Subiectul al II-lea: inele, corpuri și polinoame: pe scurt

Pentru sesiunile de Bacalaureat M1 din $2027$, $2028$ și $2029$ inelele, corpurile și polinoamele peste un corp fac parte din materia de examen și pot ocupa toată a doua problemă a Subiectului al II-lea. Patru tipuri de enunț acoperă aproape tot: două legi pe $\mathbb{R}$, o mulțime de matrice, clasele de resturi, un polinom cu parametru. La primul tip, transportul de structură înlocuiește verificarea axiomelor: se propune $f(x)=x-a$, se arată că e bijectivă și că $f(x\oplus y)=f(x)+f(y)$, $f(x\otimes y)=f(x)f(y)$, iar structura moștenește tot. Elementele remarcabile se citesc prin $f^{-1}$: nulul este $a$, unitatea $a+1$, opusul lui $x$ este $2a-x$, iar inversul, pentru $x\ne a$, este $x^{-1}=a+\frac{1}{x-a}$ — nu $\frac{1}{x}$. La matrice de forma $a{I}_2+bJ$ cu $J^2=d{I}_2$ totul pornește de la pătratul lui $J$, iar dacă structura e corp depinde de corpul de scalari. Mulțimea ${\mathbb{Z}}_n$ este inel comutativ cu unitate pentru orice $n\ge 2$ și este corp dacă și numai dacă $n$ este prim; când $n$ nu e prim, clasele nenule se împart exact în inversabile și divizori ai lui zero. La polinoame, derivata formală arată că o rădăcină e simplă când nu anulează $f^{\prime }$, iar criteriul „reductibil $⟺$ are rădăcină” e valabil numai la gradele $2$ și $3$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pe $\mathbb{R}$ se consideră legile $x\oplus y=x+y-19$ și $x\otimes y=(x-19)(y-19)+19$. Elementul-unitate al corpului $(\mathbb{R},\oplus ,\otimes )$ este:

   • a) $19$
   • b) $1$
   • c) $0$
   • d) $20$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $20$

   Prin transportul de structură cu $f(x)=x-19$, unitatea este $f^{-1}(1)=1+19=20$. Verificare directă: $20\otimes x=(20-19)(x-19)+19=x-19+19=x$ ✓. Varianta $19$ este elementul nul al structurii, $f^{-1}(0)$; variantele $1$ și $0$ sunt unitatea și nulul lui $(\mathbb{R},+,\cdot )$, adică ale structurii de sosire, nu ale celei din enunț.

2. Pentru legile $x\oplus y=x+y-19$ și $x\otimes y=(x-19)(y-19)+19$, inversul lui $x=23$ față de legea $\otimes$ este:

   • a) $\frac{1}{23}$
   • b) $15$
   • c) $\frac{77}{4}$
   • d) $\frac{1}{4}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\frac{77}{4}$

   Notația $x^{-1}$ înseamnă aici simetricul față de $\otimes$, nu $\frac{1}{x}$: formula este $x^{-1}=19+\frac{1}{x-19}$, deci $23^{-1}=19+\frac{1}{4}=\frac{77}{4}$. Verificare: $\frac{77}{4}\otimes 23=\frac{1}{4}\cdot 4+19=20$, adică unitatea ✓. Varianta $\frac{1}{23}$ este exact greșeala pe care notația o provoacă, iar $15=2\cdot 19-23$ este opusul față de $\oplus$.

3. În inelul $({\mathbb{Z}}_{21},+,\cdot )$, numărul claselor nenule care sunt divizori ai lui zero este:

   • a) $12$
   • b) $8$
   • c) $20$
   • d) $0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $8$

   Într-un inel ${\mathbb{Z}}_n$ cu $n$ neprim, clasele nenule se împart exact în două categorii: inversabile și divizori ai lui zero. Clasa $\hat{a}$ e inversabilă când $(a,21)=1$, iar acestea sunt $12$ la număr. Rămân $20-12=8$ divizori ai lui zero: clasele $\hat{3},\hat{6},\hat{9},\widehat{12},\widehat{15},\widehat{18}$ și $\hat{7},\widehat{14}$. Exemplu: $\hat{3}\cdot \hat{7}=\widehat{21}=\hat{0}$, cu ambii factori nenuli. Varianta $0$ ar cere ca $21$ să fie prim.