Subiectul al III-lea: integrala definită și teorema de medie

După primitive, a doua problemă din Subiectul al III-lea al lucrării de Bacalaureat M1 se mută pe integrala definită — și, odată cu ea, pe un alt fel de întrebări. Nu se mai cere doar un calcul: se cere o încadrare, o comparație, un punct dat de teorema de medie, o proprietate a funcției integrale. Lecția aceasta strânge, pentru clasa a 12-a, exact ce se cere la aceste subpuncte și cum se redactează ele. Teorema de medie spune că, pentru orice funcție continuă $f$ pe $[a,b]$, există un punct $c$ din interval cu ${\int }_a^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)$, iar numărul $\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$ este valoarea medie a funcției.

Uneltele sunt cele construite în unitatea „Integrala definită": formula Leibniz–Newton, proprietățile integralei, teorema de medie, funcția integrală și cele două metode de calcul adaptate limitelor de integrare. Nimic nou. Ce se schimbă este privirea: nu mai lucrăm pe capitole, ci pe subpunctele de câte $5$ puncte ale unei probleme întregi, cu ochii pe baremul care punctează pași, nu rezultate.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști, din enunț, ce tip de cerință este fiecare dintre cele trei subpuncte.
• Vei ști să calculezi o integrală definită, inclusiv atunci când integrandul are modul sau e dat pe ramuri.
• Vei ști să scrii o încadrare completă, cu cele trei etape ale ei, și să folosești inegalitatea modulului.
• Vei ști să aplici teorema de medie și să determini efectiv punctul $c$ pe care ea îl garantează.
• Vei ști să studiezi o funcție integrală: monotonie, extreme, derivata cu capăt compus, limite cu regulile lui L'Hôpital.
• Vei ști cum se redactează un subpunct de $5$ puncte, ca baremul pe pași să găsească fiecare pas la locul lui.

Hai să descoperim împreună

1. Ce se cere, exact, la problema de integrale din Subiectul al III-lea?

Problema de integrală definită din Subiectul al III-lea este o problemă cu trei subpuncte de câte $5$ puncte, în care a) cere de obicei un calcul — o integrală rezolvată cu formula Leibniz–Newton, prin părți sau prin schimbare de variabilă; b) cere o proprietate — o încadrare, o comparație, teorema de medie sau inegalitatea modulului; c) cere o limită sau o proprietate a funcției integrale.

Reamintim forma exactă a uneltei principale, fixată la lecția despre formula Leibniz–Newton: dacă $f$ este integrabilă pe $[a,b]$ și admite acolo primitiva $F$, atunci

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)=F(x){|}_a^b.$$

Cele două ipoteze nu sunt decorative. Când una lipsește — de pildă când funcția nu e definită într-un punct interior — formula dă un „rezultat" fals, iar semnalul de alarmă e simplu: un integrand pozitiv nu poate da o integrală negativă.

2. Cum se calculează integrala când apare un modul sau o definiție pe ramuri?

Se aplică cei patru pași ai integralei pe ramuri, fixați la lecția despre integrala funcțiilor pe ramuri și cu modul: (1) se justifică integrabilitatea; (2) se taie intervalul cu aditivitatea, în punctele de racord sau în zerourile expresiei de sub modul; (3) se aplică formula Leibniz–Newton pe fiecare bucată; (4) se adună. La modul se adaugă pasul preliminar: tabelul de semn al expresiei de sub bare.

Ordinea contează. Cine scrie direct ${\int }_a^b|g(x)|dx={\int }_a^{b}g(x)dx$ pierde tot subpunctul, chiar dacă restul calculelor sunt corecte. Iar controlul e la îndemână: fiecare integrală din sumă trebuie să iasă pozitivă.

Pentru celelalte cazuri, alegerea metodei rămâne cea din arborele de decizie al metodelor de integrare, cu două deosebiri proprii integralei definite: la părți, termenul din afara integralei se evaluează între limite; la schimbarea de variabilă se folosesc cei trei pași ai schimbării de variabilă la integrala definită, în care limitele devin $u(a)$ și $u(b)$ și nu se mai revine la variabila veche.

3. Ce se cere la subpunctul cu proprietăți: încadrarea și inegalitatea modulului?

Cel mai frecvent subpunct b) nu e un calcul, ci o încadrare. Rețeta e cea fixată la lecția despre inegalitățile cu integrale, cu Etapa $1$, Etapa $2$ și Etapa $3$ ale ei, citate ca atare:

1. Etapa $1$ — se găsesc marginile integrandului pe intervalul dat, din inegalități elementare sau din monotonie;
2. Etapa $2$ — se scrie dubla inegalitate $m\le f(x)\le M$, cu justificarea ei;
3. Etapa $3$ — se integrează, prin monotonia integralei, și se calculează cele două margini; condiția $a<b$ este obligatorie, altfel inegalitățile se răstoarnă.

A doua unealtă a acestui subpunct este inegalitatea modulului, fixată la lecția despre proprietățile integralei definite:

$$\left|{\int }_a^{b}f(x)dx\right|\le {\int }_a^b|f(x)|dx.$$

E o inegalitate, nu o egalitate: pentru $f(x)=\sin x$ pe $[0,2\pi ]$, membrul stâng este $0$ și cel drept este $4$. Egalitatea are loc când $f$ nu schimbă semnul pe interval — situație în care primul pas al rezolvării nu aduce nimic, dar rămâne obligatoriu de scris, pentru că el justifică trecerea.

