Subiectul al III-lea: derivate, monotonie, extreme și inegalități

După limita din primul subpunct, problema de analiză de la Bacalaureat M1 trece la derivată. Subpunctul b) al primei probleme din Subiectul al III-lea cere aproape mereu același lucru: calculați $f^{\prime }(x)$ și, imediat, ceva ce se citește din semnul ei — monotonia, punctele de extrem, ecuația tangentei. Subpunctul c) merge un pas mai departe și cere o inegalitate, o imagine de funcție sau o limită care este, de fapt, o derivată deghizată. Lecția aceasta strânge toate aceste tipare, în forma în care se cer ele la clasa a 12-a, la specializarea matematică-informatică. Derivata unei funcții dă, prin semnul ei, monotonia: acolo unde $f^{\prime }(x)>0$ funcția crește, acolo unde $f^{\prime }(x)<0$ scade, iar punctele în care derivata se anulează schimbând semnul sunt puncte de extrem.

Ca și lecția precedentă, aceasta nu predă nimic nou: tabelul derivatelor, regulile de derivare, teorema lui Fermat, consecințele teoremei lui Lagrange și metoda funcției auxiliare vin toate din clasa a XI-a. Ce se schimbă este ritmul — cinci puncte pe subpunct, deci un calcul scurt, o justificare completă și o concluzie scrisă în cuvinte — și grija pentru deosebirile care se depunctează, în frunte cu cea dintre punctul de extrem și valoarea extremă.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi rapid și corect $f^{\prime }$ pentru funcțiile care apar în variante: raționale, cu radical, cu exponențială și cu logaritm.
• Vei ști să scrii ecuația tangentei la grafic într-un punct și să răspunzi la cerințele despre pantă.
• Vei ști să deduci monotonia din semnul derivatei și să numești corect punctele de extrem și valorile extreme.
• Vei ști să demonstrezi o inegalitate cu ajutorul derivatei, prin metoda funcției auxiliare.
• Vei ști să recunoști limitele care sunt, de fapt, derivate calculate din definiție.
• Vei ști în ce ordine se redactează, ca baremul pe pași să găsească fiecare punct la locul lui.

Hai să descoperim împreună

1. Ce se cere, exact, la subpunctele cu derivate?

Derivata unei funcții într-un punct este panta tangentei la graficul funcției în acel punct, definită ca limita raportului de creștere $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ când $x$ tinde la $x_0$; când limita există și este finită, funcția se numește derivabilă în $x_0$. Din această unică definiție ies toate cerințele de mai jos.

Tiparele care se repetă din variantă în variantă, cu unealta fiecăruia:

Reține deosebirea pe care baremele o urmăresc în fiecare an: punctul de extrem este $x_0$, un număr de pe axa absciselor; valoarea extremă este $f(x_0)$. „Maximul funcției este $2$" și „punctul de maxim este $2$" spun lucruri diferite; scrie-le pe amândouă, ca să nu existe dubiu.

2. Ce trebuie să știi pe de rost din tabelul derivatelor?

Tabelul canonic al derivatelor, cu domeniile lui, și regulile de derivare sunt cele fixate la clasa a XI-a, în lecția despre derivatele funcțiilor uzuale; ele nu se rescriu aici. Reține însă trei lucruri care produc cele mai multe greșeli de calcul la examen:

• rândurile $x^n$, $x^{-n}$ și $x^r$ nu se contopesc: pentru $r$ neîntreg se lucrează pe $(0,+\infty )$, iar $\sqrt{x}$ e continuă pe $[0,+\infty )$ dar derivabilă numai pe $(0,+\infty )$;
• regula câtului se scrie ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$ — ordinea termenilor de la numărător nu se inversează;
• derivarea funcțiilor compuse aduce mereu factorul $u^{\prime }$: ${\left(e^u\right)}^{\prime }=e^u{u}^{\prime }$, $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$, ${\left(\sqrt{u}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$; detaliile sunt în lecția despre derivarea funcțiilor compuse.

O economie de timp care se vede pe foaie: la funcțiile raționale de forma $\frac{a{x}^2+bx+c}{x-d}$ e adesea mai rapid să faci întâi împărțirea și abia apoi să derivezi. Vei vedea efectul în Exemplul 4, unde $x+\frac{32}{x^2}$ se derivează într-un rând.

3. Cum se scrie ecuația tangentei la grafic?

Formula este una singură, iar ordinea de aplicare are trei etape scurte: se calculează $f(x_0)$, se calculează $f^{\prime }(x_0)$, se înlocuiește în $$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0).$$ (Sunt etape de calcul, nu o schemă cu nume: numărătorile fixate ale unității de analiză rămân cele din clasa a XII-a — schema asimptotelor în patru pași și schema în nouă pași.)

