Subiectul al II-lea: sisteme de ecuații liniare și matrice inversabile

Un sistem de ecuații liniare pus într-un subiect de examen nu se rezolvă: se discută. Aproape întotdeauna are un parametru, iar cerința adevărată nu este „găsește soluția", ci „spune, pentru fiecare valoare a parametrului, câte soluții are". Lecția aceasta strânge, pentru clasa a 12-a, drumurile pe care se ia decizia — determinantul, rangul, teoremele lui Kronecker–Capelli și Rouché — și le pune în ordinea în care se folosesc la Bacalaureat M1. Un sistem de ecuații liniare cu parametru se discută în cinci etape: se calculează determinantul, se rezolvă cazul general cu formulele lui Cramer, se determină rangul în cazul critic, se decide compatibilitatea și se scriu soluțiile.

Este a doua jumătate a primei probleme din Subiectul al II-lea; prima jumătate, cu matricele, determinanții și puterile, e la Subiectul al II-lea: matrice și determinanți. Nimic nu e nou aici: toate teoremele au fost demonstrate la clasa a XI-a, iar noi le așezăm în arborele de decizie care aduce cele cincisprezece puncte fără ocolișuri. A doua problemă a subiectului vine din algebra clasei a 12-a și e tratată la legi de compoziție și grupuri.

Ce vei învăța

• Vei ști să parcurgi arborele de decizie al unui sistem: Cramer, rang, Kronecker–Capelli, Rouché, metoda lui Gauss.
• Vei ști să discuți un sistem cu parametru pe etape, fiecare cu punctajul ei în barem.
• Vei ști să decizi inversabilitatea unei matrice și să calculezi inversa cu matricea adjunctă.
• Vei ști să scrii corect soluția unui sistem compatibil nedeterminat, cu parametri.
• Vei ști când un sistem omogen are și alte soluții în afara celei banale.
• Vei ști care sunt propozițiile din redactare care se punctează separat.

Hai să descoperim împreună

1. Ce se cere la un sistem în Subiectul al II-lea?

Problema de sisteme din Subiectul al II-lea este o problemă de cincisprezece puncte cu trei subpuncte de câte cinci, în care se dă un sistem de ecuații liniare — de obicei cu un parametru real — și se cere, în această ordine, determinantul sistemului, o discuție după parametru și rezolvarea într-unul dintre cazuri.

Notațiile sunt cele fixate la clasa a XI-a și se folosesc identic: matricea sistemului $A$, matricea extinsă $\overline{A}$, matricea coloană a necunoscutelor $X$, cea a termenilor liberi $B$, forma matriceală $AX=B$. Rangul se scrie $\mathrm{rang}A$, iar determinantul sistemului $\Delta$, cu ${\Delta }_k$ pentru determinanții din formulele lui Cramer.

Cele trei situații posibile — și numai acestea trei — sunt: sistem incompatibil (fără soluții), compatibil determinat (o singură soluție), compatibil nedeterminat (o infinitate). Răspunsul unei discuții este un tabel sau o listă în care fiecare valoare a parametrului primește una dintre aceste trei etichete.

2. Cum se decide dacă o matrice este inversabilă?

O matrice pătratică $A$ este inversabilă dacă și numai dacă $\det A\ne 0$ — acesta este criteriul determinantului, demonstrat la matricea inversabilă și criteriul determinantului, și el se scrie ca propoziție separată în orice rezolvare, pentru că are punctajul lui.

Inversa se calculează pe două drumuri:

• cu matricea adjunctă, $A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$, unde $A^{\ast }$ este transpusa matricei complemenților algebrici ${\delta }_{ij}=(-1{)}^{i+j}{\Delta }_{ij}$; e drumul obligatoriu la ordinul 2 și cel obișnuit la ordinul 3;
• prin metoda lui Gauss, cu tabloul dublu $n\times 2n$ format din $A$ și $I_n$, transformat până când primele $n$ coloane devin $I_n$; e drumul rapid la ordinul 3 și 4.

Verificarea finală, $A\cdot A^{-1}=I_n$, se face întotdeauna, măcar pe o linie. Ea prinde erorile de semn din complemenți, care sunt cele mai frecvente.

Odată ce ai inversa, un sistem pătratic se rezolvă dintr-o înmulțire: din $AX=B$ rezultă $X=A^{-1}B$. Metoda plătește mai ales când aceeași matrice apare cu mai mulți termeni liberi — atunci inversa se calculează o singură dată.

3. Care metodă se folosește la ce fel de sistem?

Ordinea întrebărilor e fixă, iar respectarea ei economisește minute întregi.

1. Sistemul e pătratic? Dacă are tot atâtea ecuații câte necunoscute, calculează $\Delta =\det A$.
2. $\Delta \ne 0$? Atunci sistemul e de tip Cramer: are soluție unică, dată de $x_k=\frac{{\Delta }_k}{\Delta }$, unde ${\Delta }_k$ se obține din $\Delta$ înlocuind coloana $k$ cu coloana termenilor liberi. Alternativ, $X=A^{-1}B$.
3. $\Delta =0$, sau sistemul nu e pătratic? Atunci se trece la rangul unei matrice: $\mathrm{rang}A$ este cel mai mare ordin al unui minor nenul al lui $A$.
4. Compatibilitatea se decide cu una dintre cele două teoreme echivalente — Kronecker–Capelli sau Rouché.
5. Metoda lui Gauss rezolvă orice sistem fără nicio teoremă, dar cere disciplină în scris: fiecare transformare elementară se notează, cu $L_i\leftrightarrow L_j$, $L_i\leftarrow \alpha L_i$ ($\alpha \ne 0$) sau $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$ (cu $i\ne j$).

