Subiectul al III-lea: limite, continuitate și asimptote

Prima problemă din Subiectul al III-lea al examenului de Bacalaureat M1 începe aproape întotdeauna la fel: „Se consideră funcția $f:D\to \mathbb{R}$…", urmată de trei cerințe de câte $5$ puncte. Iar primul dintre cele trei subpuncte cere, în cele mai multe variante, o limită — într-un punct, la un capăt al domeniului sau la infinit. Lecția aceasta strânge tot ce ai nevoie pentru acel prim subpunct: limitele, continuitatea funcțiilor definite pe ramuri și lista asimptotelor, așa cum se cer ele la clasa a 12-a, la specializarea matematică-informatică. Prima problemă a Subiectului al III-lea de la Bacalaureat M1 cere limite, continuitate și asimptote: o limită cu nedeterminare, continuitatea unei funcții definite pe ramuri și lista completă a asimptotelor graficului.

Nu se predă nimic nou aici. Uneltele sunt cele din clasa a XI-a — nedeterminări, limite fundamentale, regulile lui L'Hôpital, clasificarea punctelor de discontinuitate — plus numele pe care clasa a XII-a le-a dat comportamentului la capete: asimptota orizontală, oblică și verticală. Ce se schimbă este formatul: nu mai lucrăm pe capitole, ci pe structura problemei de examen, cu redactarea care aduce punctele exact acolo unde le caută baremul.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști, din enunțul unui subpunct, ce fel de limită ți se cere și ce unealtă o rezolvă.
• Vei ști să calculezi limite în puncte finite și la $\pm \infty$, alegând între factorizare, amplificare cu conjugata, limite fundamentale și regulile lui L'Hôpital.
• Vei ști să determini parametrii pentru care o funcție definită pe ramuri este continuă, și să clasifici punctul de discontinuitate când nu este.
• Vei ști să scrii lista completă a asimptotelor la graficul unei funcții, cu ecuațiile lor și cu capătul precizat.
• Vei ști să deosebești un punct în care graficul are o „gaură" de un punct în care are asimptotă verticală.
• Vei ști cum se redactează un subpunct de $5$ puncte, ca baremul pe pași să găsească fiecare pas la locul lui.

Hai să descoperim împreună

1. Ce se cere, exact, la prima problemă din Subiectul al III-lea?

Problema 1 din Subiectul al III-lea este problema de analiză matematică sprijinită pe materia clasei a XI-a — limite, continuitate, derivate, variație — completată cu asimptotele și reprezentarea grafică studiate în clasa a XII-a; ea are trei subpuncte, notate a), b), c), fiecare valorând $5$ puncte, deci $15$ puncte în total. Structura completă a examenului este descrisă în lecția despre structura subiectelor de Bacalaureat M1.

Cele trei subpuncte urmează, aproape mereu, o ordine de dificultate crescătoare, iar primul e cel mai des un calcul de limită. Iată tiparele care se repetă din variantă în variantă:

Reține formularea corectă, cea pe care o cere baremul: asimptotă la graficul funcției $f$, nu „asimptota funcției". Asimptota este o dreaptă din plan, deci se raportează la o curbă, nu la o formulă.

2. Cum alegi metoda de calcul pentru o limită?

Totul pornește de la întrebarea: este sau nu caz de nedeterminare? Dacă nu este, limita se citește direct din operațiile cu limite în dreapta reală încheiată $\overline{\mathbb{R}}$. Dacă este, ai una dintre cele șapte situații, în ordinea canonică fixată la clasa a XI-a: $$\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty },\infty -\infty ,0\cdot \infty ,1^{\infty },{\infty }^0,0^0.$$

Alegerea uneltei se face după forma expresiei, nu după tipul nedeterminării:

• funcții raționale, $\frac{0}{0}$ într-un punct finit — se factorizează numărătorul și numitorul și se simplifică prin $(x-x_0)$;
• funcții raționale, $\frac{\infty }{\infty }$ — se scoate factor comun puterea dominantă din fiecare membru;
• radicali, $\infty -\infty$ sau $\frac{0}{0}$ — se amplifică cu conjugata (pentru radicali de ordinul al doilea) sau cu expresia care completează formula $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, pentru radicali de ordinul al treilea;
• expresii cu $\sin$, $\ln$, $e^x$ în jurul lui $0$ — cele cinci limite fundamentale, cu substituția scrisă explicit;
• $1^{\infty }$ — logaritmare, adică $f^g=e^{g\ln f}$, sau forma cu numărul $e$;
• orice caz $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty }{\infty }$ în care celelalte metode se blochează — regulile lui L'Hôpital.

⚠️ Regula lui L'Hôpital se aplică numai după ce ai verificat, în scris, că limita este de tipul $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty }{\infty }$, iar derivarea se face separat la numărător și la numitor, niciodată cu regula câtului. Baremul acordă un punct pentru verificarea nedeterminării; cine sare peste ea îl pierde chiar dacă rezultatul e corect.

