Subiectul I: numere reale, radicali, logaritmi, ecuații și inecuații

Din cele șase cerințe ale Subiectului I, între una și trei vin, în fiecare an, din același loc: calcule cu numere reale, radicali sau logaritmi, ecuații și inecuații. Sunt cele mai scurte cerințe de pe foaie și, tocmai de aceea, cele mai ușor de pierdut din grabă. Lecția aceasta de clasa a 12-a le strânge pe toate într-o listă de zece tipuri, fiecare cu rezolvarea-model în trei-patru rânduri, exact cât se scrie în examen. Subiectul I de la Bacalaureat M1 are șase cerințe independente de câte cinci puncte, iar una până la trei dintre ele cer calcule cu numere reale, radicali sau logaritmi, ecuații și inecuații.

Nu reluăm teoria: ea e la locul ei, în clasele a IX-a și a X-a, iar fiecare tip trimite acolo. Ce facem aici este să recunoaștem tipul dintr-o privire, să știm cu ce pas se începe și cu ce concluzie se termină. Structura probei și regulile de barem sunt în lecția anterioară, structura examenului de Bacalaureat M1; tipurile de progresii și de funcții urmează în Subiectul I: progresii și funcții.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști, dintr-o singură citire, cărui tip îi aparține o cerință de la Subiectul I.
• Vei ști să calculezi rapid cu radicali, cu puteri raționale și cu logaritmi, folosind expresiile conjugate și proprietățile logaritmilor.
• Vei ști să rezolvi ecuații de gradul al doilea, exponențiale și logaritmice, scriind de fiecare dată condițiile de existență.
• Vei ști să rezolvi inecuații de gradul al doilea și inecuații fracționare cu tabelul de semn, și să scrii răspunsul ca interval.
• Vei ști să tratezi modulul prin cele două cazuri și să respingi în scris soluțiile străine.

Hai să descoperim împreună

1. Ce tipuri de cerințe apar, de fapt?

Cerința de Subiectul I este un exercițiu scurt, independent de celelalte cinci, care valorează $5$ puncte și a cărui rezolvare completă încape în trei-cinci rânduri. Din capitolul numerelor reale și al ecuațiilor, ea ia una dintre următoarele zece forme.

Din cele șase cerințe ale Subiectului I, în variantele din ultimii ani apar de regulă una sau două din acest capitol; restul vin din progresii și funcții, din combinatorică și probabilități, din numere complexe sau din geometria analitică. Cum tipurile de mai jos sunt și cele mai scurte, ele se rezolvă primele: sunt puncte luate în cinci minute, care liniștesc restul lucrării.

Zece tipuri, un singur reflex de învățat: primul rând scris pe foaie nu e niciodată calculul, ci condiția — de existență, de semn sau de domeniu. Tipurile 1–6 nu au condiții și încep direct cu transformarea; tipurile 8–10 au și le pierd cei care se grăbesc.

2. Cum se calculează repede cu radicali?

Tipurile 1 și 2 se sprijină pe două fapte din lecția de radicali și expresii conjugate: $\sqrt{a^2}=|a|$ pentru orice $a$ real și $\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=a-b$ pentru $a,b\ge 0$.

Model, tipul 1. Arătați că $n={\left(\sqrt{5}-1\right)}^2+2\sqrt{5}$ este natural. Dezvoltăm: ${\left(\sqrt{5}-1\right)}^2=5-2\sqrt{5}+1=6-2\sqrt{5}$, deci $n=6-2\sqrt{5}+2\sqrt{5}=6\in \mathbb{N}$.

Model, tipul 2. Calculați $\frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$. Amplificăm cu conjugata numitorului: $\frac{2\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)}{7-5}=\sqrt{7}+\sqrt{5}$.

Capcana tipului 1 este scoaterea de sub radical: $\sqrt{(3-\pi {)}^2}$ nu este $3-\pi$, ci $|3-\pi |=\pi -3$, pentru că $\pi >3$. Se compară întotdeauna cele două numere înainte de a scoate modulul.