4. Cum se discută un sistem după un parametru?

Drumul are cinci etape și fiecare are punctajul ei. Le numim Etapa 1, …, Etapa 5, ca să nu se confunde cu numerotările altor rețete.

Etapa 1 — determinantul sistemului. Se calculează $\Delta$ și se scrie factorizat. Din $\Delta =-3(m-3)$ valoarea critică se vede imediat.

Etapa 2 — cazul general. Pentru valorile care nu anulează determinantul, sistemul e de tip Cramer: soluție unică, scrisă cu ${\Delta }_1,{\Delta }_2,{\Delta }_3$. Se spune explicit „compatibil determinat".

Etapa 3 — rangul în cazul critic. Se înlocuiește valoarea critică și se caută un minor nenul de ordin maxim. Acela devine minorul principal; necunoscutele ai căror coeficienți intră în el sunt principale, celelalte secundare; ecuațiile ale căror linii intră în el sunt principale, celelalte secundare.

Etapa 4 — compatibilitatea. Se bordează minorul principal cu coeficienții unei ecuații secundare și cu coloana termenilor liberi, obținând determinantul caracteristic ${\Delta }_{car}^{(k)}$ al ecuației secundare $k$. După teorema lui Rouché, sistemul e compatibil dacă și numai dacă toți determinanții caracteristici sunt nuli. Aceeași concluzie se obține comparând $\mathrm{rang}A$ cu $\mathrm{rang}\overline{A}$, prin teorema Kronecker-Capelli.

Etapa 5 — rezolvarea în cazul compatibil. Necunoscutele secundare devin parametri, se trec în membrul drept și se rezolvă sistemul principal cu formulele lui Cramer pe minorul principal.

5. Ce deosebire este între Kronecker–Capelli și Rouché?

Teorema Kronecker–Capelli spune: sistemul este compatibil dacă și numai dacă $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}$. Dacă valoarea comună este $r$ și sistemul are $n$ necunoscute, atunci $r=n$ înseamnă compatibil determinat, iar $r<n$ înseamnă compatibil nedeterminat, cu grad de nedeterminare $n-r$ (simplu nedeterminat pentru $n-r=1$, dublu nedeterminat pentru $n-r=2$).

Teorema lui Rouché spune: sistemul este compatibil dacă și numai dacă toți determinanții caracteristici sunt nuli. Demonstrațiile sunt la teorema lui Rouché.

Cum alegi? După numărul de ecuații secundare. Dacă e una singură, Rouché cere un singur determinant și e mai rapid. Dacă sunt două sau mai multe, calculul rangului matricei extinse e mai ieftin decât doi-trei determinanți caracteristici.

6. Când are un sistem omogen soluții nebanale?

Un sistem este omogen dacă toți termenii liberi sunt nuli. El este întotdeauna compatibil, pentru că admite soluția banală $(0,0,\dots ,0)$. Prin urmare întrebarea nu poate fi „este compatibil?", ci doar „are și alte soluții?".

Răspunsul, pentru un sistem omogen pătratic: are soluții diferite de cea banală dacă și numai dacă $\Delta =0$. Motivul e imediat: dacă $\Delta \ne 0$, sistemul e de tip Cramer, iar toți ${\Delta }_k$ au o coloană de zerouri, deci sunt nuli și soluția unică este cea banală.

Formularea din enunțuri este „admite și soluții diferite de soluția banală" sau „admite soluții nenule" — de fiecare dată se traduce în $\det A=0$, adică într-o ecuație în parametru.

7. Cum se scrie soluția unui sistem compatibil nedeterminat?

Aici se pierd cele mai multe puncte din neglijență. Regulile de redactare, fixate la clasa a XI-a și valabile identic la examen:

• necunoscutele secundare primesc parametri notați $\alpha$, $\beta$, nu $t$ sau $\lambda$ (aceste litere sunt rezervate parametrilor din enunț);
• soluția se prezintă ca mulțime: $S=\{(1+\alpha ,-\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$, nu ca trei egalități răzlețe;
• se precizează gradul de nedeterminare, adică numărul de parametri;
• se dau două-trei soluții particulare ca verificare, înlocuindu-le în toate ecuațiile — inclusiv în cele secundare.

Ultimul punct e cel mai des sărit: ecuațiile secundare au fost eliminate din calcul, dar soluția trebuie să le verifice și pe ele.