3. Cum se verifică continuitatea unei funcții definite pe ramuri?

O funcție definită prin formule diferite pe intervale diferite poate avea probleme doar în punctele de racord, adică acolo unde se schimbă formula; în rest, fiecare ramură e continuă pentru că e alcătuită din funcții elementare. Procedura în punctul de racord $x_0$ are trei pași, în această ordine:

1. se calculează limita la stânga, $\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x<x_0\end{array}}{\lim }f(x)$, cu formula de pe ramura din stânga;
2. se calculează limita la dreapta, $\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x>x_0\end{array}}{\lim }f(x)$, cu formula de pe ramura din dreapta;
3. se compară amândouă cu $f(x_0)$: funcția e continuă în $x_0$ dacă și numai dacă cele trei numere coincid.

Dacă nu coincid, punctul se clasifică: dacă amândouă limitele laterale există și sunt finite, discontinuitatea e de speța I, iar diferența $l_d(x_0)-l_s(x_0)$ se numește saltul funcției; în orice altă situație — o limită laterală infinită sau inexistentă — discontinuitatea e de speța a II-a. Cuvântul „finite" nu se sare: fără el, definiția speței I este greșită, iar la Bacalaureat M1 se depunctează. Detaliile sunt în lecția despre punctele de discontinuitate, iar tehnica de determinare a parametrilor, în cea despre continuitatea funcțiilor pe ramuri.

4. Cum se scrie lista asimptotelor?

Aici clasa a XII-a își aduce partea ei. Se aplică schema asimptotelor în patru pași, fixată în lecția despre asimptotele funcțiilor uzuale: (1) domeniul de definiție; (2) asimptotele verticale; (3) capătul $-\infty$; (4) capătul $+\infty$. La fiecare capăt infinit ordinea e obligatorie: întâi orizontala, și numai dacă ea nu există se trece la cei trei pași ai oblicei — panta $$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}\in {\mathbb{R}}^{\ast },\text{apoi}n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-mx)\in \mathbb{R},\text{apoi concluzia }y=mx+n.$$

Trei precizări care se punctează separat și se uită des:

• Propoziția de excludere reciprocă: spre același capăt, o funcție nu poate avea și asimptotă orizontală, și asimptotă oblică. Odată găsită orizontala, oblica nu se mai caută.
• Cele două capete se studiază separat. La funcțiile cu radical de ordin par pantele pot să difere, pentru că $\sqrt{x^2}=|x|$, iar $|x|=-x$ pentru $x<0$ — vei vedea asta în Exemplul 2.
• Candidații la asimptotă verticală sunt numai capetele finite și deschise ale domeniului și punctele de discontinuitate; un punct interior în care $f$ e continuă nu poate da asimptotă verticală. Identificarea lor a fost fixată în lecția despre definiția asimptotei, iar verdictul se dă cu limitele laterale, ca în lecția despre asimptota verticală.

5. De ce un punct exclus din domeniu nu înseamnă automat asimptotă verticală?

Pentru că un punct exclus poate ascunde o gaură, nu o explozie. Dacă limita în acel punct există și este finită, graficul are acolo un singur punct lipsă, iar dreapta verticală nu se apropie de nimic. Cazul clasic este o fracție în care numărătorul și numitorul se anulează simultan: după simplificare rămâne o expresie cu limită finită.

Verdictul se dă mereu la fel: calculezi limitele laterale. Dacă cel puțin una e infinită, ai asimptotă verticală, și precizezi dacă e la stânga, la dreapta sau bilaterală. Dacă amândouă sunt finite, nu ai asimptotă — ai o discontinuitate care se poate elimina prelungind funcția cu valoarea limitei. Vei întâlni ambele situații în Exemplele 4 și 6.

6. Cum se redactează un subpunct de cinci puncte?

Baremele oficiale sparg cele $5$ puncte în doi sau trei pași, de tipul „$2$ p pentru scrierea limitei sub forma …, $3$ p pentru finalizare". De aceea o rezolvare corectă dar comprimată pierde puncte. Ordinea care le adună pe toate:

1. scrie domeniul sau punctul în care lucrezi, chiar dacă enunțul îl dă;
2. numește nedeterminarea („este un caz $\frac{0}{0}$"), pentru că e un pas punctat;
3. scrie transformarea — factorizarea, conjugata, substituția — nu doar rezultatul ei;
4. invocă teorema pe nume, cu ipotezele verificate: „funcțiile sunt derivabile pe o vecinătate redusă a lui $0$ și derivata numitorului nu se anulează, deci se poate aplica regula lui L'Hôpital";
5. încheie cu o propoziție în cuvinte: „deci dreapta $x=-3$ este asimptotă verticală bilaterală la graficul funcției $f$".

