Subiectul al III-lea: arii și volume

Ultima dintre cele patru recapitulări dedicate problemei de analiză a lucrării de Bacalaureat M1 se ocupă de ceea ce elevii de clasa a 12-a numesc, pe bună dreptate, „partea vizibilă" a integralei: aria unei suprafețe plane și volumul unui corp de rotație. Sunt cerințele la care ai un desen în minte și un control simplu — o arie iese pozitivă, un volum iese mai mic decât al cilindrului circumscris. Aria suprafeței dintre graficele a două funcții continue pe $[a,b]$ este $\mathcal{S}={\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx$, iar volumul corpului obținut rotind subgraficul lui $f\ge 0$ în jurul axei $Ox$ este $\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$.

Nu adăugăm nicio noțiune nouă. Unitatea „Aplicații ale integralei definite" a construit formulele, demonstrațiile și rețetele; aici le folosim în formatul examenului, cu subpuncte de câte $5$ puncte, și insistăm pe cele două lucruri care se plătesc scump la corectare: stabilirea corectă a regiunii și controlul de plauzibilitate de la final.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști, din enunț, dacă ți se cere o arie, un volum sau o modelare, și ce rețetă i se potrivește.
• Vei ști să calculezi aria dintre două grafice, cu cele trei etape ale ei, și aria când funcția își schimbă semnul.
• Vei ști să calculezi o arie mărginită de o conică, alegând între integrarea după $x$ și cea după $y$.
• Vei ști să aplici cei patru pași ai volumului de rotație, inclusiv la corpuri cu gol interior.
• Vei ști să duci până la capăt o modelare, cu unități de măsură și control.
• Vei ști controalele care prind, în zece secunde, un rezultat imposibil.

Hai să descoperim împreună

1. Ce se cere, exact, la problema de arii și volume din Subiectul al III-lea?

Problema de arii și volume din Subiectul al III-lea este o problemă cu trei subpuncte de câte $5$ puncte, în care a) cere de obicei un calcul pregătitor — o integrală, punctele de intersecție a două grafice sau semnul unei funcții; b) cere aria unei suprafețe plane; c) cere volumul corpului obținut prin rotația acelei suprafețe în jurul axei $Ox$ sau o mărime dintr-o modelare.

Formulele, în notațiile fixate de unitate:

• aria subgraficului funcției continue și pozitive $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ este $\mathcal{S}\left({\Gamma }_f\right)={\int }_a^{b}f(x)dx$, unde ${\Gamma }_f$ se folosește numai pentru $f\ge 0$;
• aria dintre două grafice, pentru $f,g$ continue pe $[a,b]$, este $\mathcal{S}={\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx$;
• volumul corpului de rotație al subgraficului lui $f\ge 0$ este $\mathcal{V}\left(C_f\right)=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$.

Toate trei se demonstrează, nu se dau: prima la lecția despre aria subgraficului, a doua la aria dintre două grafice, a treia cu sume Riemann la volumul corpului de rotație.

2. Cum se calculează aria dintre două grafice?

Cu cele trei etape ale ariei dintre grafice, fixate la lecția respectivă:

1. Etapa $1$ — intersecțiile: se rezolvă ecuația $f(x)=g(x)$, iar soluțiile din interval devin capete de integrare;
2. Etapa $2$ — cine e deasupra: pe fiecare interval determinat de intersecții se stabilește semnul diferenței $f-g$, cu un argument scris, nu doar cu o privire pe desen;
3. Etapa $3$ — integrala: se scrie diferența fără modul, cu funcția de deasupra prima, și se calculează.

Controlul: rezultatul trebuie să fie pozitiv și trebuie să încapă într-un dreptunghi care conține regiunea. Dacă aria iese mai mare decât produsul dintre lungimea intervalului și diferența maximă a valorilor, undeva s-a greșit un semn.

3. Când aria nu este integrala?

Ori de câte ori funcția își schimbă semnul pe intervalul dat. Atunci se aplică cele trei etape ale ariei cu schimbare de semn, fixate la lecția despre ariile cu schimbare de semn: se află zerourile funcției din interval; se face tabelul de semn; se scrie aria ca sumă de integrale, fiecare luată cu semnul care o face pozitivă.

Deosebirea e ușor de ținut minte pe un exemplu: pentru $f(x)=e^x-2$ pe $[0,2]$, integrala este $e^2-5\approx 2,389$, iar aria este $e^2+4\ln 2-7\approx 3,162$. Integrala adună cu semn; aria răstoarnă bucata de sub axă înainte de adunare. Controlul unității rămâne același: fiecare integrală din sumă trebuie să iasă pozitivă.

4. Cum se calculează o arie mărginită de o conică?

Trei unelte, toate din unitatea de aplicații.

Formula de buzunar, demonstrată la lecția despre aria discului și a elipsei:

$${\int }_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}dx=\frac{\pi r^2}{2}.$$

Din ea ies imediat aria discului, $\pi r^2$, și aria interiorului elipsei $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, care este $\pi ab$.

