Subiectul al III-lea: primitive și metode de integrare: pe scurt
A doua problemă a Subiectului al III-lea are trei subpuncte legate: a) o verificare pregătitoare, b) calculul primitivelor, c) o proprietate a primitivei. Funcția este primitivă a lui pe intervalul dacă e derivabilă pe și pe — de aceea subpunctul a) se rezolvă derivând, în trei rânduri: intervalul și derivabilitatea, calculul derivatei, concluzia cu cuvintele enunțului. Varianta înrudită, „arătați că admite primitive”, se rezolvă cu criteriul „orice funcție continuă pe un interval admite primitive”. Metoda de calcul se alege parcurgând arborele de decizie în ordine și oprindu-te la primul „da”: pasul zero de rescriere, tabelul, schimbarea de variabilă, integrarea prin părți, fracțiile simple, rețeta trinomului, recurența; când o verigă nu ajunge, se scrie lanțul de metode, cu tabelul ca ultimă verigă. La subpunctul c) nu se mai derivează expresia găsită: semnul lui dă monotonia lui , iar monotonia lui dă convexitatea lui , pentru că . Orice rezultat se scrie pe un interval, cu , iar modulul dintr-un logaritm se scoate numai împreună cu propoziția care spune de ce argumentul e pozitiv. Rândul din tabel se alege după numărător, nu după numitor.
Exerciții din această mini-lecție
Cerința „Arătați că este o primitivă a funcției pe intervalul ” se rezolvă:
- a) derivând pe și comparând rezultatul cu
- b) integrând pe și comparând rezultatul cu
- c) calculând
- d) arătând că este continuă pe
Vezi răspunsul
Răspuns corect: a) derivând pe și comparând rezultatul cu
Definiția spune că e primitivă a lui pe dacă e derivabilă pe și pentru orice — deci verificarea este o derivare, cel mai ieftin punctaj din toată lucrarea. Integrarea aici înseamnă timp pierdut. Continuitatea lui e argumentul pentru cerința diferită „arătați că admite primitive”, nu pentru aceasta.
este egală cu:
- a)
- b)
- c)
- d)
Vezi răspunsul
Răspuns corect: b)
Numărătorul decide rândul din tabel, nu numitorul. Aici numărătorul e proporțional cu derivata numitorului, deci se aplică : cu , rezultatul este , fără modul, pentru că argumentul e strict pozitiv. Varianta cu arctangentă ar fi răspunsul pentru — același numitor, alt numărător.
este egală cu:
- a)
- b)
- c)
- d)
Vezi răspunsul
Răspuns corect: d)
Integrandul e produs de tipuri diferite, deci se integrează prin părți; regula descreșterii cere derivarea lui și integrarea lui : . Verificarea costă treizeci de secunde: derivând rezultatul se regăsește ✓.