Cerințele înrudite se traduc imediat: tangentă paralelă cu dreapta de pantă $m$ înseamnă $f^{\prime }(x_0)=m$; tangentă perpendiculară pe ea înseamnă $f^{\prime }(x_0)\cdot m=-1$; tangentă orizontală înseamnă $f^{\prime }(x_0)=0$, deci $x_0$ e punct critic. Legătura dintre derivată și dreptele din plan e detaliată în lecția despre tangenta la graficul unei funcții.

⚠️ Formula cere ca $f^{\prime }(x_0)$ să fie finită. Dacă derivata în $x_0$ este infinită, tangenta e verticală și se scrie direct $x=x_0$ — situație pe care o vei întâlni în Exemplul 5.

4. Cum se citesc monotonia și extremele din semnul derivatei?

Instrumentul este Consecința 2 a teoremei lui Lagrange: pe un interval pe care $f^{\prime }>0$, funcția e strict crescătoare; pe unul pe care $f^{\prime }<0$, strict descrescătoare. Procedura completă e cea din lecția despre monotonia dedusă din semnul derivatei: se rezolvă $f^{\prime }(x)=0$, se face tabelul de semn al lui $f^{\prime }$, se citesc intervalele.

Punctele de extrem se recunosc după schimbarea de semn a derivatei: din $+$ în $-$ înseamnă maxim local, din $-$ în $+$ înseamnă minim local. Un punct critic în care semnul nu se schimbă nu este punct de extrem — iar reciproca teoremei lui Fermat este falsă tocmai din acest motiv.

Trei precizări de redactare, toate punctate:

• concluzia de monotonie se scrie pe un interval, niciodată pe o reuniune de intervale;
• teorema lui Fermat cere ca punctul de extrem să fie din interiorul intervalului și funcția să fie derivabilă acolo; în capetele închise extremele există fără ca derivata să se anuleze;
• când se cere un extrem global, nu e de ajuns tabelul: se compară valoarea din punctul critic cu limitele de la capetele domeniului sau cu valorile din capetele închise.

5. Cum se demonstrează o inegalitate cu ajutorul derivatei?

Se folosește metoda funcției auxiliare, în cei patru pași fixați la clasa a XI-a, în lecția despre inegalitățile demonstrate cu derivate: (1) se trece totul într-un membru, adică inegalitatea $f(x)\ge g(x)$ pe $I$ devine $h(x)\ge 0$ cu $h=f-g$, și se precizează intervalul; (2) se derivează $h$ și se află semnul lui $h^{\prime }$; (3) se face tabelul de variație al lui $h$, cu valorile în punctele critice și cu limitele la capete; (4) se citește semnul lui $h$ din tabel.

Cel mai des, inegalitatea din subpunctul c) e chiar traducerea unui extrem global găsit la b): dacă minimul global al lui $f$ este $c$, atunci $f(x)\ge c$ pe tot domeniul, cu egalitate exact în punctul de minim. De aceea subpunctele b) și c) se rezolvă adesea din același tabel — și de aceea o greșeală la b) le pierde pe amândouă.

⚠️ Când funcția auxiliară e monotonă, e de ajuns valoarea dintr-un capăt; când nu e, ai nevoie de minimul global. Iar dacă domeniul e o reuniune de intervale, concluzia se scrie separat pe fiecare interval.

6. Când este o limită, de fapt, o derivată?

Ori de câte ori are forma raportului de creștere. O limită de tipul $$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$ este, prin definiție, $f^{\prime }(x_0)$ — dacă limita există. Recunoașterea aduce puncte în două direcții: uneori scapi de un calcul lung de nedeterminare (derivezi cu tabelul și înlocuiești), alteori dovedești că funcția nu e derivabilă în punct, arătând că limita e infinită sau că derivatele laterale diferă.

Formele deghizate care apar în variante: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}$, care e $f^{\prime }(0)$; $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)}{x-1}$, când $f(1)=0$, care e tot $f^{\prime }(1)$; și $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$, forma cu increment. În sens invers, regulile lui L'Hôpital rezolvă multe dintre aceleași limite — dar au nevoie de verificarea nedeterminării, în timp ce definiția derivatei nu are.

7. Cum se redactează un subpunct de cinci puncte?

Baremul sparge cele $5$ puncte pe pași, iar pașii sunt exact aceștia:

1. scrie domeniul de derivabilitate înainte de a deriva; la funcțiile cu radical sau logaritm el diferă de domeniul de definiție;
2. scrie derivata în formă factorizată — semnul se citește din factori, nu din desfășurare;
3. numește teorema cu ipotezele ei complete: „$f$ e derivabilă pe intervalul $I$ și $f^{\prime }>0$ pe $I$, deci, prin Consecința 2 a teoremei lui Lagrange, $f$ e strict crescătoare pe $I$";
4. scrie tabelul de semn sau de variație, chiar dacă enunțul nu-l cere — el e justificarea vizuală a concluziei;
5. încheie în cuvinte, cu punctul și valoarea numite separat: „punctul de minim este $x=2$, iar valoarea minimă este $f(2)=3$".