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Funcție rațională: verticală și oblică

Se consideră $f:\mathbb{R}\setminus \{-3\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x^2-5x+1}{x+3}$. a) Calculați limitele laterale ale funcției $f$ în punctul $x_0=-3$. (5 puncte) b) Determinați asimptotele la graficul funcției $f$. (5 puncte) c) Arătați că graficul funcției $f$ nu are niciun punct comun cu asimptota sa oblică. (5 puncte)

Rezolvare. a) În $x_0=-3$ numărătorul valorează $2\cdot 9+15+1=34\ne 0$, iar numitorul tinde la $0$; nu e nedeterminare, ci un caz de tipul $\frac{34}{0}$, în care semnul numitorului decide. Pentru $x<-3$ avem $x+3<0$, iar pentru $x>-3$ avem $x+3>0$, deci $$\underset{\begin{array}{c}x\to -3\\ x<-3\end{array}}{\lim }f(x)=\frac{34}{0^{-}}=-\infty ,\underset{\begin{array}{c}x\to -3\\ x>-3\end{array}}{\lim }f(x)=\frac{34}{0^{+}}=+\infty .$$ (Verificat numeric: pe $x=-3-10^{-k}$ valorile scad sub $-3\cdot 10^7$, iar pe $x=-3+10^{-k}$ cresc peste $3\cdot 10^7$.) ✓

b) Pasul 1 — domeniul: $\mathbb{R}\setminus \{-3\}$, cu un singur candidat la verticală. Pasul 2: din a), dreapta $x=-3$ este asimptotă verticală bilaterală. Pașii 3 și 4: la ambele capete infinite $f(x)\to \pm \infty$, deci nu există orizontală și trecem la oblică. Împărțim: $$2x^2-5x+1=(x+3)(2x-11)+34,\text{deci}f(x)=2x-11+\frac{34}{x+3}.$$ De aici $m=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=2$, finit și nenul, apoi $n=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }(f(x)-2x)=-11$, finit. Concluzia: dreapta $y=2x-11$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ și spre $-\infty$. Lista completă are două drepte: $x=-3$ și $y=2x-11$. (Verificat: pentru $x=10^7$, raportul $f(x)/x$ dă $2,000000\dots$, iar $f(x)-2x$ dă $-10,999996\dots$) ✓

c) Un punct comun ar însemna $f(x)=2x-11$, adică $\frac{34}{x+3}=0$ — imposibil, pentru că numărătorul e constanta $34\ne 0$. Mai mult, semnul diferenței spune și de care parte stă curba: $f(x)-(2x-11)=\frac{34}{x+3}$ este strict pozitiv pentru $x>-3$ și strict negativ pentru $x<-3$, deci graficul stă deasupra asimptotei pe ramura din dreapta și sub ea pe ramura din stânga. ✓

Exemplul 2. Radical de ordinul al doilea: două orizontale diferite

Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3x-2}{\sqrt{4x^2+1}}$. a) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$. (5 puncte) b) Calculați $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$ și scrieți lista asimptotelor. (5 puncte) c) Arătați că $f(x)<\frac{3}{2}$ pentru orice număr real $x$. (5 puncte)

Rezolvare. Domeniul e $\mathbb{R}$, pentru că $4x^2+1>0$; nu există candidați la asimptotă verticală.

a) Nedeterminare $\frac{\infty }{\infty }$. Scoatem $x$ factor la numărător și $\sqrt{x^2}=|x|$ la numitor. Pentru $x>0$, $|x|=x$: $$f(x)=\frac{x\left(3-\frac{2}{x}\right)}{x\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}}=\frac{3-\frac{2}{x}}{\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}}⟶\frac{3}{\sqrt{4}}=\frac{3}{2}.$$ Deci dreapta $y=\frac{3}{2}$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$.

b) Pentru $x<0$ avem $|x|=-x$, deci același calcul dă un semn minus: $$f(x)=\frac{x\left(3-\frac{2}{x}\right)}{-x\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}}=-\frac{3-\frac{2}{x}}{\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}}⟶-\frac{3}{2}.$$ Dreapta $y=-\frac{3}{2}$ este asimptotă orizontală spre $-\infty$. Lista completă: două orizontale, $y=\frac{3}{2}$ spre $+\infty$ și $y=-\frac{3}{2}$ spre $-\infty$; nicio verticală, nicio oblică (excluse de orizontale). (Verificat numeric la $x=\pm 10^8$.) ✓

c) Inegalitatea $\frac{3x-2}{\sqrt{4x^2+1}}<\frac{3}{2}$ este echivalentă cu $2(3x-2)<3\sqrt{4x^2+1}$, adică $6x-4<3\sqrt{4x^2+1}$, pentru că $\sqrt{4x^2+1}>0$. Dacă $6x-4\le 0$, inegalitatea e evidentă, membrul drept fiind strict pozitiv. Dacă $6x-4>0$, amândoi membrii sunt pozitivi și ridicarea la pătrat păstrează sensul: $36x^2-48x+16<36x^2+9$, adică $48x>7$, adevărat, pentru că $6x-4>0$ dă $x>\frac{2}{3}>\frac{7}{48}$. Deci graficul rămâne strict sub asimptota lui orizontală. (Verificat: valorile lui $f$ pe $[-10^6,10^6]$ rămân sub $1,5$, cu minimul $-2,5$ atins în $x=-\frac{3}{8}$.) ✓

Exemplul 3. Funcție pe ramuri, cu doi parametri

Se consideră $f:(3,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-x-12}{x-4}$ pentru $x\in (3,4)$, $f(4)=a$ și $f(x)=\frac{b\ln (x-3)}{x-4}$ pentru $x>4$, unde $a,b$ sunt numere reale. a) Calculați cele două limite laterale ale funcției $f$ în $x_0=4$. (5 puncte) b) Determinați $a$ și $b$ pentru care $f$ este continuă în $x_0=4$. (5 puncte) c) Pentru $b=3$, arătați că $x_0=4$ este punct de discontinuitate de speța I și calculați saltul. (5 puncte)