Când sub radical stă necunoscuta, cerința devine ecuație cu radical și schimbă complet ordinea pașilor. Model, redactat integral: rezolvați $\sqrt{x+2}=x$. Condițiile sunt două, nu una — $x+2\ge 0$ pentru existența radicalului și $x\ge 0$ pentru că membrul stâng este nenegativ, deci membrul drept trebuie să fie și el nenegativ. Rămâne $x\in [0,+\infty )$. Ridicăm la pătrat: $x+2=x^2$, adică $x^2-x-2=0$, cu rădăcinile $2$ și $-1$. Cum $-1\notin [0,+\infty )$, se respinge; verificare: $\sqrt{2+2}=2$. Deci $S=\{2\}$.

Condiția a doua — cea de semn pentru membrul drept — este cea care se uită cel mai des, pentru că nu ține de existența radicalului, ci de ridicarea la pătrat, care nu este o transformare echivalentă. Rețeta completă e în ecuațiile și inecuațiile cu radicali.

3. Cum se calculează puterile cu exponent rațional?

Tipul 3 cere o singură definiție: $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$ pentru $a>0$, împreună cu $a^{-r}=\frac{1}{a^r}$. Rezolvarea-model: $8^{\frac{2}{3}}+16^{-\frac{1}{2}}={\left(2^3\right)}^{\frac{2}{3}}+\frac{1}{\sqrt{16}}=4+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$.

Trucul care scurtează calculul este scrierea bazei ca putere a unui număr mic: $8=2^3$, $16=2^4$, $27=3^3$, $\frac{1}{9}=3^{-2}$. Cu el, $27^{-\frac{2}{3}}={\left(3^3\right)}^{-\frac{2}{3}}=3^{-2}=\frac{1}{9}$, fără niciun radical scris.

Din același tip fac parte și cerințele de comparare: „arătați că $2^{300}<3^{200}$" se rezolvă scriind ambele puteri cu același exponent, $2^{300}={\left(2^3\right)}^{100}=8^{100}$ și $3^{200}={\left(3^2\right)}^{100}=9^{100}$, de unde inegalitatea e imediată. Regulile complete sunt în lecția despre puterile cu exponent rațional.

4. Cum se calculează un logaritm fără calculator?

Tipurile 4 și 5 nu cer valori aproximative, ci numere întregi obținute din proprietățile logaritmilor: $${\log }_{a}x+{\log }_{a}y={\log }_a(xy),{\log }_{a}x-{\log }_{a}y={\log }_a\frac{x}{y},{\log }_a{x}^k=k{\log }_{a}x.$$

Model, tipul 4. ${\log }_{2}24-{\log }_{2}3={\log }_2\frac{24}{3}={\log }_{2}8=3$.

Model, tipul 5. ${\log }_{2}6\cdot {\log }_{6}8={\log }_{2}8=3$, prin formula de schimbare a bazei scrisă în forma ${\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}c={\log }_{a}c$. Aici formula e unealtă de calcul; ca unealtă de comparare a doi logaritmi cu baze diferite revine la Subiectul I: numere complexe, exponențiale și logaritmi.

A treia proprietate, cea a puterii, apare de obicei mascată: ${\log }_5\sqrt{125}$ se citește ${\log }_{5}125^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}{\log }_{5}125=\frac{3}{2}$, iar ${\log }_2\frac{1}{8}={\log }_2{2}^{-3}=-3$. Regula practică: orice argument se scrie ca putere a bazei, și atunci logaritmul e chiar exponentul.

Notațiile care apar în enunțuri fără explicație: $\lg x$ este logaritmul în baza $10$, iar $\ln x$ este logaritmul în baza numărului lui Euler. Amândouă respectă exact aceleași trei proprietăți.

Semnalul după care recunoști tipul 5 este apariția a două baze diferite în același produs; atunci nu se calculează niciun logaritm separat, ci se lipesc unul de altul. Dacă bazele sunt egale, ești la tipul 4 și aduni sau scazi argumentele sub același logaritm.

5. Cum se folosesc relațiile lui Viète la Subiectul I?

Tipul 6 apare în două variante. Prima cere rădăcinile: pentru $x^2-7x+12=0$, $\Delta =49-48=1$, deci $x_1=3$ și $x_2=4$. A doua, mai frecventă, cere o expresie simetrică fără să calculeze rădăcinile, folosind relațiile lui Viète: $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ și $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$.

