Acasă · Lecții · clasa a XII-a · Subiectul I: progresii, funcția de gradul întâi și funcția de gradul al doilea

Subiectul I: progresii, funcția de gradul întâi și funcția de gradul al doilea

Q: Cum se calculează suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice?

Cu formula Sₙ = ((a₁ + aₙ)n)/2, dacă știi primul și ultimul termen, sau cu Sₙ = ((2a₁ + (n-1)r)n)/2, dacă știi primul termen și rația. Cele două sunt aceeași formulă scrisă diferit; alegerea depinde doar de datele din enunț. Rezultatul se lasă ca număr întreg, fără aproximări.

Q: Cum aflu primul termen și rația dintr-o progresie, dacă am doi termeni oarecare?

La progresia aritmetică scrii cei doi termeni cu formula termenului general și scazi relațiile: diferența lor conține doar rația. La progresia geometrică împarți relațiile: câtul lor este o putere a rației. După ce ai rația, o înlocuiești într-una dintre relații și obții primul termen.

Q: Când sunt trei numere în progresie geometrică?

Când pătratul termenului din mijloc este egal cu produsul celorlalte două, adică v² = uw, și niciunul dintre cele trei nu este nul. A doua condiție se uită des: dacă o valoare găsită anulează un termen, rația nu mai este definită, deci valoarea se respinge printr-o propoziție scrisă în rezolvare.

Q: Unde se citește valoarea minimă a unei funcții de gradul al doilea?

În ordonata vârfului, adică - Δ/4a, atinsă pentru x = - b/2a. Dacă a > 0, parabola e deschisă în sus și această valoare este minimul; dacă a < 0, este maximul. Un control util: ordonata vârfului se poate obține și calculând direct f(x_V).

Q: Cum determin mulțimea valorilor unei funcții de gradul al doilea?

Se calculează ordonata vârfului și se privește semnul coeficientului dominant. Pentru a > 0, mulțimea valorilor este [y_V, +∞); pentru a < 0, este (-∞, y_V]. Paranteza dinspre vârf este întotdeauna închisă, pentru că valoarea extremă chiar se atinge, în punctul de abscisă x_V.

Q: Cum aflu câte puncte comune are o dreaptă cu o parabolă?

Egalezi cele două expresii, aduci totul într-un singur membru și obții o ecuație de gradul al doilea. Discriminantul ei decide: Δ > 0 înseamnă două puncte comune, Δ = 0 înseamnă unul singur, iar Δ < 0 înseamnă că dreapta și parabola nu se intersectează. Abscisele punctelor comune sunt chiar rădăcinile ecuației.

Q: Ce înseamnă „ecuație cu parametru" la Subiectul I?

Înseamnă o ecuație în care apare o literă suplimentară, de obicei m, iar cerința nu e să rezolvi ecuația, ci să afli pentru ce valori ale parametrului ea are o anumită proprietate: rădăcini reale, rădăcini egale sau nicio rădăcină reală. Aproape toate se rezolvă cu discriminantul, uneori împreună cu relațiile lui Viète.

Progresiile și funcțiile elementare sunt cel mai constant capitol al Subiectului I: în aproape fiecare variantă apar una sau două cerințe din el. Sunt tot exerciții de clasa a IX-a, rezolvate cu trei formule și un discriminant, dar la clasa a 12-a le privim altfel — nu ca lecție de învățat, ci ca tipar de recunoscut, cu primul pas fixat dinainte. La Subiectul I de la Bacalaureat M1, cerințele din progresii se rezolvă cu termenul general $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ , respectiv $b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$ , iar cele din funcții, cu vârful parabolei și cu semnul discriminantului.

Lecția strânge zece tipuri de cerințe, fiecare cu rezolvarea-model în trei-patru rânduri și cu trimitere la lecția-sursă. Tipurile de calcul cu radicali, logaritmi, ecuații și inecuații sunt în lecția anterioară, Subiectul I: numere reale, ecuații și inecuații; combinatorica și probabilitățile urmează în Subiectul I: combinatorică și probabilități.

Ce vei învăța

Vei ști să calculezi termenul general și suma primilor $n$ termeni, la progresii aritmetice și geometrice.
Vei ști să determini primul termen și rația dintr-un sistem de două condiții date în enunț.
Vei ști să arăți că trei numere sunt în progresie și să respingi valorile care strică progresia geometrică.
Vei ști să citești monotonia, semnul și intersecțiile cu axele pentru funcția de gradul întâi.
Vei ști să determini vârful, imaginea și semnul funcției de gradul al doilea și să discuți poziția unei drepte față de parabolă.

Hai să descoperim împreună

1. Ce tipuri de cerințe apar din progresii și funcții?

Cerințele de progresii și de funcții sunt exercițiile scurte de la Subiectul I care se rezolvă cu formula termenului general, cu formula sumei sau cu discriminantul, fiecare valorând $5$ puncte și cerând cel mult patru rânduri de calcul. Tabelul de mai jos le grupează pe cele zece tipuri care se repetă din an în an.

