Subiectul al II-lea: matrice și determinanți

Prima problemă din partea a doua a subiectului de Bacalaureat M1 vine, an de an, din același loc: matricele, determinanții și sistemele de la clasa a XI-a. Lecția aceasta strânge, pentru clasa a 12-a, tipurile care se repetă — familiile de matrice cu parametru, determinanții cu discuție, puterile unei matrice, ecuațiile matriceale — și le dă câte o rezolvare-model scrisă exact cum se scrie în teză. Prima problemă a Subiectului al II-lea de la Bacalaureat M1 cere matrice și determinanți: o familie de matrice cu parametru, un determinant cu discuție, o putere a unei matrice sau o ecuație matriceală, în trei subpuncte de câte cinci puncte.

Nu vei găsi aici nicio noțiune nouă. Tot ce urmează a fost demonstrat în lecțiile de algebră ale clasei precedente; rostul acestei lecții este altul: să te învețe să recunoști tipul dintr-o privire și să pornești pe drumul scurt, ca să încapi în cele zece minute pe subpunct pe care ți le dă bugetul de timp al examenului. Continuarea firească e a doua jumătate a aceleiași materii, sistemele de ecuații liniare și matricele inversabile, iar cealaltă problemă a subiectului vine din algebra clasei a 12-a, de la legi de compoziție și grupuri.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști tipul primei probleme din Subiectul al II-lea după prima linie a enunțului, dintre cele cinci care se repetă.
• Vei ști să scrii regula de compunere a unei familii de matrice cu parametru și să scoți din ea puterile și inversa.
• Vei ști să alegi metoda de calcul a unui determinant și să discuți un determinant cu parametru.
• Vei ști care sunt cele cinci metode de ridicare la putere și după ce semn se alege fiecare.
• Vei ști să rezolvi ecuații matriceale, precizând de care parte se înmulțește cu inversa.
• Vei ști să folosești proprietățile determinantului fără să calculezi matricea.

Hai să descoperim împreună

1. Cum arată prima problemă din Subiectul al II-lea?

Prima problemă din Subiectul al II-lea este, la Bacalaureat M1, o problemă de cincisprezece puncte cu trei subpuncte notate a), b) și c), a câte cinci puncte fiecare, care pleacă de la o matrice concretă, de la o familie de matrice cu parametru sau de la un sistem de ecuații liniare și cere, în această ordine, un calcul, o proprietate și o aplicație a ei.

Materia din care se ia este cea de clasa a XI-a: operații cu matrice, determinanți, matrice inversabile, sisteme. A doua problemă a aceluiași subiect vine din structurile algebrice de clasa a 12-a — le tratăm separat, dar baremul e construit la fel.

Ordinea subpunctelor nu e decorativă. Subpunctul a) îți dă unealta pentru b), iar b) pentru c). Dacă la a) ai găsit că $\det A=1$, la b) nu mai reiei criteriul de inversabilitate; dacă la b) ai scris regula $M(x)\cdot M(y)=M(x+y)$, la c) puterea se citește din ea, nu se calculează.

O observație de strategie care aduce puncte reale: subpunctele se punctează independent. Dacă b) nu-ți iese, scrii la c) „presupunem demonstrat la b) că …" și continui; corectorul acordă punctele de la c) dacă raționamentul de acolo e corect.

2. Cum se rezolvă o problemă cu o familie de matrice cu parametru?

Enunțul dă o mulțime $G=\{M(x)\mid x\in \mathbb{R}\}$ de matrice care depind de un parametru. Primul gest, întotdeauna, este calculul produsului $M(x)\cdot M(y)$, cu regula de la înmulțirea a două matrice. Rezultatul are, în problemele de examen, una dintre formele:

$$M(x)\cdot M(y)=M(x+y),M(x)\cdot M(y)=M(xy),M(x)\cdot M(y)=M(x+y+\lambda xy).$$

Odată scrisă regula, restul curge singur: parametrii se compun ca numere, deci $M(x{)}^n=M(nx)$ în primul caz, $M(x{)}^n=M(x^n)$ în al doilea, iar inversa lui $M(x)$ este $M(-x)$, respectiv $M\left(\frac{1}{x}\right)$. Mulțimea tuturor matricelor pătratice de ordinul al doilea o notăm, ca la clasa a XI-a, ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$; litera $M(x)$ o păstrăm pentru familia din enunț.

Un al doilea gest, la fel de ieftin: calculul lui $\det M(x)$. De cele mai multe ori iese o constantă ($1$ sau $-1$), iar constanta aceea îți spune într-un rând că toate matricele familiei sunt inversabile.

