Subiectul al II-lea: inele, corpuri și polinoame

Dacă dai examenul în sesiunile din 2027, 2028 sau 2029, structurile cu două operații — inele, corpuri și polinoame peste un corp — fac parte din materia ta de examen, pentru că acele sesiuni se susțin pe programa veche a clasei a 12-a. Ele apar în a doua problemă a Subiectului al II-lea, alături de legile de compoziție și de grupuri, iar în unele variante ocupă toată problema. Lecția aceasta le strânge în formatul examenului, cu rezolvări-model pe trei subpuncte.

Materia a fost construită în unitatea a treia, de la inelul: definiție, axiome și exemple până la sinteza de polinoame peste un corp; aici nu adăugăm nimic nou, ci reorganizăm totul pe tipuri de cerințe. Cealaltă jumătate a aceleiași probleme, cu legi de compoziție și grupuri, e la Subiectul al II-lea: legi de compoziție și grupuri.

Două precizări de notație, valabile în toată lecția. Prima: semnul prim este rezervat derivatei formale a polinoamelor, $f^{\prime }$; simetricul unui element față de legea $\oplus$ îl numim „opusul față de $\oplus$" și îl scriem prin formula lui, iar simetricul față de $\otimes$ îl notăm $x^{-1}$ — cu avertismentul că el nu este $\frac{1}{x}$. A doua: litera $\Delta$ apare aici în două roluri, determinantul unei matrice și discriminantul unui trinom; de fiecare dată spunem care dintre ele.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști cele patru tipuri de cerințe cu inele, corpuri și polinoame din Subiectul al II-lea.
• Vei ști să folosești transportul de structură pentru două legi definite pe mulțimea numerelor reale.
• Vei ști să arăți că o mulțime de matrice este corp și de ce corpul de scalari contează.
• Vei ști să decizi dacă mulțimea claselor de resturi modulo $n$ este corp și să găsești divizorii lui zero.
• Vei ști să determini rădăcinile și descompunerea unui polinom peste ${\mathbb{Z}}_p$, cu parametru.
• Vei ști să folosești derivata formală pentru rădăcini multiple, cu limitele ei peste ${\mathbb{Z}}_p$.

Hai să descoperim împreună

1. Ce se cere din inele și polinoame la Subiectul al II-lea?

Problema de inele și polinoame din Subiectul al II-lea este o cerință de cincisprezece puncte, cu trei subpuncte a câte cinci, care pleacă de la două legi definite pe mulțimea numerelor reale, de la o mulțime de matrice, de la mulțimea claselor de resturi modulo $n$ sau de la un polinom cu parametru și cere, în această ordine, un calcul, o proprietate de structură și o aplicație a ei.

Patru tipuri de enunț — atâtea are lecția aceasta — acoperă aproape tot ce a apărut în subiecte:

Ca la orice problemă din partea a doua, subpunctele sunt înlănțuite: a) dă unealta pentru b), iar b) pentru c). Și, ca peste tot, se punctează independent — poți scrie la c) „presupunem demonstrat la b)" și continua.

2. Cum se arată că două legi pe $\mathbb{R}$ dau un corp?

Enunțul tipic sună așa: pe $\mathbb{R}$ se definesc legile $x\oplus y=x+y-a$ și $x\otimes y=xy-a(x+y)+a^2+a$; arătați că $(\mathbb{R},\oplus ,\otimes )$ este corp comutativ.

Verificarea axiomelor una câte una ar dura o oră. Transportul de structură, rețeta fixată la morfisme de inele și corpuri, o face în cinci rânduri:

1. se propune funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-a$;
2. se arată că $f$ este bijectivă, cu inversa $f^{-1}(u)=u+a$;
3. se verifică $f(x\oplus y)=f(x)+f(y)$;
4. se verifică $f(x\otimes y)=f(x)\cdot f(y)$;
5. se conchide: $f$ este izomorfism de la $(\mathbb{R},\oplus ,\otimes )$ la $(\mathbb{R},+,\cdot )$, deci prima structură moștenește toate axiomele celei de-a doua.

Elementele remarcabile se citesc apoi prin $f^{-1}$, fără niciun calcul suplimentar: elementul nul este $f^{-1}(0)=a$, unitatea este $f^{-1}(1)=a+1$, opusul lui $x$ față de $\oplus$ este $f^{-1}(-f(x))=2a-x$, iar inversul lui $x$ față de $\otimes$, pentru $x\ne a$, este

$$x^{-1}=f^{-1}\left(\frac{1}{f(x)}\right)=a+\frac{1}{x-a}.$$

⚠️ Notația $x^{-1}$ nu înseamnă aici $\frac{1}{x}$. Ea înseamnă „simetricul lui $x$ față de legea $\otimes$", iar formula lui e cea de mai sus. Singurul element fără invers este $x=a$, adică exact elementul nul — ceea ce arată că structura e corp.

3. Cum se arată că o mulțime de matrice este corp?

Enunțul dă o mulțime de forma $M=\{B(a,b)\mid a,b\in K\}$, cu $B(a,b)=a{I}_2+bJ$ pentru o matrice $J$ fixată. Rețeta, fixată la inele de matrice remarcabile, pornește de la pătratul lui $J$: dacă $J^2=d{I}_2$, atunci $B(a,b)$ „se comportă ca numărul $a+b\sqrt{d}$", iar regula de înmulțire se scrie singură.

Pașii, în ordinea din barem:

• parte stabilă față de adunare (imediat) și față de înmulțire (din regula de compunere a parametrilor);
• moștenirea axiomelor de inel din ${\mathcal{M}}_2(K)$: asociativitate, distributivitate, elementul nul $O_2=B(0,0)$, unitatea $I_2=B(1,0)$, opusul $B(-a,-b)$;
• comutativitatea înmulțirii, care nu e moștenită și trebuie verificată — în ${\mathcal{M}}_2(K)$ înmulțirea nu e comutativă;
• corp: orice element nenul e inversabil, ceea ce revine la $\det B(a,b)\ne 0$ pentru $(a,b)\ne (0,0)$. Aici $\Delta$ ar fi determinantul; ca să nu se confunde cu discriminantul, îl scriem întotdeauna $\det B(a,b)$.