8. Ce capcane de barem apar la sistemele cu parametru?

• Discuție începută fără determinant. Etapa 1 lipsă înseamnă că toată discuția atârnă în aer.
• Determinantul nefactorizat. $\Delta =5m-20$ e corect, dar $\Delta =5(m-4)$ e răspunsul.
• Valoare critică uitată. Din $(m-1{)}^2(m+2)$ se citesc două valori, $1$ și $-2$; pătratul nu ascunde nimic.
• „Incompatibil" scris fără justificare. Trebuie numită teorema folosită și scris determinantul care nu se anulează.
• Soluție dată fără gradul de nedeterminare. Câte soluții are sistemul face parte din răspuns.
• Sistem omogen declarat incompatibil. Nu există așa ceva: soluția banală există întotdeauna.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un sistem de tip Cramer, pe două căi

Se consideră sistemul $\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ 2x-y+3z=9\\ x+2y-z=2\end{array}$.

a) Calculați determinantul sistemului și arătați că sistemul este de tip Cramer.

b) Rezolvați sistemul cu formulele lui Cramer.

c) Determinați $A^{-1}$ și regăsiți soluția din relația $X=A^{-1}B$.

Rezolvare. a) Matricea sistemului este $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& -1& 3\\ 1& 2& -1\end{array}\right)$, iar cu regula lui Sarrus (ordinul 3, deci permisă)

$$\Delta =\det A=1+3+4-(-1+6-2)=8-3=5\ne 0,$$

deci sistemul este de tip Cramer: are trei ecuații, trei necunoscute și determinantul nenul, adică este compatibil determinat.

b) Înlocuim pe rând fiecare coloană cu coloana termenilor liberi:

$${\Delta }_1=\left|\begin{array}{ccc}6& 1& 1\\ 9& -1& 3\\ 2& 2& -1\end{array}\right|=5,{\Delta }_2=\left|\begin{array}{ccc}1& 6& 1\\ 2& 9& 3\\ 1& 2& -1\end{array}\right|=10,{\Delta }_3=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 6\\ 2& -1& 9\\ 1& 2& 2\end{array}\right|=15.$$

Prin urmare $x=\frac{5}{5}=1$, $y=\frac{10}{5}=2$, $z=\frac{15}{5}=3$.

Verificare în toate cele trei ecuații: $1+2+3=6$ ✓, $2-2+9=9$ ✓, $1+4-3=2$ ✓.

c) Complemenții algebrici dau matricea adjunctă (transpusa matricei complemenților):

$$A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}-5& 3& 4\\ 5& -2& -1\\ 5& -1& -3\end{array}\right),A^{-1}=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{ccc}-5& 3& 4\\ 5& -2& -1\\ 5& -1& -3\end{array}\right).$$

Verificăm $A\cdot A^{-1}=I_3$, apoi

$$X=A^{-1}B=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{ccc}-5& 3& 4\\ 5& -2& -1\\ 5& -1& -3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ 2\end{array}\right)=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{c}5\\ 10\\ 15\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right).$$

Aceeași soluție, alt drum — semn că amândouă sunt corecte.

Exemplul 2 — Discuția unui sistem cu parametru

Se consideră sistemul $\{\begin{array}{l}x+y+2z=1\\ 2x-y+z=2\\ x+2y+mz=2\end{array}$, cu $m\in \mathbb{R}$.

a) Calculați determinantul sistemului, scris factorizat.

b) Rezolvați sistemul pentru valorile lui $m$ care nu anulează determinantul.

c) Discutați cazul rămas.

Rezolvare. a) Dezvoltăm după prima linie:

$$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& -1& 1\\ 1& 2& m\end{array}\right|=1(-m-2)-1(2m-1)+2(4+1)=-3m+9=-3(m-3).$$

b) Pentru $m\ne 3$ avem $\Delta \ne 0$, deci sistemul e de tip Cramer. Calculăm

$${\Delta }_1=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& -1& 1\\ 2& 2& m\end{array}\right|=-3(m-4),{\Delta }_2=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 2& 1\\ 1& 2& m\end{array}\right|=3,{\Delta }_3=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& -1& 2\\ 1& 2& 2\end{array}\right|=-3,$$

de unde soluția unică

$$x=\frac{m-4}{m-3},y=\frac{-1}{m-3},z=\frac{1}{m-3}.$$

Verificare pentru $m=4$: soluția devine $(0,-1,1)$, iar $0-1+2=1$ ✓, $0+1+1=2$ ✓, $0-2+4=2$ ✓.

c) Pentru $m=3$ avem $\Delta =0$. Minorul $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& -1\end{array}\right|=-3\ne 0$, deci $\mathrm{rang}A=2$; îl luăm ca minor principal, cu necunoscutele principale $x$ și $y$, necunoscuta secundară $z$, ecuațiile principale primele două și ecuația secundară a treia. Determinantul caracteristic:

$${\Delta }_{car}^{(3)}=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& -1& 2\\ 1& 2& 2\end{array}\right|=-6-2+5=-3\ne 0.$$

După teorema lui Rouché, sistemul este incompatibil pentru $m=3$. (Aceeași concluzie: $\mathrm{rang}\overline{A}=3\ne 2=\mathrm{rang}A$.)

Exemplul 3 — Patru ecuații, trei necunoscute: Kronecker–Capelli

Se consideră sistemul $\{\begin{array}{l}x+y=2\\ 2x+3y+z=6\\ x+2y+z=4\\ 3x+4y+z=a\end{array}$, cu $a\in \mathbb{R}$.

a) Determinați $\mathrm{rang}A$, unde $A$ este matricea sistemului.

b) Determinați $a$ pentru care sistemul este compatibil.

c) Rezolvați sistemul pentru valoarea găsită.