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Polinom de gradul al treilea: monotonie, extreme, tangentă

Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+6x^2-36x+8$. a) Calculați $f^{\prime }(x)$ și determinați punctele critice ale funcției $f$. (5 puncte) b) Studiați monotonia funcției $f$ și determinați punctele de extrem și valorile extreme. (5 puncte) c) Arătați că tangenta la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=1$ trece prin originea reperului. (5 puncte)

Rezolvare. Funcția e polinomială, deci derivabilă pe tot $\mathbb{R}$.

a) $f^{\prime }(x)=3x^2+12x-36=3\left(x^2+4x-12\right)=3(x+6)(x-2)$. Punctele critice sunt soluțiile ecuației $f^{\prime }(x)=0$, adică $x=-6$ și $x=2$. (Verificat cu raportul de diferențe centrat, în patru puncte, și prin desfacerea produsului cu fracții exacte.) ✓

b) Semnul trinomului $3(x+6)(x-2)$ este pozitiv în afara rădăcinilor și negativ între ele:

Citirea tabelului: $f$ este strict crescătoare pe $(-\infty ,-6]$ și pe $[2,+\infty )$ și strict descrescătoare pe $[-6,2]$. Punctul de maxim local este $x=-6$, cu valoarea maximă $f(-6)=-216+216+216+8=224$; punctul de minim local este $x=2$, cu valoarea minimă $f(2)=8+24-72+8=-32$. Niciunul nu e global: limitele la capete sunt $\mp \infty$.

c) $f(1)=1+6-36+8=-21$ și $f^{\prime }(1)=3+12-36=-21$, deci tangenta este $$y-(-21)=-21(x-1),\text{adica˘}y=-21x.$$ Ecuația e verificată de perechea $(0,0)$, deci tangenta trece prin originea reperului. ✓

Exemplul 2. Exponențială: minim global și inegalitate

Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x-2)e^x$. a) Calculați $f^{\prime }(x)$. (5 puncte) b) Determinați punctul de minim și valoarea minimă a funcției $f$. (5 puncte) c) Arătați că $(x-2)e^x\ge -e$ pentru orice număr real $x$. (5 puncte)

Rezolvare. a) Cu regula produsului, $f^{\prime }(x)=1\cdot e^x+(x-2)e^x=(x-1)e^x$. (Verificat numeric în patru puncte.) ✓

b) Cum $e^x>0$ pentru orice $x$, semnul lui $f^{\prime }$ e dat de $x-1$: negativ pe $(-\infty ,1)$, pozitiv pe $(1,+\infty )$. Derivata își schimbă semnul din $-$ în $+$, deci $x=1$ este punct de minim local, cu valoarea $f(1)=(1-2)e=-e$.

c) Minimul este chiar global, iar asta trebuie arătat: pe $(-\infty ,1]$ funcția scade de la $\underset{x\to -\infty }{\lim }(x-2)e^x=0$ la $-e$, iar pe $[1,+\infty )$ crește de la $-e$ la $+\infty$. (Limita la $-\infty$ este $0$ pentru că $x{e}^x\to 0$; se poate scrie și cu regula lui L'Hôpital, în forma $\frac{x-2}{e^{-x}}$, caz $\frac{-\infty }{+\infty }$.) Prin urmare $f(x)\ge f(1)=-e$ pentru orice $x$ real, cu egalitate exact în $x=1$. (Verificat: minimul valorilor lui $f$ pe $[-30,30]$, în patru mii de puncte, este $-e$.) ✓

Exemplul 3. O inegalitate cu logaritm, în ambele sensuri

Se consideră $g:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=x-\frac{1}{x}-2\ln x$. a) Calculați $g^{\prime }(x)$ și arătați că $g$ este crescătoare pe $(0,+\infty )$. (5 puncte) b) Arătați că $2\ln x\le x-\frac{1}{x}$ pentru orice $x\ge 1$. (5 puncte) c) Arătați că $2\ln x\ge x-\frac{1}{x}$ pentru orice $x\in (0,1]$. (5 puncte)

Rezolvare. a) Pe $(0,+\infty )$ toate cele trei funcții sunt derivabile, deci $$g^{\prime }(x)=1+\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}=\frac{x^2-2x+1}{x^2}=\frac{(x-1{)}^2}{x^2}\ge 0.$$ Derivata e nenegativă și se anulează într-un singur punct, deci $g$ este crescătoare pe tot intervalul $(0,+\infty )$. (Verificat: identitatea dintre cele două forme ale lui $g^{\prime }$, exact, în două sute de puncte raționale.) ✓

b) Aceasta e metoda funcției auxiliare: inegalitatea cerută se scrie $g(x)\ge 0$. Cum $g$ e crescătoare pe $[1,+\infty )$ și $g(1)=1-1-2\ln 1=0$, rezultă $g(x)\ge g(1)=0$ pentru orice $x\ge 1$, adică exact $2\ln x\le x-\frac{1}{x}$. Egalitatea are loc numai în $x=1$.