4. Ce spune teorema de medie și cum se determină punctul $c$?

Dacă $f$ este continuă pe $[a,b]$, există $c\in [a,b]$ cu ${\int }_a^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)$; numărul $\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$ se numește valoarea medie a lui $f$ pe interval. Geometric: dreptunghiul de bază $b-a$ și înălțime $f(c)$ are aceeași arie cu subgraficul.

Determinarea efectivă a lui $c$ urmează cei patru pași fixați la lecția despre teorema de medie: se verifică continuitatea; se calculează integrala; se scrie ecuația $f(c)=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f$; se rezolvă ecuația și se rețin doar soluțiile din $[a,b]$.

Două precizări care aduc puncte. Prima: punctul $c$ nu este unic — Exemplul $5$ arată un caz cu două valori. A doua: $c$ nu este mijlocul intervalului, iar valoarea medie nu este $f\left(\frac{a+b}{2}\right)$.

5. Cum se lucrează cu funcția integrală?

Pentru $f$ continuă pe un interval $I$ și $a\in I$, funcția $F:I\to \mathbb{R}$, $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$, este derivabilă și $F^{\prime }=f$ — teorema de existență a primitivelor, din lecția despre funcția integrală. Variabila de sub integrală este $t$, întotdeauna, pentru că $x$ e ocupat de limita superioară.

De aici, rețeta funcției integrale în trei pași din lecția despre aplicațiile funcției integrale: continuitate $\to$ semnul lui $f$ $\to$ tabelul de variație al lui $F$. Se adaugă două unelte:

• derivata cu capete variabile, ${\left({\int }_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt\right)}^{\prime }=f(v(x))v^{\prime }(x)-f(u(x))u^{\prime }(x)$ — regula de memorat este „înlocuiești $t$ cu capătul de sus și înmulțești cu derivata capătului";
• limitele de tip $\frac{0}{0}$, de forma $\underset{x\to a}{\lim }\frac{1}{x-a}{\int }_a^{x}f(t)dt$, care se ridică fie prin definiția derivatei, fie cu regulile lui L'Hôpital, după ce s-a verificat cazul de nedeterminare.

Capcana clasică: „$f$ strict crescătoare $\Rightarrow$ $F$ crescătoare" este falsă. Monotonia lui $F$ vine din semnul lui $f$, nu din monotonia ei; monotonia lui $f$ dă convexitatea lui $F$.

6. Cum se redactează un subpunct de cinci puncte?

Un subpunct se împarte de obicei $2+3$ sau $1+2+2$, pe pași identificabili. Ordinea care îi face vizibili:

1. ipoteza verificată — continuitate, monotonie, semn constant: o propoziție, nu subînțeleasă;
2. metoda numită — „integrăm prin părți cu $f(x)=x$ și $g^{\prime }(x)=e^x$" sau „notăm $u(x)=x^2+1$";
3. transformarea scrisă complet, cu limitele noi la schimbarea de variabilă;
4. calculul, cu $F(x){|}_a^b$ scris explicit;
5. rezultatul exact, nu aproximat;
6. răspunsul la cerință, cu cuvintele enunțului.

Capcanele acestei unități sunt strânse, sub numele de cele opt capcane ale unității, în sinteza unității Integrala definită; merită recitite înainte de examen, pentru că fiecare dintre ele costă exact un subpunct.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Integrală cu modul, comparată cu integrala fără modul

Se consideră funcția $f:[-1,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\left|x^2-2x\right|$.

a) Alcătuiți tabelul de semn al expresiei $x^2-2x$ pe intervalul $[-1,3]$. (5 puncte)

b) Calculați ${\int }_{-1}^3\left|x^2-2x\right|dx$. (5 puncte)

c) Calculați ${\int }_{-1}^3\left(x^2-2x\right)dx$ și explicați de ce cele două rezultate diferă. (5 puncte)

Rezolvare. a) Este pasul preliminar al celor patru pași ai integralei pe ramuri. Trinomul $x^2-2x=x(x-2)$ are rădăcinile $0$ și $2$, ambele în interval, iar coeficientul dominant e pozitiv:

b) Funcția $f$ este continuă pe $[-1,3]$, deci integrabilă. Tăiem intervalul în $0$ și în $2$, prin aditivitate, și scriem modulul fără bare pe fiecare bucată:

$${\int }_{-1}^3\left|x^2-2x\right|dx={\int }_{-1}^0\left(x^2-2x\right)dx+{\int }_0^2\left(2x-x^2\right)dx+{\int }_2^3\left(x^2-2x\right)dx.$$

Cu primitiva $\frac{x^3}{3}-x^2$ pentru primul și al treilea termen și $x^2-\frac{x^3}{3}$ pentru al doilea:

$${\int }_{-1}^0\left(x^2-2x\right)dx=0-\left(-\frac{1}{3}-1\right)=\frac{4}{3},{\int }_0^2\left(2x-x^2\right)dx=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3},$$

$${\int }_2^3\left(x^2-2x\right)dx=(9-9)-\left(\frac{8}{3}-4\right)=\frac{4}{3},\text{deci}{\int }_{-1}^3\left|x^2-2x\right|dx=3\cdot \frac{4}{3}=4.$$

Toți cei trei termeni sunt pozitivi — controlul unității e trecut. (Verificat numeric, pe bucăți de semn constant.)

c) Aceleași trei bucăți, dar cu semnele lor:

$${\int }_{-1}^3\left(x^2-2x\right)dx=\frac{4}{3}-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{4}{3}.$$

Rezultatele diferă pentru că integrala adună cu semn, iar modulul răstoarnă bucata negativă înainte de adunare. Diferența dintre ele, $4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$, este exact dublul bucății de pe $[0,2]$.