Cazul cel mai frecvent la examen are în spate o matrice cu pătratul nul. Dacă $N\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ satisface $N^2=O_2$, atunci $M(x)=I_2+xN$ dă

$$M(x)\cdot M(y)=(I_2+xN)(I_2+yN)=I_2+(x+y)N+xy{N}^2=I_2+(x+y)N=M(x+y),$$

iar puterile se scriu instantaneu. Recunoști situația după forma matricelor: pe diagonală $1\pm ax$, în rest multipli de $x$.

3. Cum se calculează un determinant fără greșeli?

Metoda se alege după ordin și după numărul de zerouri, nu după obișnuință.

• Ordinul 2: direct, $\det A=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$.
• Ordinul 3: regula lui Sarrus sau regula triunghiului, dacă nu sunt zerouri; dezvoltarea după o linie sau o coloană, dacă există o linie cu unul sau două zerouri. Cele două căi trebuie să dea același număr — la examen, dacă ai timp, le faci pe amândouă.
• Ordinul 4 sau mai mare: Sarrus este interzis. Se fac zerouri pe o coloană cu operațiile $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$ (cu $i\ne j$, altfel operația nu e reversibilă) și apoi se dezvoltă, ca la determinanții de ordinul 4.

Notațiile sunt cele fixate la clasa a XI-a: $\det A$ în text și în enunțuri, tabloul cu vmatrix doar în momentul calculului, minorul elementului $a_{ij}$ este ${\Delta }_{ij}$, iar complementul lui algebric este ${\delta }_{ij}=(-1{)}^{i+j}{\Delta }_{ij}$.

Când în matrice apare un parametru, rezultatul se scrie obligatoriu factorizat. Din $\det A=5(m-1)$ citești valoarea critică dintr-o privire; din $5m-5$ mai ai de rezolvat o ecuație.

4. Ce decide determinantul unei matrice?

Multe subpuncte de cinci puncte nu cer niciun calcul cu matrice, ci doar o proprietate a determinantului. Merită știute pe de rost, cu locul de unde vin:

Prima și a treia se demonstrează la determinantul produsului a două matrice, unde e stabilită și formula cu scalarul. Capcana clasică: $\det (\alpha A)$ nu este $\alpha \det A$ — factorul se scoate din fiecare dintre cele $n$ linii, deci apare la puterea $n$.

5. Care sunt cele cinci metode de ridicare la putere?

Calculul direct al lui $A^2$ și $A^3$ nu se numără printre metode: el este procedeul de bază, cu care ghicești forma. Metodele propriu-zise sunt patru elementare plus una „grea", exact în numerotarea fixată la sinteza metodelor de ridicare la putere:

1. inducția matematică — ghicești forma lui $A^n$ din primele puteri și o demonstrezi;
2. binomul lui Newton — când $A=\alpha I_n+N$ cu $N^k=O_n$; cele două matrice comută, iar suma are doar $k$ termeni;
3. șirurile recurente — când $A^n$ are elementele date de o recurență liniară;
4. matricea de rotație — când $A$ este $R(\theta )$ sau un multiplu al ei;
5. ecuația Hamilton–Cayley — a cincea metodă, valabilă mereu la ordinul 2.

Semnul după care alegi metoda a doua e imediat: dacă $\mathrm{tr}(A)=2\alpha$ și $\det A={\alpha }^2$, atunci $(A-\alpha I_2{)}^2=O_2$ și binomul se aplică. Semnul pentru metoda a cincea: orice altă situație la ordinul 2.

Ecuația Hamilton–Cayley, în forma de clasă, este

$$A^2-\mathrm{tr}(A)A+(\det A)I_2=O_2,A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{C}).$$

Din ea se scot două lucruri, amândouă cerute des la Bacalaureat M1: inversa (înmulțind cu $A^{-1}$ și izolând-o) și puterile (înlocuind $A^2$ și coborând gradul). Demonstrația și exemplele sunt la ecuația Hamilton–Cayley.

6. Ecuațiile matriceale: de care parte se înmulțește cu inversa?

Nu există împărțire de matrice. Există doar înmulțire cu inversa, iar partea contează, pentru că înmulțirea matricelor nu e comutativă:

$$AX=B\Rightarrow X=A^{-1}B,YA=B\Rightarrow Y=B{A}^{-1},AZC=B\Rightarrow Z=A^{-1}B{C}^{-1}.$$

În fiecare caz se verifică întâi că matricea prin care înmulțim e inversabilă, adică are determinantul nenul. Redactarea completă, cea care ia toate punctele, arată așa: „cum $\det A=1\ne 0$, matricea $A$ este inversabilă; înmulțind egalitatea $AX=B$ la stânga cu $A^{-1}$ obținem $X=A^{-1}B$".

Ultimul rând al rezolvării este întotdeauna verificarea: înlocuiești soluția găsită în ecuația inițială. Costă zece secunde și prinde erorile de semn din adjunctă.

