Subiectul I: numere complexe, exponențiale și logaritmi

Trei litere fac cele mai multe cerințe din a doua jumătate a Subiectului I: $i$, $\log$ și baza unei puteri. Un număr complex de calculat, o ecuație exponențială rezolvată prin substituție, o ecuație logaritmică la care jumătate din punctaj se ia pe condițiile de existență — tipare care se repetă din variantă în variantă. Recapitularea aceasta de clasa a 12-a le adună pe toate și le pune în formatul lor de examen: o cerință, cinci puncte, trei rânduri de rezolvare. La Subiectul I de la Bacalaureat M1, cerințele cu numere complexe se rezolvă în formă algebrică, cu conjugatul și modulul, iar cele cu exponențiale și logaritmi cer substituția potrivită și condițiile de existență scrise înaintea calculului.

Ca și celelalte recapitulări ale unității, lecția nu re-predă capitolele clasei a X-a, ci le antrenează în forma cerută de barem. Structura probei e descrisă în lecția despre structura examenului de Bacalaureat M1, iar tipurile de cerințe din prima jumătate a Subiectului I au fost recapitulate la combinatorică și probabilități și la geometrie analitică și trigonometrie.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi cu numere complexe în formă algebrică, inclusiv împărțirea prin amplificare cu conjugatul.
• Vei ști să folosești modulul și conjugatul cu proprietățile care scurtează calculul.
• Vei ști să reduci orice putere $i^n$ la una dintre cele patru valori posibile.
• Vei ști să rezolvi ecuațiile de gradul al doilea în $\mathbb{C}$ și să aplici relațiile lui Viète pentru rădăcini complexe.
• Vei ști să treci la forma trigonometrică și să ridici la putere cu formula lui Moivre.
• Vei ști să rezolvi ecuațiile și inecuațiile exponențiale și logaritmice cerute la Subiectul I, cu condițiile lor de existență.

Hai să descoperim împreună

1. Ce se cere din numere complexe și din exponențiale la Subiectul I?

Numărul complex este un număr de forma $z=a+bi$, cu $a,b\in \mathbb{R}$ și $i^2=-1$; numărul real $a$ se numește partea reală, $\mathrm{Re}(z)$, iar $b$ partea imaginară, $\mathrm{Im}(z)$. Cu acest singur obiect și cu funcțiile exponențială și logaritmică se construiesc zece tipuri de cerințe, adunate aici:

Notațiile rămân cele din clasa a X-a: conjugatul se scrie $\bar{z}$, modulul $|z|$, argumentul redus $\phi \in [0,2\pi )$, iar logaritmii ${\log }_a$, $\lg$ (baza $10$) și $\ln$ (baza $e$).

2. Cum se calculează cu numere complexe în formă algebrică?

Adunarea și scăderea se fac pe componente, iar înmulțirea se face ca la binoame, cu singura regulă nouă $i^2=-1$: $$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.$$

Împărțirea are o singură rețetă, valabilă întotdeauna: se amplifică fracția cu conjugatul numitorului, pentru că $(c+di)(c-di)=c^2+d^2$ este un număr real pozitiv.

Cerința 1 (5 p). Calculați $(3+2i)(1-i)$. Rezolvare-model: $3-3i+2i-2i^2=3-i+2=5-i$.

Cerința 2 (5 p). Calculați $\frac{1+i}{1-i}$. Rezolvare-model: amplificăm cu $1+i$ și obținem $\frac{(1+i{)}^2}{(1-i)(1+i)}=\frac{2i}{2}=i$.

Tot de aici vine și un tip de cerință cu parametru real, care se rezolvă cu egalitatea a două numere complexe: $a+bi=c+di$ dacă și numai dacă $a=c$ și $b=d$. Un enunț de tipul „determinați $x\in \mathbb{R}$ pentru care numărul $(x-2)+3i$ este imaginar pur" cere doar anularea părții reale, deci $x=2$; iar „pentru care este real" ar cere anularea părții imaginare, imposibilă aici, pentru că ea este constanta $3$.

Două produse merită reținute pe de rost, pentru că apar în jumătate din cerințe: $(1+i{)}^2=2i$ și $(1-i{)}^2=-2i$. Din primul iese imediat, de pildă, $(1+i{)}^8={\left((1+i{)}^2\right)}^4=(2i{)}^4=16i^4=16$ — fără nicio dezvoltare binomială.

