Subiectul al II-lea: legi de compoziție și grupuri

A doua problemă din partea a doua a subiectului de Bacalaureat M1 vine din algebra clasei a 12-a: legi de compoziție, grupuri, ordine de elemente, subgrupuri, izomorfisme. Lecția aceasta nu reia catalogul tipurilor de probleme — el a fost făcut la sinteza de legi de compoziție și grupuri, la sfârșitul unității a doua. Aici privim aceeași materie din unghiul baremului: ce se punctează, în ce ordine se scrie, cât durează fiecare pas și care sunt cerințele care apar mai des în ultimii ani decât în manual — ordinul unui element, consecințele teoremei lui Lagrange, criteriul de subgrup și argumentele de ne-izomorfism. A doua problemă a Subiectului al II-lea de la Bacalaureat M1 cere legi de compoziție și grupuri: verificarea axiomelor, ordinul unui element, un subgrup sau un izomorfism, în trei subpuncte de câte cinci puncte.

Este pereche cu prima problemă a aceluiași subiect, tratată la Subiectul al II-lea: matrice și determinanți, și e urmată de structurile cu două operații, la inele, corpuri și polinoame.

Ce vei învăța

• Vei ști cum se punctează o problemă de cincisprezece puncte din algebră și ce propoziții aduc punctele.
• Vei ști să parcurgi cei patru pași (0–3) ai verificării structurii de grup, în ordinea cerută de barem.
• Vei ști să calculezi ordinul unui element și să folosești cele trei consecințe ale teoremei lui Lagrange.
• Vei ști să verifici criteriul de subgrup și să-l legi de teorema lui Lagrange.
• Vei ști când elementul neutru al unui grup de matrice nu este $I_2$ și de ce.
• Vei ști să arăți că două grupuri nu sunt izomorfe, folosind profilul ordinelor.

Hai să descoperim împreună

1. Cum se punctează problema de algebră din Subiectul al II-lea?

Problema de algebră din Subiectul al II-lea este o cerință de cincisprezece puncte, cu trei subpuncte a câte cinci, fiecare punctat pe doi sau trei pași — de pildă „2 p pentru scrierea formei factorizate, 3 p pentru finalizare". Baremul nu răsplătește rezultatul, ci lanțul de propoziții care duce la el, iar propozițiile lipsă se scad chiar dacă răspunsul final e corect.

De aici, trei consecințe practice.

Prima: scrie propozițiile-cheie, chiar dacă ți se par evidente. „Legea este asociativă, fiind restricția unei legi asociative", „elementul neutru $e=19$ aparține intervalului $(18,+\infty )$", „$f$ este bijectivă, cu inversa $f^{-1}(u)=u+18$" — fiecare are punctajul ei.

A doua: folosește subpunctul anterior. Cerințele sunt înlănțuite; dacă la a) ai obținut forma factorizată, la b) nu reverifici asociativitatea prin calcul brut.

A treia: subpunctele se punctează independent. Dacă b) nu-ți iese, scrii la c) „presupunem demonstrat la b) că $(G,\ast )$ este grup" și continui.

Bugetul de timp e cel fixat la structura examenului: $40$ de minute pentru Subiectul I, $60$ pentru al II-lea, $70$ pentru al III-lea și $10$ de verificare. Cele $60$ de minute se împart la două probleme a câte trei subpuncte, deci zece minute pe subpunct și o jumătate de oră pentru toată problema. Dacă în primele două minute nu ai recunoscut tipul, ai pornit greșit.

2. Care sunt cei patru pași (0–3) și cum se punctează?

Verificarea structurii de grup se face întotdeauna în aceeași ordine, cea fixată la grupul: definiție și exemple:

Pasul 0 — parte stabilă. Pentru $x,y\in H$ se arată că $x\ast y\in H$. Fără el, legea indusă pe $H$ nici nu există; e punctul cel mai des sărit și cel mai ieftin de luat.

Pasul 1 — asociativitate. Dacă legea vine dintr-o mulțime mai mare pe care asociativitatea a fost deja demonstrată, se moștenește: se scrie o propoziție, nu se reia calculul.

Pasul 2 — element neutru. Se determină $e$ și se verifică apartenența lui la mulțime. Al doilea gest e cel punctat separat.

Pasul 3 — simetric. Pentru orice $x\in H$ se determină $x^{\prime }$ și se verifică $x^{\prime }\in H$.

Comutativitatea nu e printre cei patru pași: se adaugă la final, într-o propoziție, dacă enunțul cere „grup comutativ".

⚠️ Nu confunda partea stabilă cu subgrupul. Mulțimea ${\mathbb{N}}^{\ast }$ este parte stabilă în $(\mathbb{Z},+)$, dar nu conține nici pe $0$, nici opusele, deci nu e subgrup.

3. Cum se calculează ordinul unui element?

Ordinul unui element $x$ dintr-un grup $(G,\cdot )$ este cel mai mic număr natural nenul $n$ cu proprietatea $x^n=e$, notat $\mathrm{ord}(x)$; dacă un astfel de $n$ nu există, se scrie $\mathrm{ord}(x)=\infty$. Se calculează direct, prin puteri succesive, oprindu-te la prima care dă neutrul.

În grupurile aditive $({\mathbb{Z}}_n,+)$ există o formulă care scurtează totul: $\mathrm{ord}(\hat{a})=\frac{n}{(a,n)}$, unde $(a,n)$ este cel mai mare divizor comun. În grupurile multiplicative de clase se calculează prin ridicări succesive, reduse modulo $n$ la fiecare pas.

Teorema lui Lagrange și cele trei consecințe ale ei, exact în numerotarea fixată la grupuri finite și teorema lui Lagrange, sunt uneltele care transformă un calcul lung într-unul de două rânduri:

• teorema: dacă $H$ este subgrup al grupului finit $G$, atunci $\mathrm{card}H$ divide $\mathrm{card}G$;
• Consecința 1: $\mathrm{ord}(x)$ divide $\mathrm{card}G$, pentru orice $x\in G$;
• Consecința 2: $x^{\mathrm{card}G}=e$, pentru orice $x\in G$;
• Consecința 3: un grup cu un număr prim de elemente este ciclic.