c) Aceeași monotonie, citită în cealaltă direcție: pe $(0,1]$ avem $x\le 1$, deci $g(x)\le g(1)=0$, adică $x-\frac{1}{x}\le 2\ln x$. Observă că inegalitatea își schimbă sensul la trecerea peste $1$ — de aceea concluzia se scrie pe fiecare interval separat, nu „pe domeniu". (Verificat numeric pe patru mii de puncte în fiecare dintre cele două intervale.) ✓

Exemplul 4. Funcție cu putere negativă: minim și inegalitate polinomială

Se consideră $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+\frac{32}{x^2}$. a) Calculați $f^{\prime }(x)$. (5 puncte) b) Determinați punctul de minim și valoarea minimă a funcției $f$. (5 puncte) c) Arătați că $x^3+32\ge 6x^2$ pentru orice $x>0$. (5 puncte)

Rezolvare. a) Scriem $f(x)=x+32x^{-2}$ și derivăm termen cu termen: $$f^{\prime }(x)=1-64x^{-3}=1-\frac{64}{x^3}=\frac{x^3-64}{x^3}.$$ (Verificat numeric în patru puncte din interval.) ✓

b) Pe $(0,+\infty )$ numitorul e pozitiv, deci semnul lui $f^{\prime }$ e dat de $x^3-64$: negativ pentru $x<4$, pozitiv pentru $x>4$. Derivata schimbă semnul din $-$ în $+$, deci $x=4$ este punct de minim, cu valoarea minimă $f(4)=4+\frac{32}{16}=6$. Cum funcția scade de la $+\infty$ până la $6$ și apoi crește iar la $+\infty$, minimul este global pe $(0,+\infty )$.

c) Din b), $x+\frac{32}{x^2}\ge 6$ pentru orice $x>0$. Înmulțim cu $x^2>0$, care păstrează sensul: $x^3+32\ge 6x^2$. Verificarea algebrică încrucișată confirmă: $x^3-6x^2+32=(x+2)(x-4{)}^2$, produs de doi factori nenegativi pentru $x>0$. (Identitatea a fost verificată exact, cu fracții, în optzeci de puncte.) ✓

Exemplul 5. Radical: derivată infinită într-un capăt

Se consideră $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}(x-6)$. a) Calculați $f^{\prime }(x)$ pentru $x>0$. (5 puncte) b) Determinați punctul de minim și valoarea minimă a funcției $f$. (5 puncte) c) Calculați $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ și interpretați rezultatul. (5 puncte)

Rezolvare. a) Funcția este continuă pe $[0,+\infty )$, dar $\sqrt{x}$ e derivabilă numai pe $(0,+\infty )$; acolo, cu regula produsului, $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}(x-6)+\sqrt{x}=\frac{x-6+2x}{2\sqrt{x}}=\frac{3(x-2)}{2\sqrt{x}}.$$ (Verificat numeric în patru puncte.) ✓

b) Pe $(0,+\infty )$ numitorul e pozitiv, deci semnul lui $f^{\prime }$ e semnul lui $x-2$: funcția scade pe $(0,2]$ și crește pe $[2,+\infty )$. Punctul de minim este $x=2$, iar valoarea minimă este $f(2)=\sqrt{2}(2-6)=-4\sqrt{2}$. Cum $f(0)=0>-4\sqrt{2}$ și $f(x)\to +\infty$, minimul este global pe $[0,+\infty )$.

c) Cum $f(0)=0$, raportul devine $\frac{\sqrt{x}(x-6)}{x}=\frac{x-6}{\sqrt{x}}$. Numărătorul tinde la $-6$, iar numitorul la $0$ prin valori pozitive, deci $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{-6}{0^{+}}=-\infty .$$ Interpretare: funcția are derivată în $0$, egală cu $-\infty$, dar nu este derivabilă acolo, pentru că limita nu e finită. Graficul are în origine o semitangentă verticală, iar ecuația tangentei se scrie $x=0$, nu cu formula pantei. (Verificat numeric: valorile raportului scad sub $-600$ pentru $x=10^{-8}$.) ✓

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^4+8x^3-18x^2$. a) Calculați $f^{\prime }(x)$ și scrieți-l în formă factorizată. (5 puncte) b) Alcătuiți tabelul de monotonie și determinați punctele de extrem și valorile extreme. (5 puncte) c) Arătați că $3x^4+8x^3-18x^2+135\ge 0$ pentru orice număr real $x$. (5 puncte)

Rezolvare. Funcția e polinomială, deci derivabilă pe $\mathbb{R}$.

a) $f^{\prime }(x)=12x^3+24x^2-36x=12x\left(x^2+2x-3\right)=12x(x+3)(x-1)$. (Verificat prin desfacerea produsului, exact, în optzeci de puncte raționale, și numeric în patru puncte.) ✓

b) Cei trei factori dau rădăcinile $-3$, $0$ și $1$; semnul produsului alternează:

