Subiectul I: numere reale, ecuații, inecuații: pe scurt

Din capitolul numerelor reale și al ecuațiilor, cerințele Subiectului I iau zece tipuri: calcul cu radicali, raționalizare, puteri cu exponent rațional, calcul cu logaritmi, schimbarea bazei, ecuația de gradul al doilea cu relațiile lui Viète, inecuații, ecuații exponențiale, ecuații logaritmice, ecuații și inecuații cu modul. Reflexul de învățat este unul singur: primul rând scris pe foaie nu este calculul, ci condiția — tipurile 1–6 nu au condiții și încep cu transformarea, tipurile 8–10 au și le pierd cei grăbiți. Reguli care se plătesc: $\sqrt{a^2}=|a|$, deci înainte de a scoate un radical de sub pătrat se compară cele două numere și se decide semnul; ${\log }_a{x}^2=2{\log }_a|x|$, iar forma fără modul cere $x>0$. Un produs de logaritmi cu baze diferite se lipește prin ${\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}c={\log }_{a}c$, iar o sumă cu aceeași bază se strânge sub un singur logaritm; orice argument se scrie ca putere a bazei. Expresiile simetrice ale rădăcinilor se calculează din $S$ și $P$: $x_1^2+x_2^2=S^2-2P$. La ecuațiile exponențiale rezolvate prin substituție, revenirea la necunoscuta inițială este un pas punctat separat. Răspunsul unei inecuații se scrie ca interval, cu paranteză deschisă unde funcția nu e definită și închisă unde se anulează.

Exerciții din această mini-lecție

1. Calculați $\sqrt{{\left(2-\sqrt{7}\right)}^2}$.

   • a) $2-\sqrt{7}$
   • b) $\sqrt{7}-2$
   • c) $\sqrt{7}+2$
   • d) $3$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\sqrt{7}-2$

   Rezultatul unui radical de ordin par este nenegativ, deci $\sqrt{a^2}=|a|$. Cum $\sqrt{7}>2$ (pentru că $7>4$), avem $2-\sqrt{7}<0$ și $|2-\sqrt{7}|=\sqrt{7}-2$. Varianta a) este greșeala clasică: se scoate expresia cu semnul ei, fără să se compare cele două numere.

2. Calculați ${\log }_{3}45-{\log }_{3}5$.

   • a) $3$
   • b) $9$
   • c) ${\log }_{3}40$
   • d) $2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $2$

   Diferența a doi logaritmi cu aceeași bază se strânge sub un singur logaritm, cu argumentele împărțite: ${\log }_3\frac{45}{5}={\log }_{3}9=2$, pentru că $9=3^2$. Varianta ${\log }_{3}40$ scade argumentele în loc să le împartă, iar $9$ oprește calculul la argument, fără să ia logaritmul.

3. Mulțimea soluțiilor inecuației $\frac{x-3}{x+2}\ge 0$ este:

   • a) $(-\infty ,-2]\cup [3,+\infty )$
   • b) $(-2,3)$
   • c) $(-\infty ,-2)\cup [3,+\infty )$
   • d) $[-2,3]$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $(-\infty ,-2)\cup [3,+\infty )$

   Punem condiția $x\ne -2$ și facem tabelul de semn al câtului: acesta este pozitiv în afara rădăcinilor. În $-2$ funcția nu este definită, deci paranteza rămâne deschisă; în $3$ câtul se anulează, iar inecuația fiind cu $\ge$, paranteza se închide. Varianta a) închide paranteza în punctul exclus — exact deosebirea care aduce punctul de finalizare.