Exemplul 2. Teorema de medie, cu punctul $c$ determinat efectiv

Se consideră funcția $f:[0,5]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{3x+1}$.

a) Calculați ${\int }_0^5\sqrt{3x+1}dx$. (5 puncte)

b) Determinați valoarea medie a funcției $f$ pe intervalul $[0,5]$. (5 puncte)

c) Determinați numărul $c$ dat de teorema de medie și arătați că el este unic. (5 puncte)

Primitiva radicalului $\sqrt{3x+1}$ a fost calculată, ca integrală nedefinită, la lecția despre primitivele funcțiilor cu radicali și exponențiale; reluarea e deliberată — aici întrebarea e alta.

Rezolvare. a) Aplicăm schimbarea de variabilă la integrala definită, cu $u(x)=3x+1$, funcție derivabilă cu $u^{\prime }(x)=3$. Limitele devin $u(0)=1$ și $u(5)=16$, iar revenirea la $x$ nu se mai face:

$${\int }_0^5\sqrt{3x+1}dx=\frac{1}{3}{\int }_1^{16}\sqrt{t}dt=\frac{1}{3}\cdot \frac{2t\sqrt{t}}{3}{|}_1^{16}=\frac{2}{9}\left(64-1\right)=14.$$

(Verificat numeric.)

b) Valoarea medie este $\frac{1}{5-0}{\int }_0^{5}f(x)dx=\frac{14}{5}=2,8$.

c) Cei patru pași. Pasul $1$: $f$ este continuă pe $[0,5]$, ca radical dintr-o funcție de gradul întâi strict pozitivă acolo. Pasul $2$: integrala e $14$, de la a). Pasul $3$: ecuația este $\sqrt{3c+1}=\frac{14}{5}$. Pasul $4$: ridicând la pătrat, $3c+1=\frac{196}{25}$, deci $3c=\frac{171}{25}$ și

$$c=\frac{57}{25}=2,28\in [0,5].$$

Unicitatea vine din monotonie: $f$ este strict crescătoare pe $[0,5]$, fiind compunerea a două funcții strict crescătoare, deci ecuația $f(c)=\frac{14}{5}$ are cel mult o soluție. Observă că $c$ nu este mijlocul intervalului, care ar fi $2,5$. (Verificat numeric.)

Exemplul 3. Încadrare din monotonie și inegalitatea modulului

a) Arătați că funcția $g:[1,2]\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{e^x}{x}$, este strict crescătoare. (5 puncte)

b) Deduceți că $e\le {\int }_1^2\frac{e^x}{x}dx\le \frac{e^2}{2}$. (5 puncte)

c) Arătați că $\left|{\int }_1^2\frac{\sin x}{x}dx\right|\le \ln 2$. (5 puncte)

Rezolvare. a) Funcția e derivabilă pe $[1,2]$, ca raport de funcții derivabile cu numitorul nenul, și

$$g^{\prime }(x)=\frac{e^x\cdot x-e^x\cdot 1}{x^2}=\frac{e^x(x-1)}{x^2}.$$

Pe $[1,2]$ avem $e^x>0$, $x^2>0$ și $x-1\ge 0$, cu anulare doar în $x=1$, deci $g^{\prime }\ge 0$, iar $g$ este strict crescătoare.

b) Etapa $1$: din monotonie, marginile lui $g$ pe $[1,2]$ sunt valorile de la capete, $g(1)=e$ și $g(2)=\frac{e^2}{2}$. Etapa $2$:

$$e\le \frac{e^x}{x}\le \frac{e^2}{2},x\in [1,2].$$

Etapa $3$: integrăm pe un interval de lungime $1$, folosind monotonia integralei, și obținem exact inegalitatea cerută. (Verificat numeric: integrala valorează aproximativ $3,059$, iar $e\approx 2,718$ și $\frac{e^2}{2}\approx 3,695$.)

c) Aplicăm inegalitatea modulului, apoi monotonia integralei. Pentru orice $x$ real avem $|\sin x|\le 1$, iar pe $[1,2]$ numitorul e pozitiv, deci $\frac{|\sin x|}{x}\le \frac{1}{x}$. Prin urmare

$$\left|{\int }_1^2\frac{\sin x}{x}dx\right|\le {\int }_1^2\frac{|\sin x|}{x}dx\le {\int }_1^2\frac{dx}{x}=\ln |x|{|}_1^2=\ln 2.$$

O observație care se punctează. Pe $[1,2]\subset (0,\pi )$ funcția $\sin$ este strict pozitivă, deci prima inegalitate este de fapt o egalitate: aici modulul nu „taie" nimic. Pasul rămâne totuși obligatoriu de scris, pentru că el justifică trecerea de la integrala funcției la integrala modulului. Contrastul e util de ținut minte: pentru $\sin x$ pe $[0,2\pi ]$, membrul stâng este $0$, iar membrul drept este $4$. (Verificat numeric: integrala valorează aproximativ $0,659\le \ln 2\approx 0,693$.)