Citirea tabelului: $f$ scade pe $(-\infty ,-3]$ și pe $[0,1]$ și crește pe $[-3,0]$ și pe $[1,+\infty )$. Punctele de minim local sunt $x=-3$ și $x=1$, cu valorile $f(-3)=243-216-162=-135$ și $f(1)=3+8-18=-7$; punctul de maxim local este $x=0$, cu valoarea $f(0)=0$.

c) Comparăm cele două minime locale: $-135<-7$, iar la ambele capete funcția tinde la $+\infty$, deci minimul global este $-135$, atins în $x=-3$. Prin urmare $f(x)\ge -135$ pentru orice $x$ real, adică $$3x^4+8x^3-18x^2+135\ge 0,$$ cu egalitate exact în $x=-3$. (Verificat: minimul valorilor lui $f$ pe $[-30,30]$, în șase mii de puncte, este $-135$.) ✓

Să exersăm

1. Calculați $f^{\prime }(x)$ și determinați punctele critice ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-12x^2+36x$.

2. Pentru funcția de la exercițiul 1, alcătuiți tabelul de monotonie și scrieți punctele de extrem și valorile extreme.

3. Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției de la exercițiul 1 în punctul de abscisă $x_0=3$.

4. Calculați derivata funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(2x+1)e^{-x}$, și determinați punctul de maxim al funcției.

5. Folosind exercițiul 4, arătați că $(2x+1)e^{-x}\le \frac{2}{\sqrt{e}}$ pentru orice număr real $x$.

6. Determinați punctul de minim și valoarea minimă a funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-6\ln x$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f^{\prime }(x_0)=0$, atunci $x_0$ este punct de extrem local al funcției $f$."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f$ are un punct de maxim local în $x_0$, atunci maximul funcției este $x_0$."

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Funcția $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}$, este strict descrescătoare pe domeniul ei de definiție, pentru că $f^{\prime }(x)<0$ peste tot."

10. Arătați că $x-2\ln x\ge 2-2\ln 2$ pentru orice $x>0$ și deduceți că $\ln x\le \frac{x}{2}-1+\ln 2$.

11. Arătați că funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+3\ln x$, este strict crescătoare și că ecuația $x+3\ln x=0$ are exact o soluție reală.

12. Determinați punctele de extrem și valorile extreme ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{4x}{x^2+1}$.

13. Folosind exercițiul 12, arătați că $\frac{4x}{x^2+1}\le 2$ pentru orice număr real $x$ și precizați când are loc egalitatea.

14. (Problemă aplicată.) Costul mediu al producerii a $q$ tone dintr-un produs este $\overline{C}(q)=q+\frac{32}{q^2}$ (mii de lei pe tonă), $q>0$. Determinați producția la care costul mediu este minim și valoarea acestui cost.

15. Arătați că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-2x^3+1$, are un singur punct de extrem, deși derivata ei se anulează în două puncte.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x+1)e^{-2x}$. a) Calculați $f^{\prime }(x)$. b) Determinați punctul de maxim și valoarea maximă. c) Arătați că $(x+1)e^{-2x}\le \frac{e}{2}$ pentru orice $x$ real.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{x^2+3}$. a) Calculați $f^{\prime }(x)$. b) Determinați punctele de extrem ale funcției. c) Arătați că $\frac{x}{x^2+3}\le \frac{\sqrt{3}}{6}$ pentru orice $x$ real.

18. (Provocare.) Fie $a>0$ și $f_a:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f_a(x)=x+\frac{a}{x^2}$. Arătați că punctul de minim este $x=\sqrt[3]{2a}$ și că valoarea minimă este $\frac{3\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{4}}$. Verificați formula pentru $a=32$, comparând cu Exemplul 4.

Răspunsuri și explicații

1. $f^{\prime }(x)=3x^2-24x+36=3(x-2)(x-6)$, deci punctele critice sunt $x=2$ și $x=6$. (Identitatea verificată exact, cu fracții.)

2. Semnul lui $f^{\prime }$ este $+$, $-$, $+$. Punctul de maxim local este $x=2$, cu valoarea $f(2)=8-48+72=32$; punctul de minim local este $x=6$, cu valoarea $f(6)=216-432+216=0$. Funcția crește pe $(-\infty ,2]$ și pe $[6,+\infty )$ și scade pe $[2,6]$.

3. $f(3)=27-108+108=27$ și $f^{\prime }(3)=27-72+36=-9$, deci tangenta este $y-27=-9(x-3)$, adică $y=-9x+54$.

4. $f^{\prime }(x)=2e^{-x}+(2x+1)\left(-e^{-x}\right)=(1-2x)e^{-x}$. Derivata e pozitivă pentru $x<\frac{1}{2}$ și negativă pentru $x>\frac{1}{2}$, deci punctul de maxim este $x=\frac{1}{2}$, cu valoarea $f\left(\frac{1}{2}\right)=2e^{-1/2}=\frac{2}{\sqrt{e}}$. (Verificat numeric.)