Tipul	Ce se cere	Model de enunț	Sursa
1	termenul general al progresiei aritmetice	„Determinați $a_{5}$ , știind că $a_{1} = 2$ și $r = 3$ "	clasa a IX-a
2	suma primilor $n$ termeni ai progresiei aritmetice	„Calculați $S_{20}$ "	clasa a IX-a
3	termenul general al progresiei geometrice	„Determinați $b_{5}$ , știind că $b_{1} = 5$ și $q = 2$ "	clasa a IX-a
4	suma primilor $n$ termeni ai progresiei geometrice	„Calculați $S_{6}$ "	clasa a IX-a
5	condiția ca trei numere să fie în progresie	„Determinați $x$ real pentru care …"	clasa a IX-a
6	monotonia și semnul funcției de gradul întâi	„Studiați semnul funcției $f (x) = 5 - x$ "	clasa a IX-a
7	determinarea funcției de gradul întâi din două condiții	„Determinați $a$ și $b$ dacă $f (1) = 5$ și $f (3) = 11$ "	clasa a IX-a
8	vârful și imaginea funcției de gradul al doilea	„Determinați valoarea minimă a funcției …"	clasa a IX-a
9	semnul funcției de gradul al doilea	„Rezolvați $x^{2} - x - 6 > 0$ "	clasa a IX-a
10	poziția unei drepte față de parabolă, ecuații cu parametru	„Determinați $m$ pentru care …"	clasa a IX-a

Dintre cele șase cerințe ale Subiectului I, una vine aproape sigur din progresii, iar alta, foarte des, din funcția de gradul al doilea; sunt cerințele cu cea mai mare rată de apariție din toată proba. În schimb, ele sunt și cele mai mecanice: enunțul spune limpede ce se dă și ce se cere, iar drumul dintre cele două are trei-patru rânduri.

Toate cele zece se rezolvă cu una dintre cele cinci formule din secțiunile următoare. Nicio cerință de acest tip nu cere derivate: monotonia funcției de gradul al doilea se citește din vârf, nu din $f^{'}$ .

2. Care sunt formulele progresiei aritmetice?

Într-o progresie aritmetică, fiecare termen se obține din cel dinainte adunând rația $r$ . Cele două formule de care depind tipurile 1 și 2: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r, S_{n} = \frac{( a _{1} + a _{n} ) n}{2} = \frac{( 2 a _{1} + ( n - 1 ) r ) n}{2} .$

Model, tipul 1. Dacă $a_{1} = 2$ și $r = 3$ , atunci $a_{5} = 2 + 4 \cdot 3 = 14$ . Formula completă e la termenul general al progresiei aritmetice.

Model, tipul 2. Dacă $a_{1} = 3$ și $r = 4$ , atunci $S_{20} = \frac{( 2 \cdot 3 + 19 \cdot 4 ) \cdot 20}{2} = 10 \cdot 82 = 820$ . Deducerea formulei e la suma primilor $n$ termeni.

Cele două forme ale sumei nu sunt rivale: prima se folosește când cunoști ultimul termen, a doua când cunoști rația. Un semnal util: dacă în enunț apar $a_{1}$ și $a_{n}$ , alegi prima; dacă apar $a_{1}$ și $r$ , alegi a doua.

O a treia formă a tipului 1, care surprinde pentru că necunoscuta e rangul, nu termenul: „câți termeni are progresia aritmetică $2$ , $5$ , $8$ , …, $92$ ?". Aici $a_{1} = 2$ , $r = 3$ , iar din $2 + 3 (n - 1) = 92$ obținem $3 (n - 1) = 90$ , deci $n = 31$ . Formula termenului general se citește, așadar, în ambele sensuri.

Cerințele care dau două condiții se rezolvă printr-un sistem în $a_{1}$ și $r$ . Din $a_{3} = 11$ și $a_{8} = 26$ obținem $a_{1} + 2 r = 11$ și $a_{1} + 7 r = 26$ ; scăzând, $5 r = 15$ , deci $r = 3$ și $a_{1} = 5$ . Scăderea celor două relații e pasul care scurtează cel mai mult rezolvarea.

3. Care sunt formulele progresiei geometrice?

Într-o progresie geometrică, fiecare termen se obține din cel dinainte înmulțind cu rația $q$ , unde $q \neq = 0$ și niciun termen nu este nul. Formulele: $b_{n} = b_{1} q^{n - 1}, S_{n} = b_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}, q \neq = 1.$

Model, tipul 3. Dacă $b_{1} = 5$ și $q = 2$ , atunci $b_{5} = 5 \cdot 2^{4} = 80$ .