Rezolvare. a) Matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 2& 3& 1\\ 1& 2& 1\\ 3& 4& 1\end{array}\right)$ are minorul $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 3\end{array}\right|=1\ne 0$, deci $\mathrm{rang}A\ge 2$. Toate minorii de ordinul 3 sunt nuli, pentru că linia a treia este diferența primelor două, iar linia a patra este suma lor:

$$L_3=L_2-L_1,L_4=L_2+L_1.$$

Prin urmare $\mathrm{rang}A=2$, cu minorul principal $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 3\end{array}\right|$.

b) Aceleași relații trebuie să se păstreze și pe coloana termenilor liberi, altfel rangul matricei extinse crește la $3$. Din $L_3=L_2-L_1$ rezultă $4=6-2$ ✓, iar din $L_4=L_2+L_1$ rezultă $a=6+2=8$. Deci $\mathrm{rang}\overline{A}=2=\mathrm{rang}A$ exact pentru $a=8$; pentru $a\ne 8$ sistemul este incompatibil.

c) Pentru $a=8$ sistemul e compatibil, cu $n-r=3-2=1$, deci simplu nedeterminat. Necunoscutele principale sunt $x$ și $y$, secundară e $z=\alpha$. Sistemul principal, format din primele două ecuații,

$$\{\begin{array}{l}x+y=2\\ 2x+3y=6-\alpha \end{array}$$

are soluția $x=\alpha$, $y=2-\alpha$ (prin scădere: $y=2-\alpha$, apoi $x=2-y=\alpha$). Așadar

$$S=\{(\alpha ,2-\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}.$$

Verificare pentru $\alpha =1$, adică $(1,1,1)$: $1+1=2$ ✓, $2+3+1=6$ ✓, $1+2+1=4$ ✓, $3+4+1=8$ ✓ — inclusiv în ecuația secundară.

Exemplul 4 — Un sistem omogen cu parametru

Se consideră sistemul omogen $\{\begin{array}{l}x+2y-3z=0\\ 2x-y+z=0\\ 3x+y+mz=0\end{array}$, cu $m\in \mathbb{R}$.

a) Arătați că sistemul admite întotdeauna soluția $(0,0,0)$.

b) Determinați $m$ pentru care sistemul admite și soluții diferite de cea banală.

c) Rezolvați sistemul pentru valoarea găsită.

Rezolvare. a) Înlocuind $x=y=z=0$, fiecare ecuație devine $0=0$. Prin urmare orice sistem omogen este compatibil, iar întrebarea corectă este doar câte soluții are.

b) Sistemul admite și soluții nenule exact când nu e de tip Cramer, adică atunci când determinantul se anulează:

$$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& 2& -3\\ 2& -1& 1\\ 3& 1& m\end{array}\right|=1(-m-1)-2(2m-3)-3(2+3)=-5m-10=-5(m+2).$$

Deci $\Delta =0⟺m=-2$; pentru orice $m\ne -2$ singura soluție este cea banală.

c) Pentru $m=-2$, minorul $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& -1\end{array}\right|=-5\ne 0$ dă $\mathrm{rang}A=2$. Cu $z=\alpha$ trecut în membrul drept, sistemul principal este

$$\{\begin{array}{l}x+2y=3\alpha \\ 2x-y=-\alpha \end{array}⟹x=\frac{\alpha }{5},y=\frac{7\alpha }{5}.$$

Notând $\alpha =5\beta$ pentru a scăpa de numitori, obținem

$$S=\{(\beta ,7\beta ,5\beta )\mid \beta \in \mathbb{R}\}.$$

Verificare pentru $\beta =1$, adică $(1,7,5)$: $1+14-15=0$ ✓, $2-7+5=0$ ✓, $3+7-10=0$ ✓.

Exemplul 5 — Aceeași matrice, doi termeni liberi

Se consideră $A=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 2\\ 1& 1& 1\\ 2& 1& 2\end{array}\right)$.

a) Arătați că $A$ este inversabilă și determinați $A^{-1}$.

b) Rezolvați sistemul $AX=B_1$, unde $B_1=\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 5\end{array}\right)$.

c) Rezolvați sistemul $AX=B_2$, unde $B_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$.

Rezolvare. a) Cu regula lui Sarrus, $\det A=6+2+2-(4+3+2)=10-9=1\ne 0$, deci $A$ este inversabilă. Cum determinantul este $1$, inversa coincide cu adjuncta:

$$A^{-1}=A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 2& -1\\ -1& -1& 2\end{array}\right),A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I_3.$$

Verificarea produsului, pe ambele părți, se scrie. ✓

b) $X=A^{-1}{B}_1=\left(\begin{array}{c}6-5\\ 6-5\\ -6-3+10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$. Verificare: $3+1+2=6$ ✓, $1+1+1=3$ ✓, $2+1+2=5$ ✓.

c) $X=A^{-1}{B}_2=\left(\begin{array}{c}1-3\\ 4-3\\ -1-2+6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 3\end{array}\right)$. Verificare: $-6+1+6=1$ ✓, $-2+1+3=2$ ✓, $-4+1+6=3$ ✓.

Aici se vede de ce merită inversa: pentru al doilea sistem nu s-a mai calculat niciun determinant. Cu formulele lui Cramer ar fi trebuit încă trei.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Formatul este cel al primei probleme din Subiectul al II-lea: trei subpuncte a câte 5 puncte, legate între ele.