Consecința 1 restrânge căutarea: dacă grupul are opt elemente, ordinele posibile sunt doar $1$, $2$, $4$ și $8$. Consecința 2 rezolvă puterile mari: în loc de ${\hat{7}}^{2027}$ calculezi restul lui $2027$ la împărțirea cu ordinul.

4. Criteriul de subgrup, în forma care se cere la examen

Criteriul de subgrup, demonstrat la subgrupul: definiție și criteriu, cere trei lucruri: $H$ nevidă, $H\subseteq G$, și

1. $x,y\in H\Rightarrow xy\in H$;
2. $x\in H\Rightarrow x^{-1}\in H$.

Prima condiție se verifică pe elemente generice; a doua, pe un element generic. Forma comprimată „$x,y\in H\Rightarrow x{y}^{-1}\in H$" e o observație utilă, dar la examen se scrie forma pe două condiții, pentru că baremul o punctează pe fiecare separat.

Legătura cu teorema lui Lagrange e cea care aduce ultimul punct: după ce ai arătat că $H$ e subgrup al unui grup finit, verifici că $\mathrm{card}H$ divide $\mathrm{card}G$ — un control gratuit, care prinde imediat o greșeală de numărare.

Subgrupul cel mai des întâlnit în subiecte este cel generat de un element, $⟨x⟩=\{x^k\mid k\in \mathbb{Z}\}$; când ordinul lui $x$ e finit, $\mathrm{card}⟨x⟩=\mathrm{ord}(x)$, iar grupul obținut e ciclic, deci izomorf cu $({\mathbb{Z}}_n,+)$ pentru $n=\mathrm{ord}(x)$.

5. Când elementul neutru al unui grup de matrice nu este $I_2$?

Aici stă cea mai frumoasă capcană a subiectelor de algebră. La familiile obișnuite de matrice — cele cu $M(x)M(y)=M(x+y)$ — neutrul chiar este $I_2$, iar determinantul nenul e primul test de eliminare: o mulțime de matrice inversabile care nu conține $I_2$ nu poate fi grup față de înmulțire.

Argumentul acesta are însă o ipoteză ascunsă, iar enunțurile de examen o exploatează: el funcționează atunci când neutrul căutat este $I_2$, adică atunci când mulțimea e privită ca parte a grupului matricelor inversabile. Există însă mulțimi de matrice cu determinantul nul care sunt grup față de înmulțire, cu alt element neutru. Exemplul canonic, pe care îl rezolvăm complet mai jos:

$$G=\left\{M(a)=\left(\begin{array}{cc}a& a\\ a& a\end{array}\right)|a\in {\mathbb{R}}^{\ast }\right\},M(a)\cdot M(b)=M(2ab).$$

Neutrul este $M\left(\frac{1}{2}\right)$, iar simetricul lui $M(a)$ este $M\left(\frac{1}{4a}\right)$ — deși $\det M(a)=0$ pentru orice $a$.

Formularea corectă, cea care nu se contrazice niciodată: „simetrizabil în $(G,\cdot )$" nu înseamnă „inversabilă în ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$". A doua noțiune cere ca inversa să fie față de $I_2$; prima cere doar existența unui element din $G$ care, compus cu matricea dată, să dea neutrul lui $G$. Testul determinantului decide inversabilitatea în ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, nu structura lui $G$.

6. Cum arăți că două grupuri nu sunt izomorfe?

Un invariant de izomorfism este o trăsătură pe care orice două grupuri izomorfe o au în comun; dacă găsești un invariant care le desparte, ai terminat. Cele patru folosite la examen, în ordinea în care se încearcă:

1. cardinalul — cel mai ieftin;
2. comutativitatea — unul comutativ, celălalt nu;
3. profilul ordinelor — tabelul care spune câte elemente are grupul de fiecare ordin;
4. ciclicitatea — un grup ciclic nu poate fi izomorf cu unul care nu e.

Profilul ordinelor se scrie ca tabel cu două rânduri, ordinul deasupra și numărul de elemente dedesubt. Argumentele sunt cele fixate la grupuri neizomorfe, iar redactarea completă sună așa: „Presupunem prin absurd că există un izomorfism $f:G\to G^{\prime }$. Atunci $f$ păstrează ordinele elementelor. Dar în $G$ există un element de ordin $8$, iar în $G^{\prime }$ niciunul. Contradicție."

Pentru direcția pozitivă — „arătați că sunt izomorfe" — se propune funcția și se verifică două lucruri, punctate separat: morfismul, $f(x\ast y)=f(x)\cdot f(y)$, cu calculul scris; și bijectivitatea, de preferat prin scrierea explicită a inversei.

7. Ce se cere din calculele în ${\mathbb{Z}}_n$ și în ce ordine?

Enunțul se recunoaște de la prima linie, pentru că apare ${\mathbb{Z}}_n$. Cerințele standard, cu rețetele lor:

• clasele inversabile: $\hat{a}\in U({\mathbb{Z}}_n,\cdot )$ exact când $(a,n)=1$; se enumeră și se numără;
• inversa unei clase: se caută prin încercări printre clasele inversabile — pentru $n$ mic e cel mai rapid drum;
• ecuația $\hat{a}\hat{x}=\hat{b}$: dacă $\hat{a}$ e inversabilă, se înmulțește cu inversa și se obține o singură soluție; dacă nu, cu $d=(a,n)$, ecuația are soluții exact când $d$ divide $b$, iar atunci are exact $d$ soluții;
• puteri mari: se folosește ordinul clasei sau Consecința 2 a teoremei lui Lagrange, apoi se reduce exponentul.

⚠️ În ${\mathbb{Z}}_n$ nu se simplifică prin orice clasă. Din $\hat{6}\hat{x}=\hat{6}\hat{y}$ în ${\mathbb{Z}}_{30}$ nu rezultă $\hat{x}=\hat{y}$, pentru că $\hat{6}$ nu e inversabilă.

