibil. Deci $P(A\cap B)\ge 0,3$.

17. O mulțime cu $5$ elemente are $2^5=32$ submulțimi, dintre care $C_5^2=10$ au exact două elemente. Probabilitatea este $\frac{10}{32}=\frac{5}{16}$.

18. Cazuri posibile: $C_{10}^3=120$. Cazuri favorabile: elevul fixat intră sigur, iar ceilalți doi se aleg din cei $9$ rămași, deci $C_9^2=36$. Probabilitatea este $\frac{36}{120}=\frac{3}{10}$. Se putea prevedea: fiecare dintre cei $10$ elevi are aceeași șansă, iar echipa are $3$ locuri, deci probabilitatea este $\frac{3}{10}$ — argumentul simetriei, care merge la orice $k$ din $n$.

De reținut

• Prima întrebare la orice numărare este „contează ordinea?": dacă da, aranjamente sau permutări; dacă nu, combinări. Toate celelalte formule vin după acest răspuns.
• $A_n^k=C_n^k\cdot k!$ este relația care leagă cele două numărări și scurtează jumătate dintre calculele de la Subiectul I.
• Termenul general al dezvoltării este $T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$, iar cerința se traduce întotdeauna într-o ecuație pusă pe exponentul lui $x$.
• Probabilitatea clasică este raportul dintre cardinalul evenimentului și cardinalul mulțimii tuturor cazurilor, iar rezultatul se dă ca fracție ireductibilă din intervalul $[0,1]$.
• Cuvântul „cel puțin" cheamă evenimentul contrar, cuvântul „sau" cheamă formula reuniunii — două formule scurte care acoperă majoritatea cerințelor de probabilități.

Greșeli frecvente

• Se numără cu aranjamente o mulțime de obiecte fără ordine. Corect: o echipă, o submulțime sau o mână de cărți nu au ordine, deci se numără cu $C_n^k$; un număr, un cod sau un clasament au ordine, deci cu $A_n^k$.
• Se uită restricția cifrei $0$ pe prima poziție. Corect: la numere formate cu cifre între care se află și $0$, se fixează întâi prima cifră din cele nenule și abia apoi se aranjează restul.
• Se confundă indicele termenului cu exponentul din formulă. Corect: $T_{k+1}$ corespunde valorii $k$, deci al treilea termen se obține pentru $k=2$, nu pentru $k=3$.
• Se dă răspunsul la o probabilitate ca număr mai mare decât $1$. Corect: dacă apare așa ceva, cazurile favorabile au fost numărate cu ordine, iar cele posibile fără (sau invers) — cele două numărări trebuie făcute în același fel.
• Se aplică $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ fără să se verifice că evenimentele sunt incompatibile. Corect: se scade întotdeauna $P(A\cap B)$, care este nulă doar când cele două evenimente nu se pot întâmpla simultan.

Aplică acasă

1. Fișa celor zece tipuri. Scrie pe o singură pagină cele zece tipuri de cerințe din tabelul secțiunii 1, fiecare cu formula ei și cu un exemplu de trei rânduri. Pagina aceasta se recitește în cinci minute înaintea probei.
2. Cronometrul de trei minute. Ia zece cerințe de combinatorică și probabilități din variante de Bacalaureat M1 și rezolvă-le pe rând, cu ceasul pornit. Notează care ți-au luat peste trei minute — acelea sunt tipurile pe care le mai ai de automatizat.
3. Fabrica de enunțuri. Pornind de la aceeași urnă cu $5$ bile albe și $3$ negre, scrie cinci cerințe diferite (ambele albe, cel puțin una albă, culori diferite, prima albă și a doua neagră la extrageri succesive, niciuna neagră) și rezolvă-le. Vei vedea că patru dintre ele folosesc aceleași două combinări.

Pentru părinți și profesori

Lecția este prima dintre cele care recapitulează Subiectul I al probei de Bacalaureat M1 și acoperă combinatorica și probabilitățile din clasa a X-a, fără să reia predarea lor. Materialul de bază rămâne în lecțiile clasei a X-a; aici se antrenează recunoașterea tipului de cerință și redactarea scurtă, punctată de barem.