5. Maximul de la exercițiul 4 este global: pe $\left(-\infty ,\frac{1}{2}\right]$ funcția crește de la $-\infty$ la $\frac{2}{\sqrt{e}}$, iar pe $\left[\frac{1}{2},+\infty \right)$ scade spre $0$. Deci $f(x)\le \frac{2}{\sqrt{e}}$ pentru orice $x$ real, cu egalitate în $x=\frac{1}{2}$.

6. $f^{\prime }(x)=2x-\frac{6}{x}=\frac{2\left(x^2-3\right)}{x}$, care se anulează pe domeniu în $x=\sqrt{3}$ și schimbă semnul din $-$ în $+$. Punctul de minim este $x=\sqrt{3}$, iar valoarea minimă este $f\left(\sqrt{3}\right)=3-3\ln 3$. (Verificat numeric.)

7. Fals. Este reciproca teoremei lui Fermat, care nu e adevărată. Contraexemplul standard: $f(x)=x^3$ are $f^{\prime }(0)=0$, dar derivata nu-și schimbă semnul, deci $0$ nu e punct de extrem. Vezi și exercițiul 15.

8. Fals. Confuzia PUNCT $\ne$ VALOARE. Punctul de maxim este $x_0$, iar maximul (valoarea maximă) este $f(x_0)$. Cele două coincid numeric doar din întâmplare.

9. Fals. Consecința 2 a teoremei lui Lagrange se aplică pe un interval, iar ${\mathbb{R}}^{\ast }$ e o reuniune de două intervale. Funcția e strict descrescătoare pe $(-\infty ,0)$ și pe $(0,+\infty )$, dar $f(-1)=-1<1=f(1)$, deci nu e descrescătoare pe tot domeniul.

10. Fie $h(x)=x-2\ln x$ pe $(0,+\infty )$; $h^{\prime }(x)=1-\frac{2}{x}=\frac{x-2}{x}$, negativă pe $(0,2)$ și pozitivă pe $(2,+\infty )$, deci minimul global este $h(2)=2-2\ln 2$. Din $x-2\ln x\ge 2-2\ln 2$ rezultă, împărțind la $2$ și mutând termenii, $\ln x\le \frac{x}{2}-1+\ln 2$. (Verificat numeric pe șase mii de puncte.)

11. $f^{\prime }(x)=1+\frac{3}{x}>0$ pe $(0,+\infty )$, deci $f$ e strict crescătoare, prin Consecința 2 a teoremei lui Lagrange. Cum $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }f(x)=-\infty$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$, iar $f$ e continuă, consecința de semn a proprietății valorilor intermediare dă cel puțin o soluție, iar stricta monotonie dă cel mult una: exact una. (Verificat prin eșantionare densă: o singură schimbare de semn.)

12. $f^{\prime }(x)=\frac{4\left(x^2+1\right)-4x\cdot 2x}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{4\left(1-x^2\right)}{{\left(x^2+1\right)}^2}$, cu semnul lui $1-x^2$. Punctul de minim este $x=-1$, cu valoarea $-2$; punctul de maxim este $x=1$, cu valoarea $2$. (Verificat numeric.)

13. Maximul de la exercițiul 12 este global, pentru că limitele la $\pm \infty$ sunt $0$, iar între extreme funcția e monotonă pe fiecare interval. Deci $\frac{4x}{x^2+1}\le 2$ pentru orice $x$ real, cu egalitate exact în $x=1$. (Echivalent, $2(x-1{)}^2\ge 0$.)

14. Este funcția din Exemplul 4, cu etichetele instanțiate: ${\overline{C}}^{\prime }(q)=1-\frac{64}{q^3}$, care se anulează în $q=4$ și schimbă semnul din $-$ în $+$. Producția de cost mediu minim este de $4$ tone, iar costul mediu minim este $\overline{C}(4)=6$ mii de lei pe tonă.

15. $f^{\prime }(x)=4x^3-6x^2=2x^2(2x-3)$, care se anulează în $x=0$ și $x=\frac{3}{2}$. În $x=0$ factorul $2x^2$ e pozitiv de ambele părți, deci semnul lui $f^{\prime }$ nu se schimbă și $0$ nu e punct de extrem. În $x=\frac{3}{2}$ semnul trece din $-$ în $+$, deci este punct de minim, cu valoarea $f\left(\frac{3}{2}\right)=-\frac{11}{16}$. (Verificat prin eșantionare de semn pe ambele părți ale lui $0$.)

16. a) $f^{\prime }(x)=e^{-2x}+(x+1)\left(-2e^{-2x}\right)=(-1-2x)e^{-2x}$. b) Derivata e pozitivă pentru $x<-\frac{1}{2}$ și negativă pentru $x>-\frac{1}{2}$, deci punctul de maxim este $x=-\frac{1}{2}$, cu valoarea $f\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}e=\frac{e}{2}$. c) Maximul e global (funcția crește de la $-\infty$ și apoi scade spre $0$), deci $(x+1)e^{-2x}\le \frac{e}{2}$ pentru orice $x$, cu egalitate în $x=-\frac{1}{2}$. (Verificat numeric.)