Rezolvare. a) La stânga, nedeterminarea $\frac{0}{0}$ se rezolvă prin factorizare: $x^2-x-12=(x-4)(x+3)$, deci pentru $x\ne 4$ expresia se simplifică la $x+3$ și $$\underset{\begin{array}{c}x\to 4\\ x<4\end{array}}{\lim }f(x)=\underset{\begin{array}{c}x\to 4\\ x<4\end{array}}{\lim }(x+3)=7.$$ La dreapta, tot $\frac{0}{0}$; notăm $t=x-4$, care tinde la $0$ odată cu $x\to 4$, și scriem $\ln (x-3)=\ln (1+t)$, ca să folosim limita fundamentală $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+t)}{t}=1$: $$\underset{\begin{array}{c}x\to 4\\ x>4\end{array}}{\lim }f(x)=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{b\ln (1+t)}{t}=b.$$

b) Continuitatea în $4$ cere ca cele două limite laterale și valoarea $f(4)=a$ să fie egale: $7=b=a$. Rezultă $a=7$ și $b=7$. (Verificat numeric: pentru $b=7$, valorile de pe ambele ramuri se apropie de $7$ la $x=4\pm 10^{-7}$.) ✓

c) Pentru $b=3$, limita la dreapta devine $3$, iar cea la stânga rămâne $7$. Amândouă există și sunt finite, dar sunt diferite, deci $x_0=4$ este punct de discontinuitate de speța I. Saltul este $$l_d(4)-l_s(4)=3-7=-4.$$ Cuvântul „finite" este esențial în justificare: fără el, condiția descrie și speța a II-a. ✓

Exemplul 4. Punct exclus fără asimptotă verticală

Se consideră $f:\mathbb{R}\setminus \{0\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{e^x-1}$. a) Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$ și decideți dacă dreapta $x=0$ este asimptotă verticală. (5 puncte) b) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ și scrieți asimptota corespunzătoare. (5 puncte) c) Arătați că dreapta $y=-x$ este asimptotă oblică spre $-\infty$. (5 puncte)

Rezolvare. a) În $0$ avem nedeterminare $\frac{0}{0}$. Folosim limita fundamentală $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$ (cazul $a=e$ al limitei $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a^x-1}{x}=\ln a$) și trecem la inversul ei: $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{e^x-1}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{\frac{e^x-1}{x}}=\frac{1}{1}=1.$$ Limita există și este finită, deci $x=0$ nu este asimptotă verticală: graficul are acolo doar o gaură, iar funcția se poate prelungi prin continuitate punând $f(0)=1$. (Verificat numeric pe $x=\pm 10^{-k}$, $k=3,\dots ,8$.) ✓

b) Spre $+\infty$ avem $\frac{\infty }{\infty }$; funcțiile $x$ și $e^x-1$ sunt derivabile, iar derivata numitorului, $e^x$, nu se anulează, deci se poate aplica regula lui L'Hôpital: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{e^x-1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{e^x}=0.$$ Dreapta $y=0$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$.

c) Spre $-\infty$, $e^x\to 0$, deci $f(x)\to \frac{-\infty }{-1}=+\infty$: nu există orizontală și căutăm oblica. Panta: $$m=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{e^x-1}=\frac{1}{0-1}=-1,$$ finită și nenulă. Termenul liber: $$n=\underset{x\to -\infty }{\lim }(f(x)+x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+x\left(e^x-1\right)}{e^x-1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x{e}^x}{e^x-1}=\frac{0}{-1}=0,$$ unde am folosit că $x{e}^x\to 0$ când $x\to -\infty$ (cu $t=-x\to +\infty$ devine $-\frac{t}{e^t}\to 0$). Deci $y=-x$ este asimptotă oblică spre $-\infty$. (Verificat: la $x=-160$, raportul $f(x)/x$ și diferența $f(x)+x$ sunt egale cu $-1$, respectiv $0$, pe mai mult de treizeci de zecimale.) ✓

Exemplul 5. Radical de ordinul al treilea: aceeași oblică la ambele capete

Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{x^3-6x^2}$. a) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt[3]{x^3-6x^2}-x\right)$. (5 puncte) b) Arătați că dreapta $y=x-2$ este asimptotă oblică spre $+\infty$. (5 puncte) c) Arătați că aceeași dreaptă este asimptotă oblică și spre $-\infty$. (5 puncte)

Rezolvare. a) Nedeterminare $\infty -\infty$. Notăm $u=\sqrt[3]{x^3-6x^2}$ și $v=x$; din $u^3-v^3=(u-v)\left(u^2+uv+v^2\right)$ obținem $$u-v=\frac{u^3-v^3}{u^2+uv+v^2}=\frac{-6x^2}{\sqrt[3]{{\left(x^3-6x^2\right)}^2}+x\sqrt[3]{x^3-6x^2}+x^2}.$$ Scoatem $x^2$ factor comun la numitor: fiecare dintre cei trei termeni tinde la $x^2$, deci numitorul se comportă ca $3x^2$ și limita este $\frac{-6x^2}{3x^2}=-2$.