Criteriul „după $x$ sau după $y$", fixat la lecția despre ariile delimitate de parabole, hiperbole și drepte: la o parabolă cu axa orizontală, de tipul $y^2=2px$, se integrează după $y$, pentru că fiecare $y$ dă o singură abscisă; la o parabolă cu axa verticală se integrează după $x$. Alegerea greșită duce la două integrale în loc de una și, adesea, la un modul inutil.

Cele patru etape ale calculului unei arii mărginite de două conice, de la lecția despre ariile delimitate de două conice, pentru cazul în care ambele margini ale regiunii sunt curbe.

La parabolă există și o formulă de control: aria segmentului parabolic tăiat de o coardă perpendiculară pe axă este $\frac{(y_2-y_1{)}^3}{12p}$. Ea nu se folosește ca rezolvare, ci ca verificare.

5. Cum se calculează volumul unui corp de rotație?

Cu cei patru pași ai volumului de rotație: (1) se verifică ipotezele — $f$ continuă și $f\ge 0$ pe $[a,b]$; (2) se scrie formula $\mathcal{V}\left(C_f\right)=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$; (3) se calculează integrala lui $f^2$; (4) se scrie rezultatul, cu $\pi$ la vedere și, la modelări, cu unitatea de măsură.

Pentru un corp cu gol interior, între două grafice $0\le g\le f$, volumul este diferența volumelor:

$$\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b\left(f^2(x)-g^2(x)\right)dx.$$

Formula e o consecință, nu o formulă nouă; despre „gaură adevărată" se vorbește doar când $g>0$ pe tot intervalul, cum se arată la lecția despre volumele de rotație în probleme.

Controlul care prinde cele mai multe greșeli: corpul de rotație este cuprins în cilindrul de rază $\max f$ și înălțime $b-a$, deci $\mathcal{V}\le \pi {\left(\max f\right)}^2(b-a)$. Și, evident, $\mathcal{V}>0$.

6. Cum se duce până la capăt o modelare?

Cu cele patru etape ale modelării, fixate la lecția despre lucrul mecanic calculat cu integrala: (1) se aleg variabila și intervalul, cu unitatea lor; (2) se scrie funcția care se integrează, tot cu unitățile ei; (3) se scrie și se calculează integrala; (4) se dă răspunsul cu unitate de măsură și se face un control.

La corpurile de rotație, controlul cel mai util e comparația cu o formulă de geometrie: un trunchi de con obținut prin rotirea unei drepte trebuie să dea același volum ca formula $\frac{\pi h}{3}\left(R^2+Rr+r^2\right)$, dedusă la lecția despre volumele corpurilor rotunde și cunoscută, din clasa a VIII-a, de la aria și volumul trunchiului de con. Când cele două valori coincid, greșelile de calcul sunt practic excluse.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Aria dintre o dreaptă și o parabolă, apoi volumul

Se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-2$ și $g(x)=x^2$.

a) Determinați abscisele punctelor de intersecție a celor două grafice și arătați că $f(x)\ge g(x)$ pentru orice $x\in [1,2]$. (5 puncte)

b) Calculați aria suprafeței plane cuprinse între cele două grafice. (5 puncte)

c) Calculați volumul corpului obținut prin rotirea acestei suprafețe în jurul axei $Ox$. (5 puncte)

Rezolvare. a) Etapa $1$: ecuația $3x-2=x^2$ devine $x^2-3x+2=0$, cu soluțiile $x_1=1$ și $x_2=2$; punctele de intersecție sunt $(1,1)$ și $(2,4)$.

Etapa $2$: $f(x)-g(x)=-x^2+3x-2=-(x-1)(x-2)$. Pe $[1,2]$ avem $x-1\ge 0$ și $x-2\le 0$, deci produsul $(x-1)(x-2)$ este negativ sau nul, iar opusul lui este nenegativ. Prin urmare $f\ge g$ pe tot intervalul.

b) Etapa $3$, cu diferența scrisă fără modul:

$$\mathcal{S}={\int }_1^2\left(3x-2-x^2\right)dx=\left(\frac{3x^2}{2}-2x-\frac{x^3}{3}\right){|}_1^2=\left(6-4-\frac{8}{3}\right)-\left(\frac{3}{2}-2-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{6}.$$

Controlul: rezultatul e pozitiv, iar regiunea încape într-un dreptunghi de bază $1$ și înălțime $f\left(\frac{3}{2}\right)-g\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{4}$, deci aria nu poate depăși $\frac{1}{4}$ — și nu o face. (Verificat numeric.)

c) Pe $[1,2]$ avem $g(x)=x^2\ge 1>0$ și $f(x)=3x-2\ge 1>0$, deci amândouă sunt pozitive și corpul are un gol interior adevărat. Volumul este diferența volumelor:

$$\mathcal{V}=\pi {\int }_1^2\left({\left(3x-2\right)}^2-x^4\right)dx=\pi {\int }_1^2\left(9x^2-12x+4-x^4\right)dx=\pi \left(3x^3-6x^2+4x-\frac{x^5}{5}\right){|}_1^2.$$

Valorile sunt $8-\frac{32}{5}=\frac{8}{5}$ în $x=2$ și $1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$ în $x=1$, deci

$$\mathcal{V}=\frac{4\pi }{5}\approx 2,513.$$

Controlul: corpul e cuprins în cilindrul de rază $f(2)=4$ și înălțime $1$, cu volumul $16\pi$; rezultatul e mult mai mic, cum trebuia. (Verificat numeric.)