Model, tipul 4. Dacă $b_{1} = 3$ și $q = 2$ , atunci $S_{6} = 3 \cdot \frac{2 ^{6} - 1}{2 - 1} = 3 \cdot 63 = 189$ . Formula e demonstrată la suma primilor $n$ termeni ai progresiei geometrice.

O capcană proprie progresiei geometrice: când rangurile diferă printr-un număr par, ecuația în $q$ are două soluții și amândouă trebuie discutate. Din $b_{1} = 3$ și $b_{3} = 12$ obținem $q^{2} = 4$ , deci $q = 2$ sau $q = - 2$ ; prima dă progresia $3$ , $6$ , $12$ , a doua dă $3$ , $- 6$ , $12$ — ambele corecte, dacă enunțul nu cere termeni pozitivi. Când rangurile diferă printr-un număr impar, ca la $q^{3} = 27$ , soluția reală este unică.

Sistemul de două condiții funcționează și aici, dar prin împărțire, nu prin scădere: din $b_{2} = 6$ și $b_{5} = 48$ obținem $\frac{b _{5}}{b _{2}} = q^{3} = 8$ , deci $q = 2$ , iar apoi $b_{1} = 3$ . Atenție la condiția $q \neq = 1$ din formula sumei: pentru $q = 1$ toți termenii sunt egali și $S_{n} = n b_{1}$ .

4. Cum se arată că trei numere sunt în progresie?

Tipul 5 are un singur criteriu pentru fiecare fel de progresie, fixat la lecția despre caracterizarea progresiilor prin trei termeni: trei numere $u$ , $v$ , $w$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice dacă și numai dacă $2 v = u + w$ , și ai unei progresii geometrice dacă și numai dacă $v^{2} = u w$ , cu toți termenii nenuli.

Model. Determinați $x$ real pentru care $x - 1$ , $x + 3$ și $3 x + 1$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. Condiția $2 (x + 3) = (x - 1) + (3 x + 1)$ dă $2 x + 6 = 4 x$ , deci $x = 3$ . Verificare: numerele sunt $2$ , $6$ , $10$ , cu rația $4$ .

Model, varianta geometrică. Determinați numărul real $x$ pentru care $x$ , $x + 3$ și $x + 9$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice. Condiția $(x + 3)^{2} = x (x + 9)$ dă $x^{2} + 6 x + 9 = x^{2} + 9 x$ , deci $3 x = 9$ și $x = 3$ . Verificare: numerele sunt $3$ , $6$ , $12$ , cu rația $2$ .

La progresia geometrică apare un pas în plus: valorile care anulează un termen se resping. Dacă din $v^{2} = u w$ obții două valori și una dintre ele face un termen nul, acea valoare nu dă o progresie geometrică, pentru că rația nu ar mai fi definită. Este exact tipul de respingere pe care baremul îl punctează separat.

5. Cum se studiază funcția de gradul întâi?

Pentru $f : R \to R$ , $f (x) = a x + b$ cu $a \neq = 0$ , funcția de gradul întâi se citește din semnul lui $a$ și din unicul ei zero, $x_{0} = - \frac{b}{a}$ :

dacă $a > 0$ , funcția e strict crescătoare, negativă înainte de $x_{0}$ și pozitivă după;
dacă $a < 0$ , funcția e strict descrescătoare, pozitivă înainte de $x_{0}$ și negativă după;
graficul taie axa $O x$ în $(x_{0}, 0)$ și axa $O y$ în $(0, b)$ .

Aici funcția de gradul întâi e privită funcțional — monotonie, semn, intersecții. Aceeași expresie, citită geometric ca dreaptă de pantă $a$ și ordonată la origine $b$ , dă cerințele de la Subiectul I: geometrie analitică și trigonometrie.

Model, tipul 6. Studiați semnul funcției $f (x) = 5 - x$ . Aici $a = - 1 < 0$ și $x_{0} = 5$ , deci $f$ e strict descrescătoare, pozitivă pe $(- \infty, 5)$ , nulă în $5$ și negativă pe $(5, + \infty)$ — cum se vede și în tabelul de semn al funcției afine.

Tabelul de semn al funcției afine are un singur rând sub antet și se scrie așa, pentru $f (x) = 5 - x$ :

$x$	$- \infty$		$5$		$+ \infty$
$f (x)$		$+$	$0$	$-$

Model, tipul 7. Determinați $f (x) = a x + b$ cu $f (1) = 5$ și $f (3) = 11$ . Sistemul $a + b = 5$ , $3 a + b = 11$ dă, prin scădere, $2 a = 6$ , deci $a = 3$ și $b = 2$ ; funcția este $f (x) = 3 x + 2$ .