8. Ce capcane de barem apar la legi de compoziție și grupuri?

• Partea stabilă nescrisă. Un punct pierdut sigur, la fiecare problemă de tip „arătați că e grup".
• Apartenența neutrului nescrisă. „$e=15$" nu e suficient; trebuie și „$15\in (14,+\infty )$".
• Izomorfismul verificat pe jumătate. Cine arată doar morfismul primește jumătate din puncte.
• Ordinul calculat greșit. $\mathrm{ord}(x)$ este cel mai mic exponent care dă neutrul; $x^{12}=e$ nu înseamnă $\mathrm{ord}(x)=12$.
• Toate soluțiile. La ecuațiile în ${\mathbb{Z}}_n$ cu coeficient neinversabil, numărul soluțiilor face parte din răspuns.
• Determinantul folosit ca argument universal. El decide inversabilitatea în ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, nu structura oricărui grup de matrice.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — De la parametru la grup pe un interval

Pe $\mathbb{R}$ se consideră legea $x\ast y=xy-18(x+y)+m$, cu $m\in \mathbb{R}$.

a) Determinați $m$ pentru care legea este asociativă și scrieți legea sub formă factorizată.

b) Pentru valoarea găsită, arătați că $I=(18,+\infty )$ este parte stabilă și că $(I,\ast )$ este grup comutativ.

c) Rezolvați în $I$ ecuația $x\ast x\ast x=26$.

Rezolvare. a) Drumul scurt, pentru a ghici valoarea: impunem $(1\ast 1)\ast 2=1\ast (1\ast 2)$. Avem $1\ast 1=m-35$ și $1\ast 2=m-52$, iar egalitatea celor două compuneri duce la $m=342$.

Drumul complet, cel punctat: căutăm $a$ cu $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$. Desfăcând, $(x-a)(y-a)+a=xy-a(x+y)+a^2+a$, deci $a=18$ și $m=a^2+a=324+18=342$. Prin urmare

$$x\ast y=xy-18(x+y)+342=(x-18)(y-18)+18,$$

iar din această formă asociativitatea se citește într-un rând: ambele compuneri triple sunt egale cu $(x-18)(y-18)(z-18)+18$.

b) Parcurgem cei patru pași (0–3).

Pasul 0 (parte stabilă): dacă $x>18$ și $y>18$, atunci $(x-18)(y-18)>0$, deci $x\ast y>18$.

Pasul 1 (asociativitate): legea de pe $\mathbb{R}$ este asociativă, iar legea de pe $I$ este restricția ei.

Pasul 2 (element neutru): $e=a+1=19$, iar $19>18$, deci $e\in I$. Verificare: $19\ast x=19x-342-18x+342=x$. ✓

Pasul 3 (simetric): din $(x-18)(x^{\prime }-18)=1$ rezultă $x^{\prime }=18+\frac{1}{x-18}$; cum $x>18$, avem $x^{\prime }>18$, deci $x^{\prime }\in I$.

Comutativitate: forma factorizată este simetrică în $x$ și $y$. Așadar $(I,\ast )$ este grup comutativ.

c) Din forma factorizată, compunerea lui $x$ cu el însuși de trei ori dă $(x-18{)}^3+18$. Ecuația devine $(x-18{)}^3=8$, deci $x-18=2$ și $x=20$.

Verificare directă: $20\ast 20=2\cdot 2+18=22$, apoi $22\ast 20=4\cdot 2+18=26$. ✓

Exemplul 2 — O lege care nu e „monică": ordinele elementelor

Pe $M=\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{1}{3}\right\}$ se consideră legea $x\ast y=3xy+x+y$.

a) Arătați că $3(x\ast y)+1=(3x+1)(3y+1)$ și că $M$ este parte stabilă.

b) Arătați că $(M,\ast )$ este grup comutativ și determinați elementul neutru și simetricul lui $x$.

c) Determinați elementele de ordin finit ale grupului $(M,\ast )$.

Rezolvare. a) Calculăm: $3(3xy+x+y)+1=9xy+3x+3y+1=(3x+1)(3y+1)$. Dacă $x,y\in M$, atunci $3x+1\ne 0$ și $3y+1\ne 0$, deci produsul lor e nenul, adică $3(x\ast y)+1\ne 0$ și $x\ast y\in M$.

Observație: aici litera din enunț joacă alt rol decât în legile de forma $(x-a)(y-a)+a$. Legea aparține familiei $x\ast y=axy+b(x+y)+c$, cu $a=3$, $b=1$, $c=0$; e asociativă pentru că $ac+b=b^2$, iar neutrul ei este $\frac{1-b}{a}=0$.

b) Pasul 0: demonstrat la a). Pasul 1 (asociativitate): aplicând de două ori relația de la a), $3((x\ast y)\ast z)+1=(3x+1)(3y+1)(3z+1)$, expresie simetrică; la fel pentru $x\ast (y\ast z)$. Pasul 2 (neutru): $3e+1=1$ dă $e=0$, iar $0\in M$; verificare: $0\ast x=x$. ✓ Pasul 3 (simetric): din $(3x+1)(3x^{\prime }+1)=1$ rezultă $3x^{\prime }+1=\frac{1}{3x+1}$, deci

$$x^{\prime }=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3x+1}-1\right)=\frac{-x}{3x+1}.$$

Comutativitate: expresia $3xy+x+y$ este simetrică. Prin urmare $(M,\ast )$ este grup comutativ. Mai mult, funcția $f(x)=3x+1$ este izomorfism de la $(M,\ast )$ la $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$: e morfism prin relația de la a) și e bijectivă, cu inversa $f^{-1}(u)=\frac{u-1}{3}$.

c) Prin izomorfism, ordinul lui $x$ în $(M,\ast )$ este ordinul lui $f(x)=3x+1$ în $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$. Singurele numere reale nenule de ordin finit față de înmulțire sunt $1$ (de ordin $1$) și $-1$ (de ordin $2$). Din $3x+1=1$ obținem $x=0=e$, iar din $3x+1=-1$ obținem $x=-\frac{2}{3}$.