Model. Fie $x_1,x_2$ soluțiile ecuației $x^2-5x+2=0$. Atunci $x_1+x_2=5$, $x_1{x}_2=2$ și $$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=25-4=21.$$

Expresiile care se cer cel mai des și formulele lor de transformare: $x_1^2+x_2^2=S^2-2P$, $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{S}{P}$, $x_1^3+x_2^3=S^3-3PS$, unde $S$ e suma și $P$ produsul rădăcinilor.

Tot aici intră cerințele cu parametru, iar ele se rezolvă toate prin discriminant. Cele trei forme și condițiile lor: rădăcini reale distincte cere $\Delta >0$, rădăcini reale egale cere $\Delta =0$, iar „ecuația nu are rădăcini reale" cere $\Delta <0$.

Model. Determinați numărul real $m$ pentru care ecuația $x^2-6x+m=0$ are două rădăcini reale egale. Punem $\Delta =0$: $36-4m=0$, deci $m=9$. Verificare: pentru $m=9$ ecuația devine $x^2-6x+9=(x-3{)}^2=0$, cu rădăcina dublă $3$.

6. Cum se rezolvă o inecuație de gradul al doilea?

Tipul 7 se rezolvă cu semnul trinomului, nu cu încercări. Regula, din lecția despre inecuațiile de gradul al doilea: dacă $\Delta >0$, trinomul are semnul lui $a$ în afara rădăcinilor și semn contrar între ele.

Inecuațiile de gradul întâi se rezolvă direct, dar cu o singură atenție: la împărțirea cu un număr negativ sensul se schimbă. Din $-3x+6>0$ se obține $-3x>-6$, deci $x<2$ și $S=(-\infty ,2)$.

Model, gradul al doilea. $x^2-4x+3\le 0$. Rădăcinile sunt $1$ și $3$, iar $a=1>0$, deci trinomul e negativ între rădăcini. Cum inecuația e cu $\le$, rădăcinile intră: $S=[1,3]$.

Cazul special, care apare des ca cerință cu parametru: dacă $\Delta <0$, trinomul nu se anulează niciodată și păstrează pe tot $\mathbb{R}$ semnul coeficientului dominant. De aceea inecuația $x^2+x+1>0$ are soluția $S=\mathbb{R}$, iar $x^2+x+1<0$ nu are nicio soluție. Iar cerința „determinați $m$ pentru care $x^2+2x+m>0$ pentru orice $x$ real" se traduce imediat în $\Delta <0$, adică $4-4m<0$ și $m>1$.

La inecuațiile fracționare se pune întâi condiția de numitor nenul, apoi se studiază semnul câtului într-un tabel de semn:

Din tabel, $\frac{x-2}{x+1}\ge 0$ pe $(-\infty ,-1)\cup [2,+\infty )$: în $-1$ funcția nu e definită, deci paranteza rămâne deschisă, iar în $2$ se anulează, deci paranteza se închide. Această deosebire între paranteza deschisă și cea închisă este exact punctul de finalizare din barem.

7. Cum se rezolvă ecuațiile exponențiale și logaritmice?

Tipul 8 se rezolvă în două feluri. Când ambii membri se aduc la aceeași bază, se egalează exponenții: $2^{x^2-3x}=16=2^4$ dă $x^2-3x-4=0$, cu soluțiile $-1$ și $4$. Când apare un pătrat al necunoscutei exponențiale, se face substituție, ca în lecția despre ecuațiile exponențiale prin substituție: în $4^x-3\cdot 2^x+2=0$ notăm $t=2^x>0$, obținem $t^2-3t+2=0$ cu $t\in \{1,2\}$ și revenim: $2^x=1$ dă $x=0$, iar $2^x=2$ dă $x=1$.

Tipul 9 începe obligatoriu cu condițiile de existență, ca în ecuațiile logaritmice: fiecare argument de logaritm trebuie să fie strict pozitiv. Abia apoi se folosesc proprietățile și se trece la ecuația algebrică.