6. Cum se află vârful și imaginea funcției de gradul al doilea?

Pentru $f (x) = a x^{2} + b x + c$ cu $a \neq = 0$ și $Δ = b^{2} - 4 a c$ , vârful parabolei este $V (- \frac{b}{2 a}, - \frac{Δ}{4 a}),$ iar axa de simetrie este dreapta verticală $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Ordonata vârfului decide totul despre extreme și despre mulțimea valorilor: dacă $a > 0$ , funcția are un minim egal cu $- \frac{Δ}{4 a}$ , atins în vârf, și $Im f = [- \frac{Δ}{4 a}, + \infty)$ ; dacă $a < 0$ , are un maxim cu aceeași valoare și $Im f = (- \infty, - \frac{Δ}{4 a}]$ .

Model, tipul 8. Pentru $f (x) = x^{2} - 4 x + 7$ avem $a = 1$ , $b = - 4$ , $Δ = 16 - 28 = - 12$ , deci $x_{V} = 2$ și $y_{V} = 3$ . Funcția are minimul $3$ , atins în $x = 2$ , este strict descrescătoare pe $(- \infty, 2]$ și strict crescătoare pe $[2, + \infty)$ , iar $Im f = [3, + \infty)$ .

Din același tip fac parte și cerințele despre intersecțiile parabolei cu axele. Cu axa $O y$ intersecția e imediată: punctul $(0, c)$ . Cu axa $O x$ , abscisele sunt rădăcinile ecuației $a x^{2} + b x + c = 0$ , deci sunt două puncte dacă $Δ > 0$ , unul singur (vârful) dacă $Δ = 0$ și niciunul dacă $Δ < 0$ . Pentru $y = x^{2} - 6 x + 5$ , rădăcinile sunt $1$ și $5$ , deci graficul taie axa $O x$ în $(1, 0)$ și $(5, 0)$ , iar axa $O y$ în $(0, 5)$ .

Un control care nu strică niciodată: ordonata vârfului se poate calcula și direct, ca $f (x_{V})$ . Pentru exemplul de mai sus, $f (2) = 4 - 8 + 7 = 3$ — aceeași valoare, obținută pe alt drum.

7. Cum se citește semnul funcției de gradul al doilea?

Tipul 9 se rezolvă cu regula semnului trinomului, aceeași din lecția despre semnul funcției de gradul al doilea: dacă $Δ > 0$ , trinomul are semnul lui $a$ în afara rădăcinilor și semn contrar între ele; dacă $Δ = 0$ , are semnul lui $a$ peste tot, cu excepția rădăcinii duble; dacă $Δ < 0$ , are semnul lui $a$ pe tot $R$ .

Model. Rezolvați $x^{2} - x - 6 > 0$ . Rădăcinile sunt $- 2$ și $3$ , iar $a = 1 > 0$ , deci trinomul e pozitiv în afara rădăcinilor: $S = (- \infty, - 2) \cup (3, + \infty)$ .

Tabelul de semn se scrie așa, iar din el se citește direct răspunsul:

$x$	$- \infty$		$- 2$		$3$		$+ \infty$
$f (x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Inecuația fiind strictă, rădăcinile nu intră în mulțimea soluțiilor, deci parantezele rămân deschise. Dacă inecuația ar fi fost $x^{2} - x - 6 \geq 0$ , răspunsul ar fi fost $(- \infty, - 2] \cup [3, + \infty)$ .

8. Câte puncte comune are o dreaptă cu o parabolă?

Tipul 10 unifică ultimele două idei. Pentru a afla câte puncte comune are dreapta $y = m x + n$ cu parabola $y = a x^{2} + b x + c$ , se egalează cele două expresii, se aduce totul într-un membru și se calculează discriminantul ecuației obținute — procedeul din lecția despre dreapta și parabola: $Δ > 0$ înseamnă două puncte comune, $Δ = 0$ unul singur, $Δ < 0$ niciunul.

Model. Câte puncte comune are dreapta $y = 3$ cu parabola $y = x^{2} - 4 x + 7$ ? Din $x^{2} - 4 x + 7 = 3$ obținem $x^{2} - 4 x + 4 = 0$ , cu $Δ = 0$ : un singur punct comun, chiar vârful $V (2, 3)$ . Pentru orice $m > 3$ , dreapta $y = m$ taie parabola în două puncte, iar pentru $m < 3$ în niciunul — se citește direct din imaginea funcției.

Uneori condiția din enunț nu privește numărul rădăcinilor, ci o relație între ele — și atunci intervin relațiile lui Viète, cu obligația de a verifica la final că rădăcinile sunt reale. Model: determinați $m$ real pentru care rădăcinile ecuației $x^{2} - m x + 6 = 0$ verifică $x_{1} + x_{2} = 5$ . Din prima relație a lui Viète, $x_{1} + x_{2} = m$ , deci $m = 5$ ; controlul discriminantului, $Δ = 25 - 24 = 1 > 0$ , arată că rădăcinile chiar sunt reale — sunt $2$ și $3$ .