Deci grupul are exact două elemente de ordin finit: $e=0$, cu $\mathrm{ord}(0)=1$, și $-\frac{2}{3}$, cu ordinul $2$. Verificare: $-\frac{2}{3}\ast \left(-\frac{2}{3}\right)=3\cdot \frac{4}{9}-\frac{4}{3}=\frac{4}{3}-\frac{4}{3}=0$. ✓

Exemplul 3 — Un grup de matrice al cărui neutru nu este $I_2$

Se consideră $G = \left{ M(a) = \begin{pmatrix} a & a \ a & a \end{pmatrix} ;\middle\vert; a \in \mathbb{R}^{} \right}$.*

a) Arătați că $M(a)\cdot M(b)=M(2ab)$ și că $G$ este parte stabilă față de înmulțirea matricelor.

b) Arătați că $(G,\cdot )$ este grup comutativ și determinați elementul neutru și simetricul lui $M(a)$.

c) Arătați că $\det M(a)=0$ pentru orice $a$ și explicați de ce acest fapt nu contrazice punctul b).

Rezolvare. a) Înmulțim:

$$M(a)M(b)=\left(\begin{array}{cc}a& a\\ a& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}b& b\\ b& b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2ab& 2ab\\ 2ab& 2ab\end{array}\right)=M(2ab).$$

Dacă $a\ne 0$ și $b\ne 0$, atunci $2ab\ne 0$, deci $M(2ab)\in G$: mulțimea este parte stabilă.

b) Pasul 1 (asociativitate): moștenită din ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, unde înmulțirea matricelor e asociativă.

Pasul 2 (neutru): căutăm $u$ cu $M(u)M(a)=M(a)$ pentru orice $a$, adică $2ua=a$. Cum $a\ne 0$, rezultă $u=\frac{1}{2}$, deci elementul neutru este

$$E=M\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)\in G.$$

Pasul 3 (simetric): din $M(a)M(b)=M(2ab)=E$ obținem $2ab=\frac{1}{2}$, deci $b=\frac{1}{4a}$ și simetricul lui $M(a)$ este $M\left(\frac{1}{4a}\right)\in G$.

Comutativitate: $M(a)M(b)=M(2ab)=M(2ba)=M(b)M(a)$.

Prin urmare $(G,\cdot )$ este grup comutativ. El este chiar izomorf cu $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$, prin $\phi (M(a))=2a$: într-adevăr, $\phi (M(a)M(b))=\phi (M(2ab))=4ab=(2a)(2b)$.

c) $\det M(a)=a\cdot a-a\cdot a=0$, pentru orice $a$. Nu e nicio contradicție: determinantul decide dacă o matrice este inversabilă în ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, adică față de elementul neutru $I_2$. Aici neutrul grupului este $E$, nu $I_2$, iar $M(a)$ are simetric în $G$, față de $E$. Cele două noțiuni nu se suprapun: „simetrizabil în $(G,\cdot )$" nu înseamnă „inversabilă în ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$".

Control numeric: $M(3)M\left(\frac{1}{12}\right)=M\left(2\cdot 3\cdot \frac{1}{12}\right)=M\left(\frac{1}{2}\right)=E$. ✓

Exemplul 4 — Clasele de resturi modulo $30$

a) Determinați $U({\mathbb{Z}}_{30},\cdot )$ și ordinul clasei $\hat{7}$ în acest grup.

b) Rezolvați în ${\mathbb{Z}}_{30}$ ecuațiile $\hat{7}\hat{x}=\widehat{13}$ și $\hat{6}\hat{x}=\widehat{12}$.

c) Arătați că grupurile $(U({\mathbb{Z}}_{30},\cdot ),\cdot )$ și $(U_8,\cdot )$ nu sunt izomorfe, unde $U_8$ este mulțimea rădăcinilor de ordinul $8$ ale unității.

Rezolvare. a) Sunt inversabile clasele al căror reprezentant e prim cu $30=2\cdot 3\cdot 5$, adică cele care nu se divid nici cu $2$, nici cu $3$, nici cu $5$:

$$U({\mathbb{Z}}_{30},\cdot )=\{\hat{1},\hat{7},\widehat{11},\widehat{13},\widehat{17},\widehat{19},\widehat{23},\widehat{29}\},$$

deci grupul are opt elemente. Ordinul lui $\hat{7}$: ${\hat{7}}^2=\widehat{49}=\widehat{19}$, ${\hat{7}}^3=\widehat{133}=\widehat{13}$, ${\hat{7}}^4=\widehat{91}=\hat{1}$, deci $\mathrm{ord}(\hat{7})=4$. Observă că $4$ divide $8$, cum cere Consecința 1 a teoremei lui Lagrange.

b) Prima ecuație are coeficient inversabil: $\hat{7}\cdot \widehat{13}=\widehat{91}=\hat{1}$, deci ${\hat{7}}^{-1}=\widehat{13}$ și $\hat{x}=\widehat{13}\cdot \widehat{13}=\widehat{169}=\widehat{19}$. Verificare: $\hat{7}\cdot \widehat{19}=\widehat{133}=\widehat{13}$. ✓ Soluția e unică.

A doua are coeficient neinversabil: $d=(6,30)=6$, iar $6$ divide $12$, deci ecuația are exact șase soluții. Egalitatea $\hat{6}\hat{x}=\widehat{12}$ revine la $6x\equiv 12$ modulo $30$, adică la $x\equiv 2$ modulo $5$; așadar

$$\hat{x}\in \{\hat{2},\hat{7},\widehat{12},\widehat{17},\widehat{22},\widehat{27}\}.$$

c) Amândouă grupurile au opt elemente și amândouă sunt comutative, deci primele două invariante tac. Calculăm profilul ordinelor. În $U({\mathbb{Z}}_{30},\cdot )$: $\mathrm{ord}(\hat{1})=1$; ${\widehat{11}}^2=\widehat{121}=\hat{1}$, ${\widehat{19}}^2=\widehat{361}=\hat{1}$, ${\widehat{29}}^2=\widehat{841}=\hat{1}$, deci trei elemente de ordin $2$; celelalte patru — $\hat{7}$, $\widehat{13}$, $\widehat{17}$, $\widehat{23}$ — au ordinul $4$.