7. Ce capcane de barem apar la matrice și determinanți?

• Sarrus la ordinul 4. Greșeala cea mai scumpă a subiectului: rezolvarea întreagă se anulează.
• Factorul scos greșit. $\det (2A)=2^n\det A$ pentru $A$ de ordin $n$, nu $2\det A$.
• Partea greșită la ecuația matriceală. $A^{-1}B$ și $B{A}^{-1}$ sunt, de regulă, matrice complet diferite.
• Inversabilitatea nescrisă. „Cum $\det A\ne 0$" e o propoziție care se scrie; presupusă tacit, nu se punctează.
• Regula de compunere nescrisă. La familiile $M(x)$, propoziția care aduce punctele este chiar egalitatea $M(x)M(y)=M(x+y)$, nu concluzia trasă din ea.
• Verificarea sărită. Orice matrice găsită (inversă, soluție a unei ecuații) se înlocuiește înapoi, într-un rând.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O familie de matrice cu parametru

Pentru $x\in \mathbb{R}$ se consideră matricea $M(x)=\left(\begin{array}{cc}1+6x& -4x\\ 9x& 1-6x\end{array}\right)$ și mulțimea $G=\{M(x)\mid x\in \mathbb{R}\}$.

a) Arătați că $M(x)\cdot M(y)=M(x+y)$ pentru orice $x,y\in \mathbb{R}$ și calculați $\det M(x)$.

b) Determinați $M(x{)}^n$, $n \in \mathbb{N}^{}$,șiinversamatricei$M(x)$.*

c) Rezolvați ecuația $M(x{)}^3\cdot M(2)=M(11)$.

Rezolvare. a) Înmulțim și grupăm:

$$M(x)M(y)=\left(\begin{array}{cc}(1+6x)(1+6y)-36xy& -4y(1+6x)-4x(1-6y)\\ 9x(1+6y)+9y(1-6x)& -36xy+(1-6x)(1-6y)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1+6(x+y)& -4(x+y)\\ 9(x+y)& 1-6(x+y)\end{array}\right),$$

adică exact $M(x+y)$. Determinantul: $\det M(x)=(1+6x)(1-6x)+36x^2=1-36x^2+36x^2=1$, deci toate matricele familiei sunt inversabile.

De unde vine forma: dacă notăm $N=\left(\begin{array}{cc}6& -4\\ 9& -6\end{array}\right)$, atunci $N^2=O_2$ și $M(x)=I_2+xN$, iar regula de compunere e cea din secțiunea a doua.

b) Din regula de la a), prin inducție, $M(x{)}^n=M(nx)$; scris pe componente,

$$M(x{)}^n=\left(\begin{array}{cc}1+6nx& -4nx\\ 9nx& 1-6nx\end{array}\right).$$

Inversa: $M(x)\cdot M(-x)=M(0)=I_2$, deci $M(x{)}^{-1}=M(-x)$.

Control numeric: $M(2{)}^5=M(10)=\left(\begin{array}{cc}61& -40\\ 90& -59\end{array}\right)$, iar înmulțirea directă a cinci factori dă același rezultat.

c) Membrul stâng este $M(3x)\cdot M(2)=M(3x+2)$. Din $M(3x+2)=M(11)$ și din faptul că elementul de pe linia a doua, coloana întâi, este $9$ ori parametrul, obținem $3x+2=11$, deci $x=3$. Verificare: $M(3{)}^{3}M(2)=M(9)M(2)=M(11)$. ✓

Exemplul 2 — Determinant de ordinul 3 cu parametru

Se consideră $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 1& -1& 2\\ 3& m& 1\end{array}\right)$, $m\in \mathbb{R}$.

a) Calculați $\det A$ în funcție de $m$.

b) Determinați valorile lui $m$ pentru care $A$ este inversabilă.

c) Pentru $m=1$, calculați $\det (A^2)$, $\det (3A)$ și $\det ({}^{t}A)$.

Rezolvare. a) Dezvoltăm după prima linie:

$$\det A=2\left|\begin{array}{cc}-1& 2\\ m& 1\end{array}\right|-1\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 1\end{array}\right|+(-1)\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 3& m\end{array}\right|=2(-1-2m)-(1-6)-(m+3)=-5m.$$

Control pe a doua cale, cu regula lui Sarrus (permisă, fiind ordinul 3): termenii cu semnul plus dau $-2+6-m$, cei cu semnul minus dau $3+4m+1$, deci $\det A=(4-m)-(4+4m)=-5m$. ✓ Cele două metode coincid.

b) Matricea e inversabilă exact când $\det A\ne 0$, adică $-5m\ne 0$: pentru orice $m\in {\mathbb{R}}^{\ast }$. Pentru $m=0$ matricea este singulară.

c) Pentru $m=1$ avem $\det A=-5$. Atunci

$$\det (A^2)=(\det A{)}^2=25,\det (3A)=3^3\det A=-135,\det ({}^{t}A)=\det A=-5.$$

Observă că exponentul de la a doua formulă este $3$, ordinul matricei — nu $2$, nici $1$.