Exemplul 4. Funcția integrală: monotonie, valoare, capăt compus

Se consideră funcția $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)={\int }_0^x\frac{t-2}{t^2+4}dt$.

a) Arătați că $F$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$ și determinați punctul ei de extrem. (5 puncte)

b) Calculați $F(2)$. (5 puncte)

c) Fie $H:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $H(x)=F\left(x^2\right)$. Calculați $H^{\prime }(x)$ și determinați intervalele de monotonie ale lui $H$. (5 puncte)

Rezolvare. a) Integrandul $t\mapsto \frac{t-2}{t^2+4}$ este continuu pe $\mathbb{R}$, numitorul fiind strict pozitiv. Prin teorema de existență a primitivelor, $F$ este derivabilă și

$$F^{\prime }(x)=\frac{x-2}{x^2+4},x\in \mathbb{R}.$$

Semnul lui $F^{\prime }$ este semnul lui $x-2$: negativ pe $(-\infty ,2)$, nul în $2$, pozitiv pe $(2,+\infty )$. Deci $F$ este strict descrescătoare pe $(-\infty ,2]$ și strict crescătoare pe $[2,+\infty )$, iar $x=2$ este punct de minim global.

b) Rupem integrandul în două bucăți cunoscute, prima cu derivata numitorului la numărător:

$$\int \frac{t-2}{t^2+4}dt=\frac{1}{2}\int \frac{2t}{t^2+4}dt-2\int \frac{dt}{t^2+4}=\frac{1}{2}\ln \left(t^2+4\right)-\mathrm{arctg}\frac{t}{2}+\mathcal{C}.$$

Logaritmul se scrie fără modul, pentru că $t^2+4>0$. Prin formula Leibniz–Newton,

$$F(2)=\left(\frac{1}{2}\ln \left(t^2+4\right)-\mathrm{arctg}\frac{t}{2}\right){|}_0^2=\left(\frac{1}{2}\ln 8-\frac{\pi }{4}\right)-\frac{1}{2}\ln 4=\frac{\ln 2}{2}-\frac{\pi }{4}.$$

(Verificat numeric: $F(2)\approx -0,439$.)

c) Aplicăm regula derivării unei integrale cu capăt variabil: înlocuim $t$ cu capătul de sus și înmulțim cu derivata capătului. Cu $v(x)=x^2$ și $v^{\prime }(x)=2x$,

$$H^{\prime }(x)=F^{\prime }\left(x^2\right)\cdot 2x=\frac{x^2-2}{x^4+4}\cdot 2x=\frac{2x\left(x^2-2\right)}{x^4+4}.$$

Numitorul e strict pozitiv, deci semnul lui $H^{\prime }$ este semnul produsului $2x\left(x^2-2\right)$, care se anulează în $-\sqrt{2}$, $0$ și $\sqrt{2}$:

Citirea tabelului: $H$ este strict descrescătoare pe $\left(-\infty ,-\sqrt{2}\right]$ și pe $\left[0,\sqrt{2}\right]$, strict crescătoare pe $\left[-\sqrt{2},0\right]$ și pe $\left[\sqrt{2},+\infty \right)$. (Valorile lui $H^{\prime }$ au fost verificate numeric.)

Exemplul 5. Funcție pe ramuri: punctul din teorema de medie nu e unic

Se consideră funcția $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, definită prin $f(x)=x+1$ pentru $x\in [0,1]$ și $f(x)=\frac{4}{x+1}$ pentru $x\in (1,2]$.

a) Arătați că $f$ este continuă pe $[0,2]$ și deduceți că este integrabilă. (5 puncte)

b) Calculați ${\int }_0^{2}f(x)dx$. (5 puncte)

c) Determinați toate valorile $c\in [0,2]$ date de teorema de medie. (5 puncte)

Rezolvare. a) Pe $[0,1)$ și pe $(1,2]$ funcția e continuă, fiind polinomială, respectiv raport de funcții continue cu numitorul nenul. În $x=1$: limita la stânga este $1+1=2$, limita la dreapta este $\frac{4}{2}=2$, iar $f(1)=2$. Cele trei valori coincid, deci $f$ e continuă pe $[0,2]$ și, fiind continuă pe un interval închis și mărginit, este integrabilă acolo.

b) Tăiem intervalul în $1$, prin aditivitate:

$${\int }_0^{2}f(x)dx={\int }_0^1(x+1)dx+{\int }_1^2\frac{4}{x+1}dx=\left(\frac{x^2}{2}+x\right){|}_0^1+4\ln (x+1){|}_1^2=\frac{3}{2}+4\ln \frac{3}{2}.$$

Logaritmul se scrie fără modul, pentru că $x+1>0$ pe interval. Numeric, $\frac{3}{2}+4\ln \frac{3}{2}\approx 3,122$. (Verificat numeric, pe formulele celor două ramuri.)

c) Valoarea medie este $m=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}+4\ln \frac{3}{2}\right)=\frac{3}{4}+2\ln \frac{3}{2}\approx 1,561$. Rezolvăm $f(c)=m$ pe fiecare ramură, păstrând doar soluțiile din ramura respectivă.

Pe $[0,1]$: $c+1=m$, deci $c_1=2\ln \frac{3}{2}-\frac{1}{4}\approx 0,561$, care aparține lui $[0,1]$.

Pe $(1,2]$: $\frac{4}{c+1}=m$, deci $c_2=\frac{16}{3+8\ln \frac{3}{2}}-1\approx 1,563$, care aparține lui $(1,2]$.

Există așadar două valori ale lui $c$, ceea ce arată că teorema de medie afirmă doar existența, nu unicitatea. Observă totodată că niciuna nu este mijlocul intervalului, $1$. (Ambele au fost verificate numeric.)