b) Panta: $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt[3]{1-\frac{6}{x}}=1$, finită și nenulă. Termenul liber este chiar limita de la a): $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-x)=-2$, finit. Concluzia: $y=x-2$ este asimptotă oblică spre $+\infty$.

c) Radicalul de ordin impar e definit pe tot $\mathbb{R}$ și păstrează semnul, deci nu apare modulul care a rupt simetria în Exemplul 2: $\sqrt[3]{x^3}=x$ și pentru $x<0$. Aceleași două calcule dau $m=1$ și $n=-2$ și spre $-\infty$, deci dreapta $y=x-2$ este asimptotă oblică la ambele capete. (Verificat numeric la $x=\pm 10^7$: panta și ordonata se stabilizează la $1$ și $-2$ cu peste zece zecimale exacte.) ✓

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{-2,2\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x^2-x-6}{x^2-4}$. a) Calculați $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)$. (5 puncte) b) Calculați limitele laterale ale funcției $f$ în $x_0=-2$. (5 puncte) c) Determinați asimptotele la graficul funcției $f$. (5 puncte)

Rezolvare. Domeniul este $\mathbb{R}\setminus \{-2,2\}$, deci avem doi candidați la asimptotă verticală. Factorizăm o dată, pentru tot restul problemei: $2x^2-x-6=(2x+3)(x-2)$ și $x^2-4=(x-2)(x+2)$, deci pentru orice $x$ din domeniu $$f(x)=\frac{(2x+3)(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{2x+3}{x+2}.$$

a) Nedeterminare $\frac{0}{0}$, rezolvată de simplificarea de mai sus: $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\frac{7}{4}$. Limita e finită, deci $x=2$ nu dă asimptotă verticală — graficul are acolo o gaură, în punctul de coordonate $\left(2,\frac{7}{4}\right)$.

b) În $x_0=-2$ numărătorul formei simplificate valorează $-1\ne 0$, iar numitorul tinde la $0$ schimbând semnul: $$\underset{\begin{array}{c}x\to -2\\ x<-2\end{array}}{\lim }f(x)=\frac{-1}{0^{-}}=+\infty ,\underset{\begin{array}{c}x\to -2\\ x>-2\end{array}}{\lim }f(x)=\frac{-1}{0^{+}}=-\infty .$$ Deci $x=-2$ este asimptotă verticală bilaterală. (Verificat numeric pe $-2\pm 10^{-k}$.) ✓

c) Aplicăm schema în patru pași. Pasul 1: domeniul, deja scris. Pasul 2: dintre cei doi candidați, doar $x=-2$ trece testul limitelor laterale. Pașii 3 și 4: la ambele capete infinite, $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{2x+3}{x+2}=2$, deci $y=2$ este asimptotă orizontală spre $-\infty$ și spre $+\infty$; prin propoziția de excludere reciprocă, nu se mai caută oblice. Lista completă are două drepte: $x=-2$ (verticală) și $y=2$ (orizontală, la ambele capete). ✓

Să exersăm

1. Calculați $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2+x-6}{x^2-4}$.

2. Pentru funcția de la exercițiul 1, calculați limitele laterale în $x_0=-2$ și scrieți ecuația asimptotei verticale.

3. Determinați asimptotele orizontale la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{5x+2}{\sqrt{x^2+1}}$.

4. Arătați că $\frac{2x^2+3x-2}{x+2}=2x-1$ pentru orice $x\ne -2$ și deduceți că graficul funcției nu are asimptotă verticală.

5. Determinați asimptota oblică la graficul funcției $f:\mathbb{R}\setminus \{1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3x^2-2x+1}{x-1}$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $x_0$ nu aparține domeniului de definiție al funcției $f$, atunci dreapta $x=x_0$ este asimptotă verticală la graficul lui $f$."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „O funcție poate avea, spre $+\infty$, și asimptotă orizontală, și asimptotă oblică."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă limitele laterale ale funcției $f$ în $x_0$ există, atunci $x_0$ este punct de discontinuitate de speța I."

9. Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{6^x-1}{x}$.

10. Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{2x}-1}{\sin x}$.

11. Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{2x+5}{2x+1}\right)}^x$.

12. Determinați asimptotele la graficul funcției $f:\mathbb{R}\setminus \{3\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x^2+1}{x-3}$.

13. Arătați că graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x^2+4x+13}$, are asimptota $y=x+2$ spre $+\infty$ și asimptota $y=-x-2$ spre $-\infty$.

14. (Problemă aplicată.) Concentrația unui medicament în sânge, la $t$ ore de la administrare, este $C(t)=\frac{2t}{\sqrt{t^2+4}}$ miligrame pe litru, $t\ge 0$. Calculați $\underset{t\to +\infty }{\lim }C(t)$ și interpretați rezultatul.