Exemplul 3 — Ecuația Hamilton–Cayley

Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ 2& -1\end{array}\right)$.

a) Scrieți ecuația Hamilton–Cayley a matricei $A$.

b) Deduceți din ea inversa matricei $A$.

c) Determinați $A^n$, $n \in \mathbb{N}^{}$.*

Rezolvare. a) $\mathrm{tr}(A)=4+(-1)=3$ și $\det A=-4+6=2$, deci

$$A^2-3A+2I_2=O_2.$$

Verificare directă: $A^2=\left(\begin{array}{cc}10& -9\\ 6& -5\end{array}\right)$, iar $10-12+2=0$ pe fiecare poziție corespunzătoare. ✓

b) Scriem relația ca $A(A-3I_2)=-2I_2$, adică $A\cdot \frac{3I_2-A}{2}=I_2$. Prin urmare

$$A^{-1}=\frac{1}{2}(3I_2-A)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}-1& 3\\ -2& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& \frac{3}{2}\\ -1& 2\end{array}\right).$$

Verificare: $A\cdot A^{-1}=I_2$. ✓ (Același rezultat se obține și cu formula adjunctei, dar drumul acesta e mai scurt și e cel punctat în bareme.)

c) Căutăm $A^n={\alpha }_{n}A+{\beta }_n{I}_2$. Ecuația ${\lambda }^2-3\lambda +2=0$ are rădăcinile $1$ și $2$, deci ${\alpha }_n+{\beta }_n=1$ și $2{\alpha }_n+{\beta }_n=2^n$, de unde ${\alpha }_n=2^n-1$ și ${\beta }_n=2-2^n$:

$$A^n=(2^n-1)A+(2-2^n)I_2.$$

Scriem și elementele: pe poziția $(1,1)$ avem $4(2^n-1)+2-2^n=3\cdot 2^n-2$; pe $(1,2)$, $-3(2^n-1)=3-3\cdot 2^n$; pe $(2,1)$, $2(2^n-1)=2^{n+1}-2$; pe $(2,2)$, $-(2^n-1)+2-2^n=3-2^{n+1}$, adică

$$A^n=\left(\begin{array}{cc}3\cdot 2^n-2& 3-3\cdot 2^n\\ 2^{n+1}-2& 3-2^{n+1}\end{array}\right).$$

Control pentru $n=3$: formula dă $\left(\begin{array}{cc}22& -21\\ 14& -13\end{array}\right)$, iar $A^3=A^2\cdot A$ dă același rezultat. ✓

Exemplul 4 — Trei ecuații matriceale cu aceleași date

Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 3& 4\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 3& 2\end{array}\right)$.

a) Arătați că $A$ este inversabilă și determinați $A^{-1}$.

b) Rezolvați ecuațiile $AX=B$ și $YA=B$.

c) Rezolvați ecuația $AZA=B$.

Rezolvare. a) $\det A=16-15=1\ne 0$, deci $A$ este inversabilă și

$$A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}4& -5\\ -3& 4\end{array}\right),A\cdot A^{-1}=I_2.$$

Verificarea produsului o scriem, fiindcă e punctată. ✓

b) Înmulțim prima ecuație la stânga cu $A^{-1}$ și pe a doua la dreapta:

$$X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -1\end{array}\right),Y=B{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}7& -8\\ 6& -7\end{array}\right).$$

Verificări: $AX=B$ ✓ și $YA=B$ ✓. Cele două rezultate nu au nimic în comun — dovada că partea din care înmulțești nu e o formalitate.

c) Înmulțim la stânga și la dreapta cu $A^{-1}$: $Z=A^{-1}B{A}^{-1}=X\cdot A^{-1}$, deci

$$Z=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}4& -5\\ -3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& 3\\ 3& -4\end{array}\right).$$

Verificare: $AZ=Y$ și $YA=B$, deci $AZA=B$. ✓

Exemplul 5 — Numai proprietăți, fără niciun calcul cu matrice

Fie $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ cu $\det A=-2$.

a) Calculați $\det (3A)$ și $\det (A^4)$.

b) Arătați că $A$ este inversabilă și calculați $\det (A^{-1})$.

c) Pornind de la relația $A \cdot A^{} = (\det A), I_3$,calculați$\det(A^{})$.