Ce verifică lecția: (1) alegerea corectă între permutări, aranjamente și combinări, cu argument scris; (2) rezolvarea unei ecuații cu $C_n^k$ sau $A_n^k$, cu condiția asupra lui $n$; (3) determinarea unui termen dintr-o dezvoltare binomială prin ecuația pusă pe exponent; (4) calculul unei probabilități clasice cu numărare corectă a celor două cardinale; (5) folosirea evenimentului contrar și a formulei reuniunii.

Întrebări bune de control: „Contează ordinea în problema asta?", „Care sunt cazurile posibile și de ce sunt egal probabile?", „De ce ai eliminat soluția negativă?", „Ce înseamnă evenimentul contrar aici?". Semn că elevul e pregătit: citește enunțul și spune, înainte de orice calcul, ce numărare va folosi și care va fi numitorul fracției.

La BAC M1, cerințele de acest tip apar aproape în fiecare variantă, de regulă una de combinatorică și una de probabilități, la pozițiile 4–6 ale Subiectului I. Fiind cerințe de câte cinci puncte, ele reprezintă un capital de zece puncte care se poate obține integral în sub șase minute de lucru.

Întrebări frecvente

Cum îmi dau seama dacă folosesc aranjamente sau combinări? Întreabă-te dacă schimbarea ordinii dă un alt obiect. Dacă din cifrele $1$, $2$, $3$ formezi numere, atunci $123$ și $321$ sunt diferite, deci ordinea contează și folosești aranjamente. Dacă alegi trei elevi pentru o echipă, echipa rămâne aceeași indiferent de ordinea în care i-ai numit, deci folosești combinări.

Care este formula termenului general al dezvoltării binomiale? Formula este $T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$, cu $k$ de la $0$ la $n$. Ea dă termenul de rang $k+1$ al dezvoltării lui $(a+b{)}^n$. Cerințele de examen se rezolvă punând o condiție pe exponentul lui $x$ din acest termen și rezolvând ecuația în $k$.

Ce este probabilitatea clasică a unui eveniment? Este raportul dintre numărul cazurilor favorabile evenimentului și numărul cazurilor posibile, valabil când toate cazurile sunt egal probabile. Se scrie $P(A)=\frac{\mathrm{card}A}{\mathrm{card}\Omega }$, iar rezultatul este un număr între $0$ și $1$, care se dă simplificat la forma ireductibilă.

Când folosesc evenimentul contrar? Ori de câte ori apare formularea „cel puțin unul". Numărarea directă ar cere mai multe cazuri adunate, în timp ce evenimentul contrar — „niciunul" — este un singur caz. Se calculează probabilitatea lui și se scade din $1$, folosind formula $P\left(\overline{A}\right)=1-P(A)$.

De ce se scade intersecția în formula reuniunii? Pentru că elementele care aparțin ambelor evenimente ar fi numărate de două ori. La cerința „divizibil cu $2$ sau cu $3$", numerele divizibile cu $6$ apar și printre pare, și printre multiplii lui $3$; scăderea lui $P(A\cap B)$ le readuce la o singură numărare.

Cum determin numărul de multipli ai lui $d$ dintr-o mulțime de forma $\{1,2,\dots ,n\}$? Se împarte $n$ la $d$ și se ia partea întreagă a câtului: numărul multiplilor este $\left[\frac{n}{d}\right]$. De exemplu, în $\{1,2,\dots ,20\}$ sunt $[20/3]=6$ multipli ai lui $3$ și $[20/6]=3$ multipli ai lui $6$.

Cât timp ar trebui să îmi ia o cerință de la Subiectul I? Aproximativ trei minute, ca cele șase cerințe să fie gata în $35$–$40$ de minute din cele trei ore ale probei. Cerințele de combinatorică și de probabilități sunt printre cele mai rapide, dacă tipul e recunoscut din prima citire a enunțului.

Ce se întâmplă dacă dau răspunsul ca număr zecimal, nu ca fracție? Baremul acceptă forma corectă a rezultatului, dar fracția ireductibilă este forma standard și evită rotunjirile. Un rezultat ca $\frac{5}{14}$ nu are scriere zecimală finită, deci orice aproximare ar fi, strict vorbind, un răspuns greșit.