Exemplul 2. Arie cu schimbare de semn

Se consideră funcția $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x-2$.

a) Determinați zeroul funcției $f$ și alcătuiți tabelul ei de semn pe $[0,2]$. (5 puncte)

b) Calculați aria suprafeței mărginite de graficul lui $f$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=0$ și $x=2$. (5 puncte)

c) Calculați ${\int }_0^{2}f(x)dx$ și explicați de ce rezultatul diferă de aria de la b). (5 puncte)

Rezolvare. a) Etapa $1$: ecuația $e^x=2$ are soluția unică $x=\ln 2\approx 0,693$, care aparține intervalului. Etapa $2$: funcția exponențială fiind strict crescătoare, $f$ e negativă înainte de $\ln 2$ și pozitivă după:

b) Etapa $3$: aria este suma integralelor luate cu semnul care le face pozitive:

$$\mathcal{S}={\int }_0^{\ln 2}\left(2-e^x\right)dx+{\int }_{\ln 2}^2\left(e^x-2\right)dx=\left(2x-e^x\right){|}_0^{\ln 2}+\left(e^x-2x\right){|}_{\ln 2}^2.$$

Primul termen este $\left(2\ln 2-2\right)-\left(0-1\right)=2\ln 2-1\approx 0,386$, iar al doilea este $\left(e^2-4\right)-\left(2-2\ln 2\right)=e^2-6+2\ln 2\approx 2,775$. Prin urmare

$$\mathcal{S}=e^2+4\ln 2-7\approx 3,162.$$

Ambii termeni sunt pozitivi — controlul unității e trecut. (Verificat numeric, pe bucăți de semn constant.)

c) Cu primitiva $e^x-2x$,

$${\int }_0^2\left(e^x-2\right)dx=\left(e^2-4\right)-\left(1-0\right)=e^2-5\approx 2,389.$$

Diferența față de arie este $\mathcal{S}-{\int }_0^{2}f=4\ln 2-2\approx 0,773$, adică exact dublul bucății de sub axă: integrala o scade, aria o adună. Când funcția își schimbă semnul, aria nu este niciodată egală cu integrala.

Exemplul 3. Segment parabolic: integrare după $y$, control cu formula

Se consideră parabola de ecuație $y^2=18x$ și dreapta de ecuație $x=8$.

a) Calculați aria suprafeței mărginite de parabolă și de dreapta $x=8$. (5 puncte)

b) Verificați rezultatul cu formula de control pentru segmentul parabolic. (5 puncte)

c) Calculați volumul corpului obținut prin rotirea acestei suprafețe în jurul axei $Ox$. (5 puncte)

Aceleiași parabole i s-au determinat focarul și directoarea la lecția despre elementele parabolei și graficul ei; reluarea e deliberată — aici întrebarea e de arie și de volum.

Rezolvare. a) Parabola are axa $Ox$, deci, după criteriul „după $x$ sau după $y$", integrăm după $y$: fiecare valoare a lui $y$ dă o singură abscisă pe parabolă, $x=\frac{y^2}{18}$. Dreapta $x=8$ taie parabola unde $y^2=144$, adică în punctele $(8,12)$ și $(8,-12)$.

Pentru $y\in [-12,12]$, regiunea se întinde de la parabolă până la dreaptă, adică de la $x=\frac{y^2}{18}$ la $x=8$, deci

$$\mathcal{S}={\int }_{-12}^{12}\left(8-\frac{y^2}{18}\right)dy=2\left(8y-\frac{y^3}{54}\right){|}_0^{12}=2\left(96-32\right)=128,$$

unde am folosit paritatea integrandului. (Verificat numeric.)

b) Din $y^2=2px$ și $2p=18$ obținem $p=9$. Coarda are capetele $y_1=-12$ și $y_2=12$, deci $y_2-y_1=24$, iar formula de control dă

$$\mathcal{S}=\frac{{\left(y_2-y_1\right)}^3}{12p}=\frac{24^3}{12\cdot 9}=\frac{13824}{108}=128.$$

Cele două valori coincid. Formula rămâne o verificare, nu o rezolvare: la examen se cere calculul integralei.

c) Rotind în jurul axei $Ox$, secțiunea la abscisa $x\in [0,8]$ este un disc de rază $\sqrt{18x}$, adică raza dată de ramura superioară a parabolei. Cei patru pași: funcția $f(x)=\sqrt{18x}$ e continuă și pozitivă pe $[0,8]$; formula este $\mathcal{V}=\pi {\int }_0^8{f}^2(x)dx$; integrala e imediată; rezultatul:

$$\mathcal{V}=\pi {\int }_0^{8}18xdx=\pi \cdot 9x^2{|}_0^8=576\pi \approx 1809,56.$$

Controlul: corpul e cuprins în cilindrul de rază $12$ și înălțime $8$, cu volumul $1152\pi$; rezultatul e exact jumătate din el — proprietatea cunoscută a paraboloidului de rotație. (Verificat numeric.)