17. a) $f^{\prime }(x)=\frac{\left(x^2+3\right)-x\cdot 2x}{{\left(x^2+3\right)}^2}=\frac{3-x^2}{{\left(x^2+3\right)}^2}$. b) Derivata se anulează în $\pm \sqrt{3}$: punctul de minim este $x=-\sqrt{3}$, punctul de maxim este $x=\sqrt{3}$. c) Valoarea maximă este $f\left(\sqrt{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{6}$, iar maximul e global, pentru că limitele la $\pm \infty$ sunt $0$. Deci $\frac{x}{x^2+3}\le \frac{\sqrt{3}}{6}$, cu egalitate în $x=\sqrt{3}$. (Verificat numeric pe opt mii de puncte.)

18. $f_a^{\prime }(x)=1-\frac{2a}{x^3}=\frac{x^3-2a}{x^3}$, care pe $(0,+\infty )$ se anulează în $x=\sqrt[3]{2a}$ și schimbă semnul din $-$ în $+$: punct de minim. Valoarea: $$f_a\left(\sqrt[3]{2a}\right)=(2a{)}^{\frac{1}{3}}+\frac{a}{(2a{)}^{\frac{2}{3}}}=a^{\frac{1}{3}}\left(2^{\frac{1}{3}}+2^{-\frac{2}{3}}\right)=a^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{-\frac{2}{3}}(2+1)=\frac{3\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{4}}.$$ Pentru $a=32$: punctul de minim este $\sqrt[3]{64}=4$, iar valoarea este $\frac{3\sqrt[3]{32}}{\sqrt[3]{4}}=3\sqrt[3]{8}=6$ — exact rezultatele din Exemplul 4. (Formula verificată numeric pentru cinci valori ale lui $a$.)

De reținut

• Punctul de extrem este $x_0$, valoarea extremă este $f(x_0)$. Cele două se scriu separat, în propoziții distincte; confuzia dintre ele este cea mai frecventă pierdere de puncte la subpunctul b).
• Monotonia se citește din semnul derivatei, dar concluzia se scrie pe un interval, niciodată pe o reuniune de intervale.
• Un punct critic devine punct de extrem doar dacă derivata își schimbă semnul acolo. Reciproca teoremei lui Fermat e falsă, iar $x^3$ și $x^4-2x^3+1$ o arată.
• Inegalitatea din subpunctul c) este, aproape întotdeauna, extremul global de la b) — de aceea cele două subpuncte se rezolvă din același tabel, iar minimul trebuie arătat că e global, nu doar local.
• Ecuația tangentei cere $f^{\prime }(x_0)$ finită. Când derivata în punct e infinită, tangenta e verticală și se scrie $x=x_0$.

Greșeli frecvente

• Se scrie „punctul de maxim este $85$" în loc de „valoarea maximă este $85$". Corect: punctul de maxim este $x=-4$, iar valoarea maximă este $f(-4)=85$; ambele se numesc explicit.
• Se declară monotonie pe o reuniune de intervale. Corect: dacă domeniul e $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ sau altă reuniune, monotonia se enunță pe fiecare interval separat, chiar dacă semnul derivatei e același peste tot.
• Se confundă extremul local cu cel global. Corect: pentru o inegalitate valabilă pe tot domeniul e nevoie de extremul global, obținut comparând valorile din punctele critice cu limitele la capete sau cu valorile din capetele închise.
• Se aplică teorema lui Fermat într-un capăt al intervalului. Corect: ipoteza cere ca punctul de extrem să fie din interiorul intervalului; pe $[0,4]$, funcția $f(x)=x$ are extreme în capete fără ca derivata să se anuleze.
• Se derivează $\sqrt{x}$ în $0$ „după tabel". Corect: $\sqrt{x}$ e derivabilă numai pe $(0,+\infty )$; în $0$ se lucrează din definiție, iar rezultatul poate fi o derivată infinită, ca în Exemplul 5.

Aplică acasă

1. Fișa celor patru întrebări. Desenează, pe o pagină, caseta „$f^{\prime }$" și cele patru săgeți din figura lecției: panta tangentei, monotonia, extremele, inegalitatea. Sub fiecare săgeată scrie formula și o propoziție-model de concluzie. Este pagina de recitit înaintea oricărei probleme din Subiectul al III-lea.
2. Zece derivate pe zi, cu factorizare obligatorie. Ia zece funcții din variantele de Bacalaureat M1 și calculează-le derivata, oprindu-te numai când ai scris-o în formă factorizată. Cronometrează-te: trei minute pe funcție. Vei observa că timpul se duce pe factorizare, nu pe derivare.
3. Fabrica de inegalități. Pornește de la o funcție cu minim global cunoscut, calculează-i minimul și scrie inegalitatea care rezultă. Apoi ascunde funcția și încearcă să demonstrezi inegalitatea pornind de la ea — vei vedea din interior cum sunt construite subpunctele c) din variante.