Rezolvare. a) Matricea e de ordinul $3$, deci factorul se scoate din trei linii: $\det (3A)=3^3\det A=27\cdot (-2)=-54$. Apoi $\det (A^4)=(\det A{)}^4=(-2{)}^4=16$.

b) Cum $\det A=-2\ne 0$, matricea e inversabilă. Din $A\cdot A^{-1}=I_3$ și din proprietatea produsului, $\det A\cdot \det (A^{-1})=\det I_3=1$, deci $\det (A^{-1})=-\frac{1}{2}$.

c) Aplicăm determinantul în ambii membri ai relației date. În stânga, $\det A\cdot \det (A^{\ast })$; în dreapta, $\det ((\det A)I_3)=(\det A{)}^3\det I_3=(\det A{)}^3$. Prin urmare

$$\det (A^{\ast })=(\det A{)}^{3-1}=(\det A{)}^2=4.$$

Control pe o matrice concretă: pentru $C=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 2& 1\\ 2& 0& 0\end{array}\right)$ avem $\det C=-2$, iar calculul complet al adjunctei dă $\det (C^{\ast })=4$ și $\det (3C)=-54$. ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Formatul este cel al primei probleme din Subiectul al II-lea: trei subpuncte a câte 5 puncte, legate între ele.

Se consideră $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 0& 1& 4\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$.

a) Calculați $\det A$ și determinați $A^{-1}$.

b) Arătați că $(A-I_3{)}^3=O_3$.

c) Determinați $A^n$, $n \in \mathbb{N}^{}$.*

Rezolvare. a) Matricea este triunghiulară, deci determinantul e produsul elementelor de pe diagonala principală: $\det A=1\cdot 1\cdot 1=1\ne 0$, iar $A$ este inversabilă. Cu matricea adjunctă,

$$A^{-1}=\frac{1}{1}{A}^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}1& -3& 10\\ 0& 1& -4\\ 0& 0& 1\end{array}\right),A\cdot A^{-1}=I_3.$$

Produsul se calculează și se scrie — e pasul punctat. ✓

b) Notăm $N=A-I_3=\left(\begin{array}{ccc}0& 3& 2\\ 0& 0& 4\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$. Atunci

$$N^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 12\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),N^3=N^2\cdot N=O_3.$$

c) Scriem $A=I_3+N$. Matricele $I_3$ și $N$ comută, deci se aplică binomul lui Newton — metoda a doua din listă. Cum $N^k=O_3$ pentru $k\ge 3$, din toată dezvoltarea rămân trei termeni:

$$A^n=I_3+C_n^{1}N+C_n^2{N}^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 3n& 6n^2-4n\\ 0& 1& 4n\\ 0& 0& 1\end{array}\right),$$

pentru că elementul din colț este $2n+12\cdot \frac{n(n-1)}{2}=6n^2-4n$.

Control pentru $n=2$: formula dă $\left(\begin{array}{ccc}1& 6& 16\\ 0& 1& 8\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$, iar $A^2$ calculat direct dă același rezultat. ✓

Să exersăm

La fiecare exercițiu, scrie întâi tipul în care se încadrează și primul gest de făcut. Fiecare enunț are lungimea unui subpunct de cinci puncte din Subiectul al II-lea.

1. Fie $A=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 1& 4\end{array}\right)$. Calculați $\det A$, $\mathrm{tr}(A)$ și scrieți ecuația Hamilton–Cayley a matricei.

2. Pentru matricea de la exercițiul precedent, exprimați $A^{-1}$ în funcție de $A$ și de $I_2$.

3. Fie $M(x)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 5x& 1\end{array}\right)$. Arătați că $M(x)M(y)=M(x+y)$ și calculați $M(2{)}^6$.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ avem $\det (2A)=2\det A$."

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Determinantul unei matrice de ordinul 4 se poate calcula cu regula lui Sarrus, dacă matricea are multe zerouri."

6. Calculați $\left|\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 0& 4& -1\\ 2& 1& 0\end{array}\right|$ prin dezvoltare după prima coloană.

7. Determinați valorile lui $m\in \mathbb{R}$ pentru care matricea $\left(\begin{array}{ccc}m& 2& 1\\ 1& m& 0\\ 3& 1& 1\end{array}\right)$ nu este inversabilă.

8. Fie $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ cu $\det A=7$. Calculați $\det (5A)$, $\det (A^3)$ și $\det (A^{-1})$.

9. Rezolvați ecuația matriceală $AX=B$, unde $A=\left(\begin{array}{cc}4& 7\\ 1& 2\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}4& 7\\ 2& 4\end{array}\right)$.

10. Cu matricele de la exercițiul precedent, rezolvați $YA=B$ și comparați rezultatul cu cel de la exercițiul 9.

11. Fie $N=\left(\begin{array}{cc}2& -4\\ 1& -2\end{array}\right)$. Arătați că $N^2=O_2$ și deduceți $(I_2+N{)}^n$.

12. (Problemă aplicată.) Trei depozite trimit marfă către două magazine. Cantitățile expediate, în tone, sunt date de matricea $E=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 2& 4\\ 6& 1\end{array}\right)$, iar prețul pe tonă la cele două magazine, în sute de lei, de matricea $P=\left(\begin{array}{c}9\\ 7\end{array}\right)$. Calculați $E\cdot P$ și spuneți ce reprezintă fiecare element al rezultatului.

