Subiectul al II-lea: legi de compoziție și grupuri: pe scurt

Problema de algebră valorează $15$ puncte, iar baremul punctează lanțul de propoziții, nu rezultatul: propozițiile-cheie se scriu chiar când par evidente. Structura de grup se verifică în ordinea celor patru pași — Pasul 0, parte stabilă; Pasul 1, asociativitate (moștenită, cu o propoziție, când legea vine dintr-o mulțime mai mare); Pasul 2, element neutru, determinat și verificat că aparține mulțimii; Pasul 3, simetric, la fel. Comutativitatea se adaugă la final, dacă enunțul o cere. Legile de examen au aproape mereu forma factorizată $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$, din care se citesc deodată partea stabilă, neutrul $e=a+1$ și izomorfismul $f(x)=x-a$. Ordinul unui element este cel mai mic exponent natural nenul cu $x^n=e$; în $({\mathbb{Z}}_n,+)$ el se calculează cu $\mathrm{ord}(\hat{a})=\frac{n}{(a,n)}$. Teorema lui Lagrange și Consecințele ei restrâng căutarea: ordinul divide cardinalul grupului, iar $x^{\mathrm{card}G}=e$. Criteriul de subgrup cere mulțime nevidă, stabilitate la operație și stabilitate la simetric — verificate separat. Iar determinantul decide inversabilitatea în ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, adică față de $I_2$; există grupuri de matrice cu determinantul nul, al căror element neutru este altul.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pe mulțimea $M=(21,+\infty )$ se consideră legea $x\ast y=xy-21(x+y)+462$. Elementul neutru al grupului $(M,\ast )$ este:

   • a) $e=22$
   • b) $e=21$
   • c) $e=0$
   • d) $e=462$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $e=22$

   Primul gest este forma factorizată: $x\ast y=(x-21)(y-21)+21$, pentru că $21^2+21=462$. Din $(x-21)(e-21)+21=x$ pentru orice $x$ rezultă $e-21=1$, deci $e=22$, iar $22\in M$ — apartenența se scrie, e pasul punctat separat. Regula generală: la $(x-a)(y-a)+a$, neutrul este $a+1$. Varianta $21$ dă chiar valoarea exclusă din mulțime.

2. În grupul $({\mathbb{Z}}_{16},+)$, ordinul elementului $\hat{6}$ este:

   • a) $16$
   • b) $2$
   • c) $6$
   • d) $8$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $8$

   În grupurile aditive de clase, $\mathrm{ord}(\hat{a})=\frac{n}{(a,n)}$; aici $(6,16)=2$, deci ordinul este $\frac{16}{2}=8$. Control direct: multiplii lui $\hat{6}$ sunt $\hat{6},\widehat{12},\hat{2},\hat{8},\widehat{14},\hat{4},\widehat{10},\hat{0}$ — abia al optulea dă neutrul. Varianta $16$ ia cardinalul grupului (care e doar un multiplu al ordinului), iar $2$ ia cel mai mare divizor comun.

3. Într-un grup cu $15$ elemente, ordinul unui element poate fi egal cu:

   • a) $6$
   • b) $5$
   • c) $4$
   • d) $10$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $5$

   Consecința 1 a teoremei lui Lagrange spune că $\mathrm{ord}(x)$ divide cardinalul grupului. Divizorii lui $15$ sunt $1$, $3$, $5$ și $15$, deci singura valoare posibilă dintre cele patru este $5$. Numerele $6$, $4$ și $10$ nu divid $15$. Consecința restrânge căutarea înainte de orice calcul: într-un grup cu $8$ elemente, de pildă, ordinele posibile sunt doar $1$, $2$, $4$ și $8$.