Model. ${\log }_2(x-1)+{\log }_2(x-3)=3$. Condiții: $x>1$ și $x>3$, deci $x\in (3,+\infty )$. Ecuația devine $(x-1)(x-3)=8$, adică $x^2-4x-5=0$, cu rădăcinile $5$ și $-1$. Cum $-1\notin (3,+\infty )$, se respinge; $S=\{5\}$.

Substituția funcționează și la logaritmi. La inecuații se ține minte sensul: la baze supraunitare inegalitatea dintre argumente se păstrează, la baze subunitare se schimbă — regula completă e în lecția despre inecuațiile exponențiale.

Model, inecuație logaritmică. Rezolvați ${\log }_2(x-1)<3$. Condiția de existență: $x>1$. Baza $2$ este supraunitară, deci inegalitatea se păstrează la trecerea la argumente: $x-1<2^3=8$, adică $x<9$. Intersectăm cu domeniul: $S=(1,9)$. Dacă baza ar fi fost $\frac{1}{2}$, aceeași inecuație ar fi dat $x-1>{\left(\frac{1}{2}\right)}^3$, cu sensul schimbat.

8. Cum se rezolvă o ecuație cu modul?

Tipul 10 se sprijină pe definiția modulului din lecția despre funcția modul: $|a|=a$ dacă $a\ge 0$ și $|a|=-a$ dacă $a<0$. De aici, trei reguli de lucru pe care le poți aplica fără tabel:

• $|E|=c$, cu $c>0$, este echivalentă cu $E=c$ sau $E=-c$;
• $|E|=|F|$ este echivalentă cu $E=F$ sau $E=-F$;
• $|E|<c$, cu $c>0$, este echivalentă cu dubla inegalitate $-c<E<c$.

Model, ecuație. $|3x-2|=4$ dă $3x-2=4$, deci $x=2$, sau $3x-2=-4$, deci $x=-\frac{2}{3}$; așadar $S=\left\{-\frac{2}{3},2\right\}$.

Model, inecuație cu $\ge$. $|2x-1|\ge 3$ se rezolvă pe cazul contrar celui de mai sus: modulul e mare când expresia e departe de zero, deci $2x-1\le -3$ sau $2x-1\ge 3$, adică $x\le -1$ sau $x\ge 2$. Răspunsul este o reuniune: $S=(-\infty ,-1]\cup [2,+\infty )$. Ține minte deosebirea: la $|E|<c$ răspunsul e un singur interval, la $|E|>c$ sunt două.

Ultimul control, valabil la toate cele zece tipuri: substituie soluția în enunțul inițial. E singura verificare care prinde și greșelile de calcul, și soluțiile străine, și se face în mai puțin de un minut. La inecuații, unde soluțiile sunt o mulțime infinită, substituția se face cu un singur număr din interiorul intervalului găsit și cu unul din afara lui: dacă amândouă se comportă cum trebuie, răspunsul e aproape sigur corect.

Pentru cerințele care se termină cu o mulțime, ultimul rând scris pe foaie are întotdeauna aceeași formă — $S=\{\dots \}$ la ecuații, $S=[\cdot ,\cdot ]$ sau o reuniune de intervale la inecuații. Este pasul de finalizare din barem și se scrie chiar și când răspunsul pare evident din rândul de dinainte.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Radical scos corect de sub pătrat

Cerință. Arătați că numărul $n=\sqrt{{\left(2-\sqrt{3}\right)}^2}+\sqrt{3}$ este natural.

Rezolvare. Comparăm întâi: $\sqrt{3}<2$, pentru că $3<4$; deci $2-\sqrt{3}>0$ și $\sqrt{{\left(2-\sqrt{3}\right)}^2}=|2-\sqrt{3}|=2-\sqrt{3}$. Atunci $n=2-\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\in \mathbb{N}$.

(Barem: $2$ p pentru compararea lui $\sqrt{3}$ cu $2$ și scoaterea modulului, $2$ p pentru calcul, $1$ p pentru concluzie.)

Exemplul 2 — Raționalizare cu expresia conjugată

Cerință. Arătați că numărul $\frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$ este egal cu $\sqrt{7}+\sqrt{5}$.