Se consideră sistemul $\{\begin{array}{l}x+2y+z=1\\ 2x+y-z=2\\ x-y+mz=1\end{array}$, cu $m\in \mathbb{R}$.

a) Calculați determinantul sistemului și determinați valorile lui $m$ pentru care sistemul este de tip Cramer.

b) Rezolvați sistemul pentru $m\ne -2$.

c) Discutați și rezolvați cazul $m=-2$.

Rezolvare. a) Dezvoltăm după prima linie:

$$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 1& -1\\ 1& -1& m\end{array}\right|=1(m-1)-2(2m+1)+1(-2-1)=-3m-6=-3(m+2).$$

Sistemul e de tip Cramer exact când $\Delta \ne 0$, adică pentru $m\in \mathbb{R}\setminus \{-2\}$.

b) Calculăm ceilalți trei determinanți:

$${\Delta }_1=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 1& -1\\ 1& -1& m\end{array}\right|=-3(m+2),{\Delta }_2=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 2& -1\\ 1& 1& m\end{array}\right|=0,{\Delta }_3=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 1& 2\\ 1& -1& 1\end{array}\right|=0.$$

Primul este chiar $\Delta$: coloana termenilor liberi, $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)$, coincide cu prima coloană a matricei sistemului, deci înlocuirea nu schimbă nimic. Al doilea este nul pentru că are două coloane identice, iar al treilea prin calcul direct: $3-0-3=0$. Prin urmare, pentru orice $m\ne -2$, soluția unică este

$$x=\frac{-3(m+2)}{-3(m+2)}=1,y=0,z=0.$$

Verificare: $(1,0,0)$ dă $1=1$ ✓, $2=2$ ✓, $1=1$ ✓, indiferent de $m$.

c) Pentru $m=-2$ avem $\Delta =0$. Minorul $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right|=-3\ne 0$ dă $\mathrm{rang}A=2$; îl luăm ca minor principal, cu $x$ și $y$ necunoscute principale, $z$ secundară, primele două ecuații principale și a treia secundară. Determinantul caracteristic este

$${\Delta }_{car}^{(3)}=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 1& 2\\ 1& -1& 1\end{array}\right|=0,$$

deci, după teorema lui Rouché, sistemul este compatibil, iar din $n-r=3-2=1$ el este simplu nedeterminat. Cu $z=\alpha$, sistemul principal $\{\begin{array}{l}x+2y=1-\alpha \\ 2x+y=2+\alpha \end{array}$ are soluția $x=1+\alpha$, $y=-\alpha$, deci

$$S=\{(1+\alpha ,-\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}.$$

Verificare pentru $\alpha =2$, adică $(3,-2,2)$: $3-4+2=1$ ✓, $6-2-2=2$ ✓, $3+2-4=1$ ✓. Observă că soluția $(1,0,0)$ din cazul general este membrul cu $\alpha =0$ al acestei familii.

Să exersăm

La fiecare exercițiu, spune întâi în ce nod al arborelui de decizie te afli. Fiecare enunț are lungimea unui subpunct de cinci puncte din Subiectul al II-lea.

1. Scrieți sub forma matriceală $AX=B$ sistemul $\{\begin{array}{l}2x-3y=1\\ x+4y=7\end{array}$ și rezolvați-l cu formulele lui Cramer.

2. Arătați că matricea $A=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 1& 4\end{array}\right)$ este inversabilă și determinați $A^{-1}$.

3. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă determinantul unui sistem pătratic este nul, atunci sistemul este incompatibil."

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un sistem omogen poate fi incompatibil."

5. Determinați $\mathrm{rang}$ pentru matricea $\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 2& 4& 2& 0\\ 1& 0& 3& 1\end{array}\right)$ și indicați un minor principal.

6. Determinați valorile lui $m\in \mathbb{R}$ pentru care sistemul $\{\begin{array}{l}x+y=1\\ 2x+my=3\end{array}$ este de tip Cramer.

7. Rezolvați sistemul de la exercițiul precedent pentru $m=3$.

8. Determinați $m$ pentru care sistemul omogen $\{\begin{array}{l}x+y+z=0\\ 2x-y+3z=0\\ x+4y+mz=0\end{array}$ admite și soluții diferite de cea banală.

9. Pentru valoarea găsită la exercițiul 8, scrieți mulțimea soluțiilor.

10. Rezolvați prin metoda lui Gauss sistemul $\{\begin{array}{l}x+2y-z=3\\ 2x-y+z=1\\ x+y+z=4\end{array}$, notând fiecare transformare elementară.

11. (Problemă aplicată.) Trei tipuri de bilete la un concert costă $30$, $50$ și $80$ de lei. S-au vândut în total $200$ de bilete, de tipul întâi de două ori mai multe decât de tipul al treilea, iar încasarea a fost de $9800$ de lei. Scrieți sistemul în forma $AX=B$ și aflați câte bilete de fiecare tip s-au vândut.

12. Arătați că sistemul $\{\begin{array}{l}x+y+z=1\\ 2x+2y+2z=3\end{array}$ este incompatibil, folosind teorema Kronecker–Capelli.

13. Pentru $A=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 2\\ 1& 1& 1\\ 2& 1& 2\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)$, rezolvați $AX=B$ folosind inversa calculată în Exemplul 5.