Ecuațiile cu parametru se rezolvă la fel, prin discriminant. Model: determinați $m$ real pentru care ecuația $x^{2} - (m + 1) x + m = 0$ are două rădăcini reale egale. Calculăm $Δ = (m + 1)^{2} - 4 m = m^{2} - 2 m + 1 = (m - 1)^{2}$ , iar condiția $Δ = 0$ dă $m = 1$ ; atunci ecuația devine $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ , cu rădăcina dublă $1$ .

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Progresie aritmetică din două condiții, apoi sumă

Cerință. Într-o progresie aritmetică se știe că $a_{3} = 11$ și $a_{8} = 26$ . Calculați suma primilor $10$ termeni.

Rezolvare. Din formula termenului general, $a_{1} + 2 r = 11$ și $a_{1} + 7 r = 26$ . Scăzând prima relație din a doua, $5 r = 15$ , deci $r = 3$ și $a_{1} = 11 - 6 = 5$ . Atunci $S_{10} = \frac{( 2 \cdot 5 + 9 \cdot 3 ) \cdot 10}{2} = 5 \cdot 37 = 185.$

(Barem: $2$ p sistemul, $2$ p valorile $a_{1}$ și $r$ , $1$ p suma.)

Exemplul 2 — Progresie geometrică din două condiții, apoi sumă

Cerință. Într-o progresie geometrică cu termeni pozitivi, $b_{1} = 2$ și $b_{4} = 54$ . Calculați $S_{5}$ .

Rezolvare. Din $b_{4} = b_{1} q^{3}$ obținem $54 = 2 q^{3}$ , deci $q^{3} = 27$ și $q = 3$ . Atunci $S_{5} = 2 \cdot \frac{3 ^{5} - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{242}{2} = 242.$

(Barem: $2$ p ecuația în $q$ , $1$ p valoarea $q = 3$ , $2$ p suma. Observă că $q^{3} = 27$ are o singură soluție reală, deci nu apar cazuri de discutat.)

Exemplul 3 — Trei numere în progresie geometrică, cu o valoare de respins

Cerință. Determinați numerele reale $x$ pentru care $x - 2$ , $x + 1$ și $2 x + 2$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Rezolvare. Condiția este $(x + 1)^{2} = (x - 2) (2 x + 2)$ , adică $x^{2} + 2 x + 1 = 2 x^{2} - 2 x - 4$ , de unde $x^{2} - 4 x - 5 = 0$ , cu rădăcinile $x_{1} = 5$ și $x_{2} = - 1$ .

Pentru $x = 5$ termenii sunt $3$ , $6$ , $12$ , cu rația $2$ — progresie geometrică. Pentru $x = - 1$ termenii sunt $- 3$ , $0$ , $0$ ; al doilea termen fiind nul, rația nu este definită, deci valoarea se respinge. Răspuns: $x = 5$ .

(Barem: $2$ p condiția $v^{2} = u w$ , $2$ p ecuația și rădăcinile, $1$ p respingerea scrisă a lui $- 1$ .)

Exemplul 4 — Funcția de gradul întâi determinată din două condiții

Cerință. Se consideră $f : R \to R$ , $f (x) = a x + b$ , cu $f (1) = 5$ și $f (3) = 11$ . Determinați $a$ și $b$ , apoi studiați semnul funcției.

Rezolvare. Sistemul $a + b = 5$ , $3 a + b = 11$ dă $2 a = 6$ , deci $a = 3$ și $b = 2$ ; funcția este $f (x) = 3 x + 2$ . Zeroul ei este $x_{0} = - \frac{2}{3}$ . Cum $a = 3 > 0$ , funcția e strict crescătoare, negativă pe $(- \infty, - \frac{2}{3})$ și pozitivă pe $(- \frac{2}{3}, + \infty)$ .

(Barem: $2$ p sistemul și rezolvarea lui, $2$ p zeroul funcției, $1$ p semnul, cu intervalele scrise corect.)

Exemplul 5 — Vârf, imagine și monotonie

Cerință. Se consideră $f : R \to R$ , $f (x) = - x^{2} + 4 x + 1$ . Determinați valoarea maximă a funcției și mulțimea valorilor ei.

Rezolvare. Avem $a = - 1 < 0$ , $b = 4$ , $c = 1$ și $Δ = 16 + 4 = 20$ . Abscisa vârfului este $x_{V} = - \frac{4}{2 \cdot ( - 1 )} = 2$ , iar ordonata, $y_{V} = - \frac{20}{4 \cdot ( - 1 )} = 5$ . Controlul direct: $f (2) = - 4 + 8 + 1 = 5$ .

Cum $a < 0$ , parabola e deschisă în jos, deci $5$ este valoarea maximă, atinsă în $x = 2$ , iar $Im f = (- \infty, 5]$ .