Rezolvare. Amplificăm fracția cu conjugata numitorului: $$\frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}=\frac{2\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)}=\frac{2\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)}{7-5}=\sqrt{7}+\sqrt{5}.$$

(Barem: $3$ p amplificarea și calculul numitorului, $2$ p simplificarea și concluzia.)

Exemplul 3 — Două cerințe de logaritmi, una pe bază, una pe schimbarea bazei

a) Arătați că ${\log }_{6}2+{\log }_{6}3=1$. Din proprietatea sumei, ${\log }_{6}2+{\log }_{6}3={\log }_{6}6=1$.

b) Calculați ${\log }_{2}5\cdot {\log }_{5}32$. Cele două baze diferă, deci lipim logaritmii: ${\log }_{2}5\cdot {\log }_{5}32={\log }_{2}32={\log }_2{2}^5=5$.

(Barem, pe fiecare cerință: $3$ p aplicarea proprietății potrivite, $2$ p valoarea finală.)

Exemplul 4 — Inecuație de gradul al doilea cu coeficient dominant negativ

Cerință. Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația $-x^2+3x+4\ge 0$.

Rezolvare. Înmulțim cu $-1$ și schimbăm sensul: $x^2-3x-4\le 0$. Rădăcinile trinomului sunt $-1$ și $4$, iar coeficientul dominant este pozitiv, deci trinomul e negativ între rădăcini. Așadar $S=[-1,4]$.

(Barem: $2$ p rădăcinile, $2$ p semnul trinomului, $1$ p intervalul scris corect. Alternativa fără înmulțire cu $-1$: trinomul cu $a<0$ e pozitiv între rădăcini — se ajunge la același interval.)

Exemplul 5 — Ecuație logaritmică cu o soluție de respins

Cerință. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_2(x-1)+{\log }_2(x-3)=3$.

Rezolvare. Condiții de existență: $x-1>0$ și $x-3>0$, deci $x\in (3,+\infty )$. Cu proprietatea sumei, ${\log }_2((x-1)(x-3))=3$, adică $(x-1)(x-3)=2^3=8$. Dezvoltăm: $x^2-4x+3=8$, deci $x^2-4x-5=0$, cu $\Delta =16+20=36$ și rădăcinile $x_1=5$, $x_2=-1$.

Cum $-1\notin (3,+\infty )$, soluția $-1$ se respinge. Verificare: ${\log }_{2}4+{\log }_{2}2=2+1=3$. Așadar $S=\{5\}$.

(Barem: $2$ p condițiile de existență, $2$ p ecuația de gradul al doilea și rădăcinile, $1$ p respingerea scrisă și mulțimea soluțiilor.)

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Cerință. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $9^x-4\cdot 3^x+3=0$.

Rezolvare. Observăm că $9^x={\left(3^2\right)}^x={\left(3^x\right)}^2$. Notăm $t=3^x$, unde $t>0$ pentru orice $x$ real. Ecuația devine $t^2-4t+3=0$, cu $\Delta =16-12=4$ și rădăcinile $t_1=1$, $t_2=3$; ambele sunt strict pozitive, deci ambele se păstrează.

Revenim la necunoscuta inițială: din $3^x=1=3^0$ obținem $x=0$, iar din $3^x=3=3^1$ obținem $x=1$. Verificare pentru $x=1$: $9-12+3=0$. Așadar $S=\{0,1\}$.

(Barem: $2$ p substituția $t=3^x$ cu condiția $t>0$, $2$ p rezolvarea ecuației în $t$, $1$ p revenirea la $x$ și mulțimea soluțiilor. Revenirea la necunoscuta inițială e pasul cel mai des uitat: o lucrare care se oprește la $t\in \{1,3\}$ pierde punctul de finalizare.)

Să exersăm

1. Calculați $\sqrt{75}-\sqrt{27}$.

2. Arătați că numărul $\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ este de forma $\sqrt{5}+a$, cu $a$ număr întreg, și determinați $a$.