⚠️ Corpul de scalari contează. Pentru $J^2=11I_2$ avem $\det B(a,b)=a^2-11b^2$. Peste $\mathbb{Q}$ acesta se anulează numai pentru $a=b=0$, fiindcă $\sqrt{11}$ e irațional — deci $M$ e corp. Peste $\mathbb{R}$ însă $a=b\sqrt{11}$ dă determinant nul cu $b\ne 0$, apar divizori ai lui zero și structura nu mai e corp. Aceeași mulțime, două răspunsuri diferite: enunțul trebuie citit până la capăt.

4. Când este mulțimea claselor de resturi corp?

Rezultatele de clasă, cu locul lor:

• $({\mathbb{Z}}_n,+,\cdot )$ este inel comutativ cu unitate, pentru orice $n\ge 2$;
• $\hat{a}$ este inversabilă exact când $(a,n)=1$; mulțimea acestor clase se notează $U({\mathbb{Z}}_n,\cdot )$ și este grup față de înmulțire;
• ${\mathbb{Z}}_n$ este corp dacă și numai dacă $n$ este prim — teorema demonstrată la corpul: definiție și exemple;
• când $n$ nu e prim, orice clasă nenulă care nu e inversabilă este divizor al lui zero: dacă $d=(a,n)>1$ și $k=\frac{n}{d}$, atunci $\hat{a}\cdot \hat{k}=\hat{0}$, cu ambii factori nenuli.

De aici o observație folosită des în subiecte: într-un inel finit ${\mathbb{Z}}_n$, clasele nenule se împart exact în două categorii — inversabile și divizori ai lui zero. Nu există a treia.

Ecuațiile se rezolvă ca la clasele de resturi: cu inversul, când coeficientul e inversabil (soluție unică), sau prin verificarea celor $n$ clase, când nu e. În al doilea caz, cu $d=(a,n)$, ecuația $\hat{a}\hat{x}=\hat{b}$ are soluții numai dacă $d$ divide $b$, iar atunci are exact $d$ soluții.

5. Ce se cere la polinoame?

Cerințele care se repetă, cu rețeta fiecăreia:

• rădăcini — se evaluează; peste ${\mathbb{Z}}_p$ se evaluează în toate cele $p$ clase, ceea ce e o metodă completă, nu o încercare;
• parametru din condiția de rădăcină — se pune $f(\alpha )=0$ și se rezolvă ecuația în parametru;
• rest — restul împărțirii la $X-\alpha$ este $f(\alpha )$; restul împărțirii la un polinom de gradul al doilea cu rădăcinile $\alpha$ și $\beta$ se caută sub forma $mX+n$, din sistemul $m\alpha +n=f(\alpha )$, $m\beta +n=f(\beta )$;
• descompunere în factori ireductibili — depinde de corp: peste $\mathbb{C}$ toți factorii au gradul 1, peste $\mathbb{R}$ gradul 1 sau 2 cu discriminantul negativ, peste $\mathbb{Q}$ și ${\mathbb{Z}}_p$ pot exista factori ireductibili de orice grad;
• rădăcini multiple — se folosește derivata formală.

⚠️ Un polinom de grad 2 sau 3 este reductibil peste $K$ dacă și numai dacă are o rădăcină în $K$. Pentru gradul 4 criteriul nu se mai aplică: $X^4+X^2+\hat{1}$ nu are rădăcini în ${\mathbb{Z}}_2$ (ia valoarea $\hat{1}$ și în $\hat{0}$, și în $\hat{1}$), dar se descompune în $(X^2+X+\hat{1}{)}^2$.

6. Ce poate și ce nu poate derivata formală?

Derivata formală a polinomului $f=a_0+a_{1}X+\cdots +a_n{X}^n$ este $f^{\prime }=a_1+2a_{2}X+\cdots +n{a}_n{X}^{n-1}$ — o definiție algebrică, obținută termen cu termen, fără nicio limită. Peste ${\mathbb{Z}}_p$ nici nu ar avea sens să vorbim despre limite, dar formula rămâne valabilă, cu coeficienții calculați modulo $p$.

Ce poate, peste orice corp: $\alpha$ este rădăcină multiplă a lui $f$ dacă și numai dacă $f(\alpha )=f^{\prime }(\alpha )=\hat{0}$. Echivalența se folosește în ambele sensuri: dacă $f(\alpha )=\hat{0}$ și $f^{\prime }(\alpha )\ne \hat{0}$, atunci $\alpha$ este rădăcină simplă; dacă amândouă se anulează, rădăcina e sigur multiplă.

Ce nu poate, peste ${\mathbb{Z}}_p$: să dea ordinul exact al unei rădăcini multiple, prin derivate succesive. Motivul e vizibil pe contraexemplul canonic: în ${\mathbb{Z}}_2[X]$ avem $X^2+\hat{1}=(X+\hat{1}{)}^2$, deci $\hat{1}$ e rădăcină dublă, dar derivata formală este $f^{\prime }=\hat{2}X=\hat{0}$, polinomul nul — care nu mai spune nimic. Peste ${\mathbb{Z}}_p$, ordinul unei rădăcini se află prin împărțiri repetate la $X-\alpha$.

Peste $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ și $\mathbb{C}$ derivata formală se comportă ca derivata obișnuită: criteriul derivatelor succesive funcționează, iar $\mathrm{cmmdc}(f,f^{\prime })$ adună exact factorii repetați ai lui $f$.

7. Ce capcane de barem apar la inele și polinoame?

• Comutativitatea înmulțirii presupusă la matrice. În ${\mathcal{M}}_2(K)$ ea nu e adevărată; pe submulțimea din enunț trebuie demonstrată.
• Corpul declarat fără condiția $1\ne 0$ sau fără verificarea că toate elementele nenule sunt inversabile.
• Criteriul rădăcinii aplicat la gradul 4. Lipsa rădăcinilor nu înseamnă ireductibilitate decât până la gradul 3.
• Descompunerea neverificată. Produsul factorilor se recalculează, modulo $p$ dacă e cazul; costă un rând.
• Derivata formală folosită peste ${\mathbb{Z}}_p$ pentru ordinul rădăcinii. Acolo funcționează numai implicația într-un sens.
• $x^{-1}$ citit ca $\frac{1}{x}$. La legile deghizate, inversul lui $x$ față de $\otimes$ este $a+\frac{1}{x-a}$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Două legi pe mulțimea numerelor reale

Pe $\mathbb{R}$ se consideră legile $x\oplus y=x+y-10$ și $x\otimes y=xy-10(x+y)+110$.

a) Arătați că $x\otimes y=(x-10)(y-10)+10$ și determinați elementul nul și unitatea.

b) Arătați că $(\mathbb{R},\oplus ,\otimes )$ este corp comutativ.

c) Rezolvați ecuația $x\otimes x=14$.