3. Ce proprietăți au conjugatul și modulul unui număr complex?

Conjugatul lui $z=a+bi$ este $\bar{z}=a-bi$, iar modulul este $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. Relația care le leagă este cea mai folosită din capitol: $$z\cdot \bar{z}=a^2+b^2=|z{|}^2.$$

Proprietățile care se cer la Subiectul I sunt puține și se folosesc mereu în aceeași direcție — ca să scape rezolvarea de calcule:

Cerința 3 (5 p). Calculați $|z|$ pentru $z=3+4i$, apoi arătați că $z\bar{z}$ este număr real. Rezolvare-model: $|z|=\sqrt{9+16}=5$; iar $z\bar{z}=|z{|}^2=25\in \mathbb{R}$.

Cerința 4 (5 p). Calculați $|(1+i{)}^{10}|$. Rezolvare-model: $|1+i|=\sqrt{2}$, deci $|(1+i{)}^{10}|={\left(\sqrt{2}\right)}^{10}=2^5=32$. (Verificare: $(1+i{)}^{10}=(2i{)}^5=32i^5=32i$, cu modulul $32$.)

4. Cât este $i^n$?

Puterile lui $i$ se repetă din patru în patru: $$i^1=i,i^2=-1,i^3=-i,i^4=1,$$ și de la $i^5$ ciclul reîncepe. Regula de calcul, singura care trebuie știută: se împarte exponentul la $4$ și se citește restul; $i^n=i^r$, unde $r$ este restul împărțirii lui $n$ la $4$, cu convenția $i^0=1$.

Cerința 5 (5 p). Calculați $i^{2026}$. Rezolvare-model: $2026=4\cdot 506+2$, deci restul este $2$ și $i^{2026}=i^2=-1$.

Din ciclu iese și o consecință folosită des la sume: patru puteri consecutive ale lui $i$ dau întotdeauna suma zero, pentru că $i+i^2+i^3+i^4=i-1-i+1=0$. De aceea $i+i^2+\cdots +i^{100}=0$: sunt $25$ de grupe complete de câte patru termeni.

5. Cum se rezolvă ecuațiile de gradul al doilea în $\mathbb{C}$?

Când discriminantul unei ecuații cu coeficienți reali este negativ, ecuația nu are soluții reale, dar are două soluții complexe conjugate. Se scrie $\sqrt{\Delta }=i\sqrt{-\Delta }$ și se aplică formula obișnuită: $$x_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta }}{2a},\Delta =b^2-4ac<0.$$

Cerința 6 (5 p). Rezolvați în $\mathbb{C}$ ecuația $x^2-2x+5=0$. Rezolvare-model: $\Delta =4-20=-16$, deci $\sqrt{\Delta }=4i$ și $x_{1,2}=\frac{2\pm 4i}{2}=1\pm 2i$.

Cazul cel mai scurt este cel al ecuației incomplete: $x^2+9=0$ se scrie $x^2=-9$, deci $x=\pm 3i$, fără discriminant și fără formulă. La fel, $x^2+a=0$ cu $a>0$ are soluțiile $\pm i\sqrt{a}$.

Relațiile lui Viète rămân neschimbate, $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ și $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$, și rezolvă singure cerințele de tipul „calculați $x_1^2+x_2^2$" — prin identitatea $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2$, fără să afli rădăcinile. Pentru ecuația de mai sus, $x_1+x_2=2$, $x_1{x}_2=5$ și $x_1^2+x_2^2=4-10=-6$.

O observație care se cere uneori explicit: pentru o ecuație cu coeficienți reali, rădăcinile complexe vin întotdeauna în perechi conjugate. De aceea suma lor, fiind $z+\bar{z}=2\mathrm{Re}(z)$, este reală, iar produsul, fiind $z\bar{z}=|z{|}^2$, este real și pozitiv.

6. Când treci la forma trigonometrică și cum aplici formula lui Moivre?

Orice număr complex nenul se scrie $$z=r(\cos \phi +i\sin \phi ),r=|z|,\phi \in [0,2\pi ),$$ unde $\phi$ este argumentul redus, determinat din $\cos \phi =\frac{a}{r}$ și $\sin \phi =\frac{b}{r}$ — deci din cadranul în care se află imaginea geometrică a lui $z$.