Grupul $U_8=\{{\epsilon }_k\mid k=0,\dots ,7\}$, cu ${\epsilon }_k=\cos \frac{2k\pi }{8}+i\sin \frac{2k\pi }{8}$, are tot opt elemente și este generat de ${\epsilon }_1$, deci e ciclic, cu $\mathrm{ord}({\epsilon }_1)=8$.

Profilurile diferă. Presupunând prin absurd că ar exista un izomorfism, el ar păstra ordinele; dar în $(U_8,\cdot )$ există patru elemente de ordin $8$, iar în $U({\mathbb{Z}}_{30},\cdot )$ niciunul. Contradicție, deci grupurile nu sunt izomorfe. (Altfel spus: al doilea e ciclic, primul nu.)

Exemplul 5 — Un subgrup ciclic al grupului permutărilor

În grupul $(S_4,\circ )$ se consideră permutarea $\sigma =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 3& 4& 2& 1\end{array}\right)$.

a) Calculați ${\sigma }^2$, ${\sigma }^3$, ${\sigma }^4$ și determinați $\mathrm{ord}(\sigma )$.

b) Arătați că $H=\{e,\sigma ,{\sigma }^2,{\sigma }^3\}$ este subgrup al lui $S_4$ și verificați teorema lui Lagrange.

c) Arătați că $(H,\circ )$ este izomorf cu $({\mathbb{Z}}_4,+)$.

Rezolvare. a) Compunem, cu convenția „întâi cea din dreapta":

$${\sigma }^2=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 1& 4& 3\end{array}\right),{\sigma }^3=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 4& 3& 1& 2\end{array}\right),{\sigma }^4=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 1& 2& 3& 4\end{array}\right)=e.$$

Cum $\sigma \ne e$, ${\sigma }^2\ne e$ și ${\sigma }^3\ne e$, primul exponent care dă permutarea identică este $4$, deci $\mathrm{ord}(\sigma )=4$.

b) Mulțimea $H$ este nevidă și inclusă în $S_4$. Prima condiție a criteriului: produsul a două puteri ale lui $\sigma$ este tot o putere, iar exponenții se reduc modulo $4$, pentru că ${\sigma }^4=e$; deci ${\sigma }^i\circ {\sigma }^j={\sigma }^{(i+j)\mathrm{mod}4}\in H$. A doua condiție: $({\sigma }^i{)}^{-1}={\sigma }^{4-i}\in H$, cu convenția ${\sigma }^0=e$. Prin urmare $H$ este subgrup, iar $H=⟨\sigma ⟩$, subgrupul generat de $\sigma$.

Teorema lui Lagrange: $\mathrm{card}H=4$ trebuie să dividă $\mathrm{card}{S}_4=4!=24$. Într-adevăr, $24=4\cdot 6$. ✓

c) Definim $f:H\to {\mathbb{Z}}_4$ prin $f\left({\sigma }^k\right)=\hat{k}$, pentru $k\in \{0,1,2,3\}$. Funcția e bine definită și bijectivă, pentru că cele patru puteri sunt distincte, iar cele patru clase la fel. Este morfism, pentru că

$$f({\sigma }^i\circ {\sigma }^j)=f\left({\sigma }^{(i+j)\mathrm{mod}4}\right)=\widehat{i+j}=\hat{i}+\hat{j}=f\left({\sigma }^i\right)+f\left({\sigma }^j\right).$$

Prin urmare $(H,\circ )\simeq ({\mathbb{Z}}_4,+)$. Rezultatul nu e o coincidență: orice grup ciclic cu $n$ elemente e izomorf cu $({\mathbb{Z}}_n,+)$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Formatul este cel al problemei a doua din Subiectul al II-lea: trei subpuncte a câte 5 puncte, legate între ele.

Pe mulțimea $M=(-9,+\infty )$ se consideră legea $x\ast y=xy+9(x+y)+72$.

a) Arătați că $x\ast y=(x+9)(y+9)-9$ și că $M$ este parte stabilă în raport cu legea $\ast$.

b) Arătați că funcția $f : M \to \mathbb{R}^{}{+}$,$f(x) = x + 9$,esteizomorfismdela$(M, \ast)$la$\big(\mathbb{R}^{*}{+}, \cdot\big)$.*

c) Rezolvați în $M$ ecuația $x\ast x\ast x\ast x=7$.

Rezolvare. a) Desfacem paranteza: $(x+9)(y+9)-9=xy+9x+9y+81-9=xy+9(x+y)+72=x\ast y$. ✓

Dacă $x>-9$ și $y>-9$, atunci $x+9>0$ și $y+9>0$, deci $(x+9)(y+9)>0$ și $x\ast y>-9$, adică $x\ast y\in M$: mulțimea este parte stabilă.

b) Bine definită și bijectivă: pentru $x>-9$ avem $f(x)=x+9>0$, deci $f$ ia valori în ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$; inversa ei este $f^{-1}(u)=u-9$, definită pe ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ cu valori în $M$. Prin urmare $f$ e bijectivă.

Morfism: $f(x\ast y)=(x\ast y)+9=(x+9)(y+9)=f(x)\cdot f(y)$, pentru orice $x,y\in M$.

Așadar $f$ este izomorfism și $(M,\ast )\simeq ({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\cdot )$. De aici rezultă imediat că $(M,\ast )$ este grup comutativ, cu neutrul $f^{-1}(1)=-8$ și cu simetricul lui $x$ egal cu $f^{-1}\left(\frac{1}{x+9}\right)=\frac{1}{x+9}-9$.

c) Aplicăm $f$ ambilor membri. Prin izomorfism, compunerea a patru factori egali devine puterea a patra:

$$(f(x){)}^4=f(7)⟹(x+9{)}^4=16⟹x+9=2⟹x=-7.$$

Rădăcina $x+9=-2$ se respinge, pentru că $f$ ia numai valori pozitive. În ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ ecuația $u^4=16$ are o singură soluție, deci și ecuația inițială are exact una.