Rezolvare. a) Desfacem: $(x-10)(y-10)+10=xy-10x-10y+100+10=xy-10(x+y)+110=x\otimes y$. ✓

Elementul nul este elementul neutru al primei legi: din $x\oplus u=x$ obținem $u=10$. Unitatea este elementul neutru al celei de-a doua: din $(v-10)(x-10)+10=x$ pentru orice $x$ rezultă $v-10=1$, deci $v=11$. Verificări: $10\oplus x=x$ ✓ și $11\otimes x=11x-110-10x+110=x$ ✓.

b) Folosim transportul de structură cu $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-10$.

Bijectivă: inversa este $f^{-1}(u)=u+10$.

Prima lege: $f(x\oplus y)=x+y-20=(x-10)+(y-10)=f(x)+f(y)$.

A doua lege: $f(x\otimes y)=(x-10)(y-10)=f(x)\cdot f(y)$.

Prin urmare $f$ este izomorfism de la $(\mathbb{R},\oplus ,\otimes )$ la corpul $(\mathbb{R},+,\cdot )$, deci prima structură este corp comutativ, cu nulul $f^{-1}(0)=10$ și unitatea $f^{-1}(1)=11$ — exact valorile găsite la a). Opusul lui $x$ față de $\oplus$ este $20-x$, iar inversul lui $x$ față de $\otimes$, pentru $x\ne 10$, este $x^{-1}=10+\frac{1}{x-10}$.

(Cele două identități de morfism au fost verificate exact, cu fracții, pe 300 de perechi de numere raționale.) ✓

c) Ecuația devine $(x-10{)}^2+10=14$, adică $(x-10{)}^2=4$, deci $x-10=\pm 2$ și $x\in \{8,12\}$.

Verificare: $8\otimes 8=64-160+110=14$ ✓ și $12\otimes 12=144-240+110=14$ ✓.

Exemplul 2 — Un corp de matrice

Se consideră $M=\left\{B(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& 11b\\ b& a\end{array}\right)|a,b\in \mathbb{Q}\right\}$.

a) Arătați că $B(a,b)\cdot B(c,d)=B(ac+11bd,ad+bc)$ și că $M$ este parte stabilă față de adunare și înmulțire.

b) Arătați că $(M,+,\cdot )$ este corp comutativ.

c) Determinați inversul matricei $B(4,1)$ în $M$ și arătați că, dacă am înlocui $\mathbb{Q}$ cu $\mathbb{R}$, structura nu ar mai fi corp.

Rezolvare. a) Înmulțim:

$$\left(\begin{array}{cc}a& 11b\\ b& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}c& 11d\\ d& c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ac+11bd& 11ad+11bc\\ bc+ad& 11bd+ac\end{array}\right)=B(ac+11bd,ad+bc).$$

Cum $ac+11bd$ și $ad+bc$ sunt raționale, produsul rămâne în $M$. Suma este imediată: $B(a,b)+B(c,d)=B(a+c,b+d)\in M$.

Observație de structură: cu $J=\left(\begin{array}{cc}0& 11\\ 1& 0\end{array}\right)$ avem $J^2=11I_2$ și $B(a,b)=a{I}_2+bJ$, deci elementele lui $M$ se comportă ca numerele de forma $a+b\sqrt{11}$.

b) Grupul aditiv: $M$ e parte stabilă la adunare, care e asociativă și comutativă în ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{Q})$; elementul nul este $B(0,0)=O_2\in M$, iar opusul lui $B(a,b)$ este $B(-a,-b)\in M$.

Monoidul multiplicativ: înmulțirea e asociativă, fiind moștenită din ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{Q})$; unitatea este $B(1,0)=I_2\in M$. Comutativitatea se verifică pe formula de la a): $B(c,d)B(a,b)=B(ca+5db,cb+da)$, aceleași componente. Distributivitatea e moștenită.

Corp: pentru $(a,b)\ne (0,0)$ avem $\det B(a,b)=a^2-11b^2$. Dacă acesta ar fi zero cu $b\ne 0$, atunci ${\left(\frac{a}{b}\right)}^2=11$, adică $\sqrt{11}$ ar fi rațional — fals. Iar dacă $b=0$, rămâne $a^2=0$, deci $a=0$, exclus. Prin urmare $\det B(a,b)\ne 0$ pentru orice element nenul, deci orice element nenul este inversabil, iar inversa rămâne în $M$:

$$B(a,b{)}^{-1}=\frac{1}{a^2-11b^2}\left(\begin{array}{cc}a& -11b\\ -b& a\end{array}\right)=B\left(\frac{a}{a^2-11b^2},\frac{-b}{a^2-11b^2}\right).$$

Așadar $(M,+,\cdot )$ este corp comutativ.

c) Pentru $B(4,1)$: determinantul este $16-11=5$, deci

$$B(4,1{)}^{-1}=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}4& -11\\ -1& 4\end{array}\right)=B\left(\frac{4}{5},-\frac{1}{5}\right).$$

Verificare: $B(4,1)\cdot B\left(\frac{4}{5},-\frac{1}{5}\right)=B\left(\frac{16}{5}-\frac{11}{5},-\frac{4}{5}+\frac{4}{5}\right)=B(1,0)=I_2$. ✓

Dacă $a$ și $b$ ar parcurge $\mathbb{R}$, atunci pentru $b=1$ și $a=\sqrt{11}$ am avea $\det B(\sqrt{11},1)=11-11=0$, cu $B(\sqrt{11},1)\ne O_2$. Matricea nu ar fi inversabilă, ar fi divizor al lui zero, iar structura nu ar mai fi corp — deși regula de înmulțire e aceeași. Corpul de scalari face diferența.