14. Determinați valorile lui $m\in \mathbb{R}$ pentru care matricea $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& m& 6\\ 3& 6& 9\end{array}\right)$ are rangul $2$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră sistemul $\{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ 2x-y+3z=1\\ x+4y+mz=5\end{array}$. a) Calculați $\Delta$ și determinați valorile lui $m$ pentru care sistemul e de tip Cramer. b) Rezolvați sistemul pentru $m\ne 0$. c) Discutați cazul $m=0$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră sistemul $\{\begin{array}{l}x+2y+z=1\\ 2x+y-z=2\\ x-y-2z=1\end{array}$. a) Arătați că $\Delta =0$. b) Determinați $\mathrm{rang}A$ și un minor principal. c) Rezolvați sistemul.

17. Fie $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ cu $\det A=4$. Arătați că sistemul $AX=B$ are soluție unică pentru orice $B$, apoi calculați $\det (A^{-1})$.

18. (Provocare.) Arătați că, dacă un sistem liniar omogen cu trei ecuații și trei necunoscute admite soluția $(1,2,3)$ și soluția $(2,1,0)$, atunci determinantul lui este nul și el admite o infinitate de soluții.

Răspunsuri și explicații

1. $A=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 1& 4\end{array}\right)$, $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{c}1\\ 7\end{array}\right)$. Avem $\Delta =11$, ${\Delta }_1=4+21=25$, ${\Delta }_2=14-1=13$, deci $x=\frac{25}{11}$ și $y=\frac{13}{11}$. Verificare: $\frac{50}{11}-\frac{39}{11}=1$ ✓.

2. $\det A=8+3=11\ne 0$, deci $A$ e inversabilă, iar $A^{-1}=\frac{1}{11}\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ -1& 2\end{array}\right)$. Verificare: $A\cdot A^{-1}=I_2$ ✓.

3. Fals. Din $\Delta =0$ rezultă doar că sistemul nu e de tip Cramer. Poate fi incompatibil, dar poate fi și compatibil nedeterminat — cazul $m=-2$ din Exemplul 6 este chiar acesta. Decizia se ia cu rangul, prin Kronecker–Capelli sau Rouché.

4. Fals. Orice sistem omogen admite soluția banală $(0,0,\dots ,0)$, deci este întotdeauna compatibil. Singura întrebare care se pune este dacă are și alte soluții, iar răspunsul, la sistemele pătratice, e dat de anularea determinantului.

5. Linia a doua este dublul primei, deci orice minor de ordinul $3$ care o conține este nul; iar cei care nu o conțin nu există, fiindcă matricea are doar trei linii. Prin urmare rangul e cel mult $2$. Minorul format din liniile $1$ și $3$ și coloanele $1$ și $2$ este $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 0\end{array}\right|=-2\ne 0$, deci $\mathrm{rang}=2$, iar acest minor poate fi luat ca minor principal.

6. $\Delta =m-2$, deci sistemul e de tip Cramer pentru $m\ne 2$. Pentru $m=2$ ecuațiile devin proporționale în coeficienți, dar nu și în termenii liberi, deci sistemul e incompatibil.

7. Pentru $m=3$: $\Delta =1$, ${\Delta }_1=3-3=0$, ${\Delta }_2=3-2=1$, deci $x=0$ și $y=1$. Verificare: $0+1=1$ ✓ și $0+3=3$ ✓.

8. $\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& -1& 3\\ 1& 4& m\end{array}\right|=1(-m-12)-1(2m-3)+1(8+1)=-3m$, deci $\Delta =0$ pentru $m=0$.

9. Pentru $m=0$, minorul $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& -1\end{array}\right|=-3\ne 0$ dă rangul $2$. Cu $z=\alpha$: $x+y=-\alpha$ și $2x-y=-3\alpha$, deci $x=-\frac{4\alpha }{3}$ și $y=\frac{\alpha }{3}$. Luând $\alpha =3\beta$, $S=\{(-4\beta ,\beta ,3\beta )\mid \beta \in \mathbb{R}\}$. Verificare pentru $\beta =1$: $-4+1+3=0$ ✓, $-8-1+9=0$ ✓, $-4+4+0=0$ ✓.

10. $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ dă $-5y+3z=-5$; $L_3\leftarrow L_3-L_1$ dă $-y+2z=1$. Apoi $L_3\leftarrow 5L_3-L_2$ dă $7z=10$, adică $z=\frac{10}{7}$, de unde $y=2z-1=\frac{13}{7}$ și $x=3-2y+z=\frac{5}{7}$. Verificare în ecuația a treia: $\frac{5+13+10}{7}=4$ ✓.

11. Cu $x$, $y$, $z$ numărul biletelor de fiecare tip, sistemul este $\{\begin{array}{l}x+y+z=200\\ x-2z=0\\ 30x+50y+80z=9800\end{array}$, adică $AX=B$ cu $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& -2\\ 30& 50& 80\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{c}200\\ 0\\ 9800\end{array}\right)$. Din a doua ecuație $x=2z$, iar din prima $y=200-3z$; înlocuind în a treia, $60z+10000-150z+80z=9800$, deci $-10z=-200$ și $z=20$. Atunci $x=40$ și $y=140$. Verificare: $40+140+20=200$ ✓ și $1200+7000+1600=9800$ ✓.