15. Determinați numerele reale $a$ și $b$ pentru care funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{\mathrm{tg}4x}{x}$ pentru $x<0$, $f(0)=a$ și $f(x)=bx+4$ pentru $x>0$, este continuă în $x_0=0$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\setminus \{-1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{4x^2+3}{x+1}$. a) Calculați limitele laterale în $x_0=-1$. b) Determinați asimptota oblică. c) Scrieți lista completă a asimptotelor.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{\ln x}{x+1}$. a) Calculați $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }f(x)$. b) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$. c) Scrieți asimptotele la graficul funcției $f$.

18. (Provocare.) Arătați că graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{x^3-3x^2}$, are dreapta $y=x-1$ ca asimptotă oblică la ambele capete, și determinați de care parte a ei stă curba spre $+\infty$. (Este aceeași familie ca în Exemplul 5, cu alt coeficient.)

Răspunsuri și explicații

1. Nedeterminare $\frac{0}{0}$. Factorizăm: $\frac{(x-2)(x+3)}{(x-2)(x+2)}=\frac{x+3}{x+2}$ pentru $x\ne 2$, deci limita este $\frac{5}{4}$. Punctul $x=2$ este o gaură, nu o asimptotă.

2. Din forma simplificată, în $-2$ numărătorul valorează $1\ne 0$: $\underset{\begin{array}{c}x\to -2\\ x<-2\end{array}}{\lim }f(x)=\frac{1}{0^{-}}=-\infty$ și $\underset{\begin{array}{c}x\to -2\\ x>-2\end{array}}{\lim }f(x)=\frac{1}{0^{+}}=+\infty$. Dreapta $x=-2$ este asimptotă verticală bilaterală. (Verificat numeric.)

3. Cu $\sqrt{x^2}=|x|$: spre $+\infty$ limita este $\frac{5}{1}=5$, iar spre $-\infty$ este $-5$. Două asimptote orizontale: $y=5$ spre $+\infty$ și $y=-5$ spre $-\infty$. (Verificat la $x=\pm 10^8$.)

4. $(x+2)(2x-1)=2x^2+3x-2$, deci raportul se simplifică. Limita în $-2$ este $2\cdot (-2)-1=-5$, finită, deci nu există asimptotă verticală: graficul e o dreaptă cu un punct lipsă, $(-2,-5)$.

5. Împărțind, $3x^2-2x+1=(x-1)(3x+1)+2$, deci $f(x)=3x+1+\frac{2}{x-1}$. Atunci $m=3$ și $n=1$, iar asimptota oblică este $y=3x+1$, la ambele capete. (Verificat: la $x=10^7$, $f(x)-3x$ dă $1,0000002$.)

6. Fals. Verdictul îl dau limitele laterale, nu apartenența la domeniu. Contraexemplul din Exemplul 6: în $x_0=2$ funcția nu e definită, dar limita este $\frac{7}{4}$, finită — o gaură, nu o asimptotă.

7. Fals. Este propoziția de excludere reciprocă: dacă există orizontala, atunci $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ e finită, deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=0$, iar panta unei oblice trebuie să fie nenulă.

8. Fals. Lipsește cuvântul finite. Dacă limitele laterale există dar cel puțin una e infinită, punctul e de speța a II-a; exemplul lui $\frac{1}{x}$ în $0$ arată exact asta.

9. Este a treia limită fundamentală, $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a^x-1}{x}=\ln a$, cu $a=6$: rezultatul este $\ln 6$. Atenție, valoarea nu este $1$ — cazul $a=e$ e singurul care dă $1$. (Verificat numeric.)

10. Nedeterminare $\frac{0}{0}$. Scriem $\frac{e^{2x}-1}{\sin x}=\frac{e^{2x}-1}{2x}\cdot \frac{x}{\sin x}\cdot 2$; primele două rapoarte tind la $1$, deci limita este $2$. (Verificat numeric la $x=10^{-7}$.)

11. Nedeterminare $1^{\infty }$. Prin logaritmare, limita este $e^{\ell }$ cu $\ell =\underset{x\to +\infty }{\lim }x\ln \frac{2x+5}{2x+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }x\ln \left(1+\frac{4}{2x+1}\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4x}{2x+1}=2$. Rezultatul este $e^2$. (Verificat: la $x=10^9$, exponentul dă $2,0000000$.)

12. Verticală: $x=3$, bilaterală, pentru că numărătorul valorează $19\ne 0$ acolo. Oblică: din $2x^2+1=(x-3)(2x+6)+19$ rezultă $f(x)=2x+6+\frac{19}{x-3}$, deci $y=2x+6$, la ambele capete.

13. $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+4x+13}}{x}=1$ și $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+4x+13}-x\right)=\lim \frac{4x+13}{\sqrt{x^2+4x+13}+x}=2$. Spre $-\infty$, $\sqrt{x^2}=-x$, deci $m=-1$ și, analog, $n=-2$. (Verificat numeric la ambele capete.)

14. $\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{2t}{\sqrt{t^2+4}}=2$, deci dreapta $C=2$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$: concentrația crește, dar nu depășește niciodată $2$ miligrame pe litru, apropiindu-se oricât de mult de această valoare-plafon.

15. La stânga, cu corolarul $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{tg}t}{t}=1$ și substituția $t=4x$: $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }\frac{\mathrm{tg}4x}{x}=4$; la dreapta, $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }(bx+4)=4$, pentru orice $b$. Continuitatea cere $a=4$, iar $b$ poate fi orice număr real — o observație care se scrie explicit, pentru că baremul o cere.