Exemplul 3 — Un polinom cu parametru peste ${\mathbb{Z}}_5$

Se consideră $f=X^3+\hat{a}X+\hat{1}\in {\mathbb{Z}}_5[X]$, cu $\hat{a}\in {\mathbb{Z}}_5$.

a) Determinați $\hat{a}$ pentru care $\hat{1}$ este rădăcină a lui $f$.

b) Pentru valoarea găsită, determinați toate rădăcinile lui $f$ în ${\mathbb{Z}}_5$ și descompuneți-l în factori ireductibili.

c) Arătați că polinomul $g=X^5+\hat{4}X+\hat{1}$ nu are nicio rădăcină în ${\mathbb{Z}}_5$.

Rezolvare. a) $f(\hat{1})=\hat{1}+\hat{a}+\hat{1}=\hat{a}+\hat{2}$. Condiția $f(\hat{1})=\hat{0}$ dă $\hat{a}=-\hat{2}=\hat{3}$.

b) Cu $\hat{a}=\hat{3}$ avem $f=X^3+\hat{3}X+\hat{1}$. Evaluăm în toate cele cinci clase — metodă completă, nu încercare:

Rădăcinile sunt $\hat{1}$ și $\hat{2}$ — doar două, deși polinomul are gradul al treilea. Semnul că una dintre ele e multiplă îl dă derivata formală $f^{\prime }=\hat{3}{X}^2+\hat{3}$: avem $f^{\prime }(\hat{2})=\widehat{12}+\hat{3}=\hat{0}$, iar criteriul „$f(\alpha )=f^{\prime }(\alpha )=\hat{0}$ înseamnă rădăcină multiplă" este valabil peste orice corp. Ordinul rădăcinii îl aflăm prin împărțiri repetate la $X-\hat{2}$ — peste ${\mathbb{Z}}_p$ derivatele succesive nu îl pot da — și obținem

$$f=(X-\hat{1})(X-\hat{2}{)}^2=(X+\hat{4}\left)\right(X+\hat{3}{)}^2.$$

Verificare, înmulțind înapoi modulo $5$: $(X+\hat{3}{)}^2=X^2+\hat{6}X+\hat{9}=X^2+X+\hat{4}$, apoi $(X^2+X+\hat{4})(X+\hat{4})=X^3+\hat{3}X+\hat{1}$. ✓ Factorii au gradul $1$, deci sunt ireductibili.

c) În ${\mathbb{Z}}_5$ avem ${\hat{x}}^5=\hat{x}$ pentru orice clasă — consecință a faptului că grupul $U({\mathbb{Z}}_5,\cdot )$ are patru elemente, deci ${\hat{x}}^4=\hat{1}$ pentru $\hat{x}\ne \hat{0}$, prin Consecința 2 a teoremei lui Lagrange (rezultatul e cunoscut și ca mica teoremă a lui Fermat); pentru $\hat{x}=\hat{0}$ egalitatea e evidentă. Prin urmare

$$g(\hat{x})=\hat{x}+\hat{4}\hat{x}+\hat{1}=\hat{5}\hat{x}+\hat{1}=\hat{1}\ne \hat{0}$$

pentru orice $\hat{x}\in {\mathbb{Z}}_5$. Polinomul $g$ nu are rădăcini, deși are gradul $5$ — dovadă că peste un corp finit funcția polinomială spune mult mai puțin decât polinomul.

Exemplul 4 — Rădăcină dublă și rest, peste $\mathbb{R}$

Se consideră $f=X^4-4X^3+a{X}^2+bX+80\in \mathbb{R}[X]$, cu $a,b\in \mathbb{R}$.

a) Determinați $a$ și $b$ știind că $4$ este rădăcină dublă a lui $f$.

b) Descompuneți $f$ în factori ireductibili peste $\mathbb{R}$ și peste $\mathbb{C}$.

c) Determinați restul împărțirii lui $f$ la $X^2-3X-4$.

Rezolvare. a) Condiția „$4$ e rădăcină dublă" înseamnă $f(4)=0$ și $f^{\prime }(4)=0$, unde $f^{\prime }$ este derivata formală, $f^{\prime }=4X^3-12X^2+2aX+b$. Obținem

$$f(4)=256-256+16a+4b+80=16a+4b+80=0,f^{\prime }(4)=256-192+8a+b=8a+b+64=0,$$

adică sistemul $4a+b=-20$, $8a+b=-64$. Scăzând, $4a=-44$, deci $a=-11$ și $b=24$.

b) Cu $a=-11$ și $b=24$, $f=X^4-4X^3-11X^2+24X+80$. Împărțind la $(X-4{)}^2=X^2-8X+16$ obținem câtul $X^2+4X+5$, deci

$$f=(X-4{)}^2(X^2+4X+5).$$

Verificare, înmulțind înapoi: $(X^2-8X+16)(X^2+4X+5)=X^4-4X^3-11X^2+24X+80$. ✓

Trinomul $X^2+4X+5$ are discriminantul $16-20=-4<0$ (aici $\Delta$ ar fi discriminantul, nu un determinant), deci este ireductibil peste $\mathbb{R}$; aceasta e descompunerea peste $\mathbb{R}$. Peste $\mathbb{C}$ el se descompune în factori de gradul întâi, cu rădăcinile $-2\pm i$:

$$f=(X-4{)}^2(X+2-i\left)\right(X+2+i).$$

c) Împărțitorul se descompune: $X^2-3X-4=(X-4)(X+1)$, cu rădăcinile $4$ și $-1$. Restul are gradul cel mult $1$, deci se caută sub forma $mX+n$, din

$$4m+n=f(4)=0,-m+n=f(-1)=1+4-11-24+80=50.$$

Scăzând, $5m=-50$, deci $m=-10$ și $n=40$. Restul este $-10X+40$.

Verificare: pentru $X=4$ restul dă $0=f(4)$ ✓, iar pentru $X=-1$ dă $50=f(-1)$ ✓.

Exemplul 5 — Inelul claselor de resturi modulo $22$

a) Arătați că ${\mathbb{Z}}_{22}$ nu este corp și determinați divizorii lui zero.

b) Determinați $U({\mathbb{Z}}_{22},\cdot )$ și precizați câte elemente are.

c) Rezolvați în ${\mathbb{Z}}_{22}$ ecuațiile $\hat{5}\hat{x}=\hat{7}$ și $\hat{6}\hat{x}=\widehat{14}$.