Exemplul 4. Arie, volum și centru de greutate pentru aceeași funcție

Se consideră funcția $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2}{x+2}$.

a) Calculați aria subgraficului funcției $f$. (5 puncte)

b) Calculați volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului lui $f$ în jurul axei $Ox$. (5 puncte)

c) Determinați coordonatele centrului de greutate al plăcii omogene ${\Gamma }_f$. (5 puncte)

Rezolvare. a) Funcția e continuă și strict pozitivă pe $[0,2]$, deci subgraficul ${\Gamma }_f$ are aria

$$\mathcal{S}\left({\Gamma }_f\right)={\int }_0^2\frac{2}{x+2}dx=2\ln (x+2){|}_0^2=2\left(\ln 4-\ln 2\right)=2\ln 2\approx 1,386.$$

Logaritmul se scrie fără modul, pentru că $x+2>0$ pe interval. (Verificat numeric.)

b) Cei patru pași. Ipotezele sunt verificate la a). Formula dă

$$\mathcal{V}\left(C_f\right)=\pi {\int }_0^2\frac{4}{(x+2{)}^2}dx=4\pi \left(-\frac{1}{x+2}\right){|}_0^2=4\pi \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)=\pi \approx 3,142.$$

Controlul: cilindrul circumscris are raza $f(0)=1$ și înălțimea $2$, deci volumul $2\pi$; rezultatul e mai mic, cum trebuia. (Verificat numeric.)

c) Folosim formulele centrului de greutate, cu $\mathcal{S}=2\ln 2$ de la a). La numărătorul lui $x_G$ împărțim întâi, gradele fiind egale:

$${\int }_0^{2}xf(x)dx={\int }_0^2\frac{2x}{x+2}dx=2{\int }_0^2\left(1-\frac{2}{x+2}\right)dx=2\left(2-2\ln 2\right)=4-4\ln 2.$$

Numărătorul lui $y_G$ este jumătate din integrala de la b), adică $\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}$. Prin urmare

$$x_G=\frac{1}{\mathcal{S}}{\int }_0^{2}xf(x)dx=\frac{4-4\ln 2}{2\ln 2}=\frac{2}{\ln 2}-2\approx 0,885,y_G=\frac{1}{2\mathcal{S}}{\int }_0^2{f}^2(x)dx=\frac{1}{4\ln 2}\approx 0,361.$$

Controalele: $x_G\in [0,2]$ și este mai aproape de capătul din stânga, unde placa e mai înaltă — cum trebuia; iar $y_G<f\left(x_G\right)\approx 0,693$, deci punctul cade sub grafic, adică în interiorul plăcii. (Verificat numeric.)

Exemplul 5. O modelare: capacitatea unui pahar tronconic

Un pahar are forma corpului obținut prin rotirea în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $f:[0,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{2}+1$, unde unitatea de măsură este centimetrul.

a) Precizați variabila, intervalul și raza paharului la cele două capete. (5 puncte)

b) Calculați capacitatea paharului, în centimetri cubi. (5 puncte)

c) Verificați rezultatul cu formula volumului trunchiului de con. (5 puncte)

Rezolvare. a) Cele patru etape ale modelării. Etapa $1$: variabila este abscisa $x$, măsurată de-a lungul axei paharului, cu $x\in [0,4]$, în centimetri; înălțimea paharului este $h=4$ cm. Etapa $2$: funcția care se rotește dă raza secțiunii la abscisa $x$, în centimetri: $f(0)=1$ cm la bază și $f(4)=3$ cm la gură. Funcția e continuă și strict pozitivă, deci cei patru pași ai volumului de rotație se pot aplica.

b) Etapa $3$: cu substituția $u(x)=\frac{x}{2}+1$, care duce limitele în $u(0)=1$ și $u(4)=3$, și cu $u^{\prime }(x)=\frac{1}{2}$:

$$\mathcal{V}=\pi {\int }_0^4{\left(\frac{x}{2}+1\right)}^{2}dx=2\pi {\int }_1^3{u}^{2}du=2\pi \cdot \frac{u^3}{3}{|}_1^3=\frac{2\pi }{3}\left(27-1\right)=\frac{52\pi }{3}.$$

Etapa $4$: capacitatea paharului este $\frac{52\pi }{3}\approx 54,45$ centimetri cubi, adică aproximativ $54,5$ mililitri. (Verificat numeric.)

c) Corpul este un trunchi de con cu razele $r=1$ cm, $R=3$ cm și înălțimea $h=4$ cm. Formula dedusă la lecția despre volumele corpurilor rotunde dă

$$\mathcal{V}=\frac{\pi h}{3}\left(R^2+Rr+r^2\right)=\frac{4\pi }{3}\left(9+3+1\right)=\frac{52\pi }{3},$$

aceeași valoare. Controlul încrucișat — integrala pe de o parte, formula de geometrie pe de alta — este cel mai bun mod de a te asigura că modelarea a fost scrisă corect.