Formula lui Moivre spune că ridicarea la putere înmulțește argumentul și ridică modulul: $$z^n=r^n\left(\cos n\phi +i\sin n\phi \right),n\in \mathbb{Z}.$$

Criteriul de alegere între cele două forme e simplu: pentru exponenți mici ($2$, $3$, $4$) e mai rapid calculul direct în formă algebrică; de la $5$ în sus, forma trigonometrică e mai scurtă și mai sigură.

Cerința 7 (5 p). Calculați ${\left(1+i\sqrt{3}\right)}^6$. Rezolvare-model: $r=\sqrt{1+3}=2$; din $\cos \phi =\frac{1}{2}$ și $\sin \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$ rezultă $\phi =\frac{\pi }{3}$. Atunci $$z^6=2^6\left(\cos 2\pi +i\sin 2\pi \right)=64\cdot 1=64.$$

Aceeași formulă, citită invers, rezolvă ecuațiile binome $z^n=a$: se scrie membrul drept în formă trigonometrică și se împart argumentele. Pentru $z^3=1$, cele trei soluții sunt rădăcinile de ordinul al treilea ale unității, $${\epsilon }_k=\cos \frac{2k\pi }{3}+i\sin \frac{2k\pi }{3},k\in \{0,1,2\},$$ adică ${\epsilon }_0=1$, ${\epsilon }_1=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ și ${\epsilon }_2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$. Imaginile lor sunt vârfurile unui triunghi echilateral înscris în cercul unitate, iar suma lor este $0$ — un control rapid al rezultatului.

7. Cum rezolvi o ecuație exponențială la Subiectul I?

Funcția exponențială $f(x)=a^x$, cu $a>0$ și $a\ne 1$, este injectivă, iar asta dă regula de bază a capitolului: $$a^u=a^v⟺u=v.$$

Rețeta are trei tipare, în ordinea în care se încearcă:

Etapa 1 — aceeași bază. Se scriu ambii membri ca puteri ale aceleiași baze și se egalează exponenții. Pentru $2^{x+1}=8$ scriem $8=2^3$, deci $x+1=3$ și $x=2$. Etapa 2 — substituția. Când apar $a^{2x}$ și $a^x$, se notează $t=a^x>0$ și se obține o ecuație de gradul al doilea. Se rezolvă, se elimină soluțiile nepozitive, apoi se revine la $x$. Etapa 3 — factorul comun. Când apar $a^x$, $a^{x+1}$, $a^{x+2}$, se dă factor comun $a^x$: din $2^x+2^{x+1}=24$ iese $2^x(1+2)=24$, deci $2^x=8$ și $x=3$.

Cerința 8 (5 p). Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $4^x-3\cdot 2^x+2=0$. Rezolvare-model: notăm $t=2^x>0$; cum $4^x=t^2$, ecuația devine $t^2-3t+2=0$, cu soluțiile $t=1$ și $t=2$, amândouă pozitive. Revenind: $2^x=1$ dă $x=0$, iar $2^x=2$ dă $x=1$.

Un caz aparte, care apare des și derutează, este cel în care membrul drept este $1$: cum $a^0=1$ pentru orice bază admisibilă, ecuația $a^{f(x)}=1$ se reduce la $f(x)=0$. Astfel, $5^{x^2-3x}=1$ înseamnă $x^2-3x=0$, deci $x\in \{0,3\}$ — două soluții, nu una.

La inecuații intervine monotonia, iar sensul se păstrează sau se schimbă după bază: pentru $a>1$ funcția este crescătoare, deci $a^u>a^v⟺u>v$; pentru $0<a<1$ este descrescătoare, deci inegalitatea dintre exponenți se inversează. Așa, $3^x>9⟺x>2$, dar ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x\ge \frac{1}{8}⟺x\le 3$.

