Subiectul al II-lea: sisteme și matrice inversabile: pe scurt

Problema de sisteme are trei subpuncte de câte $5$ puncte și cere, în această ordine, determinantul sistemului, o discuție după parametru și rezolvarea într-unul dintre cazuri. Notațiile rămân cele de la clasa a XI-a: $A$, matricea extinsă $\overline{A}$, forma $AX=B$, $\mathrm{rang}A$, determinantul $\Delta$ și ${\Delta }_k$ din formulele lui Cramer. O matrice este inversabilă exact când $\det A\ne 0$ — propoziția se scrie, pentru că are punctajul ei —, iar inversa se obține cu adjuncta, $A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$, sau prin Gauss-Jordan; verificarea $A{A}^{-1}=I_n$ se face întotdeauna. Arborele de decizie are ordinea fixă: sistem pătratic $\to$ $\Delta$; dacă $\Delta \ne 0$, tip Cramer, cu $x_k=\frac{{\Delta }_k}{\Delta }$; dacă $\Delta =0$, se trece la rang și la una dintre teoremele de compatibilitate. Din $\Delta =0$ nu rezultă nimic despre compatibilitate, ci doar că sistemul nu e de tip Cramer. Discuția are cinci etape, iar determinantul se scrie factorizat, ca să se vadă toate valorile critice. Un sistem omogen este întotdeauna compatibil, prin soluția banală; el are și soluții nenule exact când $\Delta =0$. Soluția unui sistem compatibil nedeterminat se scrie ca mulțime, cu parametrii $\alpha$, $\beta$, și cu gradul de nedeterminare $n-r$ precizat.

Exerciții din această mini-lecție

1. Despre un sistem liniar de $3$ ecuații cu $3$ necunoscute pentru care $\Delta =0$ se poate afirma cu certitudine că:

   • a) este incompatibil
   • b) este compatibil nedeterminat
   • c) nu este de tip Cramer
   • d) are o infinitate de soluții
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) nu este de tip Cramer

   Anularea determinantului spune un singur lucru: formulele lui Cramer nu se pot aplica. Sistemul poate fi la fel de bine incompatibil sau compatibil nedeterminat, iar decizia se ia abia după calculul rangurilor (Kronecker–Capelli) sau al determinanților caracteristici (Rouché). „Se declară incompatibil un sistem cu $\Delta =0$” este prima greșeală din lista de barem a acestei probleme.

2. Determinantul unui sistem cu parametru este $\Delta =(m-2{)}^2(m+5)$. Sistemul nu este de tip Cramer pentru:

   • a) $m=-5$
   • b) $m=2$
   • c) $m\in \{-2,5\}$
   • d) $m\in \{2,-5\}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $m\in \{2,-5\}$

   Sistemul e de tip Cramer exact când $\Delta \ne 0$, deci valorile critice sunt zerourile determinantului. Forma factorizată le arată pe amândouă: $m=2$ (rădăcină dublă) și $m=-5$. Pătratul nu ascunde nimic — o valoare critică pierdută costă jumătate din discuție. Ultima variantă schimbă semnele: din $m-2$ se citește $2$, nu $-2$.

3. Un sistem liniar cu $5$ necunoscute are $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}=3$. Sistemul este:

   • a) compatibil dublu nedeterminat
   • b) incompatibil
   • c) compatibil determinat
   • d) compatibil simplu nedeterminat
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) compatibil dublu nedeterminat

   Prin teorema Kronecker–Capelli, egalitatea rangurilor înseamnă că sistemul este compatibil. Cum $r=3<5=n$, el este nedeterminat, iar gradul de nedeterminare este $n-r=2$: două necunoscute rămân secundare și devin parametri $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$. Soluția se scrie ca mulțime, cu cei doi parametri, iar gradul de nedeterminare face parte din răspuns.