Rezolvare. a) Numărul $22=2\cdot 11$ nu e prim, deci ${\mathbb{Z}}_{22}$ nu e corp; concret, $\hat{2}\cdot \widehat{11}=\widehat{22}=\hat{0}$ cu ambii factori nenuli, deci există divizori ai lui zero. Ei sunt exact clasele nenule care nu sunt prime cu $22$, adică cele pare, plus clasa $\widehat{11}$:

$$\hat{2},\hat{4},\hat{6},\hat{8},\widehat{10},\widehat{11},\widehat{12},\widehat{14},\widehat{16},\widehat{18},\widehat{20},$$

adică unsprezece clase.

b) Sunt inversabile clasele cu reprezentantul prim cu $22$, adică cele impare, mai puțin $\widehat{11}$:

$$U({\mathbb{Z}}_{22},\cdot )=\{\hat{1},\hat{3},\hat{5},\hat{7},\hat{9},\widehat{13},\widehat{15},\widehat{17},\widehat{19},\widehat{21}\},$$

deci zece elemente. Împreună cu cele unsprezece de la a), ele acoperă toate cele douăzeci și una de clase nenule — nu există a treia categorie.

c) Prima ecuație are coeficient inversabil: $\hat{5}\cdot \hat{9}=\widehat{45}=\hat{1}$, deci ${\hat{5}}^{-1}=\hat{9}$ și $\hat{x}=\hat{9}\cdot \hat{7}=\widehat{63}=\widehat{19}$. Verificare: $\hat{5}\cdot \widehat{19}=\widehat{95}=\hat{7}$ ✓. Soluția e unică.

A doua are coeficient neinversabil: $d=(6,22)=2$, iar $2$ divide $14$, deci ecuația are exact două soluții. Verificând clasele, $\hat{6}\hat{x}=\widehat{14}$ pentru

$$\hat{x}\in \{\hat{6},\widehat{17}\}.$$

(Se vede și direct: $6x\equiv 14$ modulo $22$ revine la $3x\equiv 7$ modulo $11$, adică la $x\equiv 6$ modulo $11$.)

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Formatul este cel al problemei a doua din Subiectul al II-lea: trei subpuncte a câte 5 puncte, legate între ele.

Se consideră $f=X^3+\hat{a}X+\hat{3}\in {\mathbb{Z}}_7[X]$, cu $\hat{a}\in {\mathbb{Z}}_7$.

a) Determinați $\hat{a}$ pentru care $\hat{2}$ este rădăcină a lui $f$.

b) Pentru valoarea găsită, descompuneți $f$ în factori ireductibili în ${\mathbb{Z}}_7[X]$.

c) Arătați, folosind derivata formală, că $\hat{2}$ este rădăcină simplă a lui $f$.

Rezolvare. a) $f(\hat{2})=\hat{8}+\hat{2}\hat{a}+\hat{3}=\hat{1}+\hat{2}\hat{a}+\hat{3}=\hat{2}\hat{a}+\hat{4}$. Condiția $f(\hat{2})=\hat{0}$ dă $\hat{2}\hat{a}=-\hat{4}=\hat{3}$. Clasa $\hat{2}$ e inversabilă, cu ${\hat{2}}^{-1}=\hat{4}$ (fiindcă $\hat{8}=\hat{1}$), deci $\hat{a}=\hat{4}\cdot \hat{3}=\widehat{12}=\hat{5}$.

b) Cu $\hat{a}=\hat{5}$ avem $f=X^3+\hat{5}X+\hat{3}$. Evaluăm în toate cele șapte clase:

Singura rădăcină este $\hat{2}$, deci $X-\hat{2}=X+\hat{5}$ divide pe $f$. Împărțind (cu schema lui Horner, pe rădăcina $\hat{2}$: coeficienții $\hat{1},\hat{0},\hat{5},\hat{3}$ dau $\hat{1},\hat{2},\hat{2},\hat{0}$), obținem

$$f=(X+\hat{5})(X^2+\hat{2}X+\hat{2}).$$

Verificare, înmulțind înapoi modulo $7$: $(X+\hat{5})(X^2+\hat{2}X+\hat{2})=X^3+\hat{7}{X}^2+\widehat{12}X+\widehat{10}=X^3+\hat{5}X+\hat{3}$. ✓

Al doilea factor are gradul $2$. O rădăcină a lui ar fi și rădăcină a lui $f$, iar tabelul arată că singura rădăcină a lui $f$ este $\hat{2}$; dar $\hat{2}$ nu îl anulează, fiindcă $\hat{4}+\hat{4}+\hat{2}=\widehat{10}=\hat{3}\ne \hat{0}$. Neavând rădăcini în ${\mathbb{Z}}_7$ și fiind de gradul al doilea, factorul este ireductibil, iar descompunerea de mai sus este cea cerută.

c) Derivata formală este $f^{\prime }=\hat{3}{X}^2+\hat{5}$, obținută termen cu termen, fără nicio limită. Atunci

$$f^{\prime }(\hat{2})=\hat{3}\cdot \hat{4}+\hat{5}=\widehat{12}+\hat{5}=\hat{5}+\hat{5}=\widehat{10}=\hat{3}\ne \hat{0}.$$

Dacă $\hat{2}$ ar fi rădăcină multiplă, ar trebui ca $f^{\prime }(\hat{2})=\hat{0}$ — implicație valabilă peste orice corp. Cum nu e cazul, $\hat{2}$ este rădăcină simplă. Concluzia se citește și din descompunerea de la b): factorul $X+\hat{5}$ apare o singură dată.

Să exersăm

La fiecare exercițiu, spune întâi tipul în care se încadrează. Fiecare enunț are lungimea unui subpunct de cinci puncte din Subiectul al II-lea.

1. Arătați că legea $x\oplus y=x+y-10$ este asociativă și determinați elementul ei neutru.

2. Pentru legea de la exercițiul precedent, determinați opusul lui $x$ față de $\oplus$ și calculați opusul lui $3$.

3. Arătați că $x\otimes y=xy-10(x+y)+110$ se scrie $(x-10)(y-10)+10$ și determinați unitatea structurii.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-un inel, dacă $ab=0$, atunci $a=0$ sau $b=0$."

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Mulțimea claselor de resturi modulo $n$ este corp pentru orice $n\ge 2$."