16. a) În $-1$ numărătorul valorează $7\ne 0$, iar numitorul schimbă semnul, deci $\underset{\begin{array}{c}x\to -1\\ x<-1\end{array}}{\lim }f(x)=\frac{7}{0^{-}}=-\infty$ și $\underset{\begin{array}{c}x\to -1\\ x>-1\end{array}}{\lim }f(x)=\frac{7}{0^{+}}=+\infty$; dreapta $x=-1$ este asimptotă verticală bilaterală. b) Din $4x^2+3=(x+1)(4x-4)+7$ rezultă $f(x)=4x-4+\frac{7}{x+1}$, deci $m=4$, $n=-4$ și asimptota este $y=4x-4$. c) Lista: $x=-1$ (verticală) și $y=4x-4$ (oblică, la ambele capete).

17. a) $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{\ln x}{x+1}=\frac{-\infty }{1}=-\infty$, deci $x=0$ este asimptotă verticală la dreapta. b) Nedeterminare $\frac{\infty }{\infty }$; cu regula lui L'Hôpital, $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1/x}{1}=0$. c) Asimptotele sunt $x=0$ (verticală, doar la dreapta, pentru că funcția nu e definită la stânga) și $y=0$ (orizontală spre $+\infty$). (Verificat numeric.)

18. $m=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\sqrt[3]{1-\frac{3}{x}}=1$, iar $n=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(\sqrt[3]{x^3-3x^2}-x\right)=\lim \frac{-3x^2}{u^2+ux+x^2}=-1$, cu $u=\sqrt[3]{x^3-3x^2}$. Deci $y=x-1$ este asimptotă la ambele capete. Spre $+\infty$, diferența $f(x)-(x-1)$ este negativă (numitorul $u^2+ux+x^2$ e pozitiv, iar $-3x^2+\dots$ rămâne sub $-1$), deci curba stă sub asimptotă. (Verificat numeric la $x=\pm 10^7$.)

De reținut

• Prima întrebare la orice limită este „este caz de nedeterminare?". Dacă nu, se citește direct din operațiile în $\overline{\mathbb{R}}$; dacă da, se numește nedeterminarea în scris și abia apoi se alege unealta.
• Regula lui L'Hôpital cere verificarea prealabilă a cazului $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty }{\infty }$ și derivarea separată a numărătorului și a numitorului; e un pas punctat pe barem, nu o formalitate.
• Continuitatea unei funcții pe ramuri se decide numai în punctele de racord, comparând cele două limite laterale cu valoarea funcției; „speța I" înseamnă limite laterale existente și finite.
• Schema asimptotelor are patru pași — domeniul, verticalele, capătul $-\infty$, capătul $+\infty$ — iar la fiecare capăt infinit se caută întâi orizontala, apoi, numai dacă ea lipsește, oblica.
• Un punct exclus din domeniu nu înseamnă automat asimptotă verticală. Dacă limita acolo e finită, graficul are o gaură; verdictul îl dau întotdeauna limitele laterale.

Greșeli frecvente

• Se aplică regula lui L'Hôpital fără verificarea nedeterminării. Corect: se arată întâi că numărătorul și numitorul tind amândoi la $0$ (sau că numitorul tinde la infinit în modul), apoi se derivează separat. În afara acestor cazuri regula dă rezultate false.
• Se declară asimptotă verticală în orice punct exclus din domeniu. Corect: se calculează limitele laterale; dacă amândouă sunt finite, punctul e o gaură, ca $x=2$ în Exemplul 6.
• Se caută asimptota oblică fără să se fi exclus orizontala. Corect: ordinea e obligatorie, iar propoziția de excludere reciprocă spune că spre același capăt nu pot exista amândouă.
• Se uită modulul la scoaterea lui $x$ de sub radical de ordin par. Corect: $\sqrt{x^2}=|x|$, deci spre $-\infty$ apare semnul minus — de aici cele două orizontale diferite din Exemplul 2. La radicalii de ordin impar problema nu apare.
• Se scrie „limita nu există" pentru o funcție care tinde la infinit. Corect: limita există în $\overline{\mathbb{R}}$ și este $+\infty$ sau $-\infty$; „nu există" se spune doar când chiar nu există, de pildă când cele două limite laterale sunt diferite.

Aplică acasă

1. Fișa asimptotelor, pe o pagină. Scrie cei patru pași ai schemei și, sub fiecare, formula care se calculează acolo. Adaugă, în colț, cele trei capcane: modulul de sub radical, excluderea reciprocă orizontală–oblică și gaura care nu e asimptotă. Este pagina pe care o recitești înaintea oricărei probleme de Subiectul al III-lea.
2. Zece limite pe zi, cronometrate. Ia zece limite din variantele de Bacalaureat M1 din anii trecuți și rezolvă-le în cel mult trei minute fiecare, scriind obligatoriu numele nedeterminării înainte de primul calcul. Notează, de fiecare dată, care unealtă ai folosit — vei vedea că patru unelte acoperă aproape tot.
3. Verificarea cu un tabel de valori. Alege trei dintre funcțiile din lecție, calculează cu telefonul valorile lor în $x=10,100,1000$ și compară-le cu ordonata asimptotei găsite. Diferența trebuie să scadă de zece ori la fiecare pas — dacă nu scade, asimptota e greșită.