(Barem: $2$ p coordonatele vârfului, $2$ p valoarea maximă cu justificarea semnului lui $a$ , $1$ p mulțimea valorilor.)

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Cerință. Determinați numărul real $m$ pentru care graficul funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 2 x + m$ , și dreapta de ecuație $y = 2 x - 3$ au exact un punct comun.

Rezolvare. Abscisele punctelor comune verifică $x^{2} - 2 x + m = 2 x - 3$ , adică $x^{2} - 4 x + m + 3 = 0.$ Un singur punct comun înseamnă o singură soluție reală a acestei ecuații, deci $Δ = 0$ : $16 - 4 (m + 3) = 4 - 4 m = 0$ , de unde $m = 1$ .

Verificare: pentru $m = 1$ ecuația devine $x^{2} - 4 x + 4 = 0$ , cu rădăcina dublă $x = 2$ ; punctul comun este $(2, 1)$ , aflat pe amândouă. Răspuns: $m = 1$ .

(Barem: $2$ p ecuația obținută prin egalarea expresiilor, $2$ p condiția $Δ = 0$ și rezolvarea ei, $1$ p valoarea lui $m$ și verificarea.)

Să exersăm

1. Determinați al cincilea termen al progresiei aritmetice cu $a_{1} = 2$ și rația $r = 3$ .

2. Calculați suma primilor $30$ de termeni ai progresiei aritmetice cu $a_{1} = 1$ și rația $r = 2$ .

3. Determinați numărul real $x$ pentru care $x - 1$ , $x + 3$ și $3 x + 1$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

4. Determinați al cincilea termen al progresiei geometrice cu $b_{1} = 5$ și rația $q = 2$ .

5. Calculați suma primilor $6$ termeni ai progresiei geometrice cu $b_{1} = 3$ și rația $q = 2$ .

6. Determinați rația progresiei geometrice cu termeni pozitivi în care $b_{2} = 6$ și $b_{5} = 48$ .

7. Determinați coordonatele punctelor în care graficul funcției $f (x) = 2 x - 6$ taie axele de coordonate.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) Șirul cu termenul general $a_{n} = 3 n + 2$ este o progresie aritmetică.

9. Studiați semnul funcției $f : R \to R$ , $f (x) = 5 - x$ .

10. Determinați coordonatele vârfului parabolei $y = x^{2} - 6 x + 5$ .

11. Determinați mulțimea valorilor funcției $f : R \to R$ , $f (x) = - x^{2} + 4 x + 1$ .

12. Determinați numărul real $m$ pentru care funcția $f (x) = x^{2} - 2 x + m$ are valoarea minimă egală cu $3$ .

13. Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația $x^{2} - x - 6 > 0$ .

14. Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care dreapta $y = m$ intersectează parabola $y = x^{2} - 4 x + 7$ în două puncte distincte.

15. Determinați numărul real $m$ pentru care ecuația $x^{2} - (m + 1) x + m = 0$ are două rădăcini reale egale.

16. Fie $x_{1}$ și $x_{2}$ rădăcinile ecuației $x^{2} - 6 x + 4 = 0$ . Calculați $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}$ .

17. (Problemă aplicată.) Un bazin primește $100$ de litri în prima oră, iar în fiecare oră următoare cu $20$ de litri mai mult decât în cea dinainte. Câți litri primește în primele $8$ ore?

18. (Provocare.) Arătați că dacă numerele reale $a$ , $b$ , $c$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice, atunci $2^{a}$ , $2^{b}$ , $2^{c}$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Răspunsuri și explicații

1. $a_{5} = a_{1} + 4 r = 2 + 12 = 14$ .

2. $S_{30} = \frac{( 2 \cdot 1 + 29 \cdot 2 ) \cdot 30}{2} = 15 \cdot 60 = 900$ . Este suma primelor $30$ de numere impare, adică $3 0^{2}$ .

3. Condiția $2 (x + 3) = (x - 1) + (3 x + 1)$ dă $2 x + 6 = 4 x$ , deci $x = 3$ ; termenii sunt $2$ , $6$ , $10$ .

4. $b_{5} = b_{1} q^{4} = 5 \cdot 16 = 80$ .

5. $S_{6} = 3 \cdot \frac{2 ^{6} - 1}{2 - 1} = 3 \cdot 63 = 189$ .

6. $\frac{b _{5}}{b _{2}} = q^{3} = \frac{48}{6} = 8$ , deci $q = 2$ (rangurile diferă printr-un număr impar, deci soluția reală e unică). Primul termen este $b_{1} = \frac{b _{2}}{q} = 3$ .

7. Cu $y = 0$ : $2 x - 6 = 0$ , deci punctul $(3, 0)$ pe axa $O x$ . Cu $x = 0$ : $f (0) = - 6$ , deci punctul $(0, - 6)$ pe axa $O y$ .