3. Calculați $\sqrt{(3-\pi {)}^2}+\pi$.

4. Calculați $8^{\frac{2}{3}}+16^{-\frac{1}{2}}$.

5. Calculați ${\log }_{3}18+{\log }_{3}4,5$.

6. Arătați că ${\log }_{2}6\cdot {\log }_{6}8=3$.

7. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $x^2-7x+12=0$.

8. Fie $x_1$ și $x_2$ soluțiile ecuației $x^2-5x+2=0$. Calculați $x_1^2+x_2^2$.

9. Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația $x^2-4x+3\le 0$.

10. Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația $\frac{x-2}{x+1}\ge 0$.

11. Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația $|x-3|<2$.

12. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $|2x+1|=|x-4|$.

13. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^{x^2-3x}=16$.

14. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $4^x-6\cdot 2^x+8=0$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_3(x-1)+{\log }_3(x+1)=1$.

16. (Adevărat/Fals cu motivare.) Ecuațiile ${\log }_2\left(x^2\right)=2$ și $2{\log }_{2}x=2$ au aceeași mulțime de soluții reale.

17. (Problemă aplicată.) O sumă de $2000$ de lei crește cu $5\%$ pe an. După câți ani întregi depășește pentru prima dată $2500$ de lei?

18. (Provocare.) Arătați că ${\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}4\cdot {\log }_{4}5\cdot {\log }_{5}8=3$.

Răspunsuri și explicații

1. $\sqrt{75}=5\sqrt{3}$ și $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$, deci diferența este $2\sqrt{3}$.

2. Amplificăm cu $\sqrt{5}+2$: numitorul devine $5-4=1$, deci fracția este $\sqrt{5}+2$ și $a=2$.

3. Cum $\pi >3$, avem $\sqrt{(3-\pi {)}^2}=|3-\pi |=\pi -3$, deci rezultatul este $2\pi -3$.

4. $8^{\frac{2}{3}}={\left(2^3\right)}^{\frac{2}{3}}=4$ și $16^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}$, deci suma este $\frac{17}{4}=4,25$.

5. ${\log }_{3}18+{\log }_{3}4,5={\log }_3(18\cdot 4,5)={\log }_{3}81=4$, pentru că $81=3^4$.

6. Bazele diferă, deci ${\log }_{2}6\cdot {\log }_{6}8={\log }_{2}8=3$.

7. $\Delta =49-48=1$, deci $x_1=3$ și $x_2=4$; $S=\{3,4\}$.

8. $S=x_1+x_2=5$ și $P=x_1{x}_2=2$, deci $x_1^2+x_2^2=25-4=21$.

9. $\Delta =16-12=4$, deci rădăcinile sunt $1$ și $3$; coeficientul dominant este pozitiv, deci trinomul e negativ între rădăcini. Inecuația fiind cu $\le$, capetele intră: $S=[1,3]$.

10. Numitorul se anulează în $-1$, numărătorul în $2$. Din tabelul de semn, $S=(-\infty ,-1)\cup [2,+\infty )$; în $-1$ paranteza rămâne deschisă, în $2$ se închide.

11. $|x-3|<2$ înseamnă $-2<x-3<2$, deci $1<x<5$ și $S=(1,5)$.

12. Din $2x+1=x-4$ obținem $x=-5$; din $2x+1=-(x-4)$ obținem $3x=3$, deci $x=1$. Verificare: $|-9|=|-9|$ și $|3|=|-3|$. Deci $S=\{-5,1\}$.

13. $16=2^4$, deci exponenții sunt egali: $x^2-3x=4$, adică $x^2-3x-4=0$, cu $\Delta =25$ și rădăcinile $-1$ și $4$. Verificare pentru $x=-1$: $2^{1+3}=16$. Deci $S=\{-1,4\}$.

14. Cu $t=2^x>0$: $t^2-6t+8=0$, deci $t\in \{2,4\}$. Din $2^x=2$ rezultă $x=1$, din $2^x=4$ rezultă $x=2$; $S=\{1,2\}$.

15. Condiții: $x>1$. Ecuația devine ${\log }_3\left(x^2-1\right)=1$, adică $x^2-1=3$ și $x=\pm 2$. Cum $-2\notin (1,+\infty )$, se respinge; $S=\{2\}$.