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}$. Problema are formatul obișnuit al problemei $2$ din Subiectul al III-lea: trei subpuncte de câte $5$ puncte.

a) Calculați aria subgraficului funcției $f$. (5 puncte)

b) Calculați volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului lui $f$ în jurul axei $Ox$. (5 puncte)

c) Determinați numărul $t\in (0,2)$ pentru care aria subgraficului funcției $g:[0,t]\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}$, este egală cu $\frac{\pi }{4}$. (5 puncte)

Rezolvare. a) Pe $[0,1]$ avem $4-x^2\ge 3>0$, deci $f$ e continuă și strict pozitivă; subgraficul ${\Gamma }_f$ are aria dată de rândul $15$ din tabelul primitivelor, cu $a=2$:

$$\mathcal{S}\left({\Gamma }_f\right)={\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}=\arcsin \frac{x}{2}{|}_0^1=\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}\approx 0,524.$$

(Verificat prin derivare și numeric.)

b) Cei patru pași; ipotezele sunt verificate la a). Aici $f^2(x)=\frac{1}{4-x^2}$, adică rândul $11$ din tabel, cu semn schimbat și $a=2$: din $\int \frac{dx}{x^2-4}=\frac{1}{4}\ln \left|\frac{x-2}{x+2}\right|+\mathcal{C}$ obținem, pe $[0,1]$, unde $2-x>0$,

$${\int }_0^1\frac{dx}{4-x^2}=\frac{1}{4}\ln \frac{2+x}{2-x}{|}_0^1=\frac{1}{4}\ln 3.$$

Prin urmare $\mathcal{V}\left(C_f\right)=\frac{\pi \ln 3}{4}\approx 0,863$. Controlul: cilindrul circumscris are raza $f(1)=\frac{1}{\sqrt{3}}$ și înălțimea $1$, deci volumul $\frac{\pi }{3}\approx 1,047$; rezultatul e mai mic. (Verificat numeric.)

c) Cu aceeași primitivă, aria cerută este $\arcsin \frac{t}{2}$, deci ecuația devine $\arcsin \frac{t}{2}=\frac{\pi }{4}$. Cum arcsinusul este bijectiv de la $[-1,1]$ la $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$, ecuația are soluție unică:

$$\frac{t}{2}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}⟹t=\sqrt{2}\approx 1,414\in (0,2).$$

Controlul: $\sqrt{2}>1$, iar aria cerută, $\frac{\pi }{4}\approx 0,785$, e mai mare decât cea de la a), $\frac{\pi }{6}\approx 0,524$ — coerent, pentru că intervalul s-a mărit. (Verificat numeric.)

Să exersăm

Exercițiile $1$–$3$ formează o problemă de tip Subiectul al III-lea: se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+4$ și $g(x)=x^2+2$.

1. Determinați abscisele punctelor de intersecție a celor două grafice.

2. Arătați că $f(x)\ge g(x)$ pentru orice $x\in [-1,2]$.

3. Calculați aria suprafeței plane cuprinse între cele două grafice.

Exercițiile $4$–$6$: se consideră funcția $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+2$.

4. Calculați aria subgraficului funcției $f$.

5. Calculați ${\int }_0^1{f}^2(x)dx$.

6. Calculați volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului lui $f$ în jurul axei $Ox$.

7. Calculați aria suprafeței mărginite de elipsa de ecuație $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{9}=1$.

8. Calculați ${\int }_{-10}^{10}\sqrt{100-x^2}dx$, folosind formula de buzunar.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă subgraficele a două funcții continue și pozitive pe $[a,b]$ au aceeași arie, atunci corpurile lor de rotație în jurul axei $Ox$ au același volum."

10. Calculați aria suprafeței mărginite de graficul funcției $f:[0,5]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-6x+8$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=0$ și $x=5$.

11. Calculați ${\int }_0^5\left(x^2-6x+8\right)dx$ și comparați cu rezultatul de la exercițiul $10$.

12. (Problemă aplicată.) Un rezervor se obține prin rotirea în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $f:[0,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{3x+4}$, unde unitatea de măsură este metrul. Calculați volumul rezervorului, în metri cubi.

13. Calculați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $Ox$ a suprafeței cuprinse între graficele funcțiilor $f(x)=x+3$ și $g(x)=x+1$ pe intervalul $[0,2]$.

14. Calculați aria suprafeței cuprinse între graficele funcțiilor $f(x)=\sqrt{x}$ și $g(x)=\frac{x}{2}$.

15. Determinați numărul $b>1$ pentru care aria subgraficului funcției $f:[1,b]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}$, este egală cu $2$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x+2}$. a) Calculați aria subgraficului lui $f$. b) Calculați volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului lui $f$ în jurul axei $Ox$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:[0,\ln 2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x$. a) Calculați aria subgraficului lui $f$. b) Calculați volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului lui $f$ în jurul axei $Ox$.

18. (Provocare.) Determinați numărul $a>0$ pentru care volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului funcției $f:[0,a]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$, este egal cu produsul dintre $\pi$ și aria acelui subgrafic.

Răspunsuri și explicații

1. Ecuația $x+4=x^2+2$ devine $x^2-x-2=0$, cu soluțiile $x_1=-1$ și $x_2=2$. Punctele de intersecție sunt $(-1,3)$ și $(2,6)$.

