Subiectul al III-lea: derivate, monotonie, extreme: pe scurt

Derivata într-un punct este panta tangentei, definită ca limita raportului de creștere $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$; când limita există și e finită, funcția e derivabilă acolo. Din această unică definiție ies toate cerințele. Ecuația tangentei se scrie $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$, după ce se calculează, în ordine, $f(x_0)$ și $f^{\prime }(x_0)$; tangenta paralelă cu o dreaptă de pantă $m$ cere $f^{\prime }(x_0)=m$, cea perpendiculară cere $f^{\prime }(x_0)m=-1$, iar cea orizontală, $f^{\prime }(x_0)=0$. Când derivata în punct e infinită, tangenta e verticală și se scrie $x=x_0$. Monotonia se citește din semnul derivatei, prin Consecința 2 a teoremei lui Lagrange, iar concluzia se enunță pe un interval, niciodată pe o reuniune de intervale. Punctele de extrem se recunosc după schimbarea de semn a derivatei: din $+$ în $-$ maxim local, din $-$ în $+$ minim local; un punct critic fără schimbare de semn nu e punct de extrem. Deosebirea urmărită în fiecare an de bareme: punctul de extrem este $x_0$, valoarea extremă este $f(x_0)$ — se scriu amândouă. Inegalitățile se demonstrează cu metoda funcției auxiliare, iar constanta din inegalitate este chiar extremul global, obținut comparând valorile critice cu limitele de la capete.

Exerciții din această mini-lecție

1. Ecuația tangentei la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-4x+1$, în punctul de abscisă $x_0=2$, este:

   • a) $y=8x+1$
   • b) $y=8x-16$
   • c) $y=8x-15$
   • d) $y=12x-23$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $y=8x-15$

   Se calculează, în ordine, $f(2)=8-8+1=1$ și $f^{\prime }(x)=3x^2-4$, deci $f^{\prime }(2)=8$. Formula „prin punct, cu panta dată” dă $y-1=8(x-2)$, adică $y=8x-15$. Control: pentru $x=2$ ecuația dă $y=1=f(2)$ ✓ — verificarea care prinde imediat variantele $y=8x+1$ și $y=8x-16$. Ultima variantă folosește $f^{\prime }(2)=12$, adică derivează greșit termenul liniar.

2. Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-6x+11$, are:

   • a) punctul de minim $x=2$ și valoarea minimă $3$
   • b) punctul de minim $x=3$ și valoarea minimă $2$
   • c) punctul de maxim $x=3$ și valoarea maximă $2$
   • d) punctul de minim $x=3$ și valoarea minimă $11$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) punctul de minim $x=3$ și valoarea minimă $2$

   $f^{\prime }(x)=2x-6$ se anulează în $x=3$ și schimbă semnul din $-$ în $+$, deci $x=3$ este punct de minim, iar valoarea minimă este $f(3)=9-18+11=2$. Punctul de extrem este o abscisă, valoarea extremă este funcția calculată în ea — cele două se numesc separat, iar inversarea lor este cea mai frecventă pierdere de puncte de la subpunctul b). Varianta cu maxim contrazice semnul lui $f^{\prime }$.

3. Punctul de maxim local al funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2{e}^{-x}$, este:

   • a) $x=2$
   • b) $x=0$
   • c) $x=-2$
   • d) funcția nu are puncte de maxim
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $x=2$

   Cu regula produsului și cea a funcțiilor compuse, $f^{\prime }(x)=2x{e}^{-x}-x^2{e}^{-x}=x(2-x)e^{-x}$. Cum $e^{-x}>0$, semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $x(2-x)$: negativ pe $(-\infty ,0)$, pozitiv pe $(0,2)$, negativ pe $(2,+\infty )$. Derivata schimbă semnul din $-$ în $+$ în $0$ (minim) și din $+$ în $-$ în $2$ (maxim local). Valoarea maximă locală este $f(2)=4e^{-2}$.