8. Cum se rezolvă ecuațiile și inecuațiile logaritmice?

Logaritmul se definește prin echivalența $${\log }_{a}b=c⟺a^c=b,a>0,a\ne 1,b>0,$$ și de aici vine prima obligație a oricărei rezolvări: se scriu condițiile de existență înainte de orice calcul. Tot ce se află sub logaritm trebuie să fie strict pozitiv, iar baza, dacă e literală, trebuie să fie pozitivă și diferită de $1$.

Cerința 9 (5 p). Rezolvați ecuația ${\log }_2(x-1)=3$. Rezolvare-model: condiția de existență este $x-1>0$, adică $x>1$. Din definiție, $x-1=2^3=8$, deci $x=9$, valoare care respectă condiția.

Când apar doi logaritmi, se folosesc proprietățile logaritmilor ca să se ajungă la unul singur, apoi se aplică injectivitatea: ${\log }_{a}u={\log }_{a}v⟺u=v$ (în condițiile de existență). De pildă, $\lg x+\lg (x-3)=1$ are condițiile $x>0$ și $x>3$, deci $x>3$; ecuația devine $\lg \left(x(x-3)\right)=\lg 10$, adică $x^2-3x-10=0$, cu soluțiile $5$ și $-2$. Prima se acceptă, a doua se respinge motivat, pentru că nu respectă condiția.

Cerința 10 (5 p). Rezolvați inecuația ${\log }_{1/2}(x-1)>-2$. Rezolvare-model: condiția de existență este $x>1$. Scriem $-2={\log }_{1/2}4$, iar baza fiind subunitară, funcția e descrescătoare, deci inegalitatea se inversează: $x-1<4$, adică $x<5$. Soluția este $x\in (1,5)$.

Compararea a doi logaritmi se face cu același truc: se aduc la aceeași bază și se compară argumentele, ținând cont de monotonie. Pentru a arăta că ${\log }_{3}5<2$, se scrie $2={\log }_{3}9$; baza fiind supraunitară, din $5<9$ rezultă ${\log }_{3}5<{\log }_{3}9=2$.

Ultima unealtă a capitolului este formula de schimbare a bazei, ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$, care aduce doi logaritmi cu baze diferite la aceeași bază — folosită aici pentru comparare, după ce la Subiectul I: numere reale, radicali, logaritmi, ecuații și inecuații a servit la calculul produselor de logaritmi. Din ea ies două consecințe folosite direct în cerințe: ${\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}c={\log }_{a}c$ — de pildă ${\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}8={\log }_{2}8=3$ — și posibilitatea de a calcula un logaritm „incomod" scriind baza și argumentul ca puteri ale aceluiași număr: ${\log }_{4}8=\frac{{\log }_{2}8}{{\log }_{2}4}=\frac{3}{2}$.

Trusa de control a lecției, de trecut la fiecare cerință: am scris condițiile de existență? am verificat că soluțiile le respectă? la substituție, am impus $t>0$? la inecuații, am privit baza înainte de a păstra sensul? la numere complexe, am înlocuit $i^2$ cu $-1$ peste tot?

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Operații și împărțire în formă algebrică

Calculați $z=\frac{1+2i}{3-i}$ și precizați $\mathrm{Re}(z)$ și $\mathrm{Im}(z)$.

Amplificăm cu conjugatul numitorului: $$z=\frac{(1+2i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}=\frac{3+i+6i+2i^2}{9+1}=\frac{1+7i}{10}=\frac{1}{10}+\frac{7}{10}i.$$

Deci $\mathrm{Re}(z)=\frac{1}{10}$ și $\mathrm{Im}(z)=\frac{7}{10}$.

Controlul: $|1+2i|=\sqrt{5}$, $|3-i|=\sqrt{10}$, deci $|z|=\sqrt{\frac{5}{10}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$; iar din rezultat, $|z|=\frac{\sqrt{1+49}}{10}=\frac{\sqrt{50}}{10}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Aceeași valoare.

Exemplul 2 — Putere mare a lui $i$ și o sumă

Calculați $i^{2027}$ și suma $S=i+i^2+i^3+\cdots +i^{100}$.

$2027=4\cdot 506+3$, deci $i^{2027}=i^3=-i$.

Pentru sumă, grupăm termenii câte patru: fiecare grupă $i^{4k+1}+i^{4k+2}+i^{4k+3}+i^{4k+4}$ este egală cu $i-1-i+1=0$. Cum $100=4\cdot 25$, avem exact $25$ de grupe complete, deci $S=0$.