6. Determinați numărul divizorilor lui zero din inelul ${\mathbb{Z}}_{33}$, fără a-i enumera.

7. Determinați $U({\mathbb{Z}}_{22},\cdot )$ și arătați, cu Consecința 1 a teoremei lui Lagrange, că ordinul oricărui element al său divide $10$.

8. Rezolvați în ${\mathbb{Z}}_{22}$ ecuația $\hat{7}\hat{x}=\hat{5}$.

9. Pentru $B(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& 11b\\ b& a\end{array}\right)$, calculați $\det B(a,b)$ și arătați că se anulează, cu $a,b\in \mathbb{Q}$, numai pentru $a=b=0$.

10. Calculați $B(2,1)\cdot B(1,1)$ și scrieți rezultatul sub forma $B(\cdot ,\cdot )$.

11. (Problemă aplicată.) Codul unui produs are patru cifre $x_1,x_2,x_3,x_4$ și este valid dacă $\hat{3}{x}_1+\hat{2}{x}_2+x_3+x_4=\hat{0}$ în ${\mathbb{Z}}_{11}$. Determinați cifra de control $x_4$ pentru $x_1=2$, $x_2=5$, $x_3=7$.

12. Determinați restul împărțirii polinomului $f=X^4-4X^3-11X^2+24X+80$ la $X-1$.

13. Arătați că polinomul $X^2+X+\hat{3}$ nu are rădăcini în ${\mathbb{Z}}_7$ și deduceți că este ireductibil peste ${\mathbb{Z}}_7$.

14. Descompuneți în factori ireductibili polinomul $X^2+\hat{4}$ în ${\mathbb{Z}}_5[X]$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f=X^3+\hat{a}X+\hat{1}\in {\mathbb{Z}}_3[X]$. a) Determinați $\hat{a}$ pentru care $\hat{1}$ este rădăcină. b) Pentru valoarea găsită, descompuneți $f$ în factori ireductibili. c) Calculați derivata formală a lui $f$ și spuneți ce se întâmplă cu termenul $X^3$.

16. Arătați că ${\mathbb{Z}}_{19}$ este corp și rezolvați în el ecuația $\hat{5}\hat{x}=\hat{4}$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $h=X^2+\hat{2}$. a) Arătați că $h$ este ireductibil peste ${\mathbb{Z}}_7$. b) Descompuneți $h$ în factori ireductibili peste ${\mathbb{Z}}_3$. c) Explicați de ce ireductibilitatea depinde de corpul peste care se lucrează.

18. (Provocare.) Fie $(A,+,\cdot )$ un inel comutativ finit cu $1\ne 0$. Arătați că orice element nenul al lui $A$ este ori inversabil, ori divizor al lui zero.

Răspunsuri și explicații

1. $(x\oplus y)\oplus z=x+y+z-20=x\oplus (y\oplus z)$, deci legea e asociativă. Elementul neutru: din $x+u-10=x$ rezultă $u=10$; verificare: $10\oplus x=x$ ✓.

2. Opusul lui $x$ față de $\oplus$ este numărul $u$ pentru care $x\oplus u=10$, adică $x+u-10=10$; rezultă $u=20-x$. Pentru $x=3$ el este $17$; verificare: $3\oplus 17=3+17-10=10$ ✓.

3. $(x-10)(y-10)+10=xy-10x-10y+100+10=xy-10(x+y)+110$ ✓. Unitatea este $10+1=11$; verificare: $11\otimes x=11x-110-10x+110=x$ ✓.

4. Fals. Afirmația e adevărată doar în inelele integre. În ${\mathbb{Z}}_{22}$, de pildă, $\hat{2}\cdot \widehat{11}=\hat{0}$ cu ambii factori nenuli; la fel, în ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=O_2$.

5. Fals. ${\mathbb{Z}}_n$ este corp dacă și numai dacă $n$ este prim. Pentru $n$ compus, orice clasă nenulă care nu e primă cu $n$ este divizor al lui zero, deci nu poate fi inversabilă.

6. Clasele nenule se împart exact în inversabile și divizori ai lui zero. Inversabile sunt cele prime cu $33=3\cdot 11$, adică cele care nu se divid nici cu $3$, nici cu $11$; ele sunt în număr de $20$. Rămân $33-1-20=12$ divizori ai lui zero (cei zece multipli nenuli de $3$, plus $\widehat{11}$ și $\widehat{22}$).

7. $U({\mathbb{Z}}_{22},\cdot )=\{\hat{1},\hat{3},\hat{5},\hat{7},\hat{9},\widehat{13},\widehat{15},\widehat{17},\widehat{19},\widehat{21}\}$, cu zece elemente. După Consecința 1 a teoremei lui Lagrange, ordinul oricărui element divide $10$; de pildă ${\hat{3}}^2=\hat{9}$, ${\hat{3}}^3=\widehat{27}=\hat{5}$, ${\hat{3}}^4=\widehat{15}$, ${\hat{3}}^5=\widehat{45}=\hat{1}$, deci $\mathrm{ord}(\hat{3})=5$, iar $5$ divide $10$.

8. $\hat{7}\cdot \widehat{19}=\widehat{133}=\hat{1}$, deci ${\hat{7}}^{-1}=\widehat{19}$ și $\hat{x}=\widehat{19}\cdot \hat{5}=\widehat{95}=\hat{7}$. Verificare: $\hat{7}\cdot \hat{7}=\widehat{49}=\hat{5}$ ✓.

9. $\det B(a,b)=a^2-11b^2$. Dacă el ar fi nul cu $b\ne 0$, atunci ${\left(\frac{a}{b}\right)}^2=11$, deci $\sqrt{11}$ ar fi rațional — fals. Rămâne $b=0$, iar atunci $a^2=0$ dă $a=0$.

10. $B(2,1)\cdot B(1,1)=B(2\cdot 1+11\cdot 1\cdot 1,2\cdot 1+1\cdot 1)=B(13,3)=\left(\begin{array}{cc}13& 33\\ 3& 13\end{array}\right)$. Verificare directă: $\left(\begin{array}{cc}2& 11\\ 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 11\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}13& 33\\ 3& 13\end{array}\right)$ ✓.

