Subiectul al II-lea: matrice și determinanți: pe scurt

Prima problemă a Subiectului al II-lea valorează $15$ puncte, are trei subpuncte de câte $5$ și pornește de la o matrice concretă, de la o familie cu parametru sau de la un sistem. Subpunctul a) dă unealta pentru b), iar b) pentru c), dar cele trei se punctează independent: dacă b) nu iese, la c) se scrie „presupunem demonstrat la b) că …” și se continuă. La o familie $G=\{M(x)\}$, primul gest este calculul produsului $M(x)M(y)$; propoziția care aduce punctele este chiar regula de compunere, de tipul $M(x)M(y)=M(x+y)$, din care se citesc apoi puterile și inversa. Determinantul se calculează după ordin: formula directă la ordinul $2$, Sarrus numai la ordinul $3$, iar de la ordinul $4$ transformări elementare urmate de dezvoltare. Proprietățile de reținut sunt $\det (AB)=\det A\det B$, $\det \left(A^k\right)=(\det A{)}^k$, $\det \left({}^{t}A\right)=\det A$ și, cu grijă, $\det (\alpha A)={\alpha }^n\det A$ — factorul iese din fiecare linie. Ridicarea la putere are cinci metode: inducția, binomul lui Newton, șirurile recurente, matricea de rotație și ecuația Hamilton–Cayley, $A^2-\mathrm{tr}(A)A+(\det A)I_2=O_2$. Împărțirea de matrice nu există: la $AX=B$ se înmulțește cu $A^{-1}$ la stânga, la $YA=B$ la dreapta, după ce s-a scris că $\det \ne 0$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Fie $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ cu $\det A=3$. Valoarea lui $\det (-2A)$ este:

   • a) $-6$
   • b) $-24$
   • c) $24$
   • d) $6$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $-24$

   Scalarul se scoate din fiecare dintre cele $3$ linii, deci $\det (\alpha A)={\alpha }^n\det A$ pentru $A\in {\mathcal{M}}_n$: aici $\det (-2A)=(-2{)}^3\cdot 3=-24$. Varianta $-6$ scoate factorul o singură dată — greșeala clasică. Varianta $24$ pierde semnul, uitând că $(-2{)}^3<0$, iar $6$ le combină pe amândouă.

2. Fie $A,B,C\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, cu $\det A\ne 0$ și $\det C\ne 0$. Soluția ecuației matriceale $AZC=B$ este:

   • a) $Z=A^{-1}B{C}^{-1}$
   • b) $Z=C^{-1}B{A}^{-1}$
   • c) $Z=A^{-1}{C}^{-1}B$
   • d) $Z=B{A}^{-1}{C}^{-1}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $Z=A^{-1}B{C}^{-1}$

   Se înmulțește de partea în care apare fiecare matrice: la stânga cu $A^{-1}$ și la dreapta cu $C^{-1}$, adică $A^{-1}(AZC)C^{-1}=A^{-1}B{C}^{-1}$, de unde $Z=A^{-1}B{C}^{-1}$. Înmulțirea matricelor nu este comutativă, deci celelalte trei aranjări dau, în general, matrice diferite. Redactarea completă începe cu propoziția „cum $\det A\ne 0$ și $\det C\ne 0$, matricele sunt inversabile”.

3. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}5& -6\\ 3& -4\end{array}\right)$, ecuația Hamilton–Cayley este:

   • a) $A^2-A+2I_2=O_2$
   • b) $A^2+A-2I_2=O_2$
   • c) $A^2+2A-I_2=O_2$
   • d) $A^2-A-2I_2=O_2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $A^2-A-2I_2=O_2$

   Ecuația se scrie $A^2-\mathrm{tr}(A)A+(\det A)I_2=O_2$. Aici $\mathrm{tr}(A)=5+(-4)=1$ și $\det A=-20+18=-2$, deci $A^2-A-2I_2=O_2$. Prima variantă greșește semnul determinantului, a doua pe cel al urmei, iar ultima le schimbă rolurile. Control: $A^2=\left(\begin{array}{cc}7& -6\\ 3& -2\end{array}\right)$, iar $A^2-A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=2I_2$ ✓.