8. Adevărat. Diferența a doi termeni consecutivi este $a_{n + 1} - a_{n} = 3 (n + 1) + 2 - (3 n + 2) = 3$ , constantă, deci șirul e o progresie aritmetică de rație $3$ , cu $a_{1} = 5$ .

9. $a = - 1 < 0$ și zeroul este $5$ , deci $f$ este strict descrescătoare, pozitivă pe $(- \infty, 5)$ , nulă în $x = 5$ și negativă pe $(5, + \infty)$ .

10. $x_{V} = - \frac{b}{2 a} = \frac{6}{2} = 3$ și $y_{V} = f (3) = 9 - 18 + 5 = - 4$ , deci $V (3, - 4)$ . Controlul prin discriminant: $Δ = 36 - 20 = 16$ și $- \frac{Δ}{4 a} = - 4$ , aceeași valoare.

11. $a = - 1 < 0$ , $x_{V} = 2$ și $y_{V} = f (2) = 5$ , deci $Im f = (- \infty, 5]$ .

12. Valoarea minimă este $- \frac{Δ}{4 a} = - \frac{4 - 4 m}{4} = m - 1$ . Din $m - 1 = 3$ rezultă $m = 4$ .

13. Rădăcinile trinomului sunt $- 2$ și $3$ , iar $a > 0$ , deci $S = (- \infty, - 2) \cup (3, + \infty)$ .

14. Ecuația $x^{2} - 4 x + 7 = m$ devine $x^{2} - 4 x + 7 - m = 0$ , cu $Δ = 16 - 4 (7 - m) = 4 m - 12$ . Condiția $Δ > 0$ dă $m > 3$ , adică exact valorile mai mari decât ordonata vârfului.

15. $Δ = (m + 1)^{2} - 4 m = (m - 1)^{2}$ , iar $Δ = 0$ dă $m = 1$ .

16. $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = \frac{x _{1} + x _{2}}{x _{1} x _{2}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ . Rădăcinile sunt reale, pentru că $Δ = 36 - 16 = 20 > 0$ .

17. Cantitățile formează o progresie aritmetică cu $a_{1} = 100$ și $r = 20$ , deci $S_{8} = \frac{( 2 \cdot 100 + 7 \cdot 20 ) \cdot 8}{2} = 4 \cdot 340 = 1360$ de litri.

18. Din ipoteză, $2 b = a + c$ . Atunci $(2^{b})^{2} = 2^{2 b} = 2^{a + c} = 2^{a} \cdot 2^{c}$ , adică pătratul termenului din mijloc este produsul celorlalți doi; cum puterile lui $2$ sunt nenule, cele trei numere sunt în progresie geometrică, de rație $2^{b - a}$ .

De reținut

Termenul general și suma sunt $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ și $S_{n} = \frac{( 2 a _{1} + ( n - 1 ) r ) n}{2}$ la progresia aritmetică, respectiv $b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$ și $S_{n} = b_{1} \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ la cea geometrică.
Două condiții date în enunț se rezolvă prin scădere la progresia aritmetică și prin împărțire la cea geometrică.
Trei numere sunt în progresie aritmetică dacă $2 v = u + w$ și în progresie geometrică dacă $v^{2} = u w$ , cu toți termenii nenuli.
Vârful parabolei este $V (- \frac{b}{2 a}, - \frac{Δ}{4 a})$ , iar ordonata lui este valoarea minimă a funcției dacă $a > 0$ și valoarea maximă dacă $a < 0$ .
Numărul punctelor comune dintre o dreaptă și o parabolă se decide prin discriminantul ecuației obținute prin egalarea celor două expresii.

Greșeli frecvente

A folosi $a_{n} = a_{1} + n r$ în loc de $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ . Rația se adună de $n - 1$ ori, nu de $n$ ori; verificarea rapidă este $a_{1} = a_{1} + 0 \cdot r$ .
A accepta o valoare care anulează un termen al progresiei geometrice. Într-o progresie geometrică niciun termen nu poate fi nul, pentru că rația s-ar pierde; astfel de valori se resping în scris.
A aplica formula sumei geometrice pentru $q = 1$ . Numitorul $q - 1$ se anulează; în acest caz toți termenii sunt egali și $S_{n} = n b_{1}$ .
A confunda abscisa vârfului cu valoarea extremă. Valoarea minimă sau maximă este ordonata vârfului, $- \frac{Δ}{4 a}$ , nu $- \frac{b}{2 a}$ .
A uita să discute semnul lui $a$ la mulțimea valorilor. Pentru $a > 0$ imaginea este $[y_{V}, + \infty)$ , iar pentru $a < 0$ este $(- \infty, y_{V}]$ ; scrierea greșită costă punctul de finalizare.