11. Calculăm în ${\mathbb{Z}}_{11}$: $\hat{3}\cdot \hat{2}+\hat{2}\cdot \hat{5}+\hat{7}=\hat{6}+\widehat{10}+\hat{7}=\widehat{23}=\hat{1}$. Condiția cere $\hat{1}+x_4=\hat{0}$, deci $x_4=-\hat{1}=\widehat{10}$. Cum cifra de control trebuie să fie un număr între $0$ și $10$, ea este $10$ (în codurile reale se notează cu litera X).

12. Restul împărțirii la $X-1$ este $f(1)=1-4-11+24+80=90$.

13. Evaluăm în toate cele șapte clase: $\hat{3}$, $\hat{5}$, $\hat{2}$, $\hat{1}$, $\hat{2}$, $\hat{5}$, $\hat{3}$ pentru $\hat{x}=\hat{0},\dots ,\hat{6}$. Niciuna nu e $\hat{0}$, deci polinomul nu are rădăcini; fiind de gradul al doilea, el este ireductibil peste ${\mathbb{Z}}_7$ (criteriul rădăcinii se aplică la gradul 2 și 3).

14. Ecuația ${\hat{x}}^2=-\hat{4}=\hat{1}$ are soluțiile $\hat{1}$ și $\hat{4}$, deci $X^2+\hat{4}=(X-\hat{1})(X-\hat{4})=(X+\hat{4})(X+\hat{1})$. Verificare: $(X+\hat{4})(X+\hat{1})=X^2+\hat{5}X+\hat{4}=X^2+\hat{4}$ ✓.

15. a) $f(\hat{1})=\hat{1}+\hat{a}+\hat{1}=\hat{a}+\hat{2}$, deci $\hat{a}=\hat{1}$. b) Cu $\hat{a}=\hat{1}$, $f=X^3+X+\hat{1}$; evaluând, $f(\hat{0})=\hat{1}$, $f(\hat{1})=\hat{0}$, $f(\hat{2})=\hat{2}$, deci singura rădăcină e $\hat{1}$ și $f=(X+\hat{2})(X^2+X+\hat{2})$; al doilea factor nu are rădăcini în ${\mathbb{Z}}_3$ ($\hat{2}$, $\hat{1}$, $\hat{2}$), deci e ireductibil. Verificare: $(X+\hat{2})(X^2+X+\hat{2})=X^3+\hat{3}{X}^2+\hat{4}X+\hat{4}=X^3+X+\hat{1}$ ✓. c) $f^{\prime }=\hat{3}{X}^2+\hat{1}=\hat{1}$, pentru că $\hat{3}=\hat{0}$ în ${\mathbb{Z}}_3$: termenul $X^3$ dispare la derivare. Cum $f^{\prime }$ e constanta $\hat{1}\ne \hat{0}$, polinomul nu are rădăcini multiple.

16. Numărul $19$ este prim, deci ${\mathbb{Z}}_{19}$ este corp: toate cele optsprezece clase nenule sunt inversabile. Cum $\hat{5}\cdot \hat{4}=\widehat{20}=\hat{1}$, avem ${\hat{5}}^{-1}=\hat{4}$ și $\hat{x}=\hat{4}\cdot \hat{4}=\widehat{16}$. Verificare: $\hat{5}\cdot \widehat{16}=\widehat{80}=\hat{4}$ ✓.

17. a) Ecuația ${\hat{x}}^2=-\hat{2}=\hat{5}$ nu are soluții în ${\mathbb{Z}}_7$, pentru că pătratele claselor sunt $\hat{0},\hat{1},\hat{4},\hat{2},\hat{2},\hat{4},\hat{1}$, iar $\hat{5}$ nu apare printre ele; fiind de gradul al doilea și fără rădăcini, $h$ e ireductibil. b) În ${\mathbb{Z}}_3$, ${\hat{x}}^2=-\hat{2}=\hat{1}$ are soluțiile $\hat{1}$ și $\hat{2}$, deci $h=(X+\hat{2})(X+\hat{1})$; verificare: $X^2+\hat{3}X+\hat{2}=X^2+\hat{2}$ ✓. c) Ireductibilitatea nu e o proprietate a polinomului singur, ci a perechii polinom–corp: același $h$ se descompune sau nu, după cum $-\hat{2}$ este sau nu pătrat perfect în corpul respectiv.

18. Fie $a\in A$, $a\ne 0$, și funcția $\phi :A\to A$, $\phi (y)=ay$. Dacă $a$ nu e divizor al lui zero, atunci $\phi$ e injectivă: din $a{y}_1=a{y}_2$ rezultă $a(y_1-y_2)=0$, deci $y_1=y_2$. O funcție injectivă de la o mulțime finită la ea însăși este și surjectivă, deci există $y$ cu $ay=1$, adică $a$ e inversabil. Prin urmare orice element nenul e ori divizor al lui zero, ori inversabil.

De reținut

• Pentru sesiunile de Bacalaureat M1 din 2027, 2028 și 2029, inelele, corpurile și polinoamele peste un corp fac parte din materia de examen și pot ocupa toată a doua problemă a Subiectului al II-lea.
• Două legi de tipul $x\oplus y=x+y-a$ și $x\otimes y=(x-a)(y-a)+a$ dau un corp izomorf cu cel al numerelor reale, prin $f(x)=x-a$; nulul este $a$, iar unitatea $a+1$.
• O mulțime de matrice de forma $a{I}_2+bJ$ cu $J^2=d{I}_2$ se comportă ca mulțimea numerelor $a+b\sqrt{d}$, iar dacă e corp sau nu depinde de corpul de scalari.
• Mulțimea claselor de resturi modulo $n$ este corp dacă și numai dacă $n$ este prim; când nu e, clasele nenule se împart exact în inversabile și divizori ai lui zero.
• Derivata formală arată că o rădăcină e simplă atunci când nu anulează $f^{\prime }$, dar peste ${\mathbb{Z}}_p$ nu poate da ordinul unei rădăcini multiple.