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{x^2-2x+2}$. Problema are formatul obișnuit al problemei $2$ din Subiectul al III-lea: trei subpuncte de câte $5$ puncte.

a) Arătați că $f(x)=\frac{1}{2}\cdot \frac{2x-2}{x^2-2x+2}+\frac{1}{(x-1{)}^2+1}$ pentru orice $x$ real. (5 puncte)

b) Calculați ${\int }_0^{2}f(x)dx$. (5 puncte)

c) Fie $G:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $G(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$. Arătați că $G$ este strict crescătoare pe $[0,+\infty )$ și calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{G(x)}{x^2}$. (5 puncte)

Rezolvare. a) Trinomul are discriminantul $4-8=-4<0$ și coeficientul dominant pozitiv, deci $x^2-2x+2>0$ pentru orice $x$ real, iar forma canonică este $(x-1{)}^2+1$. Derivata numitorului este $2x-2$, iar ruperea numărătorului cerută de rețeta trinomului este $x=\frac{2x-2}{2}+1$. Adunând cele două fracții din membrul drept, care au același numitor:

$$\frac{(x-1)+1}{x^2-2x+2}=\frac{x}{x^2-2x+2}=f(x).$$

b) Descompunerea de la a) rupe integrala în două bucăți cunoscute: prima are la numărător derivata numitorului, a doua e rândul $12$ din tabelul primitivelor, cu $a=1$, după translația $x-1$.

$${\int }_0^{2}f(x)dx=\frac{1}{2}\ln \left(x^2-2x+2\right){|}_0^2+\mathrm{arctg}(x-1){|}_0^2=\frac{1}{2}(\ln 2-\ln 2)+\left(\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\pi }{2}.$$

Primul termen se anulează pentru că numitorul ia aceeași valoare, $2$, la ambele capete — o simetrie care merită observată. (Verificat numeric.)

c) Monotonia. Integrandul e continuu pe $\mathbb{R}$, deci $G$ este derivabilă și $G^{\prime }(x)=f(x)=\frac{x}{x^2-2x+2}$. Pe $[0,+\infty )$ numărătorul e nenegativ și numitorul strict pozitiv, deci $G^{\prime }\ge 0$, cu anulare doar în $x=0$; prin urmare $G$ este strict crescătoare pe $[0,+\infty )$.

Limita. Cum $G(0)=0$, avem cazul $\frac{0}{0}$, iar numitorul $x^2$ tinde tot la $0$. Aplicăm regula lui L'Hôpital:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{G(x)}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{G^{\prime }(x)}{2x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{x}{x^2-2x+2}}{2x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{2\left(x^2-2x+2\right)}=\frac{1}{4}.$$

Simplificarea cu $x$ e legitimă, pentru că în limită $x\ne 0$. (Verificat numeric, cu primitiva exactă: raportul valorează $0,250017$ pentru $x=10^{-4}$.)

Să exersăm

Exercițiile $1$–$3$ formează o problemă de tip Subiectul al III-lea: se consideră funcția $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+3}}$.

1. Calculați ${\int }_0^{1}f(x)dx$.

2. Arătați că $0\le f(x)\le \frac{1}{2}$ pentru orice $x\in [0,1]$ și verificați că rezultatul de la exercițiul $1$ respectă încadrarea obținută.

3. Arătați că funcția $F:[0,1]\to \mathbb{R}$, $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$, este strict crescătoare și convexă pe $(0,1]$.

Exercițiile $4$–$6$: se consideră funcția $f:[0,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\left|x^2-9\right|$.

4. Alcătuiți tabelul de semn al expresiei $x^2-9$ pe intervalul $[0,4]$.

5. Calculați ${\int }_0^4\left|x^2-9\right|dx$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „${\int }_0^4\left|x^2-9\right|dx=\left|{\int }_0^4\left(x^2-9\right)dx\right|$."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f$ este continuă și strict pozitivă pe $[a,b]$, cu $a<b$, atunci ${\int }_a^{b}f(x)dx>0$."

8. Arătați că ${\int }_0^1\frac{dx}{x^3+2}\ge {\int }_0^1\frac{dx}{x^2+2}$, folosind monotonia integralei.

9. Calculați ${\int }_{-2}^2\left(x^3+3x^2\right)dx$, folosind paritatea celor doi termeni.

10. Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}{\int }_0^x\frac{dt}{\sqrt{t^2+4}}$.

11. Fie $G:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $G(x)={\int }_0^{x^2}\frac{dt}{t+3}$. Calculați $G^{\prime }(x)$.

12. Fie $F:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $F(x)={\int }_1^x\ln tdt$. Arătați că $F$ este convexă și determinați punctul ei de minim.

13. Arătați că $\frac{1}{2}\le {\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{x^2+3}}\le \frac{1}{\sqrt{3}}$, apoi calculați integrala și verificați încadrarea.

14. Arătați că $\left|{\int }_0^{\pi }\frac{\cos x}{x+2}dx\right|\le \ln \frac{\pi +2}{2}$.

15. (Problemă aplicată.) Viteza unui automobil, în kilometri pe oră, la momentul $t$ (în ore) este $v(t)=60+40t-20t^2$, pentru $t\in [0,2]$. Determinați viteza medie pe interval și momentele în care viteza instantanee este egală cu media.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x^2+3x+2}$. a) Arătați că $f(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}$. b) Calculați ${\int }_0^{1}f(x)dx$. c) Arătați că $\frac{1}{6}\le {\int }_0^{1}f(x)dx\le \frac{1}{2}$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:[1,e]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1+\ln x}{x}$. a) Calculați ${\int }_1^{e}f(x)dx$. b) Determinați valoarea medie a funcției $f$ pe $[1,e]$.

18. (Provocare.) Fie $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ o funcție continuă cu ${\int }_0^{1}f(x)dx=0$. Arătați că există $c\in [0,1]$ astfel încât $f(c)=0$.