Exemplul 3 — Ecuație în $\mathbb{C}$ și relațiile lui Viète

Se consideră ecuația $x^2-4x+13=0$. Rezolvați ecuația în $\mathbb{C}$ și calculați $x_1^2+x_2^2$.

$\Delta =16-52=-36$, deci $\sqrt{\Delta }=6i$ și $x_{1,2}=\frac{4\pm 6i}{2}=2\pm 3i$.

Din relațiile lui Viète, $x_1+x_2=4$ și $x_1{x}_2=13$, deci $$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=16-26=-10.$$

Verificare directă: $(2+3i{)}^2=4+12i-9=-5+12i$ și $(2-3i{)}^2=-5-12i$; suma lor este $-10$.

Exemplul 4 — Moivre pe un număr din cadranul al II-lea

Calculați $(-1+i{)}^4$, folosind forma trigonometrică.

$r=|-1+i|=\sqrt{2}$. Din $\cos \phi =-\frac{1}{\sqrt{2}}$ și $\sin \phi =\frac{1}{\sqrt{2}}$, imaginea numărului este în cadranul al II-lea, deci $\phi =\frac{3\pi }{4}$.

Cu formula lui Moivre: $$(-1+i{)}^4={\left(\sqrt{2}\right)}^4\left(\cos 3\pi +i\sin 3\pi \right)=4(-1+0i)=-4.$$

Controlul în formă algebrică: $(-1+i{)}^2=1-2i+i^2=-2i$, iar $(-2i{)}^2=4i^2=-4$. Aceeași valoare — semn că argumentul a fost ales din cadranul corect.

Exemplul 5 — Ecuație logaritmică cu respingere motivată

Rezolvați ecuația $\lg x+\lg (x-3)=1$.

Condiții de existență: $x>0$ și $x-3>0$, deci $x>3$.

Cu proprietatea produsului, ecuația devine $\lg \left(x(x-3)\right)=1=\lg 10$, de unde, prin injectivitate, $x(x-3)=10$, adică $x^2-3x-10=0$.

Rădăcinile sunt $x=5$ și $x=-2$. Prima respectă condiția $x>3$ și se acceptă; a doua este negativă, deci nu aparține domeniului de existență și se respinge. Soluția ecuației este $x=5$.

Verificare: $\lg 5+\lg 2=\lg 10=1$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Șase cerințe independente, de câte cinci puncte, exact în formatul Subiectului I.

a) Calculați $(2+i)(2-i)$. $4-i^2=4+1=5$. (Este $z\bar{z}=|z{|}^2$ pentru $z=2+i$.)

b) Calculați $|3-4i|$. $\sqrt{9+16}=5$.

c) Calculați $i^{2026}+i^{2027}$. $2026$ dă restul $2$, iar $2027$ restul $3$, deci suma este $i^2+i^3=-1-i$.

d) Rezolvați în $\mathbb{C}$ ecuația $x^2+2x+2=0$. $\Delta =4-8=-4$, deci $\sqrt{\Delta }=2i$ și $x_{1,2}=\frac{-2\pm 2i}{2}=-1\pm i$.

e) Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $9^x-4\cdot 3^x+3=0$. Cu $t=3^x>0$: $t^2-4t+3=0$, deci $t\in \{1,3\}$, de unde $x\in \{0,1\}$.

f) Rezolvați inecuația ${\log }_2(x-1)<3$. Condiția de existență: $x>1$. Baza fiind supraunitară, $x-1<2^3=8$, deci $x<9$. Soluția este $x\in (1,9)$.

Să exersăm

1. Calculați $(3+2i)(1-i)$.

2. Calculați $\frac{1+i}{1-i}$.

3. Calculați $|3+4i|$ și arătați că $(3+4i)(3-4i)=25$.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice număr complex $z$, produsul $z\bar{z}$ este număr real nenegativ."

5. Calculați $i^{2026}$.

6. Calculați $i+i^2+i^3+i^4$ și deduceți valoarea sumei $i+i^2+\cdots +i^{100}$.

7. Calculați $(1+i{)}^8$, folosind egalitatea $(1+i{)}^2=2i$.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Rezolvați în $\mathbb{C}$ ecuația $x^2-2x+5=0$.