Greșeli frecvente

• Se verifică toate axiomele de corp una câte una. Transportul de structură cu $f(x)=x-a$ le obține pe toate deodată și e drumul punctat în bareme.
• Se citește $x^{-1}$ ca $\frac{1}{x}$. Simetricul lui $x$ față de legea $\otimes$ este $a+\frac{1}{x-a}$; singurul element neinversabil este $a$, adică nulul structurii.
• Se presupune comutativitatea înmulțirii de matrice. În ${\mathcal{M}}_2(K)$ ea nu are loc; pe mulțimea din enunț se demonstrează, dintr-un rând, pe regula de compunere a parametrilor.
• Se declară ireductibil un polinom de gradul 4 fără rădăcini. Criteriul rădăcinii funcționează numai până la gradul 3; peste ${\mathbb{Z}}_2$, $X^4+X^2+\hat{1}$ nu are rădăcini, dar este $(X^2+X+\hat{1}{)}^2$.
• Se folosesc derivatele succesive peste ${\mathbb{Z}}_p$ pentru ordinul unei rădăcini. Acolo derivata formală poate fi nulă fără ca polinomul să fie constant; ordinul se află prin împărțiri repetate la $X-\alpha$.

Aplică acasă

1. Fișa celor patru tipuri. Scrie pe o pagină tabelul din prima secțiune — tipul, semnul din enunț, primul gest — și adaugă sub fiecare rând un enunț din culegere care se încadrează acolo.

2. Colecția de legi deghizate. Alege trei valori pentru $a$ și scrie, pentru fiecare, perechea de legi $\oplus$ și $\otimes$, apoi nulul, unitatea, opusul față de $\oplus$ și inversul față de $\otimes$. Verifică fiecare rezultat prin înlocuire directă.

3. Tabla polinoamelor mici. Scrie toate polinoamele monice de gradul al doilea din ${\mathbb{Z}}_3[X]$ — sunt nouă — și marchează-le pe cele ireductibile. Vei vedea, pe un exemplu complet, de ce ireductibilitatea depinde de corp.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie perechea dedicată Subiectului al II-lea și tratează structurile cu două operații: inele, corpuri și polinoame peste un corp. Aceste conținuturi nu mai apar în programa nouă a clasei a XII-a, dar rămân în materia de examen pentru sesiunile de BAC M1 din 2027, 2028 și 2029, care se susțin pe programa anterioară — de aceea unitatea de pregătire le tratează ca parte a examenului, nu ca material facultativ. Materia propriu-zisă a fost construită în unitatea a treia a manualului nostru; aici e reorganizată pe tipuri de cerințe, în formatul examenului, la competențele XII.CS.1.1, XII.CS.4.1 și XII.CS.4.2.

De verificat în caiet: (1) la legile $\oplus$ și $\otimes$, rezolvarea trece prin funcția $f(x)=x-a$, nu prin verificarea axiomelor una câte una; (2) la mulțimile de matrice, comutativitatea înmulțirii e demonstrată, nu presupusă; (3) la polinoame peste ${\mathbb{Z}}_p$, evaluarea se face în toate cele $p$ clase, iar descompunerea se verifică înmulțind înapoi; (4) semnul prim e folosit numai pentru derivata formală. Întrebări de control: „Care e unitatea structurii $(\mathbb{R},\oplus ,\otimes )$ și de ce?"; „Când este ${\mathbb{Z}}_n$ corp?"; „De ce nu se poate decide ireductibilitatea de gradul 4 prin rădăcini?"; „Ce arată derivata formală despre o rădăcină multiplă?".

La BAC M1, materia acestei lecții apare în a doua problemă din partea a doua a subiectului, adică $15$ puncte din $90$. Semn că elevul e pregătit: recunoaște tipul din prima linie a enunțului și scrie, fără să ezite, funcția $f(x)=x-a$ sau regula de înmulțire a matricelor din familie.

Întrebări frecvente

Mai intră inelele și polinoamele la Bacalaureat M1? Da, pentru sesiunile din 2027, 2028 și 2029, care se susțin pe programa anterioară a clasei a XII-a. Ele apar în a doua problemă a Subiectului al II-lea, uneori împreună cu legile de compoziție și grupurile, alteori singure. Din 2030, odată cu prima sesiune pe programa nouă, ele ies din materia de examen.

Cum se arată că o mulțime cu două legi este corp? Cel mai rapid prin transportul de structură: se caută o funcție bijectivă $f$ care duce cele două legi în adunarea și înmulțirea obișnuite — pentru legile deghizate ea este $f(x)=x-a$ — și se verifică cele două identități de morfism. Structura moștenește atunci toate axiomele corpului numerelor reale.

Ce este elementul nul și ce este unitatea unui inel? Elementul nul este neutrul primei legi, cel notat aditiv, iar unitatea este neutrul celei de-a doua, cel notat multiplicativ. Pentru legile $x\oplus y=x+y-a$ și $x\otimes y=(x-a)(y-a)+a$ ele sunt $a$, respectiv $a+1$, iar condiția $1\ne 0$ din definiția corpului revine aici la $a+1\ne a$, adevărată mereu.

Când este mulțimea claselor de resturi modulo $n$ un corp? Exact atunci când $n$ este număr prim. Pentru $n$ compus, orice clasă nenulă al cărei reprezentant nu e prim cu $n$ este divizor al lui zero, deci nu poate fi inversabilă; într-un corp, toate elementele nenule trebuie să fie inversabile.

Cum se descompune un polinom în factori ireductibili peste ${\mathbb{Z}}_p$? Se aduce la formă monică, se evaluează în toate cele $p$ clase și se extrag factorii de gradul întâi corespunzători rădăcinilor găsite. Dacă rămâne un factor de gradul 2 sau 3 fără rădăcini, el este ireductibil; la gradul 4 se încearcă, în plus, toate produsele de două polinoame monice de gradul al doilea.

Ce este derivata formală a unui polinom? Este polinomul obținut derivând termen cu termen, după regula $(X^n{)}^{\prime }=n{X}^{n-1}$, fără nicio limită — de aceea are sens și peste ${\mathbb{Z}}_p$, unde limitele nu există. Ea servește la depistarea rădăcinilor multiple: dacă $\alpha$ este rădăcină multiplă, atunci $f(\alpha )=f^{\prime }(\alpha )=0$.

De ce nu se poate folosi criteriul rădăcinii la gradul 4? Pentru că un polinom de gradul 4 se poate descompune în două polinoame de gradul al doilea, fără să aibă nicio rădăcină în corpul respectiv. Exemplul standard este $X^4+X^2+\hat{1}$ peste ${\mathbb{Z}}_2$, care nu are rădăcini, dar este egal cu $(X^2+X+\hat{1}{)}^2$.