Pentru părinți și profesori

Lecția este a doua din grupul dedicat Subiectului al III-lea și acoperă miezul lui: derivata și tot ce se citește din ea. Ea adună competențele XII.CS.1.4, XII.CS.3.4 și XII.CS.5.4 din programa de matematică-informatică și reașază materia clasei a XI-a — tabelul derivatelor, teorema lui Fermat, consecințele teoremei lui Lagrange, metoda funcției auxiliare — în formatul de examen, cu trei subpuncte de câte $5$ puncte.

Accentul cade pe limbaj și pe ordinea redactării, nu pe tehnică. Cele două deosebiri care aduc sau pierd cele mai multe puncte sunt PUNCT $\ne$ VALOARE și local $\ne$ global; amândouă sunt urmărite explicit în toate cele șase exemple și în răspunsurile la exerciții.

Ce verifică lecția: (1) calculul corect al derivatei, cu domeniul de derivabilitate scris; (2) ecuația tangentei, inclusiv cazul derivatei infinite; (3) tabelul de monotonie și citirea lui; (4) trecerea de la extremul global la o inegalitate; (5) recunoașterea unei limite care este derivată din definiție.

Întrebări bune de control: „Care e punctul de extrem și care e valoarea extremă?", „Extremul acesta e local sau global, și de unde știi?", „Pe ce interval e crescătoare funcția?", „Ce ipoteză a teoremei lui Fermat verifici aici?". Semn că elevul e pregătit: după ce află minimul, formulează singur inegalitatea care rezultă din el, fără să i se ceară. La BAC M1, aceste tipuri apar în subpunctele b) și c) ale primei probleme din Subiectul al III-lea, în fiecare variantă.

Întrebări frecvente

Ce se cere la subpunctul b) de la Subiectul al III-lea? Calculul derivatei și una dintre consecințele ei imediate: monotonia, punctele de extrem sau ecuația tangentei. Enunțul cere adesea explicit forma factorizată a lui $f^{\prime }$, pentru că din ea se citește semnul. Un tabel de semn corect valorează, pe barem, cât rezolvarea în sine.

Care este diferența dintre punctul de extrem și valoarea extremă? Punctul de extrem este abscisa $x_0$ în care funcția își schimbă monotonia; valoarea extremă este numărul $f(x_0)$, adică ordonata punctului corespunzător de pe grafic. La examen se cer, de regulă, amândouă, iar baremul le punctează separat, deci se scriu în propoziții distincte.

Cum arăt că un extrem este global, nu doar local? Compari valoarea din punctul critic cu limitele funcției la capetele domeniului, sau cu valorile din capetele închise ale intervalului. Dacă niciun capăt nu coboară sub minimul local, acela este minim global. Fără această comparație, inegalitatea de la subpunctul c) rămâne nedemonstrată.

Cum demonstrez o inegalitate cu derivata? Treci totul într-un membru, obținând $h(x)\ge 0$ pe un interval precizat, derivezi $h$, afli semnul lui $h^{\prime }$, faci tabelul de variație și citești semnul lui $h$. Dacă $h$ e monotonă, e de ajuns valoarea dintr-un capăt; dacă nu, ai nevoie de minimul global al lui $h$.

Când nu se poate scrie ecuația tangentei cu formula obișnuită? Când $f^{\prime }(x_0)$ nu este finită. Dacă derivata în punct este $+\infty$ sau $-\infty$, graficul are tangentă verticală, iar ecuația ei este $x=x_0$. Dacă derivatele laterale există dar diferă, punctul e unghiular și nu există o tangentă unică, ci două semitangente.

De ce nu pot spune că $\frac{1}{x}$ e descrescătoare pe tot domeniul ei? Pentru că domeniul ${\mathbb{R}}^{\ast }$ este o reuniune de două intervale, iar consecința teoremei lui Lagrange se aplică pe un interval. Concret, $f(-1)=-1$ este mai mic decât $f(1)=1$, deși $-1<1$ — deci funcția nu e descrescătoare pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, ci pe fiecare dintre cele două intervale.

Cum recunosc o limită care este de fapt o derivată? După forma raportului de creștere: la numărător o diferență de valori ale aceleiași funcții, la numitor diferența argumentelor. Atunci limita este $f^{\prime }(x_0)$, dacă există. Recunoașterea îți economisește o nedeterminare și, uneori, arată direct că funcția nu este derivabilă în punct.

Ce lecții acoperă problema de analiză de la Subiectul al III-lea? Lecția despre limite, continuitate și asimptote rezolvă primul subpunct, aceasta pe al doilea, iar cea despre studiul funcțiilor și reprezentarea grafică le pune împreună, cu tabelul complet, șirul lui Rolle și discuția după parametru.