Subiectul I: geometrie analitică și trigonometrie: pe scurt

În reperul cartezian, două formule susțin totul: $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$ și mijlocul $M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$, din care iese și simetricul, $x_{A^{\prime }}=2x_M-x_A$. Panta este $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$, iar dreapta verticală nu are pantă și se scrie direct $x=x_0$ — cazul se verifică înainte de orice împărțire. Din forma generală $ax+by+c=0$ panta se citește ca $m=-\frac{a}{b}$; paralelismul cere $m_1=m_2$, perpendicularitatea $m_1{m}_2=-1$, iar distanța de la un punct la o dreaptă este $d=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Un singur determinant $3\times 3$ răspunde la două întrebări: punctele sunt coliniare când $\Delta =0$, iar altfel $\mathcal{S}=\frac{1}{2}|\Delta |$ — modulul nu e decorativ, o arie nu iese niciodată negativă. În trigonometrie se lucrează cu tabelul valorilor remarcabile și cu reducerea la primul cadran; din ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ se află o funcție din alta, iar semnul îl decide cadranul, nu obișnuința. În triunghiul oarecare lucrează teorema cosinusului, teorema sinusurilor și $\mathcal{S}=\frac{1}{2}bc\sin A$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Despre dreapta determinată de punctele $A(3,-1)$ și $B(3,5)$ se poate afirma că:

   • a) are panta $0$ și ecuația $y=3$
   • b) are panta $2$
   • c) are panta $\frac{1}{3}$
   • d) nu are pantă, iar ecuația ei este $x=3$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) nu are pantă, iar ecuația ei este $x=3$

   Cele două puncte au aceeași abscisă, deci $x_B-x_A=0$: raportul $\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ nu are sens, iar dreapta este verticală. Ea se scrie direct $x=3$ și se recunoaște în forma generală după $b=0$. Varianta cu panta $0$ descrie o dreaptă orizontală, adică exact cazul opus; celelalte două împart la zero fără să observe.

2. Determinați numărul real $a$ pentru care dreptele $d_1:y=-4x+1$ și $d_2:y=(a+2)x-5$ sunt perpendiculare.

   • a) $a=-6$
   • b) $a=-\frac{7}{4}$
   • c) $a=2$
   • d) $a=\frac{1}{4}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $a=-\frac{7}{4}$

   Condiția de perpendicularitate este $m_1{m}_2=-1$, adică $-4(a+2)=-1$, deci $a+2=\frac{1}{4}$ și $a=-\frac{7}{4}$. Varianta $-6$ rezolvă condiția de paralelism, $a+2=-4$; varianta $2$ ia $a+2=4$; varianta $\frac{1}{4}$ oprește calculul la $a+2$, fără să scadă $2$. Control: $-4\cdot \frac{1}{4}=-1$ ✓.

3. Aria triunghiului cu vârfurile $O(0,0)$, $A(5,2)$ și $B(2,7)$ este egală cu:

   • a) $31$
   • b) $62$
   • c) $\frac{31}{2}$
   • d) $-\frac{31}{2}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\frac{31}{2}$

   Când un vârf este originea, determinantul se simplifică și rămâne ${\mathcal{S}}_{OAB}=\frac{1}{2}|x_A{y}_B-x_B{y}_A|=\frac{1}{2}|35-4|=\frac{31}{2}$. Varianta $31$ uită împărțirea la $2$, varianta $62$ o înmulțește, iar varianta negativă uită modulul: semnul determinantului depinde numai de ordinea în care au fost scrise vârfurile, iar o arie este întotdeauna pozitivă.