Aplică acasă

Ia patru variante oficiale de subiect de Bacalaureat M1 și notează, pentru fiecare, care dintre cele zece tipuri apar la Subiectul I. Vei observa că progresiile și funcția de gradul al doilea sunt aproape mereu prezente.
Scrie pe o singură foaie cele cinci formule ale lecției (termen general și sumă, pentru ambele progresii, plus vârful parabolei) și exersează-le cinci zile la rând, câte trei minute, până le scrii fără să te uiți.
Alege trei probleme din viața de zi cu zi care se modelează cu o progresie — economii lunare, populația unei culturi, distanța parcursă de un mobil care accelerează uniform — și scrie pentru fiecare primul termen și rația.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică zece tipuri de cerințe de Subiectul I din capitolele de progresii și de funcții elementare. Întrebări de control: „Care e deosebirea dintre cele două forme ale sumei unei progresii aritmetice?", „De ce se resping valorile care anulează un termen la progresia geometrică?", „Unde se citește valoarea minimă a unei funcții de gradul al doilea?". Semnele că a înțeles: rezolvă sistemele de două condiții prin scădere sau prin împărțire, fără să calculeze fiecare termen, și dă mulțimea valorilor cu paranteza potrivită semnului lui $a$ .

Materia este în întregime de clasa a IX-a, ceea ce înseamnă că lacunele de aici sunt vechi de trei ani și se repară repede, cu exercițiu. Cerințele de acest tip valorează $5$ puncte fiecare la proba scrisă și apar în aproape orice variantă, deci sunt printre cele mai rentabile din pregătirea de BAC. Recomandarea: câte două cerințe din fiecare tip pe săptămână, cronometrate, cu redactare completă și cu concluzia scrisă în cuvinte.

Întrebări frecvente

Cum se calculează suma primilor $n$ termeni ai unei progresii aritmetice?

Cu formula $S_{n} = \frac{( a _{1} + a _{n} ) n}{2}$ , dacă știi primul și ultimul termen, sau cu $S_{n} = \frac{( 2 a _{1} + ( n - 1 ) r ) n}{2}$ , dacă știi primul termen și rația. Cele două sunt aceeași formulă scrisă diferit; alegerea depinde doar de datele din enunț. Rezultatul se lasă ca număr întreg, fără aproximări.

Cum aflu primul termen și rația dintr-o progresie, dacă am doi termeni oarecare?

La progresia aritmetică scrii cei doi termeni cu formula termenului general și scazi relațiile: diferența lor conține doar rația. La progresia geometrică împarți relațiile: câtul lor este o putere a rației. După ce ai rația, o înlocuiești într-una dintre relații și obții primul termen.

Când sunt trei numere în progresie geometrică?

Când pătratul termenului din mijloc este egal cu produsul celorlalte două, adică $v^{2} = u w$ , și niciunul dintre cele trei nu este nul. A doua condiție se uită des: dacă o valoare găsită anulează un termen, rația nu mai este definită, deci valoarea se respinge printr-o propoziție scrisă în rezolvare.

Unde se citește valoarea minimă a unei funcții de gradul al doilea?

În ordonata vârfului, adică $- \frac{Δ}{4 a}$ , atinsă pentru $x = - \frac{b}{2 a}$ . Dacă $a > 0$ , parabola e deschisă în sus și această valoare este minimul; dacă $a < 0$ , este maximul. Un control util: ordonata vârfului se poate obține și calculând direct $f (x_{V})$ .

Cum determin mulțimea valorilor unei funcții de gradul al doilea?

Se calculează ordonata vârfului și se privește semnul coeficientului dominant. Pentru $a > 0$ , mulțimea valorilor este $[y_{V}, + \infty)$ ; pentru $a < 0$ , este $(- \infty, y_{V}]$ . Paranteza dinspre vârf este întotdeauna închisă, pentru că valoarea extremă chiar se atinge, în punctul de abscisă $x_{V}$ .

Cum aflu câte puncte comune are o dreaptă cu o parabolă?

Egalezi cele două expresii, aduci totul într-un singur membru și obții o ecuație de gradul al doilea. Discriminantul ei decide: $Δ > 0$ înseamnă două puncte comune, $Δ = 0$ înseamnă unul singur, iar $Δ < 0$ înseamnă că dreapta și parabola nu se intersectează. Abscisele punctelor comune sunt chiar rădăcinile ecuației.

Ce înseamnă „ecuație cu parametru" la Subiectul I?

Înseamnă o ecuație în care apare o literă suplimentară, de obicei $m$ , iar cerința nu e să rezolvi ecuația, ci să afli pentru ce valori ale parametrului ea are o anumită proprietate: rădăcini reale, rădăcini egale sau nicio rădăcină reală. Aproape toate se rezolvă cu discriminantul, uneori împreună cu relațiile lui Viète.