12. Matricea sistemului are rangul $1$ (a doua linie e dublul primei). Matricea extinsă are minorul $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 3\end{array}\right|=1\ne 0$ format din prima coloană și coloana termenilor liberi, deci rangul ei este $2$. Cum $1\ne 2$, teorema Kronecker–Capelli spune că sistemul este incompatibil.

13. $X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 2& -1\\ -1& -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$. Verificare: $-3+1+2=0$ ✓, $-1+1+1=1$ ✓, $-2+1+2=1$ ✓.

14. Linia a treia este triplul primei, deci determinantul e nul pentru orice $m$, iar rangul e cel mult $2$. Minorul $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& m\end{array}\right|=m-4$ este nenul pentru $m\ne 4$, deci atunci rangul e exact $2$. Pentru $m=4$ toate cele trei linii devin proporționale cu $(1,2,3)$, deci orice minor de ordinul $2$ se anulează și rangul scade la $1$. Răspuns: $\mathrm{rang}=2$ pentru $m\in \mathbb{R}\setminus \{4\}$.

15. a) $\Delta =1(-m-12)-1(2m-3)+1(8+1)=-3m$, deci sistemul e de tip Cramer pentru $m\ne 0$ (aceeași matrice ca la exercițiul 8, cu alți termeni liberi). b) ${\Delta }_1=-3m$, ${\Delta }_2=-3m$, ${\Delta }_3=0$, deci soluția unică este $(1,1,0)$, indiferent de $m$; verificare: $1+1+0=2$ ✓, $2-1+0=1$ ✓, $1+4+0=5$ ✓. c) Pentru $m=0$, minorul $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& -1\end{array}\right|=-3\ne 0$ dă $\mathrm{rang}A=2$, iar determinantul caracteristic ${\Delta }_{car}^{(3)}=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& -1& 1\\ 1& 4& 5\end{array}\right|=-9-9+18=0$, deci sistemul e compatibil simplu nedeterminat, cu $S=\{(1-4\beta ,1+\beta ,3\beta )\mid \beta \in \mathbb{R}\}$; pentru $\beta =1$ se obține $(-3,2,3)$, care verifică toate cele trei ecuații.

16. a) $\Delta =1(-2-1)-2(-4+1)+1(-2-1)=-3+6-3=0$. b) Minorul $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right|=-3\ne 0$, deci $\mathrm{rang}A=2$ și el este minor principal. c) Este sistemul din Exemplul 6 cu $m=-2$, deci $S=\{(1+\alpha ,-\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$, compatibil simplu nedeterminat.

17. Cum $\det A=4\ne 0$, matricea e inversabilă, deci din $AX=B$ rezultă $X=A^{-1}B$ — soluție care există și este unică, oricare ar fi $B$. Din $\det A\cdot \det (A^{-1})=1$ obținem $\det (A^{-1})=\frac{1}{4}$.

18. Dacă sistemul ar avea determinantul nenul, ar fi de tip Cramer, deci ar avea o singură soluție; dar el are cel puțin două soluții distincte, $(1,2,3)$ și $(2,1,0)$. Contradicție, deci $\Delta =0$. Mai mult, dacă $(x_1,y_1,z_1)$ și $(x_2,y_2,z_2)$ sunt soluții ale unui sistem omogen, atunci și $\alpha (x_1,y_1,z_1)+\beta (x_2,y_2,z_2)$ este soluție pentru orice $\alpha$ și $\beta$ reali, prin liniaritatea fiecărei ecuații — deci sistemul are o infinitate de soluții.

De reținut

• Ordinea întrebărilor la un sistem este fixă: determinantul, apoi rangul, apoi compatibilitatea, apoi soluția; fiecare etapă are punctajul ei în barem.
• Un sistem pătratic cu $\Delta \ne 0$ este de tip Cramer și are soluție unică; din $\Delta =0$ nu rezultă nimic despre compatibilitate, ci doar că decizia se ia cu rangul.
• Teorema Kronecker–Capelli compară $\mathrm{rang}A$ cu $\mathrm{rang}\overline{A}$, iar teorema lui Rouché cere anularea tuturor determinanților caracteristici; concluzia e aceeași, drumul e diferit.
• Un sistem omogen este întotdeauna compatibil, iar la cele pătratice el are soluții nenule exact atunci când determinantul se anulează.
• Soluția unui sistem compatibil nedeterminat se scrie ca mulțime, cu parametri $\alpha$ și $\beta$, și se precizează gradul de nedeterminare $n-r$.

Greșeli frecvente

• Se declară incompatibil un sistem cu $\Delta =0$. Anularea determinantului spune doar că sistemul nu e de tip Cramer; poate fi și compatibil nedeterminat.
• Se caută compatibilitatea unui sistem omogen. Soluția banală există întotdeauna; întrebarea corectă este dacă mai există și altele.
• Se pierde o valoare critică. Din $\Delta =(m-1{)}^2(m+2)$ se citesc două valori, $1$ și $-2$; determinantul se scrie factorizat tocmai ca să se vadă amândouă.
• Se verifică soluția doar în ecuațiile principale. Cele secundare au fost eliminate din calcul, dar soluția trebuie să le verifice și pe ele — altfel greșeala de la Etapa 4 rămâne nedescoperită.
• Se scrie soluția fără parametru. Un sistem compatibil nedeterminat nu are „o soluție", ci o familie; răspunsul e mulțimea $S$, cu gradul de nedeterminare precizat.