Verificare directă: $-7\ast (-7)=2\cdot 2-9=-5$; $-5\ast (-7)=4\cdot 2-9=-1$; $-1\ast (-7)=8\cdot 2-9=7$. ✓

Să exersăm

La fiecare exercițiu, notează întâi tipul în care se încadrează și primul gest de făcut. Fiecare enunț are lungimea unui subpunct de cinci puncte din Subiectul al II-lea.

1. Aduceți legea $x\ast y=xy-20(x+y)+420$ la forma $(x-a)(y-a)+a$ și precizați $a$.

2. Pentru legea de la exercițiul precedent, determinați elementul neutru și simetricul lui $22$.

3. Arătați că $(20,+\infty )$ este parte stabilă în raport cu legea de la exercițiul 1.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $x^{12}=e$ într-un grup, atunci $\mathrm{ord}(x)=12$."

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „O mulțime de matrice cu determinantul nul nu poate fi grup față de înmulțirea matricelor."

6. Determinați ordinul clasei $\widehat{12}$ în grupul $({\mathbb{Z}}_{30},+)$, folosind formula cu cel mai mare divizor comun.

7. Determinați ordinul clasei $\widehat{13}$ în grupul $U({\mathbb{Z}}_{30},\cdot )$ și verificați Consecința 1 a teoremei lui Lagrange.

8. Rezolvați în ${\mathbb{Z}}_{30}$ ecuația $\widehat{11}\hat{x}=\hat{7}$.

9. Calculați ${\hat{7}}^{2027}$ în ${\mathbb{Z}}_{30}$, folosind ordinul clasei $\hat{7}$.

10. Arătați că $H=\{\hat{0},\hat{6},\widehat{12},\widehat{18},\widehat{24}\}$ este subgrup al grupului $({\mathbb{Z}}_{30},+)$ și verificați teorema lui Lagrange.

11. (Problemă aplicată.) O rețea de senzori transmite, la fiecare oră, un cod care se obține adunând $\hat{7}$ la codul precedent, în ${\mathbb{Z}}_{30}$. Dacă la ora $0$ codul este $\hat{5}$, care este codul după $2027$ de ore?

12. Arătați că grupurile $({\mathbb{Z}}_{24},+)$ și $(S_4,\circ )$ nu sunt izomorfe.

13. Fie $G=\left\{M(a)=\left(\begin{array}{cc}a& a\\ a& a\end{array}\right)|a\in {\mathbb{R}}^{\ast }\right\}$. Calculați $M(2{)}^3$ și simetricul lui $M(2)$ în $G$.

14. Arătați că funcția $f(x)=3x+1$ este izomorfism de la $\left(\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{1}{3}\right\},\ast \right)$, cu $x\ast y=3xy+x+y$, la $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Pe $\mathbb{R}$ se consideră legea $x\ast y=xy+9(x+y)+72$. a) Arătați că legea este asociativă. b) Determinați elementul neutru și simetricul lui $-5$. c) Rezolvați ecuația $x\ast x=-8$ în $(-9,+\infty )$.

16. Determinați numărul soluțiilor ecuației $\hat{9}\hat{x}=\widehat{12}$ în ${\mathbb{Z}}_{30}$, fără a le calcula.

17. Arătați că într-un grup cu $7$ elemente orice element diferit de neutru are ordinul $7$, folosind Consecința 1 a teoremei lui Lagrange.

18. (Provocare.) Fie $(G,\cdot )$ un grup finit cu $\mathrm{card}G=n$ și $x\in G$ cu $\mathrm{ord}(x)=k$. Arătați că $x^m=e$ dacă și numai dacă $k$ divide $m$, apoi deduceți Consecința 2 a teoremei lui Lagrange din Consecința 1.

Răspunsuri și explicații

1. $(x-20)(y-20)+20=xy-20x-20y+400+20=xy-20(x+y)+420$, deci $a=20$. (Se putea și direct: $a$ este opusul coeficientului lui $x$, iar condiția $420=a^2+a$ se verifică.)

2. $e=a+1=21$; verificare: $21\ast x=21x-420-20x+420=x$ ✓. Simetricul lui $22$: din $(22-20)(x^{\prime }-20)=1$ rezultă $x^{\prime }-20=\frac{1}{2}$, deci $x^{\prime }=\frac{41}{2}$. Verificare: $22\ast \frac{41}{2}=2\cdot \frac{1}{2}+20=21=e$ ✓.

3. Din $x>20$ și $y>20$ rezultă $(x-20)(y-20)>0$, deci $x\ast y=(x-20)(y-20)+20>20$.

4. Fals. Ordinul este cel mai mic exponent natural nenul care dă neutrul. Din $x^{12}=e$ rezultă doar că $\mathrm{ord}(x)$ divide $12$, deci poate fi $1$, $2$, $3$, $4$, $6$ sau $12$. De pildă, în $({\mathbb{Z}}_{12},+)$ clasa $\hat{4}$ are ordinul $3$, deși $12\cdot \hat{4}=\hat{0}$.

5. Fals. Mulțimea $G$ din Exemplul 3 are toate elementele cu determinantul nul și este totuși grup față de înmulțire, cu neutrul $M\left(\frac{1}{2}\right)$. Determinantul decide inversabilitatea în ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, adică față de $I_2$ — nu structura unui grup cu alt element neutru.

6. $\mathrm{ord}\left(\widehat{12}\right)=\frac{30}{(12,30)}=\frac{30}{6}=5$. Verificare: $\widehat{12},\widehat{24},\hat{6},\widehat{18},\hat{0}$ — a cincea sumă dă neutrul.

7. ${\widehat{13}}^2=\widehat{169}=\widehat{19}$, ${\widehat{13}}^3=\widehat{247}=\hat{7}$, ${\widehat{13}}^4=\widehat{91}=\hat{1}$, deci $\mathrm{ord}\left(\widehat{13}\right)=4$. Grupul are opt elemente, iar $4$ divide $8$ — exact ce cere Consecința 1.