Pentru părinți și profesori

Lecția deschide grupul de recapitulări dedicate Subiectului al III-lea și acoperă exact partea de analiză pe care o cere primul subpunct al problemei de analiză: limite, continuitate, asimptote. Ea adună competențele XII.CS.2.4, XII.CS.1.4 și XII.CS.3.4 din programa de matematică-informatică, dar le reașază în formatul de examen, cu cele trei subpuncte de câte $5$ puncte.

Valoarea ei nu stă în conținut nou — nu există niciunul — ci în ordinea de redactare și în deosebirile care se punctează: nedeterminarea numită înainte de calcul, ipotezele regulii lui L'Hôpital scrise complet, cuvântul „finite" din definiția speței I, modulul de sub radicalul de ordin par, gaura care nu e asimptotă.

Ce verifică lecția: (1) alegerea corectă a metodei pentru fiecare tip de nedeterminare; (2) calculul limitelor laterale și clasificarea punctelor de discontinuitate; (3) determinarea parametrilor din condiția de continuitate; (4) scrierea completă a listei de asimptote, cu capătul precizat; (5) justificarea semnului la un caz de tipul „constantă supra zero".

Întrebări bune de control: „Ce fel de nedeterminare este?", „De ce se poate aplica aici regula lui L'Hôpital?", „Punctul acesta e o gaură sau o asimptotă?", „De ce apare minus spre $-\infty$?". Semn că elevul e pregătit: înainte de a calcula, spune în ce ordine va lucra și ce se poate exclude din start. La BAC M1, aceste tipuri apar în fiecare variantă, în subpunctul a) al ambelor probleme din Subiectul al III-lea.

Întrebări frecvente

Ce se cere la subpunctul a) de la Subiectul al III-lea? Un calcul de limită. Cel mai des este o limită într-un punct finit, cu nedeterminare $\frac{0}{0}$ rezolvabilă prin factorizare sau prin conjugată, ori o limită la $\pm \infty$ care se rezolvă prin compararea gradelor. Uneori se cere direct o asimptotă, ceea ce înseamnă tot o limită, plus scrierea ecuației dreptei.

Când am voie să folosesc regula lui L'Hôpital la Bacalaureat M1? Numai după ce ai scris că limita este de tipul $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty }{\infty }$, că funcțiile sunt derivabile pe o vecinătate a punctului, mai puțin eventual în punct, și că derivata numitorului nu se anulează acolo. Apoi derivezi separat numărătorul și numitorul. Ipotezele scrise aduc puncte pe barem.

Cum îmi dau seama dacă o dreaptă verticală este asimptotă? Calculezi limitele laterale în punctul respectiv. Dacă măcar una dintre ele este infinită, dreapta este asimptotă verticală, iar în concluzie precizezi dacă e la stânga, la dreapta sau bilaterală. Dacă amândouă limitele sunt finite, nu ai asimptotă: graficul are acolo doar un punct lipsă.

De ce apar uneori două asimptote orizontale diferite? Pentru că cele două capete se studiază separat, iar la funcțiile cu radical de ordin par intervine egalitatea $\sqrt{x^2}=|x|$. Spre $-\infty$, modulul se scrie $-x$ și schimbă semnul rezultatului. De aceea funcția din Exemplul 2 are $y=\frac{3}{2}$ într-o parte și $y=-\frac{3}{2}$ în cealaltă.

În ce ordine se caută asimptotele unei funcții? Întâi orizontala: calculezi $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$. Dacă limita e finită, ai orizontala și te oprești, pentru că orizontala și oblica se exclud reciproc spre același capăt. Dacă limita e infinită, treci la oblică, cu cei trei pași: panta $m$ finită și nenulă, apoi $n$ finit, apoi concluzia.

Ce înseamnă că o funcție se poate prelungi prin continuitate? Înseamnă că într-un punct exclus din domeniu limita există și este finită, deci putem defini funcția și acolo, cu valoarea limitei, obținând o funcție continuă. Exemplul tipic este $\frac{x}{e^x-1}$ în $0$, unde limita este $1$; graficul are o singură gaură, pe care prelungirea o astupă.

Cum aflu parametrii dintr-o condiție de continuitate? Scrii cele două limite laterale în punctul de racord, în funcție de parametri, apoi impui ca ele să fie egale între ele și egale cu valoarea funcției în acel punct. Obții un sistem, de obicei simplu. Dacă un parametru dispare din ecuații, spune explicit că el poate fi oricare număr real.

Ce urmează după limite și asimptote la Subiectul al III-lea? Aici se lucrează primul subpunct — limitele și asimptotele. Lecția despre derivate, monotonie și extreme preia subpunctul b), cu $f^{\prime }$, tangenta și inegalitățile, iar cea despre studiul funcțiilor și reprezentarea grafică încheie cu tabelul complet, șirul lui Rolle și discuția după parametru.