2. $f(x)-g(x)=-x^2+x+2=-(x+1)(x-2)$. Pe $[-1,2]$ avem $x+1\ge 0$ și $x-2\le 0$, deci produsul este negativ sau nul, iar opusul lui este nenegativ.

3. $\mathcal{S}={\int }_{-1}^2\left(-x^2+x+2\right)dx=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x\right){|}_{-1}^2=\frac{10}{3}-\left(-\frac{7}{6}\right)=\frac{9}{2}$. Rezultatul e pozitiv, iar regiunea încape într-un dreptunghi de bază $3$ și înălțime $\frac{9}{4}$, deci sub $\frac{27}{4}$. (Verificat numeric.)

4. Funcția e continuă și strict pozitivă, deci $\mathcal{S}\left({\Gamma }_f\right)={\int }_0^1\left(x^3+2\right)dx=\frac{1}{4}+2=\frac{9}{4}$. (Verificat numeric.)

5. $f^2(x)=x^6+4x^3+4$, deci ${\int }_0^1{f}^2(x)dx=\frac{1}{7}+1+4=\frac{1+7+28}{7}=\frac{36}{7}$. (Verificat numeric.)

6. Prin cei patru pași, $\mathcal{V}\left(C_f\right)=\pi \cdot \frac{36}{7}=\frac{36\pi }{7}\approx 16,16$. Cilindrul circumscris are raza $f(1)=3$ și înălțimea $1$, deci volumul $9\pi \approx 28,27$; rezultatul e mai mic. (Verificat numeric.)

7. Elipsa are $a=8$ și $b=3$, deci aria interiorului ei este $\pi ab=24\pi \approx 75,40$. Formula se deduce din formula de buzunar, scriind ramura de deasupra axei ca $y=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$. (Verificat numeric.)

8. Este chiar formula de buzunar cu $r=10$: ${\int }_{-10}^{10}\sqrt{100-x^2}dx=\frac{\pi \cdot 100}{2}=50\pi \approx 157,08$. Geometric, integrala este aria semidiscului de rază $10$. (Verificat numeric.)

9. Fals. Aria depinde de $f$, iar volumul de $f^2$, deci egalitatea ariilor nu se transmite. Contraexemplu pe $[0,1]$: $f(x)=1$ și $g(x)=2x$ au ambele aria subgraficului egală cu $1$, dar volumele sunt $\pi$ și $\pi {\int }_0^{1}4x^{2}dx=\frac{4\pi }{3}$.

10. Rădăcinile trinomului sunt $2$ și $4$, ambele în interval; coeficientul dominant fiind pozitiv, $f$ e pozitivă pe $[0,2)$, negativă pe $(2,4)$ și pozitivă pe $(4,5]$. Cu primitiva $\frac{x^3}{3}-3x^2+8x$: ${\int }_0^{2}f=\frac{20}{3}$, ${\int }_2^{4}f=\frac{16}{3}-\frac{20}{3}=-\frac{4}{3}$ și ${\int }_4^{5}f=\frac{20}{3}-\frac{16}{3}=\frac{4}{3}$, deci $\mathcal{S}=\frac{20}{3}+\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{28}{3}$. Toți cei trei termeni sunt pozitivi. (Verificat numeric.)

11. ${\int }_0^5\left(x^2-6x+8\right)dx=\frac{125}{3}-75+40=\frac{20}{3}$. Rezultatul e pozitiv, dar mai mic decât aria, $\frac{28}{3}$, pentru că bucata de sub axă se scade în loc să se adune. Verificarea: $\frac{20}{3}-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{20}{3}$, adică suma cu semne reproduce integrala. (Verificat numeric.)

12. Funcția e continuă și pozitivă pe $[0,4]$, iar $f^2(x)=3x+4$, deci $\mathcal{V}=\pi {\int }_0^4\left(3x+4\right)dx=\pi \left(\frac{3x^2}{2}+4x\right){|}_0^4=\pi (24+16)=40\pi \approx 125,66$ metri cubi. (Verificat numeric.)

13. Pe $[0,2]$ avem $0<x+1\le x+3$, deci corpul are un gol interior adevărat, iar volumul este diferența volumelor: $\mathcal{V}=\pi {\int }_0^2\left((x+3{)}^2-(x+1{)}^2\right)dx=\pi {\int }_0^2\left(4x+8\right)dx=\pi (8+16)=24\pi \approx 75,40$. (Verificat numeric.)

14. Ecuația $\sqrt{x}=\frac{x}{2}$ dă $x=0$ și $x=4$. Pe $[0,4]$ avem $\sqrt{x}\ge \frac{x}{2}$, deci $\mathcal{S}={\int }_0^4\left(\sqrt{x}-\frac{x}{2}\right)dx=\frac{2x\sqrt{x}}{3}{|}_0^4-\frac{x^2}{4}{|}_0^4=\frac{16}{3}-4=\frac{4}{3}$. (Verificat numeric.)

15. Aria subgraficului este ${\int }_1^b\frac{dx}{x}=\ln b$, logaritmul scriindu-se fără modul pentru că $x>0$. Condiția $\ln b=2$ dă $b=e^2\approx 7,389$. (Verificat numeric.)