13. Arătați că, dacă $A,B\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ cu $\det A=3$ și $\det B=-4$, atunci $AB$ este inversabilă și $\det ((AB{)}^{-1})=-\frac{1}{12}$.

14. Fie $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ cu $\mathrm{tr}(A)=6$ și $\det A=9$. Arătați că $(A-3I_2{)}^2=O_2$ și determinați $A^n$ în funcție de $A$ și de $I_2$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $M(x)=\left(\begin{array}{cc}1+6x& -4x\\ 9x& 1-6x\end{array}\right)$. a) Calculați $M(1)\cdot M(-4)$. b) Arătați că $\det M(x)=1$ pentru orice $x$ real. c) Rezolvați ecuația $M(x{)}^4=M(2)\cdot M(6)$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$. a) Calculați $\det A$. b) Arătați că $(A-I_3{)}^3=O_3$. c) Determinați $A^n$.

17. Pentru $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ cu $\det A=-3$, calculați $\det (A^{\ast })$, unde $A^{\ast }$ este matricea adjunctă.

18. (Provocare.) Fie $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ cu $A^2=A$ și $A\ne I_2$, $A\ne O_2$. Arătați că $\det A=0$, că $\mathrm{tr}(A)=1$ și că $A^n=A$ pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Răspunsuri și explicații

1. $\det A=8+3=11$, $\mathrm{tr}(A)=6$, deci ecuația Hamilton–Cayley este $A^2-6A+11I_2=O_2$.

2. Din $A(A-6I_2)=-11I_2$ rezultă $A\cdot \frac{6I_2-A}{11}=I_2$, deci $A^{-1}=\frac{1}{11}(6I_2-A)=\frac{1}{11}\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ -1& 2\end{array}\right)$. Verificare: $A\cdot A^{-1}=I_2$. ✓

3. $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 5x& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 5y& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 5(x+y)& 1\end{array}\right)=M(x+y)$. De aici $M(2{)}^6=M(12)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 60& 1\end{array}\right)$.

4. Fals. Factorul $2$ se scoate din fiecare dintre cele trei linii, deci $\det (2A)=2^3\det A=8\det A$. Egalitatea din enunț ar fi adevărată doar pentru matrice de ordinul $1$.

5. Fals. Regula lui Sarrus se aplică exclusiv la ordinul 3, indiferent câte zerouri are matricea. La ordinul 4 se dezvoltă după o linie sau o coloană, eventual după ce s-au făcut zerouri cu operații de tipul $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$, cu $i\ne j$.

6. $D=1\cdot (-1{)}^{1+1}\left|\begin{array}{cc}4& -1\\ 1& 0\end{array}\right|+0+2\cdot (-1{)}^{3+1}\left|\begin{array}{cc}-2& 3\\ 4& -1\end{array}\right|=1\cdot 1+2\cdot (2-12)=1-20=-19$. Control cu Sarrus: $0+4+0-(24-1+0)=4-23=-19$. ✓

7. $\det =m(m-0)-2(1-0)+1(1-3m)=m^2-3m-1$. Matricea nu e inversabilă când $m^2-3m-1=0$, adică $m=\frac{3\pm \sqrt{13}}{2}$.

8. $\det (5A)=5^2\cdot 7=175$ (ordinul este $2$); $\det (A^3)=7^3=343$; $\det (A^{-1})=\frac{1}{7}$.

9. $\det A=8-7=1$, deci $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -7\\ -1& 4\end{array}\right)$ și $X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{cc}-6& -14\\ 4& 9\end{array}\right)$. Verificare: $AX=B$. ✓

10. $Y=B{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$. Verificare: $YA=\left(\begin{array}{cc}4& 7\\ 2& 4\end{array}\right)=B$. ✓ Rezultatul e complet diferit de cel de la exercițiul 9, deși datele sunt aceleași: partea din care se înmulțește cu inversa schimbă soluția.

11. $N^2=\left(\begin{array}{cc}4-4& -8+8\\ 2-2& -4+4\end{array}\right)=O_2$. Matricele $I_2$ și $N$ comută, deci $(I_2+N{)}^n=I_2+nN=\left(\begin{array}{cc}1+2n& -4n\\ n& 1-2n\end{array}\right)$.

12. $E\cdot P=\left(\begin{array}{c}3\cdot 9+5\cdot 7\\ 2\cdot 9+4\cdot 7\\ 6\cdot 9+1\cdot 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}62\\ 46\\ 61\end{array}\right)$. Fiecare element reprezintă încasarea totală, în sute de lei, a depozitului corespunzător.