9. Pentru ecuația de la exercițiul 8, calculați $x_1+x_2$, $x_1{x}_2$ și $x_1^2+x_2^2$, folosind relațiile lui Viète.

10. Scrieți sub formă trigonometrică numărul $z=1+i\sqrt{3}$ și calculați $z^6$.

11. Calculați $|(1+i{)}^{10}|$ fără a dezvolta puterea.

12. Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $2^{x+1}=8$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $4^x-3\cdot 2^x+2=0$.

14. Rezolvați inecuația $3^x>9$.

15. Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația ${\log }_3(2x+1)=2$.

16. (Problemă aplicată.) Calculați ${\log }_{6}2+{\log }_{6}3$ și ${\log }_{2}6-{\log }_{2}3$, apoi explicați într-o propoziție de ce ambele rezultate sunt $1$.

17. Comparați numerele ${\log }_{3}5$ și $2$, justificând răspunsul.

18. (Provocare.) Rezolvați inecuația ${\log }_{1/2}(x-1)>-2$ și arătați, comparând cu inecuația ${\log }_2(x-1)>-2$, cum schimbă baza subunitară forma soluției.

Răspunsuri și explicații

1. $(3+2i)(1-i)=3-3i+2i-2i^2=3-i+2=5-i$.

2. Amplificăm cu $1+i$: $\frac{(1+i{)}^2}{(1-i)(1+i)}=\frac{2i}{2}=i$.

3. $|3+4i|=\sqrt{9+16}=5$; iar $(3+4i)(3-4i)=9-16i^2=9+16=25=|3+4i{|}^2$.

4. Adevărat. Dacă $z=a+bi$, atunci $z\bar{z}=a^2+b^2=|z{|}^2\ge 0$, deci este un număr real nenegativ, nul doar pentru $z=0$.

5. $2026=4\cdot 506+2$, deci restul este $2$ și $i^{2026}=i^2=-1$.

6. $i+i^2+i^3+i^4=i-1-i+1=0$. Cum $100=4\cdot 25$, suma se împarte în $25$ de grupe de câte patru termeni consecutivi, fiecare cu suma nulă, deci totalul este $0$.

7. $(1+i{)}^8={\left((1+i{)}^2\right)}^4=(2i{)}^4=16i^4=16$.

8. $\Delta =4-20=-16$, deci $\sqrt{\Delta }=4i$ și $x_{1,2}=\frac{2\pm 4i}{2}=1\pm 2i$.

9. $x_1+x_2=2$ și $x_1{x}_2=5$; atunci $x_1^2+x_2^2=2^2-2\cdot 5=-6$. (Rezultatul negativ nu e o greșeală: pătratele unor numere complexe pot avea suma negativă.)

10. $r=\sqrt{1+3}=2$; din $\cos \phi =\frac{1}{2}$, $\sin \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$ rezultă $\phi =\frac{\pi }{3}$, deci $z=2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$ și $z^6=2^6(\cos 2\pi +i\sin 2\pi )=64$.

11. $|(1+i{)}^{10}|=|1+i{|}^{10}={\left(\sqrt{2}\right)}^{10}=2^5=32$.

12. $2^{x+1}=2^3$, deci $x+1=3$ și $x=2$.

13. Cu $t=2^x>0$: $t^2-3t+2=0$, cu soluțiile $t=1$ și $t=2$, amândouă acceptabile. Rezultă $2^x=1$, deci $x=0$, și $2^x=2$, deci $x=1$. Soluțiile sunt $x\in \{0,1\}$.

14. $3^x>3^2$; baza $3$ este supraunitară, deci funcția e crescătoare și inegalitatea se păstrează: $x>2$, adică $x\in (2,+\infty )$.

15. Condiția de existență: $2x+1>0$, deci $x>-\frac{1}{2}$. Din definiție, $2x+1=3^2=9$, deci $x=4$, care respectă condiția.

16. ${\log }_{6}2+{\log }_{6}3={\log }_{6}6=1$, iar ${\log }_{2}6-{\log }_{2}3={\log }_{2}2=1$. În ambele cazuri proprietățile logaritmilor transformă suma într-un logaritm al produsului, respectiv diferența într-un logaritm al câtului, iar argumentul obținut coincide cu baza.