16. a) $\mathcal{S}\left({\Gamma }_f\right)={\int }_0^1\frac{dx}{x+2}=\ln (x+2){|}_0^1=\ln \frac{3}{2}\approx 0,405$. b) $\mathcal{V}\left(C_f\right)=\pi {\int }_0^1\frac{dx}{(x+2{)}^2}=\pi \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi }{6}\approx 0,524$. (Ambele verificate numeric.)

17. a) $\mathcal{S}\left({\Gamma }_f\right)={\int }_0^{\ln 2}{e}^{x}dx=e^x{|}_0^{\ln 2}=2-1=1$. b) $\mathcal{V}\left(C_f\right)=\pi {\int }_0^{\ln 2}{e}^{2x}dx=\pi \cdot \frac{e^{2x}}{2}{|}_0^{\ln 2}=\pi \cdot \frac{4-1}{2}=\frac{3\pi }{2}\approx 4,712$. Cilindrul circumscris are raza $2$ și înălțimea $\ln 2$, deci volumul $4\pi \ln 2\approx 8,71$; rezultatul e mai mic. (Verificat numeric.)

18. Volumul este $\mathcal{V}=\pi {\int }_0^{a}xdx=\frac{\pi a^2}{2}$, iar aria subgraficului este $\mathcal{S}={\int }_0^a\sqrt{x}dx=\frac{2a\sqrt{a}}{3}$. Condiția $\mathcal{V}=\pi \mathcal{S}$ devine $\frac{a^2}{2}=\frac{2a\sqrt{a}}{3}$; împărțind prin $a\sqrt{a}>0$ obținem $\frac{\sqrt{a}}{2}=\frac{2}{3}$, deci $\sqrt{a}=\frac{4}{3}$ și $a=\frac{16}{9}\approx 1,778$. (Verificat numeric: ambele valori sunt aproximativ $4,9645$.)

De reținut

• Aria subgraficului unei funcții continue și pozitive este integrala funcției, aria dintre două grafice este integrala diferenței dintre cea de deasupra și cea de dedesubt, iar volumul corpului de rotație este $\pi$ înmulțit cu integrala pătratului funcției.
• Când funcția își schimbă semnul pe interval, aria nu este integrala: se află zerourile, se face tabelul de semn și se adună integralele luate cu semnul care le face pozitive.
• La o parabolă cu axa orizontală se integrează după $y$, iar la una cu axa verticală după $x$; alegerea potrivită scurtează rezolvarea cu jumătate.
• Formula de buzunar, ${\int }_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}dx=\frac{\pi r^2}{2}$, rezolvă imediat aria discului și aria interiorului elipsei, care este $\pi ab$.
• Fiecare rezultat se controlează: o arie iese pozitivă, un volum de rotație este cel mult cât al cilindrului de rază $\max f$, iar o modelare se încheie cu unitatea de măsură scrisă.

Greșeli frecvente

• Scrii aria ca integrală când funcția își schimbă semnul. Un rezultat negativ pentru o arie este imposibil; el arată că intervalul nu a fost tăiat în zerourile funcției.
• Confunzi $\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$ cu $\pi {\int }_a^{b}f(x)dx$. Volumul se calculează cu pătratul funcției; formula fără pătrat nu are nicio semnificație geometrică.
• Integrezi după $x$ la o parabolă cu axa orizontală. Atunci fiecare abscisă dă două ordonate, apare un modul inutil și rezolvarea se dublează; criteriul „după $x$ sau după $y$" e făcut exact pentru asta.
• Uiți să verifici care grafic este deasupra. Etapa $2$ cere un argument scris — semnul diferenței pe fiecare interval —, nu o privire pe desen; inversarea celor două funcții schimbă semnul ariei.
• Dai răspunsul unei modelări fără unitate de măsură. Un volum de lichid se exprimă în centimetri cubi sau litri, un lucru mecanic în jouli; fără unitate, subpunctul pierde punctul de finalizare.

Aplică acasă

1. Fișa celor trei regiuni. Desenează pe o singură foaie cele trei situații — grafic și axă, două grafice, conică — și scrie sub fiecare rețeta cu etapele ei numite și controlul potrivit. Adaugă în colț formula de buzunar și formula volumului trunchiului de con, cele două verificări cel mai des folosite.

2. Zece enunțuri, doar desenate. Ia zece cerințe de arie dintr-o culegere și, fără să calculezi nimic, desenează regiunea și scrie limitele de integrare și diferența care se integrează. Verifică apoi rezolvând trei dintre ele. Jumătate dintre greșelile de la examen se fac înainte de primul calcul.

3. Trei probleme cu cronometrul. Rezolvă din nou Exemplele $1$, $3$ și $6$, cu foaia acoperită, în cel mult zece minute fiecare, cu redactare completă. Notează unde ai pierdut timp: de obicei la stabilirea regiunii, iar puncte se pierd la controlul final, care lipsește.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie seria celor patru recapitulări dedicate problemei a doua din Subiectul al III-lea și adună competențele XII.CS.3.6, XII.CS.4.6 și XII.CS.6.6 în formatul examenului. Nu introduce nicio noțiune nouă: toate cele șase probleme folosesc exclusiv formule demonstrate în unitatea „Aplicații ale integralei definite". Valoarea ei stă în stabilirea corectă a regiunii și în controalele de plauzibilitate, cele două deprinderi care despart un rezultat corect de unul aproape corect.