13. $\det (AB)=\det A\cdot \det B=3\cdot (-4)=-12\ne 0$, deci $AB$ este inversabilă, iar $\det ((AB{)}^{-1})=\frac{1}{-12}=-\frac{1}{12}$.

14. Ecuația Hamilton–Cayley dă $A^2-6A+9I_2=O_2$, adică $(A-3I_2{)}^2=O_2$. Notând $N=A-3I_2$, avem $A=3I_2+N$ cu $N^2=O_2$, deci $A^n=3^n{I}_2+n{3}^{n-1}N=n{3}^{n-1}A+(3^n-3n\cdot 3^{n-1})I_2$.

15. a) $M(1)M(-4)=M(-3)=\left(\begin{array}{cc}-17& 12\\ -27& 19\end{array}\right)$. b) $\det M(x)=(1+6x)(1-6x)+36x^2=1$. c) Membrul stâng este $M(4x)$, cel drept $M(8)$, deci $4x=8$ și $x=2$.

16. a) Matricea e triunghiulară, deci $\det A=1$. b) $N=A-I_3$ are $N^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 6\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ și $N^3=O_3$. c) Cu binomul lui Newton, $A^n=I_3+nN+C_n^2{N}^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 2n& 3n^2-3n\\ 0& 1& 3n\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$, pentru că $6\cdot \frac{n(n-1)}{2}=3n^2-3n$.

17. Din $A\cdot A^{\ast }=(\det A)I_2$ rezultă $\det A\cdot \det (A^{\ast })=(\det A{)}^2$, deci $\det (A^{\ast })=\det A=-3$. (La ordinul $n$, formula generală este $\det (A^{\ast })=(\det A{)}^{n-1}$.)

18. Din $A^2=A$ și ecuația Hamilton–Cayley, $A-\mathrm{tr}(A)A+(\det A)I_2=O_2$, adică $(1-\mathrm{tr}(A))A=-(\det A)I_2$. Dacă $\mathrm{tr}(A)\ne 1$, atunci $A$ ar fi multiplu de $I_2$, deci $A=c{I}_2$ cu $c^2=c$, adică $A\in \{O_2,I_2\}$ — exclus prin ipoteză. Rămâne $\mathrm{tr}(A)=1$ și, din aceeași egalitate, $\det A=0$. În fine, din $A^2=A$ se obține prin inducție $A^n=A$ pentru orice $n\ge 1$.

De reținut

• Prima problemă din Subiectul al II-lea are trei subpuncte a câte cinci puncte, iar fiecare subpunct pregătește unealta pentru următorul.
• La o familie de matrice cu parametru, propoziția care aduce punctele este regula de compunere $M(x)M(y)=M(x+y)$; din ea se citesc puterile, inversa și structura mulțimii.
• Regula lui Sarrus se aplică exclusiv la ordinul 3; la ordinul 4 se dezvoltă după o linie sau o coloană, după ce s-au făcut zerouri cu operații elementare.
• Determinantul se comportă bine față de produs, putere, transpusă și inversă, iar față de înmulțirea cu un scalar dă $\det (\alpha A)={\alpha }^n\det A$, unde $n$ este ordinul matricei.
• Puterea unei matrice de ordinul 2 se obține întotdeauna cu ecuația Hamilton–Cayley, iar când $(A-\alpha I_2{)}^2=O_2$, mai repede cu binomul lui Newton.

Greșeli frecvente

• Se aplică regula lui Sarrus la ordinul 4. Este greșeala cea mai des întâlnită la Bacalaureat M1 și anulează întreaga rezolvare; la ordinul 4 se dezvoltă după o linie sau o coloană.
• Se scoate scalarul o singură dată. Din $\det (3A)$ cu $A$ de ordinul 3 iese $27\det A$, nu $3\det A$: factorul se scoate din fiecare linie.
• Se înmulțește cu inversa de partea greșită. Din $YA=B$ se obține $Y=B{A}^{-1}$, nu $A^{-1}B$; matricele nu comută, iar cele două rezultate diferă.
• Se sare peste verificarea $\det A\ne 0$. Fără propoziția care justifică inversabilitatea, pasul următor nu se punctează, chiar dacă rezultatul e corect.
• Se calculează puterile prin înmulțiri succesive. Pentru $A^n$ cu $n$ oarecare, calculul direct nu duce nicăieri: se alege una dintre cele cinci metode și se spune care.

Aplică acasă

1. Fișa de recunoaștere. Scrie pe o singură pagină cele cinci tipuri de probleme ale acestei lecții, iar sub fiecare, într-un singur rând, primul gest de făcut. Recitește-o înainte de fiecare simulare.

2. Colecția de familii. Pornind de la trei matrice diferite cu pătratul nul, construiește familiile $M(x)=I_2+xN$ și scrie, pentru fiecare, regula de compunere, determinantul și formula puterii. Verifică fiecare formulă pentru $n=2$ prin calcul direct.