17. $2={\log }_{3}9$, iar baza $3$ fiind supraunitară, funcția logaritmică este crescătoare; din $5<9$ rezultă ${\log }_{3}5<{\log }_{3}9=2$.

18. Condiția de existență este $x>1$ în ambele cazuri. Pentru baza $\frac{1}{2}$, funcția e descrescătoare, deci ${\log }_{1/2}(x-1)>{\log }_{1/2}4$ dă $x-1<4$, adică $x\in (1,5)$ — un interval mărginit. Pentru baza $2$, funcția e crescătoare, deci ${\log }_2(x-1)>{\log }_2\frac{1}{4}$ dă $x-1>\frac{1}{4}$, adică $x\in \left(\frac{5}{4},+\infty \right)$ — o semidreaptă. Baza decide nu doar sensul inegalității, ci și forma mulțimii soluțiilor.

De reținut

• Împărțirea a două numere complexe se face amplificând cu conjugatul numitorului, pentru că $z\bar{z}=|z{|}^2$ este un număr real pozitiv.
• Puterile lui $i$ se repetă din patru în patru, deci $i^n$ se citește din restul împărțirii lui $n$ la $4$, iar orice patru puteri consecutive au suma zero.
• O ecuație de gradul al doilea cu coeficienți reali și $\Delta <0$ are două rădăcini complexe conjugate, iar relațiile lui Viète rămân valabile și dau sume și produse fără să afli rădăcinile.
• Formula lui Moivre ridică modulul la putere și înmulțește argumentul: $z^n=r^n(\cos n\phi +i\sin n\phi )$; se folosește de la exponentul $5$ în sus.
• La ecuațiile logaritmice, condițiile de existență se scriu înaintea oricărui calcul, iar soluțiile care nu le respectă se resping motivat, nu se șterg tăcut.

Greșeli frecvente

• Se scrie $i^2=1$ dintr-o scăpare de semn. Corect: $i^2=-1$, iar în orice produs de numere complexe termenul cu $i^2$ schimbă semnul și trece în partea reală.
• Se împarte două numere complexe „pe componente". Corect: împărțirea nu se face separat pe partea reală și pe cea imaginară; singura metodă este amplificarea cu conjugatul numitorului.
• Se alege argumentul din formula tangentei, fără să se privească cadranul. Corect: argumentul redus se determină din perechea $(\cos \phi ,\sin \phi )$; pentru $-1+i$ el este $\frac{3\pi }{4}$, nu $-\frac{\pi }{4}$.
• Se rezolvă ecuația exponențială prin substituție fără condiția $t>0$. Corect: $t=a^x$ este strict pozitiv, deci o rădăcină nepozitivă a ecuației în $t$ nu dă nicio soluție pentru $x$.
• Se păstrează sensul inegalității la o inecuație logaritmică cu bază subunitară. Corect: pentru $0<a<1$ funcția logaritmică este descrescătoare, deci inegalitatea dintre argumente se inversează.

Aplică acasă

1. Cartonașul cu cele patru puteri. Scrie pe un cartonaș $i^0=1$, $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$ și, dedesubt, regula restului la împărțirea cu $4$. Apoi calculează, fără să te uiți, $i^{35}$, $i^{100}$, $i^{2026}$ și $i^{2027}$.
2. Aceeași putere, două drumuri. Alege un număr complex cu modul întreg (de pildă $1+i\sqrt{3}$ sau $-1+i$) și calculează-i puterea a patra în două feluri: direct, în formă algebrică, și cu formula lui Moivre. Rezultatele trebuie să coincidă; dacă nu, argumentul a fost luat din alt cadran.
3. Colecția de condiții de existență. Ia cinci ecuații logaritmice din variante de Bacalaureat M1 și scrie, pentru fiecare, numai condițiile de existență și mulțimea pe care se caută soluțiile. Abia după ce le-ai scris pe toate cinci, rezolvă-le. Vei vedea că jumătate din rezolvare era deja făcută.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie recapitularea Subiectului I și acoperă numerele complexe și partea de ecuații exponențiale și logaritmice din clasa a X-a. Ca și celelalte lecții ale unității, ea nu reia predarea capitolelor, ci antrenează recunoașterea tipului de cerință și redactarea care ia toate cele cinci puncte.

