Subiectul I: complexe, exponențiale, logaritmi: pe scurt

Un număr complex se scrie $z=a+bi$, cu $i^2=-1$; operațiile se fac ca la binoame, iar împărțirea are o singură rețetă — amplificarea cu conjugatul numitorului, pentru că $(c+di)(c-di)=c^2+d^2$. Merită știute pe de rost $(1+i{)}^2=2i$ și $(1-i{)}^2=-2i$. Conjugatul este $\bar{z}=a-bi$, modulul $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$, iar relația care le leagă, $z\bar{z}=|z{|}^2$; din $|z^n|=|z{|}^n$ se află modulul unei puteri fără a o calcula. Puterile lui $i$ se repetă din patru în patru, deci $i^n=i^r$, unde $r$ este restul împărțirii lui $n$ la $4$. Când $\Delta <0$, ecuația de gradul al doilea are două soluții complexe conjugate, $x_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta }}{2a}$, iar relațiile lui Viète rămân neschimbate. Pentru exponenți mari se trece la forma trigonometrică și se aplică formula lui Moivre, $z^n=r^n(\cos n\phi +i\sin n\phi )$, cu argumentul ales din cadran. Ecuațiile exponențiale se rezolvă prin aceeași bază, substituție ($t=a^x>0$) sau factor comun; la cele logaritmice, condițiile de existență se scriu înaintea oricărui calcul, iar soluțiile care nu le respectă se resping motivat.

Exerciții din această mini-lecție

1. Numărul $i^{115}$ este egal cu:

   • a) $-i$
   • b) $i$
   • c) $-1$
   • d) $1$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $-i$

   Puterile lui $i$ se repetă din patru în patru, deci se împarte exponentul la $4$ și se citește restul: $115=4\cdot 28+3$, iar $i^{115}=i^3=-i$. Fiecare dintre celelalte variante corespunde altui rest: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^4=1$. Control: $i^{112}={\left(i^4\right)}^{28}=1$, deci $i^{115}=i^3$.

2. Partea reală a numărului $z=\frac{2+i}{1-i}$ este egală cu:

   • a) $\frac{3}{2}$
   • b) $2$
   • c) $\frac{1}{2}$
   • d) $-\frac{1}{2}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\frac{1}{2}$

   Se amplifică cu conjugatul numitorului: $z=\frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2+2i+i-1}{2}=\frac{1+3i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$. Deci $\mathrm{Re}(z)=\frac{1}{2}$, iar $\frac{3}{2}$ este partea imaginară — confuzia cea mai frecventă. Varianta $2$ împarte părțile reale între ele, iar ultima greșește semnul lui $i^2$.

3. Fie $x_1$ și $x_2$ soluțiile complexe ale ecuației $x^2-6x+25=0$. Atunci $x_1^2+x_2^2$ este egal cu:

   • a) $36$
   • b) $14$
   • c) $-50$
   • d) $-14$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $-14$

   Nu e nevoie de rădăcini: din relațiile lui Viète, $x_1+x_2=6$ și $x_1{x}_2=25$, iar identitatea $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2$ dă $36-50=-14$. Varianta $36$ oprește calculul la pătratul sumei, varianta $14$ greșește semnul, iar $-50$ păstrează doar al doilea termen. Control direct: $\Delta =-64$, deci $x_{1,2}=3\pm 4i$ și $(3+4i{)}^2+(3-4i{)}^2=-7+24i-7-24i=-14$ ✓.