16. Fals. Prima ecuație are condiția $x\ne 0$ și soluțiile $x=\pm 2$; a doua are condiția $x>0$ și doar soluția $x=2$. Egalitatea ${\log }_a{x}^2=2{\log }_{a}x$ este adevărată numai pentru $x>0$.

17. După $n$ ani suma este $2000\cdot 1,05^n$, iar condiția $1,05^n>1,25$ dă $n>\frac{\log 1,25}{\log 1,05}\approx 4,57$. Primul întreg este $n=5$: după $4$ ani suma este de circa $2431$ de lei, iar după $5$ ani, de circa $2553$ de lei.

18. Lipim logaritmii doi câte doi: ${\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}4={\log }_{2}4$, apoi ${\log }_{2}4\cdot {\log }_{4}5={\log }_{2}5$ și, în final, ${\log }_{2}5\cdot {\log }_{5}8={\log }_{2}8=3$.

De reținut

• Cerințele Subiectului I din acest capitol se împart în zece tipuri, fiecare cu un prim pas fix: transformare la tipurile 1–6, condiție de existență la tipurile 8–10.
• $\sqrt{a^2}=|a|$, deci înainte de a scoate un radical de sub pătrat se compară cele două numere și se decide semnul.
• Un produs de logaritmi cu baze diferite se lipește prin ${\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}c={\log }_{a}c$, iar o sumă de logaritmi cu aceeași bază se strânge sub un singur logaritm.
• La ecuațiile exponențiale rezolvate prin substituție, revenirea la necunoscuta inițială este un pas punctat separat în barem.
• Răspunsul unei inecuații se scrie ca interval sau reuniune de intervale, cu paranteză deschisă unde funcția nu e definită și închisă unde se anulează.

Greșeli frecvente

• A scrie $\sqrt{(3-\pi {)}^2}=3-\pi$. Rezultatul unui radical de ordin par este nenegativ, deci se scoate modulul: $\pi -3$.
• A uita condițiile de existență la ecuațiile logaritmice. Fără ele, soluțiile străine rămân în răspuns și se pierd atât punctul de pornire, cât și cel de finalizare.
• A folosi ${\log }_a{x}^2=2{\log }_{a}x$ fără condiția $x>0$. Pe domeniul $x<0$ membrul stâng există, iar cel drept nu; egalitatea corectă pe tot domeniul este ${\log }_a{x}^2=2{\log }_a|x|$.
• A opri rezolvarea unei ecuații exponențiale la valoarea substituției. După $t\in \{1,3\}$ mai urmează revenirea $3^x=t$; fără ea, cerința nu e rezolvată.
• A închide paranteza în punctul în care numitorul se anulează. La $\frac{x-2}{x+1}\ge 0$, valoarea $-1$ nu aparține domeniului, deci intervalul este $(-\infty ,-1)$, nu $(-\infty ,-1]$.

Aplică acasă

1. Ia trei variante oficiale de subiect de Bacalaureat M1 și încadrează fiecare cerință a Subiectului I în unul dintre cele zece tipuri din tabel. Numără de câte ori apare fiecare tip; vei vedea singur care merită exersat mai mult.
2. Rescrie cinci dintre rezolvările tale mai vechi la ecuații cu logaritmi, adăugând la fiecare condițiile de existență și propoziția prin care respingi soluțiile străine. Cronometrează: nu ar trebui să adauge mai mult de un minut pe cerință.
3. Fă-ți o listă de zece perechi bază–putere pe care să le recunoști instantaneu ($8=2^3$, $81=3^4$, $32=2^5$, $125=5^3$ și așa mai departe) și exersează-le până le spui fără să te oprești.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică zece tipuri de cerințe de Subiectul I din capitolul numerelor reale, al radicalilor, al logaritmilor și al ecuațiilor. Întrebări de control: „Cu ce pas începe o ecuație logaritmică?", „De ce $\sqrt{a^2}$ nu este $a$?", „Ce se schimbă la o inecuație exponențială cu baza subunitară?". Semnele că a înțeles: scrie condițiile de existență fără să i se ceară, revine la necunoscuta inițială după o substituție și dă răspunsul unei inecuații ca interval, cu parantezele potrivite.

