Subiectul al III-lea: integrala definită și teorema de medie: pe scurt

Problema de integrală definită cere, de regulă, un calcul la a), o proprietate la b) și o limită sau o proprietate a funcției integrale la c). Unealta principală este formula Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)=F(x){|}_a^b$, valabilă când $f$ e integrabilă pe $[a,b]$ și admite acolo o primitivă; când o ipoteză lipsește, formula dă un rezultat fals, iar semnalul de alarmă e limpede: un integrand pozitiv nu poate da o integrală negativă. La modul sau la funcții pe ramuri se aplică cei patru pași — justificarea integrabilității, tăierea intervalului prin aditivitate, Leibniz–Newton pe fiecare bucată, adunarea —, precedați de tabelul de semn al expresiei de sub bare. Subpunctul b) cere adesea o încadrare: se mărginește integrandul, se scrie dubla inegalitate cu justificarea ei și se integrează, prin monotonia integralei. A doua unealtă este inegalitatea modulului, $\left|{\int }_a^{b}f\right|\le {\int }_a^b|f|$, cu egalitate doar când $f$ nu schimbă semnul. Teorema de medie afirmă doar existența unui $c\in [a,b]$ cu ${\int }_a^{b}f=f(c)(b-a)$: $c$ nu e unic și nu e mijlocul intervalului. Pentru funcția integrală $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ cu $f$ continuă avem $F^{\prime }=f$, deci monotonia lui $F$ vine din semnul lui $f$, nu din monotonia ei.

Exerciții din această mini-lecție

1. Valoarea medie a funcției $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2$, pe intervalul $[0,2]$ este:

   • a) $8$
   • b) $2$
   • c) $4$
   • d) $12$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $4$

   Valoarea medie este $\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$. Aici ${\int }_0^{2}3x^{2}dx=x^3{|}_0^2=8$, iar intervalul are lungimea $2$, deci valoarea medie este $\frac{8}{2}=4$. Varianta $8$ dă integrala, nu media; varianta $12=f(2)$ confundă media cu valoarea de la capăt, iar $2$ ia lungimea intervalului. Atenție: valoarea medie nu este $f\left(\frac{a+b}{2}\right)=f(1)=3$.

2. ${\int }_{-1}^2|x|dx$ este egală cu:

   • a) $1,5$
   • b) $0,5$
   • c) $4,5$
   • d) $2,5$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $2,5$

   Se face întâi tabelul de semn al expresiei de sub bare: $x<0$ pe $[-1,0)$ și $x\ge 0$ pe $[0,2]$. Prin aditivitate, ${\int }_{-1}^2|x|dx={\int }_{-1}^0(-x)dx+{\int }_0^{2}xdx=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}=2,5$. Fiecare bucată iese pozitivă, cum trebuie. Varianta $1,5$ este integrala fără modul, ${\int }_{-1}^{2}xdx$ — exact greșeala pe care ruperea intervalului o previne.

3. Calculul ${\int }_{-1}^1\frac{dx}{x^2}=\left(-\frac{1}{x}\right){|}_{-1}^1=-2$ este greșit, pentru că:

   • a) primitiva corectă este $\frac{1}{x}$, nu $-\frac{1}{x}$
   • b) funcția nu e definită în $0$, punct interior intervalului, deci nu e mărginită și nu e integrabilă pe $[-1,1]$
   • c) lipsește constanta $\mathcal{C}$ din rezultat
   • d) trebuia scris $\ln |x|$ în loc de $-\frac{1}{x}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) funcția nu e definită în $0$, punct interior intervalului, deci nu e mărginită și nu e integrabilă pe $[-1,1]$

   Formula Leibniz–Newton cere ca funcția să fie integrabilă pe $[a,b]$, iar orice funcție integrabilă e mărginită. Aici funcția explodează în $0$, punct interior intervalului, deci ipoteza cade și „rezultatul” obținut mecanic e fals. Semnalul se vede fără niciun calcul: integrandul este strict pozitiv, deci integrala nu are cum să iasă negativă. Primitiva $-\frac{1}{x}$ este corectă — pe fiecare dintre intervalele $(-\infty ,0)$ și $(0,+\infty )$ separat.