Ce verifică lecția: (1) calculele în formă algebrică, inclusiv împărțirea prin amplificare cu conjugatul; (2) folosirea modulului și a conjugatului cu proprietățile lor; (3) reducerea puterii $i^n$ prin restul la $4$; (4) rezolvarea ecuației de gradul al doilea cu discriminant negativ și aplicarea relațiilor lui Viète; (5) trecerea la forma trigonometrică și formula lui Moivre; (6) ecuațiile și inecuațiile exponențiale și logaritmice, cu condiții de existență și cu discuția după bază.

Întrebări bune de control: „Ce condiții de existență ai scris și de ce?", „În ce cadran este imaginea numărului?", „De ce ai respins soluția aceasta?", „Baza este supraunitară sau subunitară?". Semn că elevul e pregătit: la o inecuație logaritmică, primul lucru pe care îl scrie sunt condițiile de existență, iar al doilea este o propoziție despre bază — înainte de a atinge inegalitatea propriu-zisă.

La BAC M1, cerințele din această zonă ocupă de regulă două dintre cele șase poziții ale Subiectului I: una de numere complexe și una de ecuații exponențiale sau logaritmice. Sunt cerințe scurte, dar cu depunctări previzibile — condiții de existență lipsă și soluții străine neeliminate.

Întrebări frecvente

Cum se împart două numere complexe? Se amplifică fracția cu conjugatul numitorului. Astfel numitorul devine $c^2+d^2$, un număr real pozitiv, iar rezultatul se scrie imediat în formă algebrică. De exemplu, $\frac{1+i}{1-i}$ se amplifică cu $1+i$ și dă $\frac{2i}{2}=i$.

Cum se calculează $i$ la o putere mare? Se împarte exponentul la $4$ și se reține restul: $i^n=i^r$, unde $r$ este acel rest, iar valorile posibile sunt doar $1$, $i$, $-1$ și $-i$. De pildă, $2026$ dă restul $2$, deci $i^{2026}=i^2=-1$.

Ce se întâmplă când discriminantul unei ecuații de gradul al doilea este negativ? Ecuația nu are soluții reale, dar are exact două soluții complexe, conjugate una alteia. Se scrie $\sqrt{\Delta }=i\sqrt{-\Delta }$ și se folosește formula obișnuită. Relațiile lui Viète rămân valabile și pentru aceste rădăcini.

Când folosesc forma trigonometrică în locul celei algebrice? La exponenți mari, de la $5$ în sus, unde dezvoltarea directă ar cere prea multe înmulțiri. Formula lui Moivre ridică modulul la putere și înmulțește argumentul cu exponentul, deci rezolvarea are trei rânduri, indiferent cât de mare e exponentul.

De ce trebuie condiții de existență la ecuațiile logaritmice? Pentru că logaritmul este definit numai pentru argumente strict pozitive. Fără ele, transformările pot introduce soluții străine — valori care satisfac ecuația transformată, dar pentru care expresia inițială nici măcar nu are sens. Baremul acordă puncte separate pentru scrierea lor.

Cum rezolv o ecuație exponențială cu două puteri diferite? Cauți o substituție: dacă apar $a^{2x}$ și $a^x$, notezi $t=a^x$, cu condiția $t>0$, și obții o ecuație de gradul al doilea. După ce o rezolvi, elimini rădăcinile nepozitive și revii la $x$, rezolvând ecuațiile exponențiale elementare rămase.

De ce se schimbă sensul inegalității la baze subunitare? Pentru că funcțiile exponențială și logaritmică cu bază între $0$ și $1$ sunt descrescătoare: cu cât argumentul crește, cu atât valoarea scade. Prin urmare, la trecerea de la inegalitatea dintre valori la cea dintre argumente, semnul se inversează.

Cum compar doi logaritmi fără calculator? Îi aduci la aceeași bază și compari argumentele, folosind monotonia. Dacă baza e supraunitară, logaritmul mai mare corespunde argumentului mai mare; dacă e subunitară, e invers. Un al doilea truc este să încadrezi logaritmul între două valori întregi, scriindu-le ca logaritmi cu aceeași bază.