Cele zece tipuri nu sunt o listă inventată didactic, ci gruparea firească a ceea ce apare efectiv în variante: capitolul „numere reale, puteri și logaritmi" din clasa a X-a și capitolele de ecuații, inecuații și funcții elementare din clasa a IX-a. Un elev care le recunoaște pe toate zece nu mai citește enunțul căutând ideea, ci doar identifică tipul și pornește cu primul pas al lui — de aici vine, de fapt, câștigul de timp.

Cerințele de acest tip valorează $5$ puncte fiecare la proba scrisă și sunt cele mai rentabile din toată lucrarea, pentru că se rezolvă în câteva minute. Un elev care stăpânește cele zece tipuri strânge, în medie, între $10$ și $15$ puncte în primele douăzeci de minute de examen. Recomandarea pentru pregătirea de BAC: două-trei cerințe din fiecare tip pe săptămână, cronometrate, cu redactare completă.

Întrebări frecvente

Ce se cere la Subiectul I din numere reale și logaritmi?

Se cer calcule scurte, cu răspuns numeric exact: valoarea unei expresii cu radicali, o raționalizare, o putere cu exponent rațional, un logaritm care iese număr întreg, rădăcinile unei ecuații de gradul al doilea sau mulțimea soluțiilor unei inecuații. Fiecare cerință valorează cinci puncte și se rezolvă în trei-cinci rânduri, fără calculator.

Cum se raționalizează un numitor cu radical?

Se amplifică fracția cu expresia conjugată a numitorului. Pentru $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ conjugata este $\sqrt{a}+\sqrt{b}$, iar produsul lor este $a-b$, adică un număr fără radical. De exemplu, $\frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$ devine $\frac{2\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)}{2}=\sqrt{7}+\sqrt{5}$. Aceeași idee funcționează și la numitori de forma $a-\sqrt{b}$.

Cum se rezolvă o ecuație exponențială prin substituție?

Se recunoaște pătratul necunoscutei exponențiale: $4^x={\left(2^x\right)}^2$, $9^x={\left(3^x\right)}^2$. Se notează $t$ puterea de bază, cu condiția $t>0$, se rezolvă ecuația de gradul al doilea obținută, se păstrează doar valorile pozitive ale lui $t$ și se revine la necunoscuta inițială. Revenirea este obligatorie; fără ea cerința rămâne nerezolvată.

Care sunt condițiile de existență la o ecuație logaritmică?

Fiecare argument de logaritm trebuie să fie strict pozitiv, iar baza trebuie să fie pozitivă și diferită de $1$. Condițiile se scriu înainte de orice transformare și determină un interval; la final, rădăcinile care nu aparțin acelui interval se resping printr-o propoziție explicită. Ambii pași sunt punctați separat în barem.

Cum se rezolvă o inecuație de gradul al doilea?

Se calculează discriminantul și rădăcinile trinomului, apoi se aplică regula semnului: trinomul are semnul coeficientului dominant în afara rădăcinilor și semn contrar între ele. Răspunsul se scrie ca interval sau reuniune de intervale, cu paranteze închise dacă inecuația conține egalitate și deschise dacă este strictă.

Ce înseamnă că radicalul unui pătrat este modulul?

Înseamnă că $\sqrt{a^2}=|a|$ pentru orice număr real $a$, pentru că un radical de ordin par are întotdeauna valoare nenegativă. Practic, înainte de a scoate expresia de sub radical compari cele două numere: dacă $a\ge 0$ scrii $a$, dacă $a<0$ scrii $-a$. Este cea mai frecventă greșeală de la tipul 1.

Cum se rezolvă o ecuație cu modul?

Se folosește echivalența: $|E|=c$, cu $c>0$, înseamnă $E=c$ sau $E=-c$, iar $|E|=|F|$ înseamnă $E=F$ sau $E=-F$. Se rezolvă ambele cazuri, se reunesc soluțiile și se verifică fiecare în ecuația inițială. La inecuații, $|E|<c$ devine dubla inegalitate $-c<E<c$.