3. Cronometrul. Alege trei probleme complete cu subpuncte a), b), c) din culegere și rezolvă-le contra cronometru, cu treizeci de minute pentru fiecare — adică zece minute pe subpunct, exact bugetul fixat la lecția despre structura examenului.

Pentru părinți și profesori

Lecția deschide seria dedicată Subiectului al II-lea și acoperă prima dintre cele două probleme ale acestuia: matricele și determinanții din clasa a XI-a. Nu introduce noțiuni noi — toate rezultatele au fost demonstrate în lecțiile de algebră ale anului precedent — ci le reorganizează pe tipuri de cerințe, în formatul examenului, așa cum cer competențele XII.CS.1.1, XII.CS.4.1 și XII.CS.2.2 din programa clasei a XII-a.

De verificat în caiet: (1) la familiile de matrice, regula de compunere e scrisă explicit, ca prim rând al rezolvării; (2) la determinanții cu parametru, rezultatul e scris factorizat; (3) la ecuațiile matriceale, e precizată partea din care s-a înmulțit cu inversa; (4) fiecare matrice găsită e verificată prin înlocuire. Întrebări de control: „Ce citești imediat din $M(x)M(y)=M(x+y)$?"; „De ce nu se poate folosi Sarrus la ordinul 4?"; „Cât este $\det (2A)$ pentru $A$ de ordinul 3?"; „Când se aplică binomul lui Newton la puterea unei matrice?".

La BAC M1, materia acestei lecții ocupă una dintre cele două probleme din partea a doua a subiectului, adică $15$ puncte din $90$. Semn că elevul e pregătit: citește enunțul, spune tipul problemei și scrie primul rând al rezolvării în mai puțin de un minut, fără să reia definițiile.

Întrebări frecvente

Ce probleme cu matrice se dau la Subiectul al II-lea la Bacalaureat M1? Se cere o problemă de cincisprezece puncte cu trei subpuncte a câte cinci puncte: de obicei un calcul concret (un produs, un determinant), apoi o proprietate de structură (inversabilitate, o regulă de compunere, o relație de tip Hamilton–Cayley) și, la final, o aplicație — o putere, o inversă sau o ecuație matriceală.

Cum se calculează puterea unei matrice de ordinul 2? Prin ecuația Hamilton–Cayley, care este a cincea metodă și funcționează întotdeauna: se scrie $A^2=\mathrm{tr}(A)A-(\det A)I_2$ și se caută $A^n={\alpha }_{n}A+{\beta }_n{I}_2$. Când $\mathrm{tr}(A)=2\alpha$ și $\det A={\alpha }^2$, drumul mai scurt este binomul lui Newton aplicat lui $A=\alpha I_2+N$, cu $N^2=O_2$.

Când se poate folosi regula lui Sarrus? Numai la determinanții de ordinul 3, fără nicio excepție. La ordinul 2 se folosește formula directă, iar de la ordinul 4 în sus se dezvoltă după o linie sau o coloană, de preferat una cu multe zerouri, obținute în prealabil cu operații de tipul $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$, unde $i$ și $j$ sunt diferite.

Care este formula determinantului unei matrice înmulțite cu un număr? Pentru $A\in {\mathcal{M}}_n$ și $\alpha$ număr, formula este $\det (\alpha A)={\alpha }^n\det A$. Explicația e simplă: factorul $\alpha$ se scoate din fiecare dintre cele $n$ linii ale determinantului, deci apare de $n$ ori. La ordinul 3, $\det (2A)=8\det A$.

Cum se rezolvă o ecuație matriceală? Se verifică întâi că matricea cu care înmulțim are determinantul nenul, apoi se înmulțește cu inversa ei de partea potrivită: din $AX=B$ rezultă $X=A^{-1}B$, iar din $YA=B$ rezultă $Y=B{A}^{-1}$. La final, soluția găsită se înlocuiește în ecuația inițială, ca verificare.

De ce este importantă regula de compunere la o familie de matrice? Pentru că înlocuiește toate calculele care ar urma. Din $M(x)M(y)=M(x+y)$ rezultă imediat că mulțimea e parte stabilă, că $M(0)$ este elementul neutru, că inversa lui $M(x)$ este $M(-x)$ și că $M(x{)}^n=M(nx)$ — patru rezultate dintr-un singur calcul de două rânduri.

Ce înseamnă că o matrice este inversabilă? Înseamnă că există o matrice $B$, de același ordin, cu $AB=BA=I_n$. Criteriul practic, cel folosit la examen, este $\det A\ne 0$; matricea inversă se calculează apoi cu formula $A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$, unde $A^{\ast }$ este transpusa matricei complemenților algebrici.