Ce verifică lecția: (1) aria dintre două grafice, cu intersecțiile și semnul diferenței; (2) aria când funcția își schimbă semnul, cu tabelul de semn; (3) o arie mărginită de o conică, cu alegerea variabilei de integrare; (4) volumul corpului de rotație, inclusiv cu gol interior; (5) o modelare completă, cu unități de măsură și verificare încrucișată; (6) legătura dintre arie, volum și centrul de greutate al aceleiași plăci.

Întrebări bune de control: „Ce regiune ai desenat și între ce limite?", „Care grafic e deasupra și de unde știi?", „Unde își schimbă semnul funcția?", „De ce ai integrat după $y$?", „Cu ce ai verificat rezultatul?". Semn că elevul a înțeles: desenează regiunea înainte de a scrie prima integrală și încheie cu o propoziție de control.

La BAC, problema de acest tip valorează $15$ puncte, adică o șesime din lucrare, iar subpunctul a) este aproape întotdeauna accesibil. Exercițiile $16$ și $17$ sunt formulate exact ca în variante și merită rezolvate cu cronometrul, în cel mult opt minute fiecare. Lecția anterioară a tratat șirurile de integrale și limitele cu sume Riemann, sinteza unității de aplicații, cu alte șase probleme-model, se află la sinteza aplicațiilor integralei, iar lecția următoare strânge tot ce ține de redactarea la Bacalaureat M1.

Întrebări frecvente

Cum se calculează aria dintre două grafice?

În trei etape. Se rezolvă ecuația care le egalează, iar soluțiile devin capete de integrare. Se stabilește, pe fiecare interval, care funcție este deasupra, printr-un argument scris despre semnul diferenței. Se integrează diferența, cu funcția de deasupra prima, fără modul. Rezultatul trebuie să iasă pozitiv și să încapă într-un dreptunghi care conține regiunea.

Când aria nu este egală cu integrala funcției?

Ori de câte ori funcția își schimbă semnul pe intervalul dat. Integrala adună bucățile cu semnul lor, deci cele de sub axă se scad; aria le răstoarnă pe toate și le adună. De aceea, la o funcție care își schimbă semnul, se caută întâi zerourile, se face tabelul de semn și se scrie aria ca sumă de integrale, fiecare pozitivă.

Care este formula volumului unui corp de rotație?

Pentru $f$ continuă și pozitivă pe intervalul de la $a$ la $b$, volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului în jurul axei $Ox$ este $\pi$ înmulțit cu integrala de la $a$ la $b$ din pătratul funcției. Formula se demonstrează cu sume Riemann, pornind de la volumul cilindrului. Pentru un corp cu gol interior se scad volumele, adică se integrează diferența pătratelor.

Când se integrează după $y$ în loc de $x$?

Când regiunea este mărginită de o curbă la care fiecare valoare a lui $y$ dă o singură abscisă, iar fiecare abscisă ar da două ordonate. Cazul tipic este parabola cu axa orizontală, de forma $y$ la pătrat egal cu $2px$: integrarea după $y$ dă o singură integrală, în timp ce integrarea după $x$ ar cere un modul și dublarea calculului.

Cum se calculează aria interiorului unei elipse?

Se scrie ramura de deasupra axei ca $y=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$, se integrează pe intervalul de la $-a$ la $a$ și se dublează. Integrala se rezolvă cu formula de buzunar, care spune că integrala radicalului din $r$ la pătrat minus $x$ la pătrat, pe intervalul simetric, este jumătate din aria discului. Rezultatul este $\pi ab$, iar pentru $a=b=r$ se regăsește $\pi r^2$.

Ce controale se pot face la un rezultat de arie sau de volum?

Patru, rapide. O arie trebuie să fie pozitivă. O arie trebuie să încapă într-un dreptunghi care conține regiunea. Un volum de rotație este cel mult cât al cilindrului de rază egală cu valoarea maximă a funcției. Iar la corpurile cunoscute — con, trunchi de con, sferă — rezultatul obținut cu integrala trebuie să coincidă cu formula de geometrie.

Apar conicele la Bacalaureat M1?

În subiectele de Bacalaureat M1 de până acum conicele nu au apărut; ele intră în examen odată cu prima sesiune susținută pe programa nouă. Ariile delimitate de parabole, elipse și hiperbole se învață totuși acum, pentru că sunt în programa clasei a 12-a și pentru că metodele folosite — integrarea după $y$, formula de buzunar — se cer și la regiuni mărginite de grafice obișnuite.

Cum se scrie o problemă de modelare ca să iasă baremul?

În patru etape. Se aleg variabila și intervalul, cu unitatea lor. Se scrie funcția care se integrează, precizând ce mărime fizică reprezintă și în ce unități. Se scrie și se calculează integrala. Se dă răspunsul cu unitatea de măsură și se face un control, de preferință prin comparație cu o formulă cunoscută de geometrie sau cu o încadrare.