8. $\widehat{11}\cdot \widehat{11}=\widehat{121}=\hat{1}$, deci ${\widehat{11}}^{-1}=\widehat{11}$ și $\hat{x}=\widehat{11}\cdot \hat{7}=\widehat{77}=\widehat{17}$. Verificare: $\widehat{11}\cdot \widehat{17}=\widehat{187}=\hat{7}$ ✓.

9. Din $\mathrm{ord}(\hat{7})=4$ și $2027=4\cdot 506+3$ rezultă ${\hat{7}}^{2027}=({\hat{7}}^4{)}^{506}\cdot {\hat{7}}^3=\hat{1}\cdot \widehat{13}=\widehat{13}$.

10. $H$ e nevidă și inclusă în ${\mathbb{Z}}_{30}$; el este mulțimea multiplilor lui $6$, deci suma a două elemente din $H$ e tot un multiplu de $6$, iar opusul lui $\hat{6}k$ este $\widehat{30}-\hat{6}k$, tot multiplu de $6$. Deci $H$ e subgrup, iar $\mathrm{card}H=5$ divide $\mathrm{card}{\mathbb{Z}}_{30}=30$ ✓.

11. După $2027$ de ore codul este $\hat{5}+2027\cdot \hat{7}$. Reducem: $2027=30\cdot 67+17$, deci $2027\cdot \hat{7}=\widehat{17}\cdot \hat{7}=\widehat{119}=\widehat{29}$, fiindcă $119=3\cdot 30+29$. Codul va fi $\hat{5}+\widehat{29}=\widehat{34}=\hat{4}$.

12. Amândouă au douăzeci și patru de elemente, deci cardinalul nu decide. Dar $({\mathbb{Z}}_{24},+)$ e comutativ, în timp ce $(S_4,\circ )$ nu este: pentru $\sigma =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 1& 3& 4\end{array}\right)$ și $\tau =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 1& 3& 2& 4\end{array}\right)$ avem $(\sigma \circ \tau )(2)=\sigma (3)=3$, iar $(\tau \circ \sigma )(2)=\tau (1)=1$, deci $\sigma \circ \tau \ne \tau \circ \sigma$. Un izomorfism ar transporta comutativitatea, deci grupurile nu sunt izomorfe.

13. $M(2{)}^2=M(2\cdot 2\cdot 2)=M(8)$, apoi $M(2{)}^3=M(8)M(2)=M(32)=\left(\begin{array}{cc}32& 32\\ 32& 32\end{array}\right)$. Simetricul: $M\left(\frac{1}{4\cdot 2}\right)=M\left(\frac{1}{8}\right)$; verificare: $M(2)M\left(\frac{1}{8}\right)=M\left(\frac{1}{2}\right)=E$ ✓.

14. Morfism: $f(x\ast y)=3(3xy+x+y)+1=(3x+1)(3y+1)=f(x)f(y)$. Bijectivitate: $f$ duce $\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{1}{3}\right\}$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, iar inversa ei este $f^{-1}(u)=\frac{u-1}{3}$, definită pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$ cu valori în domeniul de plecare.

15. a) $x\ast y=(x+9)(y+9)-9$, iar ambele compuneri triple sunt egale cu $(x+9)(y+9)(z+9)-9$. b) $e=-8$; verificare: $-8\ast x=-8x+9x-72+72=x$ ✓. Simetricul lui $-5$: din $(-5+9)(x^{\prime }+9)=1$ rezultă $x^{\prime }+9=\frac{1}{4}$, deci $x^{\prime }=-\frac{35}{4}$; el aparține intervalului, fiindcă $-\frac{35}{4}=-8,75>-9$. c) $(x+9{)}^2-9=-8$ dă $(x+9{)}^2=1$, deci $x+9=1$ (rădăcina negativă se respinge, fiindcă $x>-9$) și $x=-8$.

16. Cu $d=(9,30)=3$: ecuația are soluții exact dacă $3$ divide $12$, ceea ce e adevărat, iar atunci numărul soluțiilor este exact $d=3$.

17. Fie $G$ un grup cu $\mathrm{card}G=7$ și $x\ne e$. După Consecința 1, $\mathrm{ord}(x)$ divide $7$; cum $7$ e prim, singurele valori posibile sunt $1$ și $7$. Dar $\mathrm{ord}(x)=1$ înseamnă $x=e$, exclus. Deci $\mathrm{ord}(x)=7$, iar $G$ este ciclic — exact ce spune Consecința 3.

18. Fie $k=\mathrm{ord}(x)$. Dacă $k$ divide $m$, atunci $m=kq$ și $x^m=(x^k{)}^q=e$. Reciproc, dacă $x^m=e$, împărțim cu rest: $m=kq+r$ cu $0\le r<k$; atunci $e=x^m=(x^k{)}^q{x}^r=x^r$, iar minimalitatea lui $k$ forțează $r=0$, deci $k$ divide $m$. Consecința 2 rezultă acum din Consecința 1: cum $k=\mathrm{ord}(x)$ divide $n=\mathrm{card}G$, avem $x^n=e$.

De reținut

• Problema de algebră din Subiectul al II-lea valorează cincisprezece puncte, iar baremul punctează lanțul de propoziții, nu rezultatul final; propozițiile-cheie se scriu chiar când par evidente.
• Structura de grup se verifică în ordinea celor patru pași (0–3), iar apartenența la mulțime a neutrului și a simetricului se scrie explicit.
• Ordinul unui element este cel mai mic exponent natural nenul care dă neutrul; el divide întotdeauna cardinalul grupului, conform Consecinței 1 a teoremei lui Lagrange.
• Criteriul de subgrup cere mulțime nevidă, stabilitate la operație și stabilitate la simetric; după el, verificarea că $\mathrm{card}H$ divide $\mathrm{card}G$ e un control gratuit.
• Determinantul decide inversabilitatea unei matrice în ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, adică față de $I_2$; există grupuri de matrice cu determinantul nul, al căror element neutru este altul.

