Subiectul al III-lea: arii și volume: pe scurt

Problema de arii și volume cere, de regulă, un calcul pregătitor la a), o arie la b) și un volum sau o modelare la c). Formulele, în notațiile unității: aria subgraficului este $\mathcal{S}\left({\Gamma }_f\right)={\int }_a^{b}f(x)dx$, pentru $f$ continuă și pozitivă; aria dintre două grafice este $\mathcal{S}={\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx$; volumul corpului de rotație în jurul axei $Ox$ este $\mathcal{V}\left(C_f\right)=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$ — cu pătratul funcției și cu $\pi$ la vedere. Aria dintre două grafice se calculează în trei etape: intersecțiile, stabilirea în scris a funcției de deasupra pe fiecare interval, apoi integrala diferenței fără modul, cu funcția de deasupra prima. Când funcția își schimbă semnul, aria nu este integrala: se află zerourile, se face tabelul de semn și se adună integralele luate cu semnul care le face pozitive. La conice lucrează formula de buzunar ${\int }_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}dx=\frac{\pi r^2}{2}$, din care ies aria discului și aria interiorului elipsei, $\pi ab$; iar la o parabolă cu axa orizontală se integrează după $y$. Fiecare rezultat se controlează: o arie iese pozitivă, un volum e cel mult cât al cilindrului de rază $\max f$, iar o modelare se încheie cu unitatea de măsură scrisă.

Exerciții din această mini-lecție

1. Aria suprafeței cuprinse între graficul funcției $f:[0,6]\to \mathbb{R}$, $f(x)=6x-x^2$, și axa $Ox$ este egală cu:

   • a) $36$
   • b) $18$
   • c) $72$
   • d) $12$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $36$

   Pe $[0,6]$ avem $f(x)=x(6-x)\ge 0$, deci aria este integrala: $\mathcal{S}={\int }_0^6\left(6x-x^2\right)dx=\left(3x^2-\frac{x^3}{3}\right){|}_0^6=108-72=36$. Verificarea semnului este pasul care decide dacă se poate folosi formula simplă — fără el, riscul e să se aplice pe un interval unde funcția schimbă semnul. Control de încadrare: regiunea intră într-un dreptunghi $6\times 9=54$, iar $36<54$ ✓.

2. Aria suprafeței delimitate de graficul funcției $f(x)=x^2-4x$, axa $Ox$ și dreptele $x=0$, $x=6$ este egală cu:

   • a) $0$
   • b) $\frac{32}{3}$
   • c) $\frac{64}{3}$
   • d) $24$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\frac{64}{3}$

   Funcția își schimbă semnul în $x=4$: negativă pe $(0,4)$, pozitivă pe $(4,6)$. Aria este suma integralelor luate cu semnul care le face pozitive: ${\int }_0^4\left(4x-x^2\right)dx+{\int }_4^6\left(x^2-4x\right)dx=\frac{32}{3}+\frac{32}{3}=\frac{64}{3}$. Varianta $0$ este exact ${\int }_0^6\left(x^2-4x\right)dx$ — integrala adună cu semn, aria răstoarnă bucata de sub axă. O arie nulă pentru o regiune nedegenerată e imposibilă.

3. Volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $Ox$ a subgraficului funcției $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+1$, este egal cu:

   • a) $4\pi$
   • b) $\frac{26\pi }{3}$
   • c) $26\pi$
   • d) $\frac{8\pi }{3}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\frac{26\pi }{3}$

   Funcția e continuă și pozitivă pe $[0,2]$, deci $\mathcal{V}=\pi {\int }_0^2(x+1{)}^{2}dx=\pi \cdot \frac{(x+1{)}^3}{3}{|}_0^2=\pi \frac{27-1}{3}=\frac{26\pi }{3}$. Varianta $4\pi$ folosește $\pi \int f$ în loc de $\pi \int f^2$ — formula fără pătrat nu are nicio semnificație geometrică. Control: corpul e cuprins în cilindrul de rază $\max f=3$ și înălțime $2$, adică $\mathcal{V}\le 18\pi$, iar $\frac{26\pi }{3}\approx 8,7\pi$ ✓.