Subiectul al III-lea: limite, continuitate, asimptote: pe scurt

Prima problemă a Subiectului al III-lea are trei subpuncte de câte $5$ puncte, cu dificultate crescătoare, iar primul e aproape mereu o limită. Prima întrebare la orice limită este „este caz de nedeterminare?”; dacă nu, se citește direct din operațiile în $\overline{\mathbb{R}}$, iar dacă da, nedeterminarea se numește în scris și abia apoi se alege unealta: factorizare la $\frac{0}{0}$ raționale, factor dominant la $\frac{\infty }{\infty }$, conjugata la radicali, limitele fundamentale în jurul lui $0$, logaritmare la $1^{\infty }$. Regula lui L'Hôpital se aplică numai după verificarea scrisă a cazului, iar derivarea se face separat la numărător și la numitor. Continuitatea unei funcții pe ramuri se decide numai în punctele de racord, comparând cele două limite laterale cu $f(x_0)$; „speța I” înseamnă limite laterale existente și finite. Asimptotele urmează schema în patru pași: domeniul, verticalele, capătul $-\infty$, capătul $+\infty$. La fiecare capăt infinit se caută întâi orizontala și numai dacă ea lipsește se trece la cei trei pași ai oblicei, $m=\lim \frac{f(x)}{x}$, apoi $n=\lim (f(x)-mx)$; cele două se exclud reciproc. Un punct exclus din domeniu nu înseamnă automat asimptotă verticală: dacă limita e finită, graficul are acolo o gaură.

Exerciții din această mini-lecție

1. Se consideră $f:\mathbb{R}\setminus \{-5,5\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-3x-10}{x^2-25}$. Despre dreapta $x=5$ se poate afirma că:

   • a) este asimptotă verticală bilaterală
   • b) nu este asimptotă verticală, pentru că limita în $5$ este finită
   • c) este asimptotă verticală numai la dreapta
   • d) este asimptotă orizontală
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) nu este asimptotă verticală, pentru că limita în $5$ este finită

   Factorizăm o dată, pentru toată problema: $\frac{(x-5)(x+2)}{(x-5)(x+5)}=\frac{x+2}{x+5}$ pe domeniu. În $x=5$ limita este $\frac{7}{10}$, finită, deci graficul are acolo o gaură, în punctul $\left(5,\frac{7}{10}\right)$, nu o asimptotă. Verdictul îl dau întotdeauna limitele laterale, nu simpla excludere din domeniu. (În $x=-5$, în schimb, numărătorul formei simplificate valorează $-3\ne 0$, deci acolo chiar există asimptotă verticală.)

2. Asimptota oblică la graficul funcției $f(x)=\frac{3x^2-x+4}{x+1}$, spre $+\infty$, are ecuația:

   • a) $y=3x+4$
   • b) $y=3x-1$
   • c) $y=3x-4$
   • d) $y=3x$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $y=3x-4$

   Cel mai scurt drum e împărțirea: $3x^2-x+4=(x+1)(3x-4)+8$, deci $f(x)=3x-4+\frac{8}{x+1}$. Cu cei trei pași ai oblicei: $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=3$, finit și nenul, apoi $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-3x)=-4$, finit; concluzia este dreapta $y=3x-4$. Ordinea e obligatorie: întâi $m$, apoi $n$, și numai după ce s-a constatat că nu există orizontală.

3. Limita $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{9x^2+2}}{x-5}$ este egală cu:

   • a) $3$
   • b) $9$
   • c) $-9$
   • d) $-3$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $-3$

   La scoaterea lui $x$ de sub un radical de ordin par apare modulul: $\sqrt{9x^2+2}=|x|\sqrt{9+\frac{2}{x^2}}$, iar pentru $x<0$ avem $|x|=-x$. Raportul devine $\frac{-x\sqrt{9+\frac{2}{x^2}}}{x\left(1-\frac{5}{x}\right)}\to -3$. Varianta $3$ este exact rezultatul obținut fără modul — greșeala din care ies, la funcțiile cu radical, două asimptote orizontale diferite la cele două capete.