Greșeli frecvente

• Ordinul confundat cu un exponent oarecare. Din $x^{12}=e$ rezultă doar că ordinul divide $12$; ordinul este cel mai mic exponent cu această proprietate.
• Criteriul de subgrup verificat pe jumătate. Stabilitatea la operație fără stabilitatea la simetric nu dă subgrup, ci doar parte stabilă.
• Argumentul determinantului folosit în afara domeniului lui. El spune dacă o matrice e inversabilă față de $I_2$, nu dacă o mulțime de matrice e grup.
• Ne-izomorfismul „demonstrat" prin lipsa unei funcții. „Nu găsesc niciun izomorfism" nu e argument; trebuie numit invariantul care desparte cele două grupuri.
• Soluțiile numărate greșit în ${\mathbb{Z}}_n$. Ecuația $\hat{a}\hat{x}=\hat{b}$ cu $d=(a,n)$ are, când $d$ divide $b$, exact $d$ soluții — nu una singură.

Aplică acasă

1. Fișa de barem. Scrie pe o pagină cele șase tipuri de cerințe din tabelul lecției și, lângă fiecare, propoziția exactă care aduce punctele. Citește-o înainte de fiecare simulare; în două săptămâni o vei ști pe de rost.

2. Tabla ordinelor. Alege trei valori pentru $n$ între $9$ și $16$ și scrie, pentru fiecare, mulțimea claselor inversabile modulo $n$ și ordinul fiecărei clase. Compară profilurile ordinelor și spune care dintre grupurile obținute sunt ciclice.

3. Cronometrul de zece minute. Ia nouă subpuncte de algebră din culegere și rezolvă-le contra cronometru, cu zece minute fiecare — exact bugetul de la examen pentru cinci puncte; trei subpuncte la rând înseamnă o problemă întreagă în treizeci de minute.

Pentru părinți și profesori

Lecția face parte din seria dedicată Subiectului al II-lea și tratează a doua problemă a acestuia, cea de structuri algebrice. Ea nu repetă catalogul tipurilor de probleme, care a fost făcut la sfârșitul unității a doua, în lecția de sinteză; unghiul de aici e cel al baremului — ce se punctează, în ce ordine se redactează, cât durează un subpunct — și accentul cade pe cerințele care apar frecvent în subiecte și mai rar în manual: ordinul unui element, consecințele teoremei lui Lagrange, criteriul de subgrup și argumentele de ne-izomorfism. Competențele acoperite sunt XII.CS.3.2, XII.CS.4.2 și XII.CS.5.2.

De verificat în caiet: (1) la fiecare structură de grup, cei patru pași sunt numerotați, cu apartenența neutrului scrisă explicit; (2) la ordine, se justifică minimalitatea exponentului; (3) la izomorfisme, ambele condiții sunt verificate separat; (4) la ne-izomorfisme, e numit invariantul. Întrebări de control: „De ce ordinul unui element divide cardinalul grupului?"; „Ce se schimbă între parte stabilă și subgrup?"; „Poate un grup de matrice să aibă alt element neutru decât $I_2$?"; „Câte soluții are $\hat{6}\hat{x}=\widehat{12}$ în ${\mathbb{Z}}_{30}$ și de ce?".

La BAC M1, materia acestei lecții ocupă una dintre cele două probleme din partea a doua a subiectului, adică $15$ puncte din $90$. Semn că elevul e pregătit: în fața unui enunț de algebră spune tipul problemei într-un minut și scrie, fără să ezite, prima propoziție punctată — de obicei forma factorizată sau regula de compunere.

Întrebări frecvente

Cum se punctează Subiectul al II-lea la Bacalaureat M1? Pe pași: fiecare dintre cele trei subpuncte valorează cinci puncte, împărțite în doi sau trei pași notați separat în barem. Se punctează propozițiile intermediare — forma factorizată, apartenența neutrului la mulțime, verificarea morfismului — nu doar rezultatul final, care singur aduce foarte puțin.

Cum se calculează ordinul unui element într-un grup? Se ridică elementul la puteri succesive până se obține elementul neutru, iar primul exponent natural nenul care dă neutrul este ordinul. În grupul aditiv al claselor de resturi modulo $n$ există și formula $\mathrm{ord}(\hat{a})=\frac{n}{(a,n)}$, care scurtează calculul la o singură împărțire.

Ce spun consecințele teoremei lui Lagrange la grupuri finite? Consecința 1: ordinul oricărui element divide cardinalul grupului. Consecința 2: ridicat la puterea egală cu cardinalul grupului, orice element dă neutrul. Consecința 3: un grup cu un număr prim de elemente este ciclic. Prima restrânge căutarea ordinelor, a doua rezolvă puterile mari.

Când este o submulțime subgrup al unui grup? Când este nevidă, inclusă în grup, stabilă la operație și stabilă la trecerea la simetric. Diferența față de partea stabilă este exact a doua condiție: ${\mathbb{N}}^{\ast }$ e parte stabilă în grupul aditiv al numerelor întregi, dar nu conține opusele, deci nu e subgrup.

Poate elementul neutru al unui grup de matrice să nu fie $I_2$? Da, și e o cerință care apare în subiecte. Mulțimea matricelor de forma $\left(\begin{array}{cc}a& a\\ a& a\end{array}\right)$ cu $a$ real nenul este grup față de înmulțire, cu neutrul dat de $a=\frac{1}{2}$, deși toate aceste matrice au determinantul nul. Testul determinantului decide inversabilitatea față de $I_2$, nu structura grupului.

Cum arăți că două grupuri nu sunt izomorfe? Prin găsirea unui invariant care le desparte: cardinalul, comutativitatea, profilul ordinelor sau ciclicitatea. Redactarea corectă presupune prin absurd existența unui izomorfism, observă că el ar păstra invariantul și ajunge la o contradicție. Simpla afirmație că nu găsești o funcție potrivită nu valorează niciun punct.

Câte soluții are o ecuație de forma $\hat{a}\hat{x}=\hat{b}$ în clasele de resturi? Dacă $\hat{a}$ este inversabilă, exact una, obținută înmulțind cu inversa. Dacă nu, se calculează $d=(a,n)$: ecuația are soluții numai când $d$ divide $b$, iar atunci are exact $d$ soluții. Numărul lor face parte din răspuns și e punctat separat.