Aplică acasă

1. Arborele de decizie desenat. Copiază arborele din lecție pe o singură pagină, fără să te uiți, și scrie lângă fiecare ramificație ce anume calculezi acolo. Îl vei folosi la fiecare simulare.

2. Aceeași matrice, mai multe sisteme. Alege o matrice de ordinul 3 cu determinantul $1$, calculează-i inversa o singură dată și rezolvă cu ea patru sisteme cu termeni liberi diferiți. Cronometrează și compară cu timpul de care ai avea nevoie folosind formulele lui Cramer de patru ori.

3. Colecția de discuții. Ia trei sisteme cu parametru din culegere și, pentru fiecare, scrie doar Etapele 1 și 2 — determinantul factorizat și valorile critice. Exercițiul durează cinci minute pentru toate trei și antrenează exact pasul care decide restul rezolvării.

Pentru părinți și profesori

Lecția continuă seria dedicată Subiectului al II-lea și acoperă a doua jumătate a materiei primei probleme: sistemele de ecuații liniare și matricele inversabile din clasa a XI-a. Nu introduce noțiuni noi — teoremele Kronecker–Capelli și Rouché, criteriul determinantului și metoda lui Gauss au fost demonstrate în anul precedent — ci le reorganizează într-un arbore de decizie și într-o succesiune de etape cu punctaj, așa cum cer competențele XII.CS.1.1, XII.CS.3.2 și XII.CS.4.2.

De verificat în caiet: (1) determinantul cu parametru e scris factorizat; (2) în cazul critic, minorul principal e numit, iar necunoscutele și ecuațiile sunt împărțite în principale și secundare; (3) soluția unui sistem nedeterminat e scrisă ca mulțime, cu parametru; (4) verificarea se face în toate ecuațiile, inclusiv în cele secundare. Întrebări de control: „Ce știi despre un sistem cu $\Delta =0$?"; „Când are un sistem omogen soluții nenule?"; „Ce este determinantul caracteristic?"; „Ce înseamnă grad de nedeterminare $2$?".

La BAC M1, materia acestei lecții apare fie ca problemă de sine stătătoare, fie amestecată cu matricele în aceeași problemă de $15$ puncte din $90$. Semn că elevul e pregătit: în fața unui sistem cu parametru scrie determinantul factorizat în mai puțin de trei minute și numește, fără să ezite, teorema pe care o va folosi în cazul critic.

Întrebări frecvente

Ce probleme cu sisteme se dau la Subiectul al II-lea la Bacalaureat M1? Se cere o problemă cu trei subpuncte de câte cinci puncte, în care apare aproape întotdeauna un parametru real. Primul subpunct cere determinantul, al doilea o discuție după parametru sau rezolvarea în cazul general, iar al treilea tratarea cazului critic — de obicei cu rangul și cu teorema lui Rouché.

Cum se discută un sistem cu parametru? Pe cinci etape: se calculează determinantul și se scrie factorizat; se rezolvă cazul general cu formulele lui Cramer; se calculează rangul pentru valoarea critică; se decide compatibilitatea cu Kronecker–Capelli sau cu Rouché; se rezolvă sistemul principal, trecând necunoscutele secundare în membrul drept ca parametri.

Când este un sistem de tip Cramer? Când are tot atâtea ecuații câte necunoscute și determinantul matricei sistemului este nenul. În acest caz soluția există, este unică și se scrie $x_k=\frac{{\Delta }_k}{\Delta }$, unde ${\Delta }_k$ se obține din $\Delta$ înlocuind coloana $k$ cu coloana termenilor liberi.

Care este diferența dintre teorema Kronecker–Capelli și teorema lui Rouché? Sunt două criterii echivalente pentru aceeași întrebare. Kronecker–Capelli compară rangul matricei sistemului cu rangul matricei extinse; Rouché cere ca toți determinanții caracteristici să fie nuli. Alegi primul când ai multe ecuații secundare și al doilea când ai una singură.

Când are un sistem omogen soluții diferite de cea banală? La un sistem omogen pătratic, exact atunci când determinantul matricei sistemului este nul. Dacă determinantul e nenul, sistemul e de tip Cramer, toți determinanții ${\Delta }_k$ au o coloană de zerouri și soluția unică este cea banală.

Cum se scrie soluția unui sistem compatibil nedeterminat? Ca mulțime, cu necunoscutele secundare înlocuite prin parametri $\alpha$ și $\beta$: de exemplu $S=\{(1+\alpha ,-\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$. Se precizează și gradul de nedeterminare, adică diferența dintre numărul necunoscutelor și rang, apoi se verifică două-trei soluții particulare în toate ecuațiile.

De ce merită calculată inversa în loc să folosim formulele lui Cramer? Pentru că inversa se calculează o singură dată și rezolvă apoi orice sistem cu aceeași matrice, oricare ar fi termenii liberi. Formulele lui Cramer cer, pentru fiecare set nou de termeni liberi, încă trei determinanți de ordinul 3 — de trei ori mai mult calcul.