Răspunsuri și explicații

1. Numărătorul este, până la un factor $\frac{1}{2}$, derivata expresiei de sub radical, deci o primitivă este $\sqrt{x^2+3}$: ${\int }_0^{1}f(x)dx=\sqrt{x^2+3}{|}_0^1=2-\sqrt{3}\approx 0,268$. (Verificat numeric.)

2. Pe $[0,1]$ avem $x\ge 0$ și $\sqrt{x^2+3}\ge \sqrt{3}>0$, deci $f(x)\ge 0$. Funcția e crescătoare acolo (numărătorul crește, numitorul crește mai încet), iar $f(1)=\frac{1}{2}$, deci $f(x)\le \frac{1}{2}$. Prin monotonia integralei, $0\le {\int }_0^{1}f\le \frac{1}{2}$, iar $2-\sqrt{3}\approx 0,268$ respectă încadrarea.

3. Integrandul e continuu pe $[0,1]$, deci $F^{\prime }=f$. Pe $(0,1]$ avem $f>0$, deci $F$ e strict crescătoare. Pentru convexitate, $F^{\prime \prime }=f^{\prime }$, iar $f^{\prime }(x)=\frac{3}{\left(x^2+3\right)\sqrt{x^2+3}}>0$, deci $F$ este convexă.

4. $x^2-9=(x-3)(x+3)$ are în intervalul $[0,4]$ o singură rădăcină, $3$:

5. Tăiem în $3$: ${\int }_0^3\left(9-x^2\right)dx+{\int }_3^4\left(x^2-9\right)dx=(27-9)+\left(\frac{64}{3}-36\right)-\left(9-27\right)=18+\frac{10}{3}=\frac{64}{3}$. Ambii termeni sunt pozitivi. (Verificat numeric, pe bucăți.)

6. Fals. Membrul stâng este $\frac{64}{3}$, iar ${\int }_0^4\left(x^2-9\right)dx=\frac{64}{3}-36=-\frac{44}{3}$, al cărui modul este $\frac{44}{3}$. Egalitatea ar avea loc numai dacă expresia de sub modul nu și-ar schimba semnul pe interval, ceea ce aici nu se întâmplă.

7. Adevărat. Prin teorema de medie există $c\in [a,b]$ cu ${\int }_a^{b}f=f(c)(b-a)$; cum $f(c)>0$ și $b-a>0$, produsul este strict pozitiv. Se poate argumenta și cu monotonia integralei, folosind minimul funcției continue pe interval închis.

8. Pe $[0,1]$ avem $x^3\le x^2$, deci $x^3+2\le x^2+2$, iar prin trecerea la invers a numerelor strict pozitive sensul se schimbă: $\frac{1}{x^3+2}\ge \frac{1}{x^2+2}$. Monotonia integralei dă inegalitatea cerută. (Verificat numeric: $0,4508\ge 0,4352$.)

9. Funcția $x\mapsto x^3$ este impară, iar intervalul e simetric, deci ${\int }_{-2}^2{x}^{3}dx=0$. Funcția $x\mapsto 3x^2$ este pară, deci ${\int }_{-2}^{2}3x^{2}dx=2{\int }_0^{2}3x^{2}dx=2\cdot 8=16$. Suma este $16$. (Verificat numeric.)

10. Este limita fundamentală a funcției integrale, un caz $\frac{0}{0}$. Cu $F(x)={\int }_0^x\frac{dt}{\sqrt{t^2+4}}$ avem $F(0)=0$, iar limita este chiar $F^{\prime }(0)$, prin definiția derivatei: $F^{\prime }(0)=\frac{1}{\sqrt{0+4}}=\frac{1}{2}$. (Verificat numeric.)

11. Regula capătului variabil: se înlocuiește $t$ cu capătul de sus și se înmulțește cu derivata capătului. Deci $G^{\prime }(x)=\frac{1}{x^2+3}\cdot 2x=\frac{2x}{x^2+3}$.

12. Integrandul $\ln$ e continuu pe $(0,+\infty )$, deci $F^{\prime }=\ln$ și $F^{\prime \prime }(x)=\frac{1}{x}>0$; prin urmare $F$ este convexă. Semnul lui $F^{\prime }$ este semnul lui $\ln x$: negativ pe $(0,1)$, pozitiv pe $(1,+\infty )$, deci $x=1$ este punct de minim, cu $F(1)=0$.

13. Pe $[0,1]$ avem $3\le x^2+3\le 4$, deci $\sqrt{3}\le \sqrt{x^2+3}\le 2$ și, prin trecerea la invers, $\frac{1}{2}\le \frac{1}{\sqrt{x^2+3}}\le \frac{1}{\sqrt{3}}$; integrând pe un interval de lungime $1$ se obține încadrarea. Integrala este rândul $13$ din tabel, cu $a=\sqrt{3}$: $\ln \left(x+\sqrt{x^2+3}\right){|}_0^1=\ln 3-\ln \sqrt{3}=\frac{1}{2}\ln 3\approx 0,549$, care se află între $0,5$ și $\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0,577$. (Verificat numeric.)

14. Prin inegalitatea modulului și prin $|\cos x|\le 1$: $\left|{\int }_0^{\pi }\frac{\cos x}{x+2}dx\right|\le {\int }_0^{\pi }\frac{|\cos x|}{x+2}dx\le {\int }_0^{\pi }\frac{dx}{x+2}=\ln (x+2){|}_0^{\pi }=\ln \frac{\pi +2}{2}$. (Verificat numeric: membrul stâng valorează aproximativ $0,177$, iar cel drept $0,944$ — inegalitatea e departe de a fi egalitate, pentru că $\cos$ își schimbă semnul.)

15. ${\int }_0^{2}v(t)dt=\left(60t+20t^2-\frac{20t^3}{3}\right){|}_0^2=120+80-\frac{160}{3}=\frac{440}{3}$, deci viteza medie este $\frac{1}{2}\cdot \frac{440}{3}=\frac{220}{3}\approx 73,33$ kilometri pe oră. Ecuația $v(t)=\frac{220}{3}$ devine $t^2-2t+\frac{2}{3}=0$, cu soluțiile $t=1\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$, adică $t\approx 0,423$ și $t\approx 1,577$ — ambele în $[0,2]$, deci încă un caz cu două valori. (Model simplificat: viteza reală nu urmează exact o parabolă.)

16. a) $\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}=\frac{(x+2)-(x+1)}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x^2+3x+2}$. b) Pe $[0,1]$ ambii numitori sunt strict pozitivi, deci ${\int }_0^{1}f(x)dx=\ln \frac{x+1}{x+2}{|}_0^1=\ln \frac{2}{3}-\ln \frac{1}{2}=\ln \frac{4}{3}\approx 0,288$. c) Pe $[0,1]$ avem $2\le x^2+3x+2\le 6$, deci $\frac{1}{6}\le f(x)\le \frac{1}{2}$; integrând pe un interval de lungime $1$ se obține încadrarea, iar $0,288$ o respectă. (Verificat numeric.)

17. a) Cu substituția $u(x)=\ln x$, $u^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$, limitele devin $u(1)=0$ și $u(e)=1$: ${\int }_1^e\frac{1+\ln x}{x}dx={\int }_0^1(1+t)dt=\left(t+\frac{t^2}{2}\right){|}_0^1=\frac{3}{2}$. b) Valoarea medie este $\frac{1}{e-1}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{2(e-1)}\approx 0,873$. (Verificat numeric.)

18. Aplicăm teorema de medie: $f$ fiind continuă pe $[0,1]$, există $c\in [0,1]$ cu ${\int }_0^{1}f(x)dx=f(c)(1-0)=f(c)$. Cum integrala este nulă, rezultă $f(c)=0$. Concluzia se poate obține și fără teorema de medie: dacă $f$ ar fi strict pozitivă pe tot intervalul, integrala ar fi strict pozitivă (exercițiul $7$), la fel și pentru semnul negativ, deci $f$ ia și valori $\le 0$ și valori $\ge 0$, iar proprietatea valorilor intermediare încheie argumentul.

De reținut

• Problema de integrală definită din Subiectul al III-lea cere de obicei un calcul la a), o proprietate la b) — încadrare, comparație, teorema de medie — și o limită sau o proprietate a funcției integrale la c).
• Formula Leibniz–Newton se aplică numai când funcția e integrabilă pe interval și admite acolo o primitivă; un integrand pozitiv care dă o integrală negativă este semnalul că o ipoteză a fost sărită.
• La modul sau la funcțiile pe ramuri se aplică cei patru pași ai integralei pe ramuri, precedați de tabelul de semn, iar fiecare integrală din sumă trebuie să iasă pozitivă.
• Teorema de medie afirmă doar existența unui punct $c$ în interval: el nu e unic, nu e mijlocul intervalului, iar determinarea lui efectivă cere rezolvarea ecuației $f(c)=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f$ și păstrarea soluțiilor din interval.
• Pentru funcția integrală $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ cu $f$ continuă, monotonia lui $F$ vine din semnul lui $f$, iar convexitatea din monotonia lui $f$ — nu invers.

Greșeli frecvente

• Integrezi un modul fără să rupi intervalul. Se caută întâi zerourile expresiei de sub bare, se face tabelul de semn, se taie intervalul acolo prin aditivitate, apoi se scrie fiecare bucată fără modul.
• Aplici formula Leibniz–Newton peste un punct din afara domeniului. Dacă funcția nu e definită într-un punct interior — cum e $\frac{1}{x^2}$ în $0$ — nu e nici mărginită, deci nu e integrabilă, iar „rezultatul" obținut mecanic e fals.
• Tratezi punctul din teorema de medie ca fiind unic sau ca fiind mijlocul intervalului. Teorema garantează doar existența; pot exista două sau mai multe valori, iar valoarea medie nu este $f\left(\frac{a+b}{2}\right)$.
• Confunzi $\left|{\int }_a^{b}f\right|$ cu ${\int }_a^b|f|$. Prima poate fi mult mai mică decât a doua, iar egalitatea are loc doar când $f$ păstrează semn constant pe interval.
• Deduci monotonia lui $F$ din monotonia lui $f$. Monotonia funcției integrale se citește din semnul lui $f$; monotonia lui $f$ dă convexitatea lui $F$, care e cu totul altceva.

Aplică acasă

1. Fișa celor trei subpuncte. Scrie pe o singură foaie, în trei coloane, tipurile de cerințe de la a), b) și c), iar sub fiecare rețeta cu pașii ei numiți: cei patru pași ai integralei pe ramuri, cele trei etape ale încadrării, cei patru pași ai teoremei de medie, rețeta funcției integrale în trei pași. Ține foaia la vedere la următoarele cinci probleme.

2. Zece încadrări. Ia zece integrale definite pe care nu le poți calcula exact și scrie pentru fiecare o încadrare, cu toate cele trei etape. Verifică apoi numeric, cu un calculator de buzunar, că valoarea reală se află între margini. Vei vedea repede care încadrări sunt strânse și care sunt inutil de largi.

3. Trei probleme cu cronometrul. Rezolvă din nou Exemplele $2$, $4$ și $6$, cu foaia acoperită, în cel mult zece minute fiecare, cu redactare completă. Notează unde ai pierdut timp: de obicei la alegerea metodei de calcul, iar puncte se pierd la justificarea ipotezelor.

Pentru părinți și profesori

Lecția continuă seria dedicată problemei a doua din Subiectul al III-lea și adună competențele XII.CS.2.6, XII.CS.3.6 și XII.CS.4.6 în formatul examenului. Nu introduce nicio noțiune nouă: toate cele șase probleme folosesc exclusiv rezultate predate în unitatea „Integrala definită". Valoarea ei stă în recunoașterea tipului de cerință, redactarea pe pași și controalele de plauzibilitate.

Ce verifică lecția: (1) calculul unei integrale definite, inclusiv cu modul sau pe ramuri; (2) încadrarea unei integrale, cu cele trei etape; (3) inegalitatea modulului și cazul în care ea devine egalitate; (4) teorema de medie și determinarea efectivă a punctului $c$; (5) studiul funcției integrale, inclusiv derivata cu capăt compus; (6) o limită de tip $\frac{0}{0}$ ridicată cu regulile lui L'Hôpital.

Întrebări bune de control: „De unde știi că funcția e integrabilă?", „Unde își schimbă semnul expresia de sub modul?", „Cum ai obținut încadrarea și de ce se păstrează sensul?", „Punctul din teorema de medie este unic?", „Ce spune semnul funcției despre monotonia funcției integrale?". Semn că elevul a înțeles: înainte de a calcula, se uită la interval și la semnul integrandului.

La BAC, problema de acest tip valorează $15$ puncte, adică o șesime din lucrare. Exercițiile $16$ și $17$ sunt formulate exact ca în variante și merită rezolvate cu cronometrul, în cel mult opt minute fiecare. Lecția anterioară a tratat primitivele și metodele de integrare, iar cea următoare duce discuția mai departe, către șirurile de integrale și limitele cu sume Riemann.

Întrebări frecvente

Ce se cere la subiectul cu integrale la Bacalaureat M1?

Este a doua problemă din Subiectul al III-lea, cu trei subpuncte de câte cinci puncte. Subpunctul a) cere de obicei un calcul de integrală definită, prin părți, prin schimbare de variabilă sau direct cu formula Leibniz–Newton. Subpunctul b) cere o proprietate: o încadrare, o comparație sau o aplicație a teoremei de medie. Subpunctul c) cere o limită sau o proprietate a funcției integrale.

Cum se calculează o integrală cu modul?

Se aplică cei patru pași ai integralei pe ramuri, precedați de tabelul de semn. Se găsesc zerourile expresiei de sub bare, se taie intervalul acolo prin aditivitate, se scrie modulul fără bare pe fiecare bucată, se aplică formula Leibniz–Newton și se adună. Controlul: fiecare integrală din sumă trebuie să iasă pozitivă, iar rezultatul final e cel puțin egal cu modulul integralei fără bare.

Cum se face o încadrare a unei integrale definite?

În trei etape. Întâi se găsesc marginile integrandului pe intervalul dat, din inegalități elementare sau din monotonie. Apoi se scrie dubla inegalitate, cu justificarea ei. În final se integrează, prin monotonia integralei, și se calculează cele două margini. Sensul inegalităților se păstrează numai dacă limita inferioară de integrare este mai mică decât cea superioară.

Ce spune teorema de medie și la ce se folosește?

Spune că pentru orice funcție continuă pe un interval închis și mărginit există un punct $c$ în interval cu proprietatea că integrala este egală cu $f(c)$ înmulțit cu lungimea intervalului. Se folosește pentru a arăta că o ecuație are soluție, pentru a estima o integrală și pentru a introduce valoarea medie a funcției. Punctul $c$ nu este unic și nu este mijlocul intervalului.

Cum se determină efectiv punctul $c$ din teorema de medie?

În patru pași: se verifică continuitatea funcției, se calculează integrala, se scrie ecuația în care $f(c)$ este egal cu valoarea medie și se rezolvă ecuația, păstrând doar soluțiile din interval. La funcțiile definite pe ramuri, ecuația se rezolvă separat pe fiecare ramură, iar fiecare soluție se verifică dacă aparține ramurii ei — de acolo apar cazurile cu două valori.

Ce este funcția integrală și ce proprietăți are?

Este funcția $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$, definită pentru $f$ continuă pe un interval care îl conține pe $a$. Ea este derivabilă, cu $F^{\prime }=f$, deci orice funcție continuă pe un interval admite primitive. Monotonia lui $F$ se citește din semnul lui $f$, extremele din punctele în care $f$ își schimbă semnul, iar convexitatea din monotonia lui $f$.

Când se folosește regula lui L'Hôpital la o limită cu integrale?

Numai după ce s-a verificat că limita este un caz de nedeterminare $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty }{\infty }$. Cel mai frecvent apare la limite de forma $\underset{x\to a}{\lim }\frac{1}{x-a}{\int }_a^{x}f(t)dt$, unde numărătorul tinde la zero pentru că $F(a)=0$. Derivând numărătorul se obține chiar $f(x)$, iar limita devine $f(a)$; același rezultat se obține direct din definiția derivatei.

De ce nu e voie să scriu integrala modulului ca modul al integralei?

Pentru că cele două numere sunt, în general, diferite: modulul integralei poate fi zero când integrala modulului este mare. Exemplul standard este $\sin$ pe intervalul de la $0$ la $2\pi$, unde membrul stâng este $0$ și cel drept este $4$. Relația corectă este o inegalitate, iar egalitatea are loc doar când funcția păstrează semn constant pe tot intervalul.