Subiectul I: progresii și funcții: pe scurt

Progresiile și funcțiile elementare dau cele mai constante cerințe ale Subiectului I: lecția le strânge în cele zece tipuri de cerințe, fiecare rezolvabil în trei-patru rânduri. La progresia aritmetică lucrează $a_n=a_1+(n-1)r$ și $S_n=\frac{(2a_1+(n-1)r)n}{2}$; la cea geometrică, $b_n=b_1{q}^{n-1}$ și $S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1}$, cu $q\ne 1$. Când enunțul dă două condiții, sistemul se rezolvă prin scădere la progresia aritmetică și prin împărțire la cea geometrică; când rangurile diferă printr-un număr par, ecuația în $q$ are două soluții și amândouă se discută. Trei numere sunt în progresie aritmetică dacă $2v=u+w$ și în progresie geometrică dacă $v^2=uw$, cu toți termenii nenuli — de aici pasul de respingere pe care baremul îl punctează separat. Funcția de gradul întâi se citește din semnul lui $a$ și din zeroul $x_0=-\frac{b}{a}$. La funcția de gradul al doilea, vârful este $V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta }{4a}\right)$, iar ordonata lui este valoarea extremă; imaginea este $\left[y_V,+\infty \right)$ pentru $a>0$ și $\left(-\infty ,y_V\right]$ pentru $a<0$. Poziția unei drepte față de o parabolă se decide prin discriminantul ecuației obținute prin egalarea celor două expresii: $\Delta >0$ dă două puncte comune, $\Delta =0$ unul, $\Delta <0$ niciunul.

Exerciții din această mini-lecție

1. Într-o progresie aritmetică se știe că $a_4=17$ și $a_9=42$. Primul termen al progresiei este:

   • a) $5$
   • b) $2$
   • c) $-3$
   • d) $7$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $2$

   Din $a_1+3r=17$ și $a_1+8r=42$, scăderea dă $5r=25$, deci $r=5$ și $a_1=17-15=2$. Varianta $5$ este rația, nu primul termen. Varianta $-3$ vine din formula greșită $a_n=a_1+nr$, iar $7$ din $a_1=17-2r$, adică din $a_4=a_1+2r$. Control: $2,7,12,17,\dots ,a_9=2+8\cdot 5=42$.

2. Într-o progresie geometrică se știe că $b_1=4$ și $b_3=36$. Rația progresiei poate fi:

   • a) numai $3$
   • b) numai $6$
   • c) $9$ sau $-9$
   • d) $3$ sau $-3$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $3$ sau $-3$

   Din $b_3=b_1{q}^2$ obținem $q^2=\frac{36}{4}=9$, deci $q=3$ sau $q=-3$; rangurile diferă printr-un număr par, deci ecuația în $q$ are două soluții, iar enunțul nu cere termeni pozitivi. Prima variantă pierde soluția negativă (progresia $4,-12,36$ e la fel de bună), varianta $6$ confundă $q^2$ cu $q\cdot b_1$, iar ultima ia $q^2=81$.

3. Mulțimea valorilor funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-2x^2+12x-13$, este:

   • a) $(-\infty ,5]$
   • b) $[5,+\infty )$
   • c) $(-\infty ,3]$
   • d) $[-13,+\infty )$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $(-\infty ,5]$

   Avem $a=-2<0$, deci parabola e deschisă în jos și funcția are maxim. Vârful: $x_V=-\frac{12}{2\cdot (-2)}=3$ și $y_V=f(3)=-18+36-13=5$. Prin urmare $\mathrm{Im}f=(-\infty ,5]$. Varianta $[5,+\infty )$ uită să discute semnul lui $a$, varianta $(-\infty ,3]$ confundă abscisa vârfului cu valoarea extremă, iar ultima ia termenul liber drept extrem.