Acasă · Lecții · clasa a XII-a · Subiectul I: geometrie analitică și trigonometrie

Subiectul I: geometrie analitică și trigonometrie

Q: Cum se calculează distanța dintre două puncte în plan?

Cu formula AB = √((x_B - x_A)² + (y_B - y_A)²), care este teorema lui Pitagora aplicată triunghiului dreptunghic cu catetele paralele cu axele. Ordinea scăderilor nu contează, pentru că diferențele sunt ridicate la pătrat. Sfat de calcul: lucrează cu AB² până la ultimul pas.

Q: Care este condiția ca două drepte să fie perpendiculare?

Produsul pantelor lor trebuie să fie -1, adică m₁ m₂ = -1. Condiția are sens doar pentru drepte neverticale; dacă una dintre ele este verticală, perpendiculara pe ea este orizontală, iar condiția se citește direct din desen, fără pante.

Q: Cum reduc un unghi la primul cadran?

Scrii unghiul ca π - x, π + x sau 2π - x, cu x în primul cadran, apoi aplici formula de reducere corespunzătoare. Valoarea absolută rămâne aceeași cu cea a unghiului x, iar semnul se ia din cadranul în care cade unghiul inițial.

Q: De ce trebuie să știu cadranul când folosesc formula fundamentală?

Pentru că formula sin² x + cos² x = 1 dă pătratul funcției căutate, deci două valori posibile, opuse. Doar cadranul spune care dintre ele este cea reală: în cadranul al II-lea, de exemplu, sinusul este pozitiv, iar cosinusul negativ.

Q: Ce fac dacă rezultatul unei arii îmi iese negativ?

Înseamnă că ai uitat modulul. Determinantul 3 × 3 își schimbă semnul când schimbi între ele două vârfuri, deci semnul lui depinde de ordinea în care ai scris punctele; aria, fiind o mărime pozitivă, este 1/2| Δ |.

Q: Cât de exact trebuie scris răspunsul la trigonometrie?

Exact, cu radicali și fracții: √3/2, nu 0,87. Baremele de Bacalaureat M1 punctează forma exactă, iar aproximările zecimale se acceptă doar la problemele aplicate, unde enunțul cere explicit un rezultat aproximativ.

Două puncte, o pantă, un determinant — și cinci puncte în plus pe foaia de examen. Cerințele de geometrie analitică sunt cele mai scurte din toată proba: se dau două-trei puncte prin coordonate și se cere o distanță, o ecuație de dreaptă sau o arie. Alături de ele stau cerințele de trigonometrie, la fel de scurte, dar cu o capcană în plus: semnul. Recapitularea aceasta de clasa a 12-a le adună pe amândouă și le antrenează în formatul lor real. La Subiectul I de la Bacalaureat M1, cerințele de geometrie analitică cer distanța dintre două puncte, mijlocul unui segment, ecuația unei drepte sau aria unui triunghi calculată cu determinantul, iar cele de trigonometrie, valori și ecuații elementare.

Ca și recapitularea de combinatorică și probabilități, lecția nu re-predă capitolele, ci le pune în formatul de cinci puncte pe cerință descris în lecția despre structura examenului de Bacalaureat M1. Uneltele de geometrie analitică vin din unitatea de drepte a clasei a XI-a, iar cele de trigonometrie din clasa a IX-a; la fiecare tip de cerință spunem exact din ce lecție.

Ce vei învăța

Vei ști să calculezi distanța dintre două puncte și coordonatele mijlocului unui segment, în orice așezare a punctelor.
Vei ști să scrii ecuația unei drepte în cele trei forme cerute la examen și să treci de la una la alta.
Vei ști să decizi paralelismul și perpendicularitatea a două drepte din condițiile pe pante.
Vei ști să demonstrezi coliniaritatea a trei puncte și să calculezi aria unui triunghi cu același determinant.
Vei ști să reduci orice unghi la primul cadran și să folosești formula fundamentală și formulele unghiului dublu.
Vei ști să aplici teorema cosinusului, teorema sinusurilor și formula ariei cu sinus în triunghiul oarecare.

Hai să descoperim împreună

1. Ce se cere din geometrie analitică și trigonometrie la Subiectul I?

Cerința de Subiectul I este o problemă de cinci puncte care se rezolvă în două-trei rânduri, fără demonstrații și fără discuții de caz. Din cele două capitole de aici se cer zece tipuri, pe care le adunăm în tabelul următor, împreună cu unealta și cu lecția din care vine fiecare.

Tipul de cerință	Unealta	Lecția-sursă
distanța dintre două puncte	$A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$	reperul cartezian
mijlocul unui segment; simetricul unui punct	mediile aritmetice ale coordonatelor	reperul cartezian
panta unei drepte	$m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$	panta unei drepte
ecuația unei drepte	punct și pantă, sau două puncte	ecuația dreptei prin punct și pantă
paralelism sau perpendicularitate	$m_{1} = m_{2}$ , respectiv $m_{1} m_{2} = - 1$	paralelism și perpendicularitate
coliniaritatea a trei puncte	determinantul $3 \times 3$ nul	coliniaritatea a trei puncte
aria unui triunghi din coordonate	$S = \frac{1}{2} ∣ Δ ∣$	aria triunghiului cu determinant
valoarea unei expresii trigonometrice	valorile remarcabile + reducerea la primul cadran	valorile lui sin și cos
calculul unei funcții trigonometrice din alta	$sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ și semnul cadranului	formula fundamentală
elemente într-un triunghi oarecare	teorema cosinusului, teorema sinusurilor, aria	teorema cosinusului

Notațiile rămân cele fixate în clasele a IX-a și a XI-a: aria se scrie $S$ , tangenta $tg$ , cotangenta $ctg$ , gradele cu $^{\circ}$ , iar zecimalele cu virgulă ( $2, 5$ ). Dreptele se notează $d$ , $d_{1}$ , $d_{2}$ ; numai atunci când în aceeași problemă apare și distanța $d (\cdot, \cdot)$ dreapta primește altă literă, de obicei $h$ , ca să nu se confunde cele două sensuri.

2. Cum se calculează distanța și mijlocul în reperul cartezian?

Cele două formule de bază se scriu o dată și se folosesc peste tot: $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}, M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}, \frac{y _{A} + y _{B}}{2}) .$

Prima este teorema lui Pitagora aplicată triunghiului dreptunghic cu catetele paralele cu axele; a doua spune că fiecare coordonată a mijlocului este media aritmetică a coordonatelor capetelor. Sfatul de calcul: lucrează cu $A B^{2}$ până la ultimul pas, ca să nu cari radicalul prin toată rezolvarea.

Cerința 1 (5 p). Calculați distanța dintre punctele $A (1, 2)$ și $B (4, 6)$ . Rezolvare-model: $A B^{2} = (4 - 1)^{2} + (6 - 2)^{2} = 9 + 16 = 25$ , deci $A B = 5$ .

Cerința 2 (5 p). Determinați coordonatele mijlocului segmentului $[A B]$ , unde $A (- 3, 2)$ și $B (7, - 6)$ . Rezolvare-model: $x_{M} = \frac{- 3 + 7}{2} = 2$ și $y_{M} = \frac{2 + ( - 6 )}{2} = - 2$ , deci $M (2, - 2)$ .

Din formula mijlocului iese direct și cerința despre simetric: punctul $A^{'}$ , simetricul lui $A$ față de $M$ , se află impunând ca $M$ să fie mijlocul lui $[A A^{'}]$ , adică $x_{A^{'}} = 2 x_{M} - x_{A}$ și $y_{A^{'}} = 2 y_{M} - y_{A}$ . Pentru $A (1, 2)$ și $M (3, 5)$ obținem $A^{'} (5, 8)$ , iar verificarea e imediată: mijlocul lui $[A A^{'}]$ este chiar $(3, 5)$ .

3. Cum se scrie ecuația unei drepte?

Panta unei drepte neverticale determinate de două puncte este $m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}, x_{A} \neq = x_{B},$ iar semnul ei spune sensul: pantă pozitivă înseamnă dreaptă crescătoare, pantă negativă înseamnă descrescătoare, pantă nulă înseamnă orizontală. Dreapta verticală nu are pantă și se scrie direct $x = x_{0}$ — cazul acesta se verifică întotdeauna înainte de a împărți.

Cele trei forme cerute la examen sunt:

Forma	Ecuația	Când se folosește
punct și pantă	$y - y_{0} = m (x - x_{0})$	se știu un punct și panta
explicită	$y = m x + n$	se cere panta sau ordonata la origine
generală	$a x + b y + c = 0$	se cere distanța de la un punct la dreaptă

Cerința 3 (5 p). Scrieți ecuația dreptei care trece prin $A (2, - 1)$ și are panta $3$ . Rezolvare-model: $y - (- 1) = 3 (x - 2)$ , adică $y = 3 x - 7$ , sau, în formă generală, $3 x - y - 7 = 0$ .

Cerința 4 (5 p). Scrieți ecuația dreptei $A B$ , unde $A (1, 2)$ și $B (4, 6)$ . Rezolvare-model: $m = \frac{6 - 2}{4 - 1} = \frac{4}{3}$ , deci $y - 2 = \frac{4}{3} (x - 1)$ , adică $4 x - 3 y + 2 = 0$ . Verificare: coordonatele lui $B$ dau $16 - 18 + 2 = 0$ .

A doua cale, care apare des în bareme, este ecuația dreptei prin două puncte sub formă de determinant: $x x_{A} x_{B} y y_{A} y_{B} 111 = 0.$

Din forma generală se citește panta fără niciun calcul suplimentar: dreapta $a x + b y + c = 0$ , cu $b \neq = 0$ , are panta $m = - \frac{a}{b}$ . De pildă, $2 x + 3 y - 6 = 0$ are panta $- \frac{2}{3}$ .

Forma explicită $y = m x + n$ este graficul funcției de gradul întâi: aici o folosim geometric, iar monotonia și semnul aceleiași expresii se citesc funcțional la Subiectul I: progresii, funcția de gradul întâi și cea de gradul al doilea.

4. Când sunt două drepte paralele sau perpendiculare?

Două drepte neverticale, de pante $m_{1}$ și $m_{2}$ , sunt paralele dacă $m_{1} = m_{2}$ (și au ordonate la origine diferite, altfel sunt confundate) și perpendiculare dacă $m_{1} \cdot m_{2} = - 1.$

Cerința 5 (5 p). Determinați $a \in R$ pentru care dreptele $y = 2 x - 1$ și $y = (a - 1) x + 3$ sunt paralele. Rezolvare-model: condiția este $a - 1 = 2$ , deci $a = 3$ . (Ordonatele la origine sunt $- 1$ și $3$ , deci dreptele sunt într-adevăr distincte.)

Cerința 6 (5 p). Pentru ce valoare a lui $a$ aceleași drepte sunt perpendiculare? Rezolvare-model: $2 (a - 1) = - 1$ , deci $a - 1 = - \frac{1}{2}$ și $a = \frac{1}{2}$ .

Când dreptele sunt date în formă generală, condițiile se citesc pe coeficienți: $a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ și $a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ sunt paralele când $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$ și perpendiculare când $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$ . Așa se evită și cazul dreptei verticale, care nu are pantă.

Distanța de la un punct la o dreaptă cere forma generală și se calculează cu $d (M_{0}, h) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}} .$ Pentru $M_{0} (2, 3)$ și $h : 3 x - 4 y + 1 = 0$ obținem $d = \frac{∣ 6 - 12 + 1 ∣}{5} = 1$ . Iar când se cere punctul de intersecție a două drepte, se rezolvă sistemul format din ecuațiile lor: din $2 x - y = 1$ și $x + y = 5$ iese $x = 2$ , $y = 3$ .

5. Cum se calculează aria unui triunghi cu determinantul?

Un singur determinant răspunde la două întrebări diferite. Pentru punctele $A$ , $B$ , $C$ din plan, notăm $Δ = x_{A} x_{B} x_{C} y_{A} y_{B} y_{C} 111 .$ Atunci punctele sunt coliniare dacă și numai dacă $Δ = 0$ , iar când nu sunt, aria triunghiului lor este $S_{A B C} = \frac{1}{2} ∣ Δ ∣ .$

Cerința 7 (5 p). Arătați că punctele $A (1, 2)$ , $B (3, 6)$ și $C (5, 10)$ sunt coliniare. Rezolvare-model: $Δ = 1 (6 - 10) - 2 (3 - 5) + (3 \cdot 10 - 5 \cdot 6) = - 4 + 4 + 0 = 0$ , deci punctele sunt coliniare. (Se putea și cu pantele: $m_{A B} = m_{B C} = 2$ .)

Cerința 8 (5 p). Calculați aria triunghiului cu vârfurile $A (1, 1)$ , $B (5, 2)$ , $C (3, 6)$ . Rezolvare-model: $Δ = 1 (2 - 6) - 1 (5 - 3) + (5 \cdot 6 - 3 \cdot 2) = - 4 - 2 + 24 = 18$ , deci $S = \frac{18}{2} = 9$ .

Când unul dintre vârfuri este chiar originea, determinantul se simplifică singur și rămâne o formulă de două produse: $S_{O A B} = \frac{1}{2} ∣ x_{A} y_{B} - x_{B} y_{A} ∣ .$ Pentru $A (3, 1)$ și $B (1, 4)$ ea dă $S = \frac{∣ 12 - 1 ∣}{2} = \frac{11}{2}$ , în câteva secunde. Merită reținută, pentru că enunțurile de examen aleg des originea ca vârf.

Modulul din formulă nu e decorativ: determinantul își schimbă semnul dacă schimbi între ele două linii, adică dacă numeri vârfurile în altă ordine, dar aria rămâne aceeași. Un rezultat negativ la arie înseamnă întotdeauna că modulul a fost uitat.

6. Cum reduci un unghi la primul cadran?

Toată trigonometria de Subiectul I stă pe un tabel de opt valori și pe patru reguli de reducere. Tabelul, mai întâi:

$x$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$
$sin x$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$
$cos x$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$tg x$	$0$	$\frac{3}{3}$	$1$	$3$	nu există

Regulile de reducere la primul cadran, scrise compact: $sin (π - x) = sin x, cos (π - x) = - cos x, sin (π + x) = - sin x, cos (2 π - x) = cos x .$

Semnele se rețin cel mai ușor din cadranul în care cade unghiul: în cadranul I toate funcțiile sunt pozitive, în al II-lea doar sinusul, în al III-lea doar tangenta și cotangenta, în al IV-lea doar cosinusul.

Cerința 9 (5 p). Calculați $E = sin \frac{5 π}{6} + cos \frac{2 π}{3}$ . Rezolvare-model: $\frac{5 π}{6} = π - \frac{π}{6}$ , deci $sin \frac{5 π}{6} = sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ ; $\frac{2 π}{3} = π - \frac{π}{3}$ , deci $cos \frac{2 π}{3} = - cos \frac{π}{3} = - \frac{1}{2}$ . Rezultă $E = 0$ .

7. Ce identități și ecuații trigonometrice se cer la Subiectul I?

Formula fundamentală, $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ , rezolvă singură cel mai frecvent tip de cerință: se dă o funcție trigonometrică și cadranul, se cere alta. Rețeta are trei pași — se calculează pătratul funcției căutate, se extrage radicalul, se alege semnul după cadran.

Cerința 10 (5 p). Se știe că $sin x = \frac{3}{5}$ , cu $x \in (\frac{π}{2}, π)$ . Calculați $cos x$ și $tg x$ . Rezolvare-model: $cos^{2} x = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ , deci $cos x = \pm \frac{4}{5}$ ; cum $x$ este în cadranul al II-lea, cosinusul este negativ, deci $cos x = - \frac{4}{5}$ și $tg x = \frac{sin x}{cos x} = - \frac{3}{4}$ .

Din aceleași date se cere adesea și unghiul dublu, cu formulele unghiului dublu: $sin 2 x = 2 sin x cos x, cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x = 1 - 2 sin^{2} x .$ Pentru valorile de mai sus, $sin 2 x = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot (- \frac{4}{5}) = - \frac{24}{25}$ și $cos 2 x = 1 - 2 \cdot \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$ .

A treia familie de formule cerută la Subiectul I este cea a sumei și diferenței: $sin (a \pm b) = sin a cos b \pm cos a sin b, cos (a \pm b) = cos a cos b \mp sin a sin b .$ Ea servește la două lucruri: la calculul valorilor „nestandard", scriindu-le ca sumă de unghiuri cunoscute — de pildă $sin 7 5^{\circ} = sin (4 5^{\circ} + 3 0^{\circ}) = \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6 + 2}{4}$ — și la simplificarea unei expresii înainte de a o calcula. Atenție la semnul de jos din formula cosinusului: el este opus celui din paranteză.

Ecuațiile trigonometrice elementare apar aproape întotdeauna cu interval precizat, ceea ce le scurtează mult: nu se scrie mulțimea generală de soluții, ci se caută direct soluțiile din interval. Pentru $sin x = \frac{1}{2}$ cu $x \in [0, π]$ , soluțiile sunt $x = \frac{π}{6}$ și $x = \frac{5 π}{6}$ ; pentru $2 cos x + 1 = 0$ cu $x \in [0, 2 π)$ , avem $cos x = - \frac{1}{2}$ , deci $x \in {\frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}}$ .

8. Când se folosesc teorema cosinusului și teorema sinusurilor?

Ultimele trei formule ale capitolului lucrează în triunghiul $A B C$ cu laturile $a$ , $b$ , $c$ și unghiurile $A$ , $B$ , $C$ : $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A, \frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R, S = \frac{1}{2} b c sin A .$

Teorema cosinusului se folosește în două sensuri: „două laturi și unghiul dintre ele" dă a treia latură, iar „trei laturi" dă orice unghi, prin formula rescrisă $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ . Teorema sinusurilor leagă o latură de unghiul opus ei și de raza cercului circumscris. Formula ariei cu sinus vine din lecția despre aria triunghiului și cere exact două laturi și unghiul dintre ele.

Cerința 11 (5 p). În triunghiul $A B C$ se cunosc $b = 3$ , $c = 5$ și $A = 6 0^{\circ}$ . Calculați $a$ și aria triunghiului. Rezolvare-model: $a^{2} = 9 + 25 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 19$ , deci $a = 19$ ; aria este $S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{3}{2} = \frac{15 3}{4}$ .

Trusa de control, de trecut înainte de a schimba cerința: la geometrie analitică, am verificat că punctul dat chiar satisface ecuația scrisă? am pus modul la arie? am tratat separat cazul dreptei verticale? La trigonometrie: am ales semnul după cadran? am rămas în intervalul cerut? am scris rezultatul exact, cu radical, nu aproximat cu zecimale?

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Distanță, mijloc și simetric

Se dau punctele $A (- 2, 1)$ și $B (4, 9)$ . Calculați $A B$ , coordonatele mijlocului $M$ al segmentului $[A B]$ și coordonatele simetricului lui $A$ față de $B$ .

$A B^{2} = (4 + 2)^{2} + (9 - 1)^{2} = 36 + 64 = 100$ , deci $A B = 10$ .

$M (\frac{- 2 + 4}{2}, \frac{1 + 9}{2}) = M (1, 5)$ .

Simetricul $A^{'}$ al lui $A$ față de $B$ verifică: $B$ este mijlocul lui $[A A^{'}]$ , deci $x_{A^{'}} = 2 \cdot 4 - (- 2) = 10$ și $y_{A^{'}} = 2 \cdot 9 - 1 = 17$ . Așadar $A^{'} (10, 17)$ .

Controlul: $B A^{'} = (10 - 4)^{2} + (17 - 9)^{2} = 10 = A B$ , cum era de așteptat.

Exemplul 2 — Ecuația unei drepte și panta ei

Scrieți ecuația dreptei $d$ care trece prin punctele $A (1, 0)$ și $B (0, 3)$ , apoi determinați panta dreptei $2 x + 3 y - 6 = 0$ și precizați dacă cele două drepte sunt paralele.

Panta lui $d$ este $m_{d} = \frac{3 - 0}{0 - 1} = - 3$ , deci $y - 0 = - 3 (x - 1)$ , adică $3 x + y - 3 = 0$ .

Dreapta $2 x + 3 y - 6 = 0$ are panta $- \frac{2}{3}$ .

Cum $- 3 \neq = - \frac{2}{3}$ , dreptele nu sunt paralele; ele se intersectează într-un punct.

Exemplul 3 — Aria unui triunghi din coordonate

Calculați aria triunghiului cu vârfurile $A (1, 0)$ , $B (0, 3)$ , $C (4, 5)$ .

$Δ = 104035111 = 1 (3 - 5) - 0 (0 - 4) + (0 \cdot 5 - 4 \cdot 3) = - 2 + 0 - 12 = - 14.$

Aria este $S = \frac{1}{2} ∣ - 14 ∣ = 7$ .

Controlul prin altă cale: latura $A B$ are lungimea $1 + 9 = 10$ și stă pe dreapta $3 x + y - 3 = 0$ ; distanța de la $C (4, 5)$ la ea este $\frac{∣ 12 + 5 - 3 ∣}{10} = \frac{14}{10}$ , iar $S = \frac{1}{2} 10 \cdot \frac{14}{10} = 7$ . Aceeași valoare.

Exemplul 4 — Expresie trigonometrică cu reduceri

Calculați $E = sin \frac{2 π}{3} - cos \frac{5 π}{6}$ .

$\frac{2 π}{3} = π - \frac{π}{3}$ , deci $sin \frac{2 π}{3} = sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}$ .

$\frac{5 π}{6} = π - \frac{π}{6}$ , deci $cos \frac{5 π}{6} = - cos \frac{π}{6} = - \frac{3}{2}$ .

Prin urmare $E = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 3$ .

Atenție la semne: ambele unghiuri sunt în cadranul al II-lea, unde sinusul e pozitiv și cosinusul negativ. Cine uită minusul obține $0$ — o greșeală care costă toate cele cinci puncte.

Exemplul 5 — Unghiul unui triunghi din trei laturi

În triunghiul $A B C$ se cunosc $a = 7$ , $b = 3$ și $c = 5$ . Calculați $cos A$ și măsura unghiului $A$ .

Din teorema cosinusului, rescrisă pentru unghi: $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c} = \frac{9 + 25 - 49}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{- 15}{30} = - \frac{1}{2} .$

Cum $A$ este unghi de triunghi, deci $A \in (0^{\circ}, 18 0^{\circ})$ , din $cos A = - \frac{1}{2}$ rezultă $A = 12 0^{\circ}$ .

Semnul spune totul: cosinus negativ înseamnă unghi obtuz. Se putea vedea și fără calcul: $a^{2} = 49 > b^{2} + c^{2} = 34$ .

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Șase cerințe independente, de câte cinci puncte, exact în formatul Subiectului I.

a) Calculați distanța dintre punctele $A (2, 1)$ și $B (6, 4)$ . $A B^{2} = 16 + 9 = 25$ , deci $A B = 5$ .

b) Determinați $a \in R$ pentru care dreptele $3 x - y + 1 = 0$ și $a x + 3 y - 5 = 0$ sunt perpendiculare. Pantele sunt $3$ și $- \frac{a}{3}$ ; condiția $3 \cdot (- \frac{a}{3}) = - 1$ dă $a = 1$ .

c) Arătați că punctele $A (2, 1)$ , $B (4, 5)$ și $C (6, 9)$ sunt coliniare. $m_{A B} = \frac{5 - 1}{4 - 2} = 2$ și $m_{B C} = \frac{9 - 5}{6 - 4} = 2$ ; pantele fiind egale și punctele având un punct comun $B$ , cele trei puncte sunt coliniare.

d) Calculați aria triunghiului cu vârfurile $O (0, 0)$ , $A (3, 1)$ , $B (1, 4)$ . $Δ = 0 (1 - 4) - 0 (3 - 1) + (3 \cdot 4 - 1 \cdot 1) = 11$ , deci $S = \frac{11}{2}$ .

e) Calculați $sin \frac{π}{6} + cos \frac{π}{3} + tg \frac{π}{4}$ . $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1 = 2$ .

f) În triunghiul $A B C$ se cunosc $A B = 6$ , $A C = 8$ și $A = 6 0^{\circ}$ . Calculați $B C$ . $B C^{2} = 36 + 64 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 52$ , deci $B C = 213$ .

Să exersăm

1. Calculați distanța dintre punctele $A (1, 2)$ și $B (4, 6)$ .

2. Determinați coordonatele mijlocului segmentului $[A B]$ , unde $A (- 3, 2)$ și $B (7, - 6)$ .

3. Determinați coordonatele simetricului punctului $A (1, 2)$ față de punctul $M (3, 5)$ .

4. Determinați panta dreptei care trece prin punctele $A (1, 2)$ și $B (4, 6)$ .

5. Scrieți ecuația dreptei care trece prin $A (2, - 1)$ și are panta $3$ .

6. Determinați panta dreptei de ecuație $2 x + 3 y - 6 = 0$ .

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice dreaptă din plan are pantă."

8. Determinați $a \in R$ pentru care dreptele $y = 2 x - 1$ și $y = (a - 1) x + 3$ sunt paralele.

9. Determinați coordonatele punctului de intersecție a dreptelor $2 x - y = 1$ și $x + y = 5$ .

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Calculați aria triunghiului cu vârfurile $A (1, 1)$ , $B (5, 2)$ și $C (3, 6)$ .

11. Arătați că punctele $A (1, 3)$ , $B (2, 5)$ și $C (4, 8)$ nu sunt coliniare.

12. Calculați distanța de la punctul $A (1, 1)$ la dreapta $h : 4 x + 3 y - 17 = 0$ .

13. Calculați $sin \frac{5 π}{6} + cos \frac{2 π}{3}$ .

14. Se știe că $tg x = \frac{3}{4}$ , cu $x \in (0, \frac{π}{2})$ . Calculați $sin x$ și $cos x$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se știe că $sin x = \frac{3}{5}$ , cu $x \in (\frac{π}{2}, π)$ . Calculați $cos 2 x$ .

16. Rezolvați ecuația $2 cos x - 3 = 0$ , cu $x \in [0, 2 π)$ .

17. (Problemă aplicată.) În triunghiul $A B C$ se cunosc $a = 8$ și $A = 3 0^{\circ}$ . Calculați raza cercului circumscris triunghiului.

18. (Provocare.) În triunghiul $A B C$ se cunosc $b = 4$ , $c = 5$ și $A = 6 0^{\circ}$ . Calculați latura $a$ , aria triunghiului și raza cercului circumscris.

Răspunsuri și explicații

1. $A B^{2} = (4 - 1)^{2} + (6 - 2)^{2} = 9 + 16 = 25$ , deci $A B = 5$ .

2. $x_{M} = \frac{- 3 + 7}{2} = 2$ , $y_{M} = \frac{2 - 6}{2} = - 2$ , deci $M (2, - 2)$ .

3. $x_{A^{'}} = 2 \cdot 3 - 1 = 5$ și $y_{A^{'}} = 2 \cdot 5 - 2 = 8$ , deci $A^{'} (5, 8)$ . Verificare: mijlocul lui $[A A^{'}]$ este $(\frac{1 + 5}{2}, \frac{2 + 8}{2}) = (3, 5) = M$ .

4. $m = \frac{6 - 2}{4 - 1} = \frac{4}{3}$ .

5. $y + 1 = 3 (x - 2)$ , adică $y = 3 x - 7$ , sau $3 x - y - 7 = 0$ . Verificare: pentru $x = 2$ obținem $y = - 1$ .

6. Din $3 y = - 2 x + 6$ rezultă $y = - \frac{2}{3} x + 2$ , deci panta este $- \frac{2}{3}$ . Direct: $m = - \frac{a}{b} = - \frac{2}{3}$ .

7. Fals. Dreptele verticale, de ecuație $x = x_{0}$ , nu au pantă: raportul $\frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ are numitorul nul. Ele se recunosc în forma generală după $b = 0$ .

8. Condiția de paralelism este egalitatea pantelor: $a - 1 = 2$ , deci $a = 3$ . Dreptele rămân distincte, pentru că au ordonate la origine diferite.

9. Adunând ecuațiile obținem $3 x = 6$ , deci $x = 2$ , apoi $y = 3$ . Punctul de intersecție este $(2, 3)$ ; el verifică ambele ecuații.

10. $Δ = 1 (2 - 6) - 1 (5 - 3) + (5 \cdot 6 - 3 \cdot 2) = - 4 - 2 + 24 = 18$ , deci $S = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$ .

11. $Δ = 1 (5 - 8) - 3 (2 - 4) + (2 \cdot 8 - 4 \cdot 5) = - 3 + 6 - 4 = - 1 \neq = 0$ , deci punctele nu sunt coliniare. Ele formează un triunghi de arie $\frac{1}{2}$ .

12. $d (A, h) = \frac{∣ 4 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - 17 ∣}{16 + 9} = \frac{10}{5} = 2$ .

13. $sin \frac{5 π}{6} = sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ și $cos \frac{2 π}{3} = - cos \frac{π}{3} = - \frac{1}{2}$ , deci suma este $0$ .

14. Din $tg x = \frac{sin x}{cos x} = \frac{3}{4}$ și $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ , cu ambele funcții pozitive în cadranul I, obținem $sin x = \frac{3}{5}$ și $cos x = \frac{4}{5}$ . (Se recunoaște triunghiul $3$ – $4$ – $5$ .)

15. $cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x = 1 - 2 \cdot \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$ . Formula aleasă nu are nevoie de semnul cosinusului, deci nu apare nicio ambiguitate.

16. $cos x = \frac{3}{2}$ ; pe $[0, 2 π)$ soluțiile sunt $x = \frac{π}{6}$ (cadranul I) și $x = \frac{11 π}{6}$ (cadranul al IV-lea, unde cosinusul e tot pozitiv).

17. Din teorema sinusurilor, $\frac{a}{sin A} = 2 R$ , deci $2 R = \frac{8}{sin 3 0 ^{\circ}} = \frac{8}{1/2} = 16$ și $R = 8$ .

18. $a^{2} = 16 + 25 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 21$ , deci $a = 21$ . Aria este $S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \frac{3}{2} = 53$ . Din teorema sinusurilor, $2 R = \frac{21}{3 /2} = \frac{2 21}{3} = 27$ , deci $R = 7$ .

De reținut

Distanța și mijlocul se calculează din aceleași două coordonate, cu Pitagora, respectiv cu media aritmetică; simetricul unui punct iese din formula mijlocului, citită invers.
Panta unei drepte neverticale este $m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ , iar din forma generală $a x + b y + c = 0$ se citește direct ca $m = - \frac{a}{b}$ ; dreapta verticală nu are pantă.
Paralelismul înseamnă pante egale, perpendicularitatea înseamnă produsul pantelor egal cu $- 1$ — și, în formă generală, $a_{1} b_{2} = a_{2} b_{1}$ , respectiv $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$ .
Același determinant $3 \times 3$ decide coliniaritatea (când e nul) și dă aria triunghiului, prin formula $S = \frac{1}{2} ∣ Δ ∣$ , în care modulul este obligatoriu.
În trigonometrie, semnul se alege după cadran, nu după formulă: formula fundamentală dă pătratul, cadranul dă semnul, iar rezultatul se lasă exact, cu radical.

Greșeli frecvente

Se scrie panta ca $\frac{x _{B} - x _{A}}{y _{B} - y _{A}}$ . Corect: la numărător stă diferența ordonatelor, la numitor cea a absciselor; o verificare rapidă e că o dreaptă care urcă trebuie să aibă panta pozitivă.
Se împarte la $x_{B} - x_{A}$ fără a verifica dacă e nul. Corect: dacă $x_{A} = x_{B}$ , dreapta este verticală, nu are pantă și se scrie direct $x = x_{A}$ .
Se dă aria unui triunghi ca număr negativ. Corect: aria este $\frac{1}{2} ∣ Δ ∣$ ; semnul determinantului depinde doar de ordinea în care ai scris vârfurile.
Se ia semnul plus la radical, din obișnuință. Corect: din $cos^{2} x = \frac{16}{25}$ rezultă $cos x = \pm \frac{4}{5}$ , iar cadranul precizat în enunț decide care dintre cele două valori este cea bună.
Se scriu toate soluțiile generale ale unei ecuații trigonometrice când enunțul cere un interval. Corect: dacă se cere $x \in [0, 2 π)$ , răspunsul este mulțimea finită de valori din acel interval, nu familia cu $k \in Z$ .

Aplică acasă

Fișa celor zece tipuri. Copiază tabelul din secțiunea 1 pe o singură pagină și adaugă lângă fiecare tip un exemplu rezolvat de două rânduri, cu numerele tale. Este pagina pe care o recitești în ultima seară dinaintea probei.
Triunghiul unic. Alege trei puncte cu coordonate întregi și calculează, pentru triunghiul lor: lungimile laturilor, ecuațiile celor trei drepte-suport, aria cu determinantul și aria cu formula bază-înălțime. Cele două arii trebuie să coincidă — dacă nu, ai găsit singur eroarea.
Cercul trigonometric desenat de mână. Desenează cercul, marchează unghiurile $\frac{π}{6}$ , $\frac{π}{4}$ , $\frac{π}{3}$ și pe toate simetricele lor din celelalte trei cadrane, apoi scrie, pentru fiecare, sinusul și cosinusul. Vei avea în față toate reducerile, fără să înveți nicio formulă pe de rost.

Pentru părinți și profesori

Lecția recapitulează, în formatul Subiectului I, geometria analitică din clasa a XI-a și trigonometria din clasa a IX-a. Ea nu re-predă capitolele: fiecare tip de cerință trimite la lecția-sursă, iar accentul cade pe recunoașterea tipului și pe redactarea scurtă, care ia toate cele cinci puncte.

O precizare de traseu, utilă profesorului: la profilul matematică-informatică geometria analitică se face în clasa a XI-a, în unitatea de drepte în plan, nu în clasa a IX-a. De aceea toate trimiterile de aici merg spre lecțiile 43–55 ale clasei a XI-a. Vectorii nu apar deloc pe acest traseu, iar cerințele de examen din această zonă nu îi cer.

Ce verifică lecția: (1) calculul unei distanțe și al unui mijloc, cu verificare; (2) scrierea ecuației unei drepte în cele trei forme și trecerea între ele; (3) folosirea condițiilor de paralelism și de perpendicularitate; (4) coliniaritatea și aria cu același determinant; (5) reducerea la primul cadran și alegerea semnului după cadran; (6) teorema cosinusului, teorema sinusurilor și formula ariei cu sinus.

Întrebări bune de control: „Ce se întâmplă dacă dreapta e verticală?", „De unde știi ce semn are cosinusul aici?", „Cum verifici că ecuația scrisă e chiar a dreptei cerute?", „De ce ai pus modul la arie?". Semn că elevul e pregătit: la o cerință cu trei puncte date, spune din prima ce va calcula — determinantul — și pentru ce anume, înainte să scrie ceva. La BAC M1, aceste cerințe ocupă de regulă două dintre cele șase poziții ale Subiectului I.

Întrebări frecvente

Cum se calculează distanța dintre două puncte în plan? Cu formula $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ , care este teorema lui Pitagora aplicată triunghiului dreptunghic cu catetele paralele cu axele. Ordinea scăderilor nu contează, pentru că diferențele sunt ridicate la pătrat. Sfat de calcul: lucrează cu $A B^{2}$ până la ultimul pas.

Care este condiția ca două drepte să fie perpendiculare? Produsul pantelor lor trebuie să fie $- 1$ , adică $m_{1} m_{2} = - 1$ . Condiția are sens doar pentru drepte neverticale; dacă una dintre ele este verticală, perpendiculara pe ea este orizontală, iar condiția se citește direct din desen, fără pante.

Cum arăt că trei puncte sunt coliniare? Cel mai rapid, cu determinantul format din coordonatele lor și o coloană de $1$ : punctele sunt coliniare dacă și numai dacă determinantul este nul. A doua cale, la fel de bună la examen, este compararea pantelor a două dintre dreptele determinate de ele: pante egale plus un punct comun înseamnă coliniaritate.

Cum reduc un unghi la primul cadran? Scrii unghiul ca $π - x$ , $π + x$ sau $2 π - x$ , cu $x$ în primul cadran, apoi aplici formula de reducere corespunzătoare. Valoarea absolută rămâne aceeași cu cea a unghiului $x$ , iar semnul se ia din cadranul în care cade unghiul inițial.

De ce trebuie să știu cadranul când folosesc formula fundamentală? Pentru că formula $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ dă pătratul funcției căutate, deci două valori posibile, opuse. Doar cadranul spune care dintre ele este cea reală: în cadranul al II-lea, de exemplu, sinusul este pozitiv, iar cosinusul negativ.

Când folosesc teorema cosinusului și când teorema sinusurilor? Teorema cosinusului leagă trei laturi și un unghi, deci se folosește la „două laturi și unghiul dintre ele" sau la „trei laturi". Teorema sinusurilor leagă o latură de unghiul opus ei, deci se folosește când ai perechi latură–unghi opus sau când se cere raza cercului circumscris.

Ce fac dacă rezultatul unei arii îmi iese negativ? Înseamnă că ai uitat modulul. Determinantul $3 \times 3$ își schimbă semnul când schimbi între ele două vârfuri, deci semnul lui depinde de ordinea în care ai scris punctele; aria, fiind o mărime pozitivă, este $\frac{1}{2} ∣ Δ ∣$ .

Cât de exact trebuie scris răspunsul la trigonometrie? Exact, cu radicali și fracții: $\frac{3}{2}$ , nu $0, 87$ . Baremele de Bacalaureat M1 punctează forma exactă, iar aproximările zecimale se acceptă doar la problemele aplicate, unde